Números de Fibonacci e a proporção áurea: relação. A proporção áurea e os números de Fibonacci

Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, foi o primeiro dos grandes matemáticos europeus do final da Idade Média. Nascido em Pisa em uma rica família de comerciantes, ele ingressou na matemática por uma necessidade puramente prática de estabelecer contatos comerciais. Na juventude, Leonardo viajava muito, acompanhando o pai em viagens de negócios. Por exemplo, sabemos sobre sua longa permanência em Bizâncio e na Sicília. Durante essas viagens, ele interagia muito com os cientistas locais.

A série numérica que hoje leva seu nome surgiu do problema com os coelhos que Fibonacci delineou em seu livro Liber abacci, escrito em 1202:

Um homem colocou um par de coelhos em uma caneta, cercado por todos os lados por uma parede. Quantos pares de coelhos este par pode dar à luz em um ano, se se sabe que a cada mês, a partir do segundo, cada par de coelhos produz um par?

Você pode ter certeza de que o número de casais em cada um dos próximos doze meses dos meses será respectivamente

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Em outras palavras, o número de pares de coelhos cria uma série, cada termo em que é a soma dos dois anteriores. Ele é conhecido como série Fibonacci, e os próprios números números de fibonacci. Acontece que essa sequência tem muitas propriedades matematicamente interessantes. Aqui está um exemplo: você pode dividir uma linha em dois segmentos para que a razão entre o segmento maior e o menor seja proporcional à razão entre a linha inteira e o segmento maior. Esse fator de proporcionalidade, aproximadamente igual a 1,618, é conhecido como proporção áurea. No Renascimento, acreditava-se que essa proporção, observada nas estruturas arquitetônicas, é a mais agradável à vista. Se você pegar pares consecutivos da série Fibonacci e dividir mais de cada par para um menor, seu resultado se aproximará gradualmente da proporção áurea.

Desde que Fibonacci descobriu sua sequência, até mesmo fenômenos naturais foram encontrados nos quais essa sequência parece desempenhar um papel importante. Um deles - filotaxia(arranjo de folhas) - a regra segundo a qual, por exemplo, as sementes estão localizadas em uma inflorescência de girassol. As sementes são dispostas em duas fileiras de espirais, uma delas no sentido horário e a outra no sentido contrário. E qual é o número de sementes em cada caso? 34 e 55.

Sequência de Fibonacci. Se você olhar as folhas da planta de cima, verá que elas florescem em espiral. Os ângulos entre folhas adjacentes formam uma série matemática regular, conhecida como sequência de Fibonacci. Graças a isso, cada folha individual que cresce em uma árvore recebe a quantidade máxima disponível de calor e luz.

Pirâmides no México

Não apenas as pirâmides egípcias foram construídas de acordo com as proporções perfeitas da proporção áurea, o mesmo fenômeno foi encontrado nas pirâmides mexicanas. Surge a ideia de que as pirâmides egípcias e mexicanas foram construídas aproximadamente na mesma época por pessoas de origem comum.
Na seção transversal da pirâmide, uma forma semelhante a uma escada é visível, com 16 degraus no primeiro nível, 42 degraus no segundo e 68 degraus no terceiro.
Esses números são baseados na proporção de Fibonacci da seguinte forma:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68

Após os primeiros números da sequência, a proporção de qualquer um de seus termos para o próximo é de aproximadamente 0,618 e para o anterior - 1,618. Quanto maior o número de série de um membro da sequência, mais próxima a razão do número phi, que é um número irracional e igual a 0,618034... A razão entre os membros da sequência, separados por um número, é de aproximadamente 0,382 , e seu recíproco é 2,618. Na fig. 3-2 mostra uma tabela de proporções de todos os números de Fibonacci de 1 a 144.

Ф é o único número que, somado a 1, dá seu recíproco: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Essa relação entre os procedimentos de adição e multiplicação leva à seguinte sequência de equações:

Se continuarmos com esse processo, criaremos retângulos de 13 por 21, 21 por 34 e assim por diante.

Agora confira. Se você dividir 13 por 8, obterá 1,625. E se você dividir o número maior pelo número menor, essas proporções se aproximam cada vez mais do número 1,618, conhecido por muitas pessoas como proporção áurea, um número que fascina matemáticos, cientistas e artistas há séculos.

Tabela de Razão de Fibonacci

À medida que a nova progressão cresce, os números formam uma terceira sequência, composta por números somados ao produto do quatro e do número de Fibonacci. Isso é possível devido ao fato que a razão entre os membros da sequência que estão separados por duas posições é 4,236. onde o número 0,236 é o recíproco de 4,236 e. além disso, a diferença entre 4,236 e 4. Outros fatores levam a outras sequências, todas baseadas em razões de Fibonacci.

1. Não há dois números de Fibonacci consecutivos com um divisor comum.

2. Se os termos da sequência de Fibonacci forem numerados como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., descobriremos que, com exceção do quarto termo (número 3), o número de qualquer Número de Fibonacci que é número primo(isto é, não tendo outros divisores além de si mesmo e a unidade) também é um puro simples. Da mesma forma, com exceção do quarto membro da sequência de Fibonacci (o número 3), todos os números compostos dos membros da sequência (isto é, aqueles que têm pelo menos dois divisores exceto ele mesmo e um) correspondem a números compostos de Fibonacci , conforme tabela abaixo. O inverso nem sempre é verdadeiro.

3. A soma de quaisquer dez termos na sequência é divisível por onze.

4. A soma de todos os números de Fibonacci até um certo ponto na sequência mais um é igual ao número de Fibonacci a duas posições do último número adicionado.

5. A soma dos quadrados de quaisquer termos consecutivos começando com o primeiro 1 sempre será igual ao último (da amostra dada) número da sequência multiplicado pelo próximo termo.

6. O quadrado do número de Fibonacci menos o quadrado do segundo membro da sequência para baixo será sempre o número de Fibonacci.

7. O quadrado de qualquer número de Fibonacci é igual ao membro anterior da sequência, multiplicado pelo próximo número na sequência, mais ou menos um. A adição e a subtração de um alternam à medida que a sequência avança.

8. A soma do quadrado do número Fn e do quadrado do próximo número de Fibonacci F é igual ao número de Fibonacci F,. Fórmula F - + F 2 \u003d F„, aplicável a triângulos retângulos, onde a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado do lado mais longo. À direita está um exemplo usando F5, F6 e Raiz quadrada de Fn.

10. Um dos fenômenos surpreendentes, que, até onde sabemos, não foi mencionado até agora, é que as razões entre os números de Fibonacci são iguais a números muito próximos de milésimos de outros números de Fibonacci, com uma diferença igual a um milésimo de outro número de Fibonacci (ver Fig. . 3-2). Assim, na direção ascendente, a proporção de dois números de Fibonacci idênticos é 1, ou 0,987 mais 0,013: números de Fibonacci adjacentes têm uma proporção de 1,618. ou 1,597 mais 0,021; os números de Fibonacci em ambos os lados de algum membro da sequência têm uma razão de 2,618, ou 2,584 mais 0,034, e assim por diante. Na direção oposta, os números de Fibonacci adjacentes têm uma proporção de 0,618. ou 0,610 mais 0,008: os números de Fibonacci localizados em ambos os lados de algum membro da sequência têm uma razão de 0,382 ou 0,377 mais 0,005; Os números de Fibonacci entre os quais existem dois membros da sequência têm uma razão de 0,236, ou 0,233 mais 0,003: Os números de Fibonacci entre os quais há três membros da sequência têm uma razão de 0 146. são quatro membros da sequência têm uma proporção de 0,090, ou 0,089 mais 0,001: Os números de Fibonacci entre os quais existem cinco membros da sequência têm uma proporção de 0,056. ou 0,055 mais 0,001; Os números de Fibonacci, entre os quais há de seis a doze membros da sequência, têm razões que são eles próprios milésimos dos números de Fibonacci, começando em 0,034. Curiosamente, nesta análise, o coeficiente que liga os números de Fibonacci entre os quais se situam os treze membros da sequência, inicia novamente a série em 0,001, um milésimo do número onde começou! Com todos os cálculos, realmente obtemos uma semelhança ou "auto-reprodução em uma série infinita", revelando as propriedades da "conexão mais forte entre todas as relações matemáticas".

