Como calcular a raiz de um número. Extraindo uma raiz de um grande número

A matemática nasceu quando uma pessoa tomou consciência de si mesma e passou a se posicionar como uma unidade autônoma do mundo. O desejo de medir, comparar, calcular o que o rodeia - é isso que sustenta uma das ciências fundamentais de nossos dias. No início, eram partículas da matemática elementar, que possibilitavam conectar os números com suas expressões físicas, depois as conclusões começaram a ser apresentadas apenas teoricamente (por causa de sua abstração), mas depois de um tempo, como disse um cientista, " matemática atingiu o teto da complexidade quando todos os números." O conceito de "raiz quadrada" surgiu em um momento em que poderia ser facilmente suportado por dados empíricos, indo além do plano dos cálculos.

Como tudo começou

A primeira menção da raiz, que em este momento denotado como √, foi registrado nos escritos dos matemáticos babilônicos, que lançaram as bases para a aritmética moderna. Claro, eles se pareciam um pouco com a forma atual - os cientistas daqueles anos usaram pela primeira vez comprimidos volumosos. Mas no segundo milênio aC. e. eles chegaram a uma fórmula de cálculo aproximada que mostrava como tirar a raiz quadrada. A foto abaixo mostra uma pedra na qual os cientistas babilônicos esculpiram o processo de saída √2, e acabou sendo tão correto que a discrepância na resposta foi encontrada apenas na décima casa decimal.

Além disso, a raiz era usada se fosse necessário encontrar o lado de um triângulo, desde que os outros dois fossem conhecidos. Bem, ao resolver equações quadráticas, não há como escapar de extrair a raiz.

Junto com as obras babilônicas, o assunto do artigo também foi estudado na obra chinesa "Matemática em Nove Livros", e os antigos gregos chegaram à conclusão de que qualquer número do qual a raiz não é extraída sem um resto dá um resultado irracional .

A origem deste termo está associada à representação árabe do número: os antigos cientistas acreditavam que o quadrado de um número arbitrário cresce da raiz, como uma planta. Em latim, esta palavra soa como radix (pode-se traçar um padrão - tudo que tem uma carga semântica "raiz" é consoante, seja rabanete ou ciática).

Cientistas de gerações subsequentes pegaram essa ideia, designando-a como Rx. Por exemplo, no século 15, para indicar que a raiz quadrada é tirada de um número arbitrário a, eles escreveram R 2 a. O “tick” √, familiar ao visual moderno, surgiu apenas no século XVII graças a René Descartes.

Nossos dias

Matematicamente, a raiz quadrada de y é o número z cujo quadrado é y. Em outras palavras, z 2 =y é equivalente a √y=z. No entanto esta definição relevante apenas para a raiz aritmética, pois implica um valor não negativo da expressão. Em outras palavras, √y=z, onde z é maior ou igual a 0.

Em geral, o que é válido para determinar uma raiz algébrica, o valor de uma expressão pode ser positivo ou negativo. Assim, devido ao fato de z 2 =y e (-z) 2 =y, temos: √y=±z ou √y=|z|.

Devido ao fato de que o amor pela matemática só aumentou com o desenvolvimento da ciência, existem várias manifestações de afeto por ela, não expressas em cálculos secos. Por exemplo, juntamente com eventos interessantes como o dia de Pi, também são comemorados os feriados da raiz quadrada. Eles são celebrados nove vezes em cem anos e são determinados de acordo com o seguinte princípio: os números que denotam o dia e o mês em ordem devem ser a raiz quadrada do ano. Então, da próxima vez este feriado será comemorado em 4 de abril de 2016.

Propriedades da raiz quadrada no campo R

Quase todas as expressões matemáticas têm base geométrica, esse destino não passou e √y, que é definido como o lado de um quadrado com área y.

Como encontrar a raiz de um número?

Existem vários algoritmos de cálculo. O mais simples, mas ao mesmo tempo bastante complicado, é o cálculo aritmético usual, que é o seguinte:

1) do número cuja raiz precisamos, os números ímpares são subtraídos por sua vez - até que o restante da saída seja menor que o subtraído ou igual a zero. O número de movimentos acabará por se tornar o número desejado. Por exemplo, o cálculo raiz quadrada de 25:

Seguindo número ímparé 11, temos o seguinte resto: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para tais casos, existe uma expansão em série de Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , onde n assume valores de 0 a

+∞, e |y|≤1.

Representação gráfica da função z=√y

Considere uma função elementar z=√y no corpo dos números reais R, onde y é maior ou igual a zero. O gráfico dela fica assim:

A curva cresce a partir da origem e necessariamente cruza o ponto (1; 1).

Propriedades da função z=√y no corpo dos números reais R

1. O domínio de definição da função considerada é o intervalo de zero a mais infinito (zero está incluído).

2. O intervalo de valores da função considerada é o intervalo de zero a mais infinito (zero é novamente incluído).

3. A função assume o valor mínimo (0) apenas no ponto (0; 0). Não há valor máximo.

4. A função z=√y não é par nem ímpar.

5. A função z=√y não é periódica.

6. Existe apenas um ponto de intersecção do gráfico da função z=√y com os eixos coordenados: (0; 0).

7. O ponto de intersecção do gráfico da função z=√y também é o zero desta função.

8. A função z=√y está crescendo continuamente.

9. A função z=√y assume apenas valores positivos, portanto, seu gráfico ocupa o primeiro ângulo coordenado.

Opções para exibir a função z=√y

Em matemática, para facilitar o cálculo de expressões complexas, às vezes é usada a forma de poder de escrever a raiz quadrada: √y=y 1/2. Esta opção é conveniente, por exemplo, para elevar uma função a uma potência: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Este método também é uma boa representação para diferenciação com integração, pois graças a ele a raiz quadrada é representada por uma função potência ordinária.

E na programação, a substituição do símbolo √ é a combinação das letras sqrt.

Vale ressaltar que nessa área a raiz quadrada é muito procurada, pois faz parte da maioria das fórmulas geométricas necessárias para os cálculos. O algoritmo de contagem em si é bastante complicado e é baseado em recursão (uma função que chama a si mesma).

A raiz quadrada no corpo complexo C

De modo geral, foi o tema deste artigo que estimulou a descoberta do campo dos números complexos C, uma vez que os matemáticos eram perseguidos pela questão de obter uma raiz de grau par a partir de um número negativo. Assim surgiu a unidade imaginária i, que se caracteriza por uma propriedade muito interessante: seu quadrado é -1. Graças a isso, equações quadráticas e com discriminante negativo obtiveram solução. Em C, para a raiz quadrada, as mesmas propriedades são relevantes como em R, a única coisa é que as restrições na expressão da raiz são removidas.

Ao resolver vários problemas do curso de matemática e física, alunos e alunos muitas vezes se deparam com a necessidade de extrair raízes do segundo, terceiro ou enésimo grau. Obviamente, na era da tecnologia da informação, não será difícil resolver esse problema com uma calculadora. No entanto, existem situações em que é impossível usar um assistente eletrônico.

Por exemplo, é proibido levar eletrônicos para muitos exames. Além disso, a calculadora pode não estar à mão. Nesses casos, é útil conhecer pelo menos alguns métodos para calcular manualmente os radicais.

Uma das maneiras mais simples de calcular raízes é usando uma mesa especial. O que é e como usá-lo corretamente?

Usando a tabela, você pode encontrar o quadrado de qualquer número de 10 a 99. Ao mesmo tempo, as linhas da tabela contêm valores de dezenas e as colunas contêm valores unitários. A célula na interseção de uma linha e uma coluna contém o quadrado de um número de dois dígitos. Para calcular o quadrado de 63, você precisa encontrar uma linha com valor 6 e uma coluna com valor 3. Na interseção, encontramos uma célula com o número 3969.

Como extrair a raiz é a operação inversa do quadrado, para realizar esta ação, você deve fazer o contrário: primeiro encontre a célula com o número cujo radical você deseja calcular, depois determine a resposta a partir dos valores da coluna e da linha. Como exemplo, considere o cálculo da raiz quadrada de 169.

Encontramos uma célula com este número na tabela, horizontalmente determinamos as dezenas - 1, verticalmente encontramos as unidades - 3. Resposta: √169 = 13.

Da mesma forma, você pode calcular as raízes do grau cúbico e n, usando as tabelas apropriadas.

A vantagem do método é a sua simplicidade e a ausência de cálculos adicionais. As desvantagens são óbvias: o método só pode ser usado para um intervalo limitado de números (o número para o qual a raiz é encontrada deve estar entre 100 e 9801). Além disso, não funcionará se o número fornecido não estiver na tabela.

Fatoração primária

Se a tabela de quadrados não estiver à mão ou com sua ajuda foi impossível encontrar a raiz, você pode tentar decompor o número sob a raiz em fatores primos. Fatores primos são aqueles que podem ser completamente (sem resto) divididos apenas por ele mesmo ou por um. Exemplos seriam 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Considere o cálculo da raiz usando o exemplo √576. Vamos decompô-lo em fatores simples. Obtemos o seguinte resultado: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Usando a propriedade principal das raízes √a² = a, nos livramos das raízes e quadrados, após o que calculamos a resposta: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

O que fazer se algum dos fatores não tiver seu próprio par? Por exemplo, considere o cálculo de √54. Após a fatoração, obtemos o resultado da seguinte forma: A parte não removível pode ser deixada sob a raiz. Para a maioria dos problemas de geometria e álgebra, essa resposta será contada como a final. Mas se houver necessidade de calcular valores aproximados, você pode usar os métodos que serão discutidos posteriormente.

O método de Heron

O que fazer quando você precisa saber pelo menos aproximadamente qual é a raiz extraída (se for impossível obter um valor inteiro)? Um resultado rápido e bastante preciso é obtido pela aplicação do método Heron.. Sua essência está no uso de uma fórmula aproximada:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

onde R é o número cuja raiz deve ser calculada, a é o número mais próximo cujo valor da raiz é conhecido.

Vamos ver como o método funciona na prática e avaliar o quão preciso ele é. Vamos calcular a que √111 é igual. O número mais próximo de 111, cuja raiz é conhecida, é 121. Assim, R = 111, a = 121. Substitua os valores na fórmula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Agora vamos verificar a precisão do método:

10,55² = 111,3025.

O erro do método foi de aproximadamente 0,3. Se a precisão do método precisar ser melhorada, você pode repetir as etapas descritas anteriormente:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Vamos verificar a precisão do cálculo:

10,536² = 111,0073.

Após a aplicação repetida da fórmula, o erro tornou-se bastante insignificante.

Cálculo da raiz por divisão em uma coluna

Este método de encontrar o valor da raiz quadrada é um pouco mais complicado do que os anteriores. No entanto, é o mais preciso entre outros métodos de cálculo sem calculadora..

Digamos que você precise encontrar a raiz quadrada com uma precisão de 4 casas decimais. Vamos analisar o algoritmo de cálculo usando o exemplo de um número arbitrário 1308,1912.

1. Divida a folha de papel em 2 partes com uma linha vertical e, em seguida, desenhe outra linha à direita, ligeiramente abaixo da borda superior. Escrevemos o número no lado esquerdo, dividindo-o em grupos de 2 dígitos, movendo-se para a direita e esquerda do ponto decimal. O primeiro dígito à esquerda pode ser sem um par. Se o sinal estiver faltando no lado direito do número, deve-se adicionar 0. No nosso caso, obtemos 13 08.19 12.
2. Vamos selecionar o maior número cujo quadrado será menor ou igual ao primeiro grupo de dígitos. No nosso caso, é 3. Vamos escrevê-lo no canto superior direito; 3 é o primeiro dígito do resultado. No canto inferior direito, indicamos 3 × 3 = 9; isso será necessário para cálculos subseqüentes. Subtraia 9 de 13 em uma coluna, obtemos o restante 4.
3. Vamos adicionar o próximo par de números ao resto 4; obtemos 408.
4. Multiplique o número no canto superior direito por 2 e escreva-o no canto inferior direito, adicionando _ x _ = a ele. Obtemos 6_ x _ =.
5. Em vez de traços, você precisa substituir o mesmo número, menor ou igual a 408. Obtemos 66 × 6 \u003d 396. Vamos escrever 6 no canto superior direito, pois esse é o segundo dígito do resultado. Subtraia 396 de 408, obtemos 12.
6. Vamos repetir os passos 3-6. Como os números carregados para baixo estão na parte fracionária do número, é necessário colocar uma vírgula no canto superior direito após 6. Vamos escrever o resultado dobrado com traços: 72_ x _ =. Um número adequado seria 1: 721 × 1 = 721. Vamos escrevê-lo como resposta. Vamos subtrair 1219 - 721 = 498.
7. Vamos executar a sequência de ações dada no parágrafo anterior mais três vezes para obter o número necessário de casas decimais. Se não houver sinais suficientes para cálculos adicionais, dois zeros devem ser adicionados ao número atual à esquerda.

Como resultado, obtemos a resposta: √1308,1912 ≈ 36,1689. Se você verificar a ação com uma calculadora, poderá certificar-se de que todos os caracteres foram determinados corretamente.

Cálculo bit a bit do valor da raiz quadrada

O método é altamente preciso. Além disso, é bastante compreensível e não requer a memorização de fórmulas ou um algoritmo complexo de ações, pois a essência do método é selecionar o resultado correto.

Vamos extrair a raiz do número 781. Vamos considerar em detalhes a sequência de ações.

1. Descubra qual dígito do valor da raiz quadrada será o mais alto. Para fazer isso, vamos ao quadrado 0, 10, 100, 1000, etc. e descobrir entre qual deles o número raiz está localizado. Temos esse 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Vamos pegar o valor de dezenas. Para fazer isso, vamos nos revezando elevando à potência de 10, 20, ..., 90, até obter um número maior que 781. Para o nosso caso, obtemos 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. O valor do resultado n estará dentro de 20< n <30.
3. Da mesma forma que na etapa anterior, o valor do dígito das unidades é selecionado. Alternadamente, elevamos ao quadrado 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Obtemos que 27< n < 28.
4. Cada dígito subsequente (décimas, centésimas, etc.) é calculado da mesma forma mostrada acima. Os cálculos são realizados até que a precisão necessária seja alcançada.

No círculo ela mostrou como as raízes quadradas podem ser extraídas em uma coluna. Você pode calcular a raiz com precisão arbitrária, encontrar quantos dígitos quiser em sua notação decimal, mesmo que seja irracional. O algoritmo foi lembrado, mas as perguntas permaneceram. Não ficou claro de onde veio o método e por que ele dá o resultado correto. Isso não estava nos livros, ou talvez eu estivesse apenas procurando nos livros errados. Como resultado, como muito do que sei e posso fazer hoje, eu mesmo o trouxe. Compartilho aqui meus conhecimentos. A propósito, ainda não sei onde é dada a justificativa para o algoritmo)))

Então, primeiro, com um exemplo, eu conto “como o sistema funciona”, e depois explico porque ele realmente funciona.

Vamos pegar um número (o número é tirado “do teto”, apenas me veio à mente).

1. Dividimos seus números em pares: aqueles que estão à esquerda do ponto decimal, agrupamos dois da direita para a esquerda e os da direita - dois da esquerda para a direita. Nós temos .

2. Extraímos a raiz quadrada do primeiro grupo de dígitos à esquerda - no nosso caso é (é claro que a raiz exata não pode ser extraída, pegamos o número cujo quadrado é o mais próximo possível do nosso número formado pelo primeiro grupo de dígitos, mas não o excede). No nosso caso, este será um número. Escrevemos em resposta - este é o dígito mais alto da raiz.

3. Aumentamos o número que já está na resposta - isto é - ao quadrado e subtraímos do primeiro grupo de números à esquerda - do número. No nosso caso, fica

4. Atribuímos o seguinte grupo de dois números à direita: . O número já na resposta é multiplicado por , obtemos .

5. Agora observe atentamente. Precisamos adicionar um dígito ao número à direita e multiplicar o número por , ou seja, pelo mesmo dígito atribuído. O resultado deve ser o mais próximo possível de , mas novamente não mais do que esse número. No nosso caso, este será um número, escrevemos em resposta ao lado, à direita. Este é o próximo dígito na notação decimal para nossa raiz quadrada.

6. Subtraindo o produto de , obtemos .

7. Em seguida, repetimos as operações familiares: atribuímos o seguinte grupo de dígitos à direita, multiplicamos por, ao número resultante > atribuímos um dígito à direita, de modo que, quando multiplicado por ele, obtemos um número menor, mas mais próximo a ele - este é o dígito - o próximo dígito em notação decimal da raiz.

Os cálculos serão escritos da seguinte forma:

E agora a explicação prometida. O algoritmo é baseado na fórmula

Comentários: 50

1. 2 Antônio:

   Muito bagunçado e confuso. Divida tudo e numere-os. Mais: explique onde em cada ação substituímos os valores necessários. Eu nunca calculei a raiz em uma coluna antes - descobri com dificuldade.

2. 5 Júlia:

3. 6 :

   Julia, 23 atualmente está escrito à direita, esses são os dois primeiros (esquerda) já recebidos dígitos da raiz que estão na resposta. Multiplicamos por 2 de acordo com o algoritmo. Repetimos os passos descritos no parágrafo 4.

4. 7zzz:

   erro em “6. De 167 subtraímos o produto 43 * 3 = 123 (129 nada), obtemos 38.”
   não está claro como depois da vírgula ficou 08 ...

5. 9 Fedotov Alexandre:

   E mesmo na era pré-calculadora, nos ensinavam na escola não apenas o quadrado, mas também a raiz cúbica em uma coluna para extrair, mas esse é um trabalho mais tedioso e meticuloso. Era mais fácil usar as tabelas Bradis ou a régua de cálculo, que já estudamos no ensino médio.

6. 10 :

   Alexander, você está certo, você pode extrair em uma coluna e raízes de grandes graus. Vou escrever apenas sobre como encontrar a raiz cúbica.

7. 12 Sergey Valentinovich:

   Querida Elizabeth Alexandrovna! No final dos anos 70, desenvolvi um esquema para cálculo automático (ou seja, não por seleção) de quadrados. root na máquina de somar Felix. Caso tenha interesse, posso enviar uma descrição.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Extrair a raiz quadrada em uma coluna)))
   O algoritmo é simplificado se você usar o 2º sistema numérico, que é estudado em ciência da computação, mas também é útil em matemática. UM. Kolmogorov citou esse algoritmo em palestras populares para crianças em idade escolar. Seu artigo pode ser encontrado na “Coleção Chebyshev” (Mathematical Journal, procure um link para ele na Internet)
   Para a ocasião, diga:
   G. Leibniz uma vez apressou-se com a ideia de fazer a transição do 10º sistema numérico para o binário devido à sua simplicidade e acessibilidade para iniciantes (escolares juniores). Mas quebrar as tradições estabelecidas é como quebrar os portões da fortaleza com a testa: é possível, mas é inútil. Acontece que, segundo o filósofo barbudo mais citado nos velhos tempos: as tradições de todas as gerações mortas suprimem a consciência dos vivos.

   Vejo você na próxima vez.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, sim, estou interessado ... ((

   Aposto que esta é