Como converter uma raiz quadrada em um número regular. Extraindo a raiz quadrada de um número com vários dígitos

Extrair uma raiz é a operação inversa da exponenciação. Ou seja, extraindo a raiz do número X, obtemos um número que, ao quadrado, dará o mesmo número X.

Extrair a raiz é uma operação bastante simples. Uma tabela de quadrados pode facilitar o trabalho de extração. Porque é impossível lembrar todos os quadrados e raízes de cor, e os números podem ser grandes.

Extraindo a raiz de um número

Extração raiz quadrada fora do número é simples. Além disso, isso pode ser feito não imediatamente, mas gradualmente. Por exemplo, tome a expressão √256. Inicialmente, é difícil para uma pessoa desconhecida dar uma resposta imediata. Então vamos dar os passos. Primeiro, dividimos apenas pelo número 4, do qual retiramos o quadrado selecionado como raiz.

Empate: √(64 4), então será equivalente a 2√64. E como você sabe, de acordo com a tabuada de multiplicação 64 = 8 8. A resposta será 2*8=16.

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Extração de raiz complexa

A raiz quadrada não pode ser calculada a partir de números negativos, porque qualquer número elevado ao quadrado é um número positivo!

Um número complexo é um número i cujo quadrado é -1. Isso é i2=-1.

Em matemática, existe um número que é obtido pela raiz do número -1.

Ou seja, é possível calcular a raiz de um número negativo, mas isso já se aplica à matemática superior, não à escola.

Considere um exemplo de tal extração de raiz: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculadora de raiz online

Com a ajuda de nossa calculadora, você pode calcular a extração de um número da raiz quadrada:

Convertendo expressões contendo a operação de extração da raiz

A essência da transformação de expressões radicais é decompor o número radical em números mais simples, dos quais a raiz pode ser extraída. Como 4, 9, 25 e assim por diante.

Vamos dar um exemplo, √625. Dividimos a expressão radical pelo número 5. Obtemos √(125 5), repetimos a operação √(25 25), mas sabemos que 25 é 52. Então a resposta é 5*5=25.

Mas há números para os quais a raiz não pode ser calculada por esse método e você só precisa saber a resposta ou ter uma tabela de quadrados à mão.

√289=√(17*17)=17

Resultado

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A matemática nasceu quando uma pessoa tomou consciência de si mesma e passou a se posicionar como uma unidade autônoma do mundo. O desejo de medir, comparar, calcular o que o cerca é o que sustenta uma das ciências fundamentais de nossos dias. No início, eram peças de matemática elementar, que possibilitavam conectar os números com suas expressões físicas, depois as conclusões começaram a ser apresentadas apenas teoricamente (devido à sua abstração), mas depois de um tempo, como disse um cientista, " matemática atingiu o teto da complexidade quando todos os números." O conceito de "raiz quadrada" surgiu em um momento em que poderia ser facilmente suportado por dados empíricos, indo além do plano dos cálculos.

Como tudo começou

A primeira menção da raiz, que em este momento denotado como √, foi registrado nos escritos dos matemáticos babilônicos, que lançaram as bases para a aritmética moderna. Claro, eles se pareciam um pouco com a forma atual - os cientistas daqueles anos usaram pela primeira vez comprimidos volumosos. Mas no segundo milênio aC. e. eles chegaram a uma fórmula de cálculo aproximada que mostrava como tirar a raiz quadrada. A foto abaixo mostra uma pedra na qual os cientistas babilônicos esculpiram o processo de saída √2, e acabou sendo tão correto que a discrepância na resposta foi encontrada apenas na décima casa decimal.

Além disso, a raiz era usada se fosse necessário encontrar o lado de um triângulo, desde que os outros dois fossem conhecidos. Bem, ao resolver equações quadráticas, não há como escapar de extrair a raiz.

Junto com as obras babilônicas, o objeto do artigo foi estudado na obra chinesa "Matemática em Nove Livros", e os antigos gregos chegaram à conclusão de que qualquer número do qual a raiz não é extraída sem um resto dá um resultado irracional.

A origem deste termo está associada à representação árabe do número: os antigos cientistas acreditavam que o quadrado de um número arbitrário cresce da raiz, como uma planta. Em latim, esta palavra soa como radix (pode-se traçar um padrão - tudo que tem uma carga semântica "raiz" é consoante, seja rabanete ou ciática).

Cientistas de gerações subsequentes pegaram essa ideia, designando-a como Rx. Por exemplo, no século 15, para indicar que a raiz quadrada é tirada de um número arbitrário a, eles escreveram R 2 a. O “tick” √, familiar ao visual moderno, surgiu apenas no século XVII graças a René Descartes.

Nossos dias

Matematicamente, a raiz quadrada de y é o número z cujo quadrado é y. Em outras palavras, z 2 =y é equivalente a √y=z. No entanto esta definição relevante apenas para a raiz aritmética, pois implica um valor não negativo da expressão. Em outras palavras, √y=z, onde z é maior ou igual a 0.

Em geral, o que é válido para determinar uma raiz algébrica, o valor de uma expressão pode ser positivo ou negativo. Assim, devido ao fato de z 2 =y e (-z) 2 =y, temos: √y=±z ou √y=|z|.

Devido ao fato de que o amor pela matemática só aumentou com o desenvolvimento da ciência, existem várias manifestações de afeto por ela, não expressas em cálculos secos. Por exemplo, juntamente com eventos interessantes como o dia de Pi, também são comemorados os feriados da raiz quadrada. Eles são celebrados nove vezes em cem anos e são determinados de acordo com o seguinte princípio: os números que denotam o dia e o mês em ordem devem ser a raiz quadrada do ano. Então, da próxima vez este feriado será comemorado em 4 de abril de 2016.

Propriedades da raiz quadrada no campo R

Quase todas as expressões matemáticas têm base geométrica, esse destino não passou e √y, que é definido como o lado de um quadrado com área y.

Como encontrar a raiz de um número?

Existem vários algoritmos de cálculo. O mais simples, mas ao mesmo tempo bastante complicado, é o cálculo aritmético usual, que é o seguinte:

1) do número cuja raiz precisamos, os números ímpares são subtraídos por sua vez - até que o restante da saída seja menor que o subtraído ou igual a zero. O número de movimentos acabará por se tornar o número desejado. Por exemplo, calculando a raiz quadrada de 25:

Seguindo número ímparé 11, temos o seguinte resto: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para tais casos, existe uma expansão em série de Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , onde n assume valores de 0 a

+∞, e |y|≤1.

Representação gráfica da função z=√y

Considere uma função elementar z=√y no corpo dos números reais R, onde y é maior ou igual a zero. O gráfico dela fica assim:

A curva cresce a partir da origem e necessariamente cruza o ponto (1; 1).

Propriedades da função z=√y no corpo dos números reais R

1. O domínio de definição da função considerada é o intervalo de zero a mais infinito (zero está incluído).

2. O intervalo de valores da função considerada é o intervalo de zero a mais infinito (zero é novamente incluído).

3. A função assume o valor mínimo (0) apenas no ponto (0; 0). Não há valor máximo.

4. A função z=√y não é par nem ímpar.

5. A função z=√y não é periódica.

6. Existe apenas um ponto de intersecção do gráfico da função z=√y com os eixos coordenados: (0; 0).

7. O ponto de intersecção do gráfico da função z=√y também é o zero desta função.

8. A função z=√y está crescendo continuamente.

9. A função z=√y assume apenas valores positivos, portanto, seu gráfico ocupa o primeiro ângulo coordenado.

Opções para exibir a função z=√y

Em matemática, para facilitar o cálculo de expressões complexas, às vezes é usada a forma de poder de escrever a raiz quadrada: √y=y 1/2. Esta opção é conveniente, por exemplo, para elevar uma função a uma potência: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Este método também é uma boa representação para a diferenciação com integração, pois graças a ele a raiz quadrada é representada por uma função potência ordinária.

E na programação, a substituição do símbolo √ é a combinação das letras sqrt.

Vale ressaltar que nessa área a raiz quadrada é muito procurada, pois faz parte da maioria das fórmulas geométricas necessárias para os cálculos. O algoritmo de contagem em si é bastante complicado e é baseado em recursão (uma função que chama a si mesma).

A raiz quadrada no corpo complexo C

De modo geral, foi o tema deste artigo que estimulou a descoberta do campo dos números complexos C, uma vez que os matemáticos eram perseguidos pela questão de obter uma raiz de grau par a partir de um número negativo. Assim surgiu a unidade imaginária i, que se caracteriza por uma propriedade muito interessante: seu quadrado é -1. Graças a isso, equações quadráticas e com discriminante negativo obtiveram solução. Em C, para a raiz quadrada, as mesmas propriedades são relevantes como em R, a única coisa é que as restrições na expressão da raiz são removidas.

Em matemática, a questão de como criar uma raiz é considerada relativamente fácil. Se elevarmos ao quadrado os números da série natural: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, obteremos a seguinte série de quadrados: 1, 4, 9, 16 ... n 2. A série de quadrados é infinita, e se você olhar atentamente para ela, verá que não há muitos inteiros nela. Por que isso é assim será explicado um pouco mais tarde.

A raiz do número: regras de cálculo e exemplos

Então, elevamos o número 2 ao quadrado, ou seja, multiplicamos por ele mesmo e obtivemos 4. Mas como tirar a raiz do número 4? Digamos imediatamente que as raízes podem ser quadradas, cúbicas e de qualquer grau até o infinito.

O grau da raiz é sempre um número natural, ou seja, é impossível resolver tal equação: a raiz elevada à potência de 3,6 de n.

Raiz quadrada

Vamos voltar à questão de como extrair a raiz quadrada de 4. Como elevamos o número 2 ao quadrado, também extrairemos a raiz quadrada. Para tirar corretamente a raiz de 4, você só precisa escolher o número certo que, ao quadrado, daria o número 4. E isso, claro, é 2. Veja o exemplo:

2 2 =4
Raiz de 4 = 2

Este exemplo é bem simples. Vamos tentar extrair a raiz quadrada de 64. Que número, quando multiplicado por ele mesmo, dá 64? Obviamente são 8.

8 2 =64
Raiz de 64=8

raiz cúbica

Como mencionado acima, as raízes não são apenas quadradas, usando um exemplo tentaremos explicar mais claramente como extrair uma raiz cúbica ou uma raiz de terceiro grau. O princípio de extrair uma raiz cúbica é o mesmo de uma raiz quadrada, a única diferença é que o número desejado foi inicialmente multiplicado por si mesmo não uma, mas duas vezes. Então, digamos que tomamos o seguinte exemplo:

3x3x3=27
Naturalmente, a raiz cúbica do número 27 será três:
Raiz 3 de 27 = 3

Suponha que você precise encontrar a raiz cúbica de 64. Para resolver essa equação, basta encontrar um número que, elevado à terceira potência, daria 64.

4 3 =64
Raiz 3 de 64 = 4

Extrair a raiz de um número em uma calculadora

Claro, é melhor aprender a extrair quadrado, cubo e outras potências pela prática, resolvendo muitos exemplos e memorizando uma tabela de quadrados e cubos de números pequenos. No futuro, isso facilitará muito e reduzirá o tempo de resolução de equações. Embora, deve-se notar que às vezes é necessário extrair a raiz de um número tão grande que custará muito trabalho, se for o caso, encontrar o número quadrado correto. Uma calculadora comum virá em socorro na extração da raiz quadrada. Como tirar uma raiz em uma calculadora? É muito simples inserir o número a partir do qual você deseja encontrar o resultado. Agora dê uma olhada nos botões da calculadora. Mesmo no mais simples deles, há uma chave com um ícone de raiz. Ao clicar nele, você obterá imediatamente o resultado final.

Nem todo número pode ser tomado como uma raiz inteira, considere o seguinte exemplo:

Raiz de 1859 = 43,116122…

Você pode tentar resolver este exemplo em uma calculadora em paralelo. Como você pode ver, o número resultante não é um inteiro; além disso, o conjunto de dígitos após o ponto decimal não é finito. Um resultado mais preciso pode ser dado por calculadoras especiais de engenharia, mas o resultado completo simplesmente não cabe na tela das calculadoras comuns. E se você continuar a série de quadrados que começou antes, não encontrará o número 1859 nela, precisamente porque o número que você elevou ao quadrado para obtê-lo não é um número inteiro.

Se você precisar extrair a raiz do terceiro grau em uma calculadora simples, precisará clicar duas vezes no botão com o sinal da raiz. Por exemplo, vamos pegar o número 1859 usado acima e extrair a raiz cúbica dele:

Raiz 3 de 1859 = 6,5662867…

Ou seja, se o número 6,5662867 ... for elevado à terceira potência, obteremos aproximadamente 1859. Assim, extrair raízes de números não é difícil, basta lembrar os algoritmos acima.

Fato 1.
\(\bullet\) Pegue algum número não negativo \(a\) (ou seja, \(a\geqslant 0\) ). Então (aritmética) raiz quadrada do número \(a\) tal número não negativo \(b\) é chamado, ao elevar ao quadrado obtemos o número \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(igual a )\quad a=b^2\] Segue da definição que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Essas restrições são uma condição importante para a existência de uma raiz quadrada e devem ser lembradas!
Lembre-se de que qualquer número elevado ao quadrado dá um resultado não negativo. Ou seja, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) O que é \(\sqrt(25)\) ? Sabemos que \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Como por definição temos que encontrar um número não negativo, \(-5\) não é adequado, portanto \(\sqrt(25)=5\) (já que \(25=5^2\) ).
Encontrar o valor \(\sqrt a\) é chamado de tirar a raiz quadrada do número \(a\) , e o número \(a\) é chamado de expressão raiz.
\(\bullet\) Com base na definição, as expressões \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. não faz sentido.

Fato 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender a tabela de quadrados de números naturais de \(1\) a \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fato 3.
O que pode ser feito com raízes quadradas?
\(\bala\) A soma ou diferença de raízes quadradas NÃO É IGUAL à raiz quadrada da soma ou diferença, ou seja, \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Assim, se você precisa calcular, por exemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , então inicialmente você deve encontrar os valores \(\sqrt(25)\) e \(\sqrt (49)\ ) e, em seguida, some-os. Consequentemente, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Se os valores \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) não puderem ser encontrados ao adicionar \(\sqrt a+\sqrt b\), essa expressão não será mais convertida e permanecerá como está. Por exemplo, na soma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar \(\sqrt(49)\) - isso é \(7\) , mas \(\sqrt 2\) não pode ser convertido de alguma forma, é por isso que \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Além disso, esta expressão, infelizmente, não pode ser simplificada de forma alguma.\(\bullet\) O produto/quociente de raízes quadradas é igual à raiz quadrada do produto/quociente, ou seja, \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (desde que ambas as partes das igualdades façam sentido)
Exemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando essas propriedades, é conveniente encontrar as raízes quadradas de grandes números fatorando-os.
Considere um exemplo. Localize \(\sqrt(44100)\) . Desde \(44100:100=441\) , então \(44100=100\cdot 441\) . De acordo com o critério de divisibilidade, o número \(441\) é divisível por \(9\) (já que a soma de seus dígitos é 9 e é divisível por 9), portanto, \(441:9=49\) , isto é, \(441=9\ cdot 49\) .
Assim, obtivemos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Vejamos outro exemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot\sqrt4\cdot\sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos mostrar como inserir números sob o sinal da raiz quadrada usando o exemplo da expressão \(5\sqrt2\) (abreviação da expressão \(5\cdot \sqrt2\) ). Como \(5=\sqrt(25)\) , então \ Observe também que, por exemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Por que é que? Vamos explicar com o exemplo 1). Como você já entendeu, não podemos de alguma forma converter o número \(\sqrt2\) . Imagine que \(\sqrt2\) seja algum número \(a\) . Assim, a expressão \(\sqrt2+3\sqrt2\) nada mais é do que \(a+3a\) (um número \(a\) mais três dos mesmos números \(a\) ). E sabemos que isso é igual a quatro desses números \(a\) , ou seja, \(4\sqrt2\) .

Fato 4.
\(\bullet\) Costuma-se dizer “não é possível extrair a raiz” quando não é possível se livrar do sinal \(\sqrt() \ \) da raiz (radical) ao encontrar o valor de algum número. Por exemplo, você pode enraizar o número \(16\) porque \(16=4^2\) , então \(\sqrt(16)=4\) . Mas extrair a raiz do número \(3\) , ou seja, encontrar \(\sqrt3\) , é impossível, porque não existe tal número que ao quadrado dará \(3\) .
Esses números (ou expressões com esses números) são irracionais. Por exemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. são irracionais.
Também irracionais são os números \(\pi\) (o número “pi”, aproximadamente igual a \(3,14\) ), \(e\) (esse número é chamado de número de Euler, aproximadamente igual a \(2 ,7\)) etc.
\(\bullet\) Observe que qualquer número será racional ou irracional. E juntos todos os números racionais e todos os irracionais formam um conjunto chamado conjunto de números reais (reais). Este conjunto é indicado pela letra \(\mathbb(R)\) .
Isso significa que todos os números que conhecemos atualmente são chamados de números reais.

Fato 5.
\(\bullet\) Módulo de um número real \(a\) é um número não negativo \(|a|\) igual à distância do ponto \(a\) a \(0\) no real linha. Por exemplo, \(|3|\) e \(|-3|\) são iguais a 3, pois as distâncias dos pontos \(3\) e \(-3\) a \(0\) são as igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) for um número não negativo, então \(|a|=a\) .
Exemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Se \(a\) for um número negativo, então \(|a|=-a\) .
Exemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Eles dizem que para números negativos, o módulo “come” o menos e números positivos, assim como o número \(0\) , o módulo permanece inalterado.
MAS esta regra só se aplica a números. Se você tiver um \(x\) desconhecido (ou algum outro desconhecido) sob o sinal do módulo, por exemplo, \(|x|\) , sobre o qual não sabemos se é positivo, igual a zero ou negativo, então se livrar do módulo que não podemos. Neste caso, esta expressão permanece assim: \(|x|\) . \(\bullet\) As seguintes fórmulas são válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornecido ) a\geqslant 0\] O seguinte erro é frequentemente cometido: eles dizem que \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) são a mesma coisa. Isso é verdade somente quando \(a\) é um número positivo ou zero. Mas se \(a\) for um número negativo, isso não é verdade. Basta considerar tal exemplo. Vamos pegar o número \(-1\) em vez de \(a\). Então \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mas a expressão \((\sqrt (-1))^2\) não existe (porque é impossível sob o sinal da raiz coloque números negativos!).
Portanto, chamamos sua atenção para o fato de que \(\sqrt(a^2)\) não é igual a \((\sqrt a)^2\) ! Exemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Porque \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Como \(\sqrt(a^2)=|a|\) , então \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (a expressão \(2n\) denota um número par)
Ou seja, ao extrair a raiz de um número que está em algum grau, esse grau é reduzido pela metade.
Exemplo:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observe que, se o módulo não estiver definido, a raiz do número será igual a \(-25 \) ; mas lembramos , que, por definição da raiz, isso não pode ser: ao extrair a raiz, devemos sempre obter um número positivo ou zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (já que qualquer número elevado a uma potência par é não negativo)

Fato 6.
Como comparar duas raízes quadradas?
\(\bullet\) Verdadeiro para raízes quadradas: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplo:
1) compare \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Primeiro, transformamos a segunda expressão em \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Assim, uma vez que \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Entre quais inteiros está \(\sqrt(50)\) ?
Como \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) e \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Compare \(\sqrt 2-1\) e \(0,5\) . Suponha que \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(alinhado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((adicione um a ambos os lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadrado ambas as partes))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vemos que obtivemos uma desigualdade incorreta. Portanto, nossa suposição estava errada e \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Observe que adicionar um certo número a ambos os lados da desigualdade não afeta seu sinal. Multiplicar/dividir ambas as partes da desigualdade por um número positivo também não afeta seu sinal, mas multiplicar/dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade!
Ambos os lados de uma equação/desigualdade podem ser elevados ao quadrado SOMENTE SE ambos os lados forem não negativos. Por exemplo, na desigualdade do exemplo anterior, você pode elevar ambos os lados ao quadrado, na desigualdade \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Observe que \[\begin(alinhado) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Saber o significado aproximado desses números ajudará você na comparação de números! \(\bullet\) Para extrair a raiz (se for extraída) de algum número grande que não está na tabela de quadrados, você deve primeiro determinar entre quais “centenas” está, depois entre quais “dezenas”, e, em seguida, determine o último dígito desse número. Vamos mostrar como funciona com um exemplo.
Pegue \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) e assim por diante. Observe que \(28224\) está entre \(10\,000\) e \(40\,000\) . Portanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) e \(200\) .
Agora vamos determinar entre quais “dezenas” nosso número está (isto é, por exemplo, entre \(120\) e \(130\) ). Também sabemos pela tabela de quadrados que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., então \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ). Então vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) e \(170^2\) . Portanto, o número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) e \(170\) .
Vamos tentar determinar o último dígito. Vamos lembrar quais números de um dígito ao quadrado dão no final \ (4 \) ? Estes são \(2^2\) e \(8^2\) . Portanto, \(\sqrt(28224)\) terminará em 2 ou 8. Vamos verificar isso. Encontre \(162^2\) e \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Portanto, \(\sqrt(28224)=168\) . Voilá!

Para resolver adequadamente o exame de matemática, antes de tudo, é necessário estudar o material teórico, que apresenta inúmeros teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. À primeira vista, pode parecer que isso é bastante simples. No entanto, encontrar uma fonte em que a teoria para o Exame Estadual Unificado em matemática seja apresentada de forma fácil e compreensível para alunos com qualquer nível de formação é, de fato, uma tarefa bastante difícil. Os livros escolares nem sempre podem ser mantidos à mão. E encontrar as fórmulas básicas para o exame de matemática pode ser difícil mesmo na Internet.

Por que é tão importante estudar teoria em matemática, não só para quem faz o exame?

Porque amplia seus horizontes. O estudo de material teórico em matemática é útil para quem deseja obter respostas a uma ampla gama de questões relacionadas ao conhecimento do mundo. Tudo na natureza é ordenado e tem uma lógica clara. É justamente isso que se reflete na ciência, por meio da qual é possível compreender o mundo.
Porque desenvolve o intelecto. Estudando materiais de referência para o exame de matemática, além de resolver vários problemas, uma pessoa aprende a pensar e raciocinar logicamente, a formular pensamentos de maneira correta e clara. Desenvolve a capacidade de analisar, generalizar, tirar conclusões.

Convidamo-lo a avaliar pessoalmente todas as vantagens da nossa abordagem à sistematização e apresentação de materiais educativos.

O cálculo (ou extração) da raiz quadrada pode ser feito de várias maneiras, mas nem todas são muito simples. É mais fácil, claro, recorrer à ajuda de uma calculadora. Mas se isso não for possível (ou você quiser entender a essência da raiz quadrada), posso aconselhá-lo a seguir o seguinte caminho, seu algoritmo é o seguinte:

Se você não tem força, desejo ou paciência para cálculos tão longos, pode recorrer a uma seleção grosseira, sua vantagem é que é incrivelmente rápida e, com a devida ingenuidade, precisa. Exemplo:

Quando eu estava na escola (no início dos anos 60), fomos ensinados a tirar a raiz quadrada de qualquer número. A técnica é simples, aparentemente semelhante à divisão de colunas, mas para explicá-la aqui, levará meia hora de tempo e 4-5 mil caracteres de texto. Mas por que você precisa disso? Você tem um telefone ou outro gadget, há uma calculadora em nm. Há uma calculadora em cada computador. Pessoalmente, prefiro fazer esse tipo de cálculo no Excel.

Muitas vezes, na escola, é necessário encontrar as raízes quadradas de diferentes números. Mas se estamos acostumados a usar uma calculadora o tempo todo para isso, não haverá essa oportunidade nos exames, então você precisa aprender a procurar a raiz sem a ajuda de uma calculadora. E é, em princípio, possível fazê-lo.

O algoritmo é:

Olhe primeiro para o último dígito do seu número:

Por exemplo,

Agora você precisa determinar aproximadamente o valor da raiz do grupo mais à esquerda

No caso em que o número tem mais de dois grupos, você precisa encontrar a raiz assim:

Mas o próximo número deve ser exatamente o maior, você precisa pegá-lo assim:

Agora precisamos formar um novo número A adicionando ao resto que foi obtido acima, o próximo grupo.

Em nossos exemplos:

Uma coluna de najna, e quando mais de quinze caracteres são necessários, os computadores e telefones com calculadoras geralmente descansam. Resta verificar se a descrição da metodologia levará de 4 a 5 mil caracteres.

Berm qualquer número, de uma vírgula contamos pares de dígitos à direita e à esquerda

Por exemplo, 1234567890.098765432100

Um par de dígitos é como um número de dois dígitos. A raiz de um dígito de dois dígitos é injetora. Selecionamos um de valor único, cujo quadrado é menor que o primeiro par de dígitos. No nosso caso é 3.

Como ao dividir por uma coluna, sob o primeiro par escrevemos este quadrado e subtraímos do primeiro par. O resultado está sublinhado. 12 - 9 = 3. Adicione um segundo par de dígitos a essa diferença (será 334). À esquerda do número de bermas, o valor dobrado da parte do resultado que já foi encontrado é complementado com um dígito (temos 2 * 6 = 6), tal que quando multiplicado pelo número não recebido, não não exceda o número com o segundo par de dígitos. Temos que o número encontrado é cinco. Novamente encontramos a diferença (9), demolimos o próximo par de dígitos, obtendo 956, novamente escrevemos a parte dobrada do resultado (70), novamente adicionamos o dígito necessário e assim por diante até parar. Ou para a precisão necessária dos cálculos.

Em primeiro lugar, para calcular a raiz quadrada, você precisa conhecer bem a tabuada. Os exemplos mais simples são 25 (5 por 5 = 25) e assim por diante. Se considerarmos os números mais complicados, podemos usar esta tabela, onde há unidades na horizontal e dezenas na vertical.

Existe uma boa maneira de encontrar a raiz de um número sem a ajuda de calculadoras. Para fazer isso, você precisará de uma régua e um compasso. A linha inferior é que você encontra na régua o valor que você tem sob a raiz. Por exemplo, coloque uma marca perto de 9. Sua tarefa é dividir esse número em um número igual de segmentos, ou seja, em duas linhas de 4,5 cm cada, e em um segmento par. É fácil adivinhar que, no final, você obterá 3 segmentos de 3 centímetros.

O método não é fácil e não funcionará para números grandes, mas é considerado sem uma calculadora.

sem a ajuda de uma calculadora, o método de extrair a raiz quadrada foi ensinado em tempos soviéticos na escola na 8ª série.

Para fazer isso, você precisa quebrar um número de vários dígitos da direita para a esquerda em faces de 2 dígitos :

O primeiro dígito da raiz é a raiz inteira do lado esquerdo, neste caso 5.

Subtraia 5 ao quadrado de 31, 31-25=6 e adicione a próxima face ao seis, temos 678.

O próximo dígito x é selecionado para dobrar os cinco, de modo que

10x*x foi o máximo, mas inferior a 678.

x=6 porque 106*6=636,

agora calculamos 678 - 636 = 42 e somamos a próxima face 92, temos 4292.

Novamente estamos procurando o máximo x, tal que 112x*x lt; 4292.

Resposta: a raiz é 563

Assim você pode continuar o quanto quiser.

Em alguns casos, você pode tentar expandir o número raiz em dois ou mais fatores quadrados.

Também é útil lembrar da tabela (ou pelo menos parte dela) - os quadrados dos números naturais de 10 a 99.

Proponho uma variante de extrair a raiz quadrada em uma coluna que inventei. Difere do conhecido, exceto pela seleção de números. Mas, como descobri mais tarde, esse método já existia muitos anos antes do meu nascimento. O grande Isaac Newton descreveu em seu livro General Arithmetic ou um livro sobre síntese e análise aritmética. Então aqui apresento minha visão e justificativa para o algoritmo do método de Newton. Você não precisa memorizar o algoritmo. Você pode simplesmente usar o diagrama na figura como um auxílio visual, se necessário.

Com a ajuda de tabelas, você não pode calcular, mas encontrar, as raízes quadradas apenas a partir dos números que estão nas tabelas. A maneira mais fácil de calcular as raízes não é apenas quadrada, mas também outros graus, pelo método de aproximações sucessivas. Por exemplo, calculamos a raiz quadrada de 10739, substituímos os três últimos dígitos por zeros e extraímos a raiz de 10000, obtemos 100 com desvantagem, então pegamos o número 102 e elevamos ao quadrado, obtemos 10404, que também é menor do que o especificado, pegamos 103*103=10609 novamente com uma desvantagem, pegamos 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, pegamos ainda mais 103,6 * 103,6 \u003d 10732, pegamos 103,7 * 103,7 \u003d 10753,69, que já está em excesso. Você pode tomar a raiz quadrada de 10739 para ser aproximadamente igual a 103,6. Mais precisamente 10739=103,629... . . Da mesma forma, calculamos a raiz cúbica, primeiro de 10000 obtemos aproximadamente 25 * 25 * 25 = 15625, que é em excesso, pegamos 22 * 22 * 22 = 10,648, pegamos um pouco mais de 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, que é muito próximo ao dado.