Finalmente, observe que (V5 + 1)/2 = 1,618 e [\^5-1)/2 = 0,618. onde V5 = 2,236. 5 acaba sendo o número mais importante para o princípio da onda, e sua raiz quadrada é a chave matemática para o número f.

O número 1,618 (ou 0,618) é conhecido como proporção áurea ou média áurea. A proporcionalidade associada a ele é agradável aos olhos e ouvidos. Ela se manifesta na biologia, na música, na pintura e na arquitetura. Em um artigo de dezembro de 1975 na Smithsonian Magazine, William Hoffer disse:

“... A razão do número 0,618034 para 1 é a base matemática da forma jogando cartas e o Partenon, o girassol e a concha, os vasos gregos e as galáxias espirais do espaço sideral. Tantas obras de arte e arquitetura dos gregos são baseadas nessa proporção. Eles o chamaram de "meio-termo".

Coelhos férteis de Fibonacci aparecem nos lugares mais inesperados. Os números de Fibonacci são, sem dúvida, parte de uma harmonia natural mística que se sente bem, tem boa aparência e até soa bem. A música, por exemplo, é baseada em uma oitava de oito notas. No piano, isso é representado por 8 teclas brancas e 5 pretas - um total de 13. Não é por acaso que o intervalo musical que mais agrada ao nosso ouvido é o sexto. A nota “mi” vibra na proporção de 0,62500 para a nota “dó”. Isso está a apenas 0,006966 de distância da média áurea exata. As proporções do sexto transmitem vibrações agradáveis ​​​​à cóclea do ouvido médio - órgão que também tem a forma de uma espiral logarítmica.

A ocorrência constante dos números de Fibonacci e da espiral dourada na natureza explica exatamente por que a proporção de 0,618034 para 1 é tão agradável nas obras de arte. Uma pessoa vê na arte um reflexo da vida, que tem um meio-termo em sua base.

A natureza usa a proporção áurea em suas criações mais perfeitas - desde as pequenas, como as microconvoluções do cérebro e as moléculas de DNA (ver Fig. 3 9), até as grandes, como as galáxias. Ela se manifesta em vários fenômenos como o crescimento de cristais, a refração de um feixe de luz no vidro, a estrutura do cérebro e sistema nervoso, construções musicais, a estrutura de plantas e animais. A ciência está fornecendo cada vez mais evidências de que a natureza realmente tem um princípio proporcional mestre. A propósito, você está segurando este livro com dois de seus cinco dedos, cada dedo com três partes. Total: cinco unidades, cada uma dividida por três - uma progressão de 5-3-5-3, semelhante à que está na base do princípio das ondas.

A forma simétrica e proporcional contribui para a melhor percepção visual e evoca uma sensação de beleza e harmonia. Uma imagem holística sempre consiste em partes tamanho diferente, que estão em uma certa relação uns com os outros e com o todo. proporção áurea - manifestação suprema perfeição do todo e de suas partes na ciência, na arte e na natureza.

Se em exemplo simples, então a Seção Áurea é a divisão do segmento em duas partes em tal proporção em que a parte maior se relaciona com a menor, como sua soma (o segmento inteiro) com a maior.

Se tomarmos todo o segmento c como 1, então o segmento a será igual a 0,618, o segmento b - 0,382, só assim a condição da Seção Áurea será atendida (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). A razão de c para a é 2,618 e c para b é 1,618. São todos iguais, já familiares para nós, coeficientes de Fibonacci.

Claro, existe um retângulo de ouro, um triângulo de ouro e até mesmo um cuboide de ouro. As proporções do corpo humano em muitos aspectos estão próximas da Seção Áurea.

Mas o mais interessante começa quando combinamos os conhecimentos adquiridos. A figura mostra claramente a relação entre a sequência de Fibonacci e a Razão Áurea. Começamos com dois quadrados do primeiro tamanho. De cima, adicionamos um quadrado do segundo tamanho. Pintamos ao lado um quadrado com lado igual à soma dos lados dos dois anteriores, o terceiro tamanho. Por analogia, um quadrado do quinto tamanho aparece. E assim por diante até ficar entediado, o principal é que o comprimento do lado de cada próximo quadrado seja igual à soma dos comprimentos dos lados dos dois anteriores. Vemos uma série de retângulos cujos comprimentos laterais são números de Fibonacci e, curiosamente, são chamados de retângulos de Fibonacci.

Se traçarmos uma linha suave através dos cantos de nossos quadrados, obteremos nada mais do que uma espiral de Arquimedes, cujo aumento de altura é sempre uniforme.

Cada membro da sequência logarítmica áurea é uma potência da Razão Áurea ( z). Parte da linha se parece com isto: ... z -5 ; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5... Se arredondarmos o valor da Razão Áurea para três casas decimais, obtemos z=1,618, a linha ficará assim: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Cada próximo termo pode ser obtido não apenas multiplicando o anterior por 1,618 , mas também adicionando os dois anteriores. Assim, o crescimento exponencial na sequência é fornecido pela simples adição de dois elementos adjacentes. Esta é uma série sem começo e fim, e é exatamente assim que a sequência de Fibonacci tenta ser. Tendo um começo bem definido, luta pelo ideal, nunca o alcançando. Isso que é vida.

E, no entanto, em conexão com tudo o que é visto e lido, surgem questões bastante naturais:
De onde vieram esses números? Quem é esse arquiteto do universo que tentou torná-lo perfeito? Alguma vez foi do jeito que ele queria que fosse? E se sim, por que falhou? Mutações? Livre escolha? Qual será o próximo? A bobina está torcendo ou destorcendo?

Encontrando a resposta para uma pergunta, você obtém a próxima. Se você resolvê-lo, obtém dois novos. Lide com eles, mais três aparecerão. Depois de resolvê-los, você adquirirá cinco não resolvidos. Depois oito, depois treze, 21, 34, 55...

sequência de Fibonacci, conhecido por todos do filme "O Código Da Vinci" - uma série de números descritos como um enigma pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido pelo apelido de Fibonacci, no século XIII. Resumidamente, a essência do enigma:

Alguém colocou um par de coelhos em um determinado espaço fechado para saber quantos pares de coelhos nasceriam durante o ano, se a natureza dos coelhos é tal que todo mês um par de coelhos produz outro par, e a capacidade de produzir a prole aparece aos dois meses de idade.

O resultado é uma série de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , onde é apresentado o número de pares de coelhos em cada um dos doze meses, separados por vírgulas. Pode ser continuado indefinidamente. Sua essência é que cada próximo número é a soma dos dois anteriores.

Esta série tem várias características matemáticas que devem ser abordadas. Ele assintoticamente (aproximando-se cada vez mais lentamente) tende a uma razão constante. Porém, essa razão é irracional, ou seja, é um número com uma sequência infinita e imprevisível de casas decimais na parte fracionária. Não pode ser expresso com exatidão.

Assim, a razão de qualquer membro da série para o anterior flutua em torno do número 1,618 , às vezes superando-o, às vezes não o alcançando. A razão para o seguinte se aproxima da mesma forma do número 0,618 , que é inversamente proporcional 1,618 . Se dividirmos os elementos por um, obtemos os números 2,618 E 0,382 , que também são inversamente proporcionais. Estes são os chamados índices de Fibonacci.

Por que tudo isso? Então, estamos nos aproximando de um dos mais fenômenos misteriosos natureza. O experiente Leonardo, na verdade, não descobriu nada de novo, ele simplesmente lembrou ao mundo um fenômeno como Seção Dourada, que não é inferior em importância ao teorema de Pitágoras.

Distinguimos todos os objetos ao nosso redor, inclusive na forma. Gostamos de alguns mais, alguns menos, alguns repelem completamente o olho. Às vezes, o interesse pode ser ditado situação de vida, e às vezes a beleza do objeto observado. A forma simétrica e proporcional contribui para a melhor percepção visual e evoca uma sensação de beleza e harmonia. Uma imagem holística sempre consiste em partes de tamanhos diferentes, que estão em uma certa relação entre si e com o todo. proporção áurea- a mais alta manifestação da perfeição do todo e de suas partes na ciência, na arte e na natureza.

Se for um exemplo simples, a Seção Áurea é a divisão de um segmento em duas partes em uma proporção em que a parte maior se relaciona com a menor, como sua soma (o segmento inteiro) com a maior.

Se pegarmos todo o segmento c atrás 1 , então o segmento a será igual a 0,618 , segmento de linha b - 0,382 , só assim a condição da Seção Áurea será atendida (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Atitude c Para a é igual a 1,618 , A Com Para b 2,618 . São todos iguais, já familiares para nós, coeficientes de Fibonacci.

Claro, existe um retângulo de ouro, um triângulo de ouro e até mesmo um cuboide de ouro. As proporções do corpo humano em muitos aspectos estão próximas da Seção Áurea.

Imagem: marcus-frings.de

Mas o mais interessante começa quando combinamos os conhecimentos adquiridos. A figura mostra claramente a relação entre a sequência de Fibonacci e a Razão Áurea. Começamos com dois quadrados do primeiro tamanho. De cima, adicionamos um quadrado do segundo tamanho. Pintamos ao lado um quadrado com lado igual à soma dos lados dos dois anteriores, o terceiro tamanho. Por analogia, um quadrado do quinto tamanho aparece. E assim por diante até ficar entediado, o principal é que o comprimento do lado de cada próximo quadrado seja igual à soma dos comprimentos dos lados dos dois anteriores. Vemos uma série de retângulos cujos comprimentos laterais são números de Fibonacci e, curiosamente, são chamados de retângulos de Fibonacci.

Se traçarmos uma linha suave através dos cantos de nossos quadrados, obteremos nada mais do que uma espiral de Arquimedes, cujo aumento de altura é sempre uniforme.

Não te lembra nada?

Foto: ethanhein no Flickr

E não apenas na concha de um molusco você pode encontrar as espirais de Arquimedes, mas em muitas flores e plantas, elas não são tão óbvias.

Aloe multifolhas:

Foto: livros de cerveja no Flickr

Foto: bear.org.uk
Foto: esdrascalderan no Flickr
Foto: manj98 no Flickr

E então é hora de lembrar da Seção Áurea! Algumas das mais belas e harmoniosas criações da natureza estão representadas nestas fotografias? E isso não é tudo. Olhando de perto, você pode encontrar padrões semelhantes em muitas formas.

Claro, a afirmação de que todos esses fenômenos são construídos na sequência de Fibonacci soa muito alto, mas a tendência está aparente. Além disso, ela mesma está longe de ser perfeita, como tudo neste mundo.

Há especulações de que a série de Fibonacci é uma tentativa da natureza de se adaptar a uma sequência logarítmica de seção áurea mais fundamental e perfeita, que é praticamente a mesma, apenas começa do nada e não vai a lugar nenhum. A natureza, por outro lado, definitivamente precisa de algum tipo de começo completo, a partir do qual você possa avançar, ela não pode criar algo do nada. As relações dos primeiros membros da sequência de Fibonacci estão longe da Seção Áurea. Mas quanto mais avançamos, mais esses desvios são suavizados. Para determinar qualquer série, basta conhecer três de seus membros, indo um após o outro. Mas não para a sequência áurea, bastam dois, é uma progressão geométrica e aritmética ao mesmo tempo. Você pode pensar que é a base para todas as outras sequências.

Cada membro da sequência logarítmica áurea é uma potência da Razão Áurea ( z). Parte da linha se parece com isto: ... z -5 ; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5... Se arredondarmos o valor da Razão Áurea para três casas decimais, obtemos z=1,618, a linha ficará assim: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Cada próximo termo pode ser obtido não apenas multiplicando o anterior por 1,618 , mas também adicionando os dois anteriores. Assim, o crescimento exponencial é alcançado simplesmente adicionando dois elementos vizinhos. Esta é uma série sem começo e fim, e é exatamente assim que a sequência de Fibonacci tenta ser. Tendo um começo bem definido, luta pelo ideal, nunca o alcançando. Isso que é vida.

E, no entanto, em conexão com tudo o que é visto e lido, surgem questões bastante naturais:
De onde vieram esses números? Quem é esse arquiteto do universo que tentou torná-lo perfeito? Alguma vez foi do jeito que ele queria que fosse? E se sim, por que falhou? Mutações? Livre escolha? Qual será o próximo? A bobina está torcendo ou destorcendo?

Encontrando a resposta para uma pergunta, você obtém a próxima. Se você resolvê-lo, obtém dois novos. Lide com eles, mais três aparecerão. Depois de resolvê-los, você adquirirá cinco não resolvidos. Depois oito, depois treze, 21, 34, 55...

Fontes: ; ; ;

Os números de Fibonacci são elementos de uma sequência numérica.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, em que cada número subsequente é igual à soma dos dois números anteriores. O nome vem do matemático medieval Leonardo de Pisa (ou Fibonacci), que viveu e trabalhou como comerciante e matemático na cidade italiana de Pisa. Ele é um dos mais célebres cientistas europeus de seu tempo. Entre suas maiores realizações está a introdução de algarismos arábicos para substituir os algarismos romanos. Fn=Fn-1+Fn-2

A série matemática assintoticamente (ou seja, aproximando-se cada vez mais lentamente) tende a uma razão constante. No entanto, essa atitude é irracional; ele tem uma sequência infinita e imprevisível de valores decimais alinhados depois dele. Nunca pode ser expresso com exatidão. Se cada número que faz parte da série for dividido pelo valor anterior (por exemplo, 13-^8 ou 21-FROM), o resultado da ação é expresso em uma razão que oscila em torno do número irracional 1,61803398875, um pouco mais ou ligeiramente menor do que as razões vizinhas da série. A proporção nunca será, indefinidamente, precisa até o último dígito (mesmo com os computadores mais poderosos construídos em nosso tempo). Por uma questão de brevidade, usaremos o número 1,618 como a proporção de Fibonacci e pediremos aos leitores que não se esqueçam desse erro.

Os números de Fibonacci também são importantes ao realizar análises.Algoritmo de Euclides para determinar o máximo divisor comum de dois números. Os números de Fibonacci vêm da fórmula diagonal do triângulo de Pascal (coeficientes binomiais).

Os números de Fibonacci têm sido associados à proporção áurea.

A proporção áurea era conhecida no antigo Egito e na Babilônia, na Índia e na China. O que é a "seção áurea"? A resposta ainda é desconhecida. Os números de Fibonacci são realmente relevantes para a teoria da prática em nosso tempo. O aumento de importância ocorreu no século 20 e continua até hoje. O uso de números de Fibonacci em economia e ciência da computação atraiu muitas pessoas para seu estudo.

A metodologia de minha pesquisa consistiu em estudar a literatura especializada e resumir as informações recebidas, bem como conduzir minha própria pesquisa e identificar as propriedades dos números e o escopo de seu uso.

Durante pesquisa científica definiu o próprio conceito de números de Fibonacci, suas propriedades. Também descobri padrões interessantes na vida selvagem, diretamente na estrutura das sementes de girassol.

Em um girassol, as sementes se alinham em espirais, e o número de espirais indo na outra direção é diferente - são números de Fibonacci consecutivos.

Este girassol tem 34 e 55.

O mesmo é observado nos frutos do abacaxi, onde existem espirais de 8 e 14. As folhas de milho estão associadas à propriedade única dos números de Fibonacci.

As frações da forma a/b, correspondentes ao arranjo helicoidal das folhas das pernas do caule de uma planta, são frequentemente proporções de números sucessivos de Fibonacci. Para a avelã esta proporção é 2/3, para o carvalho 3/5, para o álamo 5/8, para o salgueiro 8/13, etc.

Considerando a disposição das folhas no caule das plantas, pode-se observar que entre cada par de folhas (A e C) o terceiro se localiza no lugar da seção áurea (B)

Mais propriedade interessante O número de Fibonacci é que o produto e o quociente de quaisquer dois números de Fibonacci diferentes, exceto um, nunca é um número de Fibonacci.

Como resultado da pesquisa, cheguei às seguintes conclusões: Os números de Fibonacci são uma progressão aritmética única que apareceu no século XIII dC. Essa progressão não perde sua relevância, o que foi confirmado no decorrer de minha pesquisa. O número de Fibonacci também é encontrado na programação e nas previsões econômicas, na pintura, na arquitetura e na música. As pinturas de artistas famosos como Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael e Botticelli escondem a magia da proporção áurea. Até I. I. Shishkin usou a proporção áurea em sua pintura "Pine Grove".

É difícil de acreditar, mas a proporção áurea também é encontrada nas obras musicais de grandes compositores como Mozart, Beethoven, Chopin, etc.

Os números de Fibonacci também são encontrados na arquitetura. Por exemplo, a proporção áurea foi usada na construção do Partenon e da Catedral de Notre Dame.

Descobri que os números de Fibonacci também estão sendo usados ​​em nossa área. Por exemplo, platibandas de casas, empenas.

Você já ouviu falar que a matemática é chamada de "a rainha de todas as ciências"? Você concorda com esta afirmação? Enquanto a matemática continuar sendo um quebra-cabeça chato de livro didático para você, dificilmente poderá sentir a beleza, a versatilidade e até mesmo o humor dessa ciência.

Mas existem tópicos na matemática que ajudam a fazer observações curiosas sobre coisas e fenômenos que nos são comuns. E até tente penetrar no véu do mistério da criação do nosso universo. Existem padrões curiosos no mundo que podem ser descritos com a ajuda da matemática.

Introdução aos números de Fibonacci

números de Fibonacci nomear os elementos de uma sequência. Nela, cada próximo número da série é obtido pela soma dos dois números anteriores.

Sequência de amostra: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Você pode escrever assim:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Você pode iniciar uma série de números de Fibonacci com valores negativos n. Além disso, a sequência neste caso é bilateral (ou seja, abrange números negativos e positivos) e tende ao infinito em ambas as direções.

Um exemplo dessa sequência: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

A fórmula neste caso fica assim:

Fn = Fn+1 - Fn+2 ou caso contrário, você pode fazer assim: F-n = (-1) n+1 Fn.

O que hoje conhecemos como "números de Fibonacci" era conhecido pelos antigos matemáticos indianos muito antes de serem usados ​​na Europa. E com esse nome, em geral, uma anedota histórica contínua. Vamos começar com o fato de que o próprio Fibonacci nunca se chamou Fibonacci durante sua vida - esse nome começou a ser aplicado a Leonardo de Pisa apenas vários séculos após sua morte. Mas vamos falar sobre tudo em ordem.

Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci

Filho de um comerciante que se tornou matemático e posteriormente recebeu o reconhecimento de seus descendentes como o primeiro grande matemático da Europa durante a Idade Média. Principalmente graças aos números de Fibonacci (que então, lembramos, ainda não eram chamados assim). Que ele descreveu no início do século 13 em sua obra “Liber abaci” (“O Livro do Ábaco”, 1202).

Viajando com seu pai para o Oriente, Leonardo estudou matemática com professores árabes (e naquela época eles estavam neste negócio, e em muitas outras ciências, uma das os melhores especialistas). Obras de matemáticos da Antiguidade e índia antiga ele leu em traduções árabes.

Tendo compreendido corretamente tudo o que leu e conectado sua própria mente inquisitiva, Fibonacci escreveu vários tratados científicos sobre matemática, incluindo o “Livro do Ábaco” já mencionado acima. Além dela, ele criou:

• "Prática geometriae" ("Prática de Geometria", 1220);
• "Flos" ("Flor", 1225 - um estudo sobre equações cúbicas);
• "Liber quadratorum" ("O Livro dos Quadrados", 1225 - problemas em equações quadráticas indefinidas).

Ele era um grande amante de torneios matemáticos, então em seus tratados ele prestou muita atenção à análise de vários problemas matemáticos.

Muito pouca informação biográfica permanece sobre a vida de Leonardo. Quanto ao nome Fibonacci, com o qual entrou para a história da matemática, foi fixado a ele apenas no século XIX.

Fibonacci e seus problemas

Depois que Fibonacci saiu grande número problemas que foram muito populares entre os matemáticos nos séculos seguintes. Consideraremos o problema dos coelhos, em cuja solução são utilizados os números de Fibonacci.

Os coelhos não são apenas peles valiosas

Fibonacci estabeleceu as seguintes condições: há um par de coelhos recém-nascidos (macho e fêmea) de uma raça tão interessante que eles regularmente (a partir do segundo mês) produzem filhotes - sempre um novo par de coelhos. Além disso, como você pode imaginar, masculino e feminino.

Esses coelhos condicionais são colocados em um espaço fechado e se reproduzem com entusiasmo. Também é estipulado que nenhum coelho morre de alguma doença misteriosa de coelho.

Precisamos calcular quantos coelhos teremos em um ano.

• No início de 1 mês temos 1 casal de coelhos. No final do mês eles acasalam.
• No segundo mês - já temos 2 pares de coelhos (um par tem pais + 1 par - seus filhos).
• Terceiro mês: O primeiro par dá à luz um novo par, o segundo par acasala. Total - 3 pares de coelhos.
• Quarto mês: O primeiro casal dá à luz um novo casal, o segundo casal não perde tempo e também dá à luz um novo casal, o terceiro casal está apenas acasalando. Total - 5 pares de coelhos.

Número de coelhos em n-º mês = número de casais de coelhos do mês anterior + número de casais recém-nascidos (há o mesmo número de casais de coelhos 2 meses atrás). E tudo isso é descrito pela fórmula que já demos acima: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Assim, obtemos uma recorrente (explicação de recursão- abaixo) sequência numérica. Em que cada próximo número é igual à soma dos dois anteriores:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Você pode continuar a sequência por um longo tempo: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Mas como definimos um período específico - um ano, estamos interessados ​​no resultado obtido na 12ª "mudança". Aqueles. 13º membro da sequência: 377.

A resposta está no problema: 377 coelhos serão obtidos se todas as condições estabelecidas forem atendidas.

Uma das propriedades da sequência de Fibonacci é muito curiosa. Se você pegar dois pares consecutivos de uma linha e dividir o número maior pelo menor, o resultado se aproximará gradualmente proporção áurea(Você pode ler mais sobre isso mais adiante no artigo).

Na linguagem da matemática, "limite de relacionamento um n+1 Para um igual à proporção áurea.

Mais problemas na teoria dos números

1. Encontre um número que possa ser dividido por 7. Além disso, se você dividir por 2, 3, 4, 5, 6, o resto será um.
2. Encontrar numero quadrado. Sabe-se sobre ele que se você adicionar 5 a ele ou subtrair 5, obterá novamente um número quadrado.

Convidamos você a encontrar respostas para essas perguntas por conta própria. Você pode nos deixar suas opções nos comentários a este artigo. E então diremos se seus cálculos estavam corretos.

Uma explicação sobre recursão

recursão- definição, descrição, imagem de um objeto ou processo, que contém o próprio objeto ou processo. Ou seja, de fato, um objeto ou processo é uma parte de si mesmo.

achados de recursão ampla aplicação em matemática e ciência da computação, e até mesmo em arte e cultura popular.

Os números de Fibonacci são definidos usando uma relação recursiva. Para número n>2 n- o número é (n - 1) + (n - 2).

Explicação da proporção áurea

proporção áurea- a divisão de um todo (por exemplo, um segmento) em partes relacionadas de acordo com o seguinte princípio: uma parte grande pertence a uma menor da mesma forma que o valor inteiro (por exemplo, a soma de dois segmentos ) para uma parte maior.

A primeira menção da proporção áurea pode ser encontrada no tratado de Euclides "Beginnings" (cerca de 300 aC). No contexto da construção de um retângulo regular.

O termo familiar para nós em 1835 foi introduzido pelo matemático alemão Martin Ohm.

Se você descrever a proporção áurea aproximadamente, é uma divisão proporcional em duas partes desiguais: aproximadamente 62% e 38%. Numericamente, a proporção áurea é o número 1,6180339887 .

A proporção áurea encontra uso pratico nas artes plásticas (pinturas de Leonardo da Vinci e outros pintores renascentistas), arquitetura, cinema (o Encouraçado Potemkin de S. Ezenstein) e outras áreas. Por muito tempo acreditou-se que a proporção áurea é a proporção mais estética. Essa visão ainda é popular hoje. Embora, de acordo com os resultados da pesquisa, visualmente a maioria das pessoas não perceba essa proporção mais boa opção e considerado muito alongado (desproporcional).

• Comprimento do corte Com = 1, A = 0,618, b = 0,382.
• Atitude Com Para A = 1, 618.
• Atitude Com Para b = 2,618

Agora, de volta aos números de Fibonacci. Pegue dois termos sucessivos de sua sequência. Divida o número maior pelo menor e obtenha aproximadamente 1,618. E agora vamos usar o mesmo número maior e o próximo membro da série (ou seja, um número ainda maior) - sua proporção é 0,618 inicial.

Aqui está um exemplo: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 e 233/377 = 0,618

A propósito, se você tentar fazer o mesmo experimento com números desde o início da sequência (por exemplo, 2, 3, 5), nada funcionará. Quase. A regra da proporção áurea quase não é respeitada para o início da sequência. Mas, por outro lado, à medida que você se move ao longo da linha e os números aumentam, funciona bem.

E para calcular toda a série de números de Fibonacci, basta conhecer três membros da sequência, um após o outro. Você pode ver por si mesmo!

Retângulo Dourado e Espiral de Fibonacci

Outro curioso paralelo entre os números de Fibonacci e a proporção áurea nos permite traçar o chamado "retângulo de ouro": seus lados estão relacionados na proporção de 1,618 para 1. Mas já sabemos o que é o número 1,618, certo?

Por exemplo, vamos pegar dois termos consecutivos da série de Fibonacci - 8 e 13 - e construir um retângulo com os seguintes parâmetros: largura = 8, comprimento = 13.

E então dividimos o retângulo grande em outros menores. condição necessária: os comprimentos dos lados dos retângulos devem corresponder aos números de Fibonacci. Aqueles. o comprimento do lado do retângulo maior deve ser igual à soma dos lados dos dois retângulos menores.

A forma como é feito nesta figura (por conveniência, as figuras são assinadas em letras latinas).

A propósito, você pode construir retângulos em ordem reversa. Aqueles. comece a construir a partir de quadrados com lado 1. Para os quais, guiados pelo princípio expresso acima, são concluídas figuras com lados iguais aos números de Fibonacci. Teoricamente, isso pode continuar indefinidamente - afinal, a série de Fibonacci é formalmente infinita.

Se conectarmos os cantos dos retângulos obtidos na figura com uma linha suave, obtemos uma espiral logarítmica. Em vez disso, seu caso especial é a espiral de Fibonacci. Caracteriza-se, em particular, pelo fato de não ter limites e não mudar de forma.

Essa espiral é freqüentemente encontrada na natureza. As conchas de moluscos são um dos exemplos mais marcantes. Além disso, algumas galáxias que podem ser vistas da Terra têm uma forma espiral. Se você prestar atenção às previsões do tempo na TV, deve ter notado que os ciclones têm uma forma espiral semelhante ao serem disparados de satélites.

É curioso que a hélice do DNA também obedeça à regra da seção áurea - o padrão correspondente pode ser visto nos intervalos de suas dobras.

Tais "coincidências" surpreendentes não podem deixar de excitar as mentes e dar origem a falar sobre um certo algoritmo único que todos os fenômenos da vida do Universo obedecem. Agora você entende por que este artigo é chamado assim? E que portas mundos incríveis a matemática pode abrir para você?

Números de Fibonacci na natureza

A conexão entre os números de Fibonacci e a proporção áurea sugere padrões curiosos. Tão curioso que é tentador tentar encontrar sequências semelhantes aos números de Fibonacci na natureza e até no decorrer de eventos históricos. E a natureza de fato dá origem a tais suposições. Mas tudo em nossa vida pode ser explicado e descrito usando a matemática?

Exemplos de vida selvagem que podem ser descritos usando a sequência de Fibonacci:

• a ordem de disposição das folhas (e ramos) nas plantas - as distâncias entre elas estão correlacionadas com os números de Fibonacci (filotaxia);

• a localização das sementes de girassol (as sementes são dispostas em duas fileiras de espirais torcidas em direções diferentes: uma fileira no sentido horário, a outra no sentido anti-horário);

• localização de escamas de pinhas;
• pétalas de flores;
• células de abacaxi;
• a razão dos comprimentos das falanges dos dedos para mão humana(aproximadamente), etc

Problemas em combinatória

Os números de Fibonacci são amplamente utilizados na resolução de problemas em combinatória.

Combinatória- este é um ramo da matemática que lida com o estudo de uma seleção de um determinado número de elementos de um conjunto designado, enumeração, etc.

Vejamos exemplos de problemas de combinatória calculados para o nível ensino médio(fonte - http://www.problems.ru/).

Tarefa nº 1:

Lesha sobe uma escada de 10 degraus. Ele pula um degrau ou dois de cada vez. De quantas maneiras Lesha pode subir as escadas?

O número de maneiras pelas quais Lesha pode subir as escadas n passos, denotam e n. Daí segue que um 1 = 1, um 2= 2 (afinal, Lesha pula um ou dois passos).

Também é acordado que Lesha pula as escadas de n > 2 passos. Suponha que ele pulou dois degraus na primeira vez. Então, de acordo com a condição do problema, ele precisa pular outro n-2 passos. Então o número de maneiras de completar a subida é descrito como um n-2. E se assumirmos que pela primeira vez Lesha saltou apenas um passo, descreveremos o número de maneiras de terminar a subida como um n-1.

Daqui obtemos a seguinte igualdade: a n = a n–1 + a n–2(parece familiar, não é?).

Desde que sabemos um 1 E um 2 e lembre-se que são 10 passos de acordo com a condição do problema, calcule em ordem todos um: um 3 = 3, um 4 = 5, um 5 = 8, um 6 = 13, um 7 = 21, um 8 = 34, um 9 = 55, um 10 = 89.

Resposta: 89 maneiras.

Tarefa nº 2:

É necessário encontrar o número de palavras com comprimento de 10 letras, que consistem apenas nas letras "a" e "b" e não devem conter duas letras "b" seguidas.

denotar por um número de palavras longas n letras que consistem apenas nas letras "a" e "b" e não contêm duas letras "b" seguidas. Significa, um 1= 2, um 2= 3.

Em sequência um 1, um 2, <…>, um vamos expressar cada próximo termo em função dos anteriores. Portanto, o número de palavras de comprimento n letras que também não contenham a letra "b" duplicada e comecem com a letra "a", esta um n-1. E se a palavra for longa n letras começa com a letra "b", é lógico que a próxima letra em tal palavra seja "a" (afinal, não pode haver dois "b" de acordo com a condição do problema). Portanto, o número de palavras de comprimento n letras neste caso, denotadas como um n-2. Tanto no primeiro quanto no segundo caso, qualquer palavra (de comprimento n-1 E n-2 letras respectivamente) sem "b" duplicado.

Nós fomos capazes de explicar por que a n = a n–1 + a n–2.

Vamos calcular agora um 3= um 2+ um 1= 3 + 2 = 5, um 4= um 3+ um 2= 5 + 3 = 8, <…>, um 10= um 9+ um 8= 144. E obtemos a familiar sequência de Fibonacci.

Resposta: 144.

Tarefa nº 3:

Imagine que existe uma fita dividida em células. Vai para a direita e dura indefinidamente. Coloque um gafanhoto na primeira célula da fita. Em qualquer uma das células da fita que ele esteja, ele só pode se mover para a direita: uma célula ou duas. De quantas maneiras um gafanhoto pode pular do começo da fita para nª célula?

Vamos denotar o número de maneiras que o gafanhoto se move ao longo da fita até nª célula como um. Nesse caso um 1 = um 2= 1. Também em n + 1-ésima célula que o gafanhoto pode obter de nª célula, ou saltando sobre ela. Daqui n + 1 = a n - 1 + um. Onde um = F n - 1.

Responder: F n - 1.

Você mesmo pode criar problemas semelhantes e tentar resolvê-los nas aulas de matemática com seus colegas.

Números de Fibonacci na cultura popular

Claro, um fenômeno tão incomum como os números de Fibonacci não pode deixar de atrair a atenção. Ainda há algo atraente e até misterioso neste padrão estritamente verificado. Não é surpreendente que a sequência de Fibonacci de alguma forma "se iluminou" em muitas obras da moderna cultura de massa uma grande variedade de gêneros.

Nós vamos falar sobre alguns deles. E você tenta se procurar mais. Se você encontrar, compartilhe conosco nos comentários - também estamos curiosos!

• Os números de Fibonacci são mencionados no best-seller de Dan Brown, O Código Da Vinci: a sequência de Fibonacci serve como o código pelo qual os personagens principais do livro abrem o cofre.
• No filme americano de 2009 Mr. Nobody, em um dos episódios, o endereço da casa faz parte da sequência de Fibonacci - 12358. Além disso, em outro episódio personagem principal deveria ligar número de telefone, que é essencialmente a mesma, mas ligeiramente distorcida (um número extra após o número 5) sequência: 123-581-1321.
• Na série de TV de 2012 The Connection, o personagem principal, um menino autista, é capaz de discernir padrões nos eventos que ocorrem no mundo. Inclusive através dos números de Fibonacci. E gerencie esses eventos também por meio de números.
• Desenvolvedores de jogos Java para celulares Doom RPG colocou uma porta secreta em um dos níveis. O código que o abre é a sequência de Fibonacci.
• Em 2012, a banda de rock russa Splin lançou um álbum conceitual chamado Illusion. A oitava faixa se chama "Fibonacci". Nos versos do líder do grupo Alexander Vasiliev, a sequência dos números de Fibonacci é batida. Para cada um dos nove membros consecutivos, há um número correspondente de linhas (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Parta na estrada

1 Clicou em uma junta

1 Uma manga tremeu

2 Tudo, chame o pessoal

Tudo, chame o pessoal

3 Pedido de água fervente

O trem vai para o rio

O trem vai para a taiga<…>.

• limerick (um poema curto de uma certa forma - geralmente cinco linhas, com um certo esquema de rima, cômico em conteúdo, em que a primeira e a última linha são repetidas ou parcialmente duplicadas umas às outras) de James Lyndon também usa uma referência à sequência de Fibonacci como motivo humorístico:

Comida densa das esposas de Fibonacci

Foi apenas para o benefício deles, não de outra forma.

As esposas pesaram, segundo rumores,

Cada um é como os dois anteriores.

Resumindo

Esperamos ter podido contar muitas coisas interessantes e úteis hoje. Por exemplo, agora você pode procurar a espiral de Fibonacci na natureza ao seu redor. De repente, é você quem poderá desvendar o "segredo da vida, do universo e em geral".

Use a fórmula para números de Fibonacci ao resolver problemas em combinatória. Você pode desenvolver os exemplos descritos neste artigo.

blog.site, com cópia total ou parcial do material, é necessário o link da fonte.

Vamos descobrir o que há de comum entre as antigas pirâmides egípcias, a pintura "Mona Lisa" de Leonardo da Vinci, um girassol, um caracol, uma pinha e dedos humanos?

A resposta a esta pergunta está escondida nos números surpreendentes que foram descobertos. O matemático medieval italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido pelo nome de Fibonacci (nascido em 1170 - falecido após 1228), matemático italiano . Viajando pelo Oriente, ele conheceu as conquistas da matemática árabe; contribuíram para sua transferência para o Ocidente.

Após sua descoberta, esses números passaram a ser chamados pelo nome do famoso matemático. A incrível essência da sequência de Fibonacci é que que cada número nesta sequência é obtido a partir da soma dos dois números anteriores.

Então, os números que formam a sequência:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

são chamados de "números de Fibonacci", e a sequência em si é chamada de sequência de Fibonacci.

Nos números de Fibonacci, há um muito característica interessante. Ao dividir qualquer número da sequência pelo número à sua frente na série, o resultado será sempre um valor que flutua em torno do valor irracional 1,61803398875... e toda vez que o ultrapassa ou não o atinge. (Observe um número irracional, ou seja, um número cuja representação decimal é infinita e não periódica)

Além disso, após o 13º número da sequência, esse resultado da divisão torna-se constante até o infinito da série... Foi esse número constante de divisão na Idade Média que foi chamado de Proporção Divina, e agora hoje é referido como a seção áurea, a média áurea ou a proporção áurea. . Em álgebra, esse número é denotado pela letra grega phi (Ф)

Portanto, Razão Áurea = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

O corpo humano e a proporção áurea

Artistas, cientistas, designers de moda, designers fazem seus cálculos, desenhos ou esboços com base na proporção da proporção áurea. Eles usam medidas do corpo humano, também criadas de acordo com o princípio da seção áurea. Leonardo Da Vinci e Le Corbusier, antes de criar suas obras-primas, adotaram os parâmetros do corpo humano, criados de acordo com a lei da Proporção Áurea.

O livro mais importante de todos os arquitetos modernos, o livro de referência de E. Neufert "Building Design" contém os cálculos básicos dos parâmetros do corpo humano, que incluem a proporção áurea.

Proporções várias partes nosso corpo é um número muito próximo da proporção áurea. Se essas proporções coincidirem com a fórmula da proporção áurea, a aparência ou corpo de uma pessoa é considerada idealmente construída. O princípio de calcular a medida áurea no corpo humano pode ser representado como um diagrama:

M/m=1,618

O primeiro exemplo da seção áurea na estrutura do corpo humano:
Se tomarmos o ponto do umbigo como o centro do corpo humano e a distância entre o pé humano e o ponto do umbigo como unidade de medida, a altura de uma pessoa equivale ao número 1,618.

Além disso, existem várias proporções douradas básicas do nosso corpo:

* a distância da ponta dos dedos ao pulso e ao cotovelo é de 1:1.618;

* a distância do nível do ombro ao topo da cabeça e o tamanho da cabeça é 1:1.618;

* a distância da ponta do umbigo ao topo da cabeça e do nível do ombro ao topo da cabeça é 1:1.618;

* a distância do umbigo aos joelhos e dos joelhos aos pés é 1:1.618;

* a distância da ponta do queixo à ponta do lábio superior e da ponta do lábio superior às narinas é de 1:1,618;

* a distância da ponta do queixo até a linha superior das sobrancelhas e da linha superior das sobrancelhas até a coroa é de 1:1,618;

* a distância da ponta do queixo até a linha superior das sobrancelhas e da linha superior das sobrancelhas até a coroa é 1:1.618:

A proporção áurea nas características faciais humanas como critério de beleza perfeita.

Na estrutura das características faciais humanas, também existem muitos exemplos que têm valor próximo à fórmula da seção áurea. No entanto, não corra imediatamente atrás da régua para medir os rostos de todas as pessoas. Porque correspondências exatas com a seção áurea, de acordo com cientistas e pessoas de arte, artistas e escultores, existem apenas em pessoas com beleza perfeita. Na verdade, a presença exata da proporção áurea no rosto de uma pessoa é o ideal de beleza para o olho humano.

Por exemplo, se somarmos a largura dos dois dentes frontais superiores e dividirmos essa soma pela altura dos dentes, então, tendo obtido a proporção áurea, podemos dizer que a estrutura desses dentes é ideal.

No rosto humano, existem outras formas de realização da regra da seção áurea. Aqui estão algumas dessas relações:

* Altura da face/largura da face;

* Ponto central de ligação dos lábios à base do nariz / comprimento do nariz;

* Altura do rosto/distância da ponta do queixo até o ponto central da junção dos lábios;

* Largura da boca/largura do nariz;

* Largura do nariz / distância entre as narinas;

* Distância entre as pupilas / distância entre as sobrancelhas.

mão humana

Basta aproximar a palma da mão agora e olhar atentamente para dedo indicador, e você encontrará imediatamente a fórmula da seção áurea nele. Cada dedo da nossa mão consiste em três falanges.

* A soma das duas primeiras falanges do dedo em relação ao comprimento total do dedo e dá o número da seção áurea (com exceção do polegar);

* Além disso, a proporção entre o dedo médio e o dedo mínimo também é igual à proporção áurea;

* Uma pessoa tem 2 mãos, os dedos de cada mão consistem em 3 falanges (com exceção do polegar). Cada mão tem 5 dedos, ou seja, 10 no total, mas com exceção de duas duas falangeanas polegares apenas 8 dedos são criados de acordo com o princípio da seção áurea. Considerando que todos esses números 2, 3, 5 e 8 são os números da sequência de Fibonacci:

A proporção áurea na estrutura dos pulmões humanos

O físico americano B.D. West e o Dr. A.L. Goldberger durante estudos físicos e anatômicos descobriu que a seção áurea também existe na estrutura dos pulmões humanos.

A peculiaridade dos brônquios que compõem os pulmões de uma pessoa reside na sua assimetria. Os brônquios são constituídos por duas vias aéreas principais, uma (esquerda) é mais longa e a outra (direita) é mais curta.

* Verificou-se que essa assimetria continua nos ramos dos brônquios, em todos os menores trato respiratório. Além disso, a proporção entre o comprimento dos brônquios curtos e longos também é a proporção áurea e é igual a 1:1,618.

A estrutura do quadrilátero ortogonal dourado e da espiral

A seção áurea é uma divisão tão proporcional de um segmento em partes desiguais, na qual todo o segmento se relaciona com a parte maior da mesma forma que a própria parte maior se relaciona com a menor; ou seja, a seção menor está relacionada com a maior assim como a maior está com tudo.

Em geometria, um retângulo com essa proporção de lados passou a ser chamado de retângulo áureo. Seus lados longos estão relacionados aos lados curtos na proporção de 1,168:1.

O retângulo áureo também tem muitas propriedades surpreendentes. O retângulo áureo tem muitas propriedades incomuns. Ao cortar um quadrado do retângulo de ouro, cujo lado é igual ao lado menor do retângulo, obtemos novamente um retângulo de ouro menor. Este processo pode ser continuado ad infinitum. À medida que continuamos cortando os quadrados, obteremos retângulos dourados cada vez menores. Além disso, eles estarão localizados em uma espiral logarítmica, o que é importante em modelos matemáticos objetos naturais(por exemplo, conchas de caracóis).

O pólo da espiral encontra-se na interseção das diagonais do retângulo inicial e o primeiro corte vertical. Além disso, as diagonais de todos os retângulos dourados decrescentes subseqüentes estão nessas diagonais. Claro, há também um triângulo dourado.

O designer e esteticista inglês William Charlton afirmou que as pessoas acham as formas em espiral agradáveis ​​​​aos olhos e as usam há milênios, explicando isso da seguinte forma:

“Gostamos da aparência de uma espiral porque visualmente podemos vê-la facilmente.”

Na natureza

* A regra da proporção áurea subjacente à estrutura da espiral é encontrada na natureza com muita frequência em criações de beleza inigualável. Os exemplos mais óbvios - uma forma espiral pode ser vista no arranjo de sementes de girassol, e em pinhas, em abacaxis, cactos, na estrutura de pétalas de rosa, etc .;

* Os botânicos estabeleceram que no arranjo de folhas em um galho, sementes de girassol ou pinhas, a série de Fibonacci se manifesta claramente e, portanto, a lei da seção áurea se manifesta;

O Senhor Todo-Poderoso estabeleceu uma medida especial para cada uma de Suas criações e deu proporcionalidade, o que é confirmado por exemplos encontrados na natureza. Pode-se citar muitos exemplos quando o processo de crescimento de organismos vivos ocorre em estrita conformidade com a forma de uma espiral logarítmica.

Todas as molas em uma bobina têm a mesma forma. Os matemáticos descobriram que, mesmo com o aumento do tamanho das molas, a forma da espiral permanece inalterada. Não há outra forma na matemática que tenha o mesmo propriedades únicas como uma espiral.

A estrutura das conchas do mar

Cientistas que estudaram as estruturas internas e estrutura externa conchas de moluscos de corpo mole que vivem no fundo dos mares declararam:

“A superfície interna das conchas é impecavelmente lisa, enquanto a superfície externa é coberta por rugosidades e irregularidades. O molusco estava na concha e, para isso, a superfície interna da concha deveria ser perfeitamente lisa. As dobras dos cantos externos da casca aumentam sua resistência, dureza e, portanto, aumentam sua resistência. A perfeição e incrível razoabilidade da estrutura da concha (caracol) encanta. A ideia espiral das conchas é uma forma geométrica perfeita e surpreendente em sua beleza polida.”

Na maioria dos caracóis que têm conchas, a concha cresce em uma espiral logarítmica. No entanto, não há dúvida de que essas criaturas irracionais não apenas não têm ideia sobre a espiral logarítmica, mas também não têm o conhecimento matemático mais simples para criar uma concha espiral para si mesmas.

Mas então como esses seres não inteligentes poderiam determinar e escolher para si mesmos a forma ideal de crescimento e existência na forma de uma concha espiral? Poderiam esses seres viventes a quem mundo dos cientistas chama de formas de vida primitivas, para calcular que a forma logarítmica da concha será ideal para sua existência?

Claro que não, porque tal plano não pode ser realizado sem a presença da razão e do conhecimento. Mas nem os moluscos primitivos nem a natureza inconsciente, que, no entanto, alguns cientistas chamam de criadora da vida na Terra (?!)

Tentando explicar a origem de tais até os mais forma primitiva a vida por uma confluência acidental de certas circunstâncias naturais é no mínimo absurda. É claro que este projeto é uma criação consciente.

O biólogo Sir D'Arkey Thompson chama esse tipo de crescimento de conchas do mar "Forma de Crescimento Gnomo".

Sir Thompson faz este comentário:

"Não há sistema mais simples do que o crescimento conchas do mar, que crescem e se expandem proporcionalmente, mantendo a mesma forma. A casca, o que há de mais incrível, cresce, mas nunca muda de forma.

O nautilus, medindo alguns centímetros de diâmetro, é o exemplo mais marcante do crescimento semelhante ao do gnomo. S. Morrison descreve esse processo de crescimento do nautilus, que até mesmo a mente humana parece bastante difícil de planejar:

“Dentro da concha do nautilus existem muitos quartos de departamentos com divisórias de madrepérola, e a própria concha interna é uma espiral que se expande a partir do centro. À medida que o nautilus cresce, outro cômodo cresce na frente da concha, mas já maior que o anterior, e as divisórias do cômodo deixado para trás são cobertas com uma camada de madrepérola. Assim, a espiral se expande proporcionalmente o tempo todo.”

Aqui estão apenas alguns tipos de conchas espirais que têm uma forma de crescimento logarítmica de acordo com seus nomes científicos:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Todos os restos fósseis descobertos de conchas também tinham uma forma espiral desenvolvida.

No entanto, a forma logarítmica de crescimento é encontrada no mundo animal, não apenas nos moluscos. Os chifres de antílopes, cabras selvagens, carneiros e outros animais semelhantes também se desenvolvem em forma de espiral de acordo com as leis da proporção áurea.

A proporção áurea no ouvido humano

No ouvido interno humano existe um órgão Cóclea ("Caracol"), que desempenha a função de transmitir vibração sonora. Essa estrutura semelhante a um osso é preenchida com fluido e também criada na forma de um caracol, contendo uma forma espiral logarítmica estável = 73º 43'.

Chifres e presas de animais se desenvolvendo em um padrão espiral

As presas dos elefantes e mamutes extintos, as garras dos leões e os bicos dos papagaios são formas logarítmicas e lembram a forma de um eixo que tende a se transformar em espiral. As aranhas sempre tecem suas teias em uma espiral logarítmica. A estrutura de microrganismos como o plâncton (espécies globigerinae, planorbis, vórtice, terebra, turitellae e trochida) também tem uma forma espiral.

A seção áurea na estrutura dos micromundos

As formas geométricas não se limitam a apenas um triângulo, quadrado, cinco ou hexágono. Se combinarmos essas figuras de várias maneiras umas com as outras, obteremos novas formas geométricas tridimensionais. Exemplos disso são figuras como um cubo ou uma pirâmide. No entanto, além deles, existem também outras figuras tridimensionais que não encontramos na vida cotidiana, e cujos nomes ouvimos, talvez pela primeira vez. Entre tais figuras tridimensionais pode-se citar um tetraedro (uma figura regular de quatro lados), um octaedro, um dodecaedro, um icosaedro, etc. O dodecaedro consiste em 13 pentágonos, o icosaedro em 20 triângulos. Os matemáticos observam que essas figuras são matematicamente muito fáceis de transformar e sua transformação ocorre de acordo com a fórmula da espiral logarítmica da seção áurea.

No microcosmo, formas logarítmicas tridimensionais construídas de acordo com proporções áureas são onipresentes. . Por exemplo, muitos vírus têm uma estrutura tridimensional forma geométrica icosaedro. Talvez o mais famoso desses vírus seja o vírus Adeno. A casca de proteína do vírus Adeno é formada por 252 unidades de células de proteína dispostas em uma determinada sequência. Em cada canto do icosaedro estão 12 unidades de células de proteína na forma de um prisma pentagonal, e estruturas semelhantes a pontas se estendem a partir desses cantos.

A proporção áurea na estrutura dos vírus foi descoberta pela primeira vez na década de 1950. cientistas do Birkbeck College de Londres A.Klug e D.Kaspar. 13 O vírus Polyo foi o primeiro a apresentar uma forma logarítmica. Verificou-se que a forma deste vírus é semelhante à do vírus Rhino 14.

Surge a pergunta: como os vírus formam formas tridimensionais tão complexas, cuja estrutura contém a seção áurea, que é bastante difícil de construir mesmo com nossa mente humana? O descobridor dessas formas de vírus, o virologista A. Klug faz o seguinte comentário:

“O Dr. Kaspar e eu mostramos que, para uma casca esférica de um vírus, a forma ideal é a simetria como a forma de um icosaedro. Esta ordem minimiza o número de elementos de conexão ... O máximo de cubos hemisféricos geodésicos de Buckminster Fuller são construídos de acordo com um princípio geométrico semelhante. 14 A instalação de tais cubos requer um esquema de explicação extremamente preciso e detalhado. Considerando que os próprios vírus inconscientes constroem uma casca tão complexa de unidades celulares de proteínas elásticas e flexíveis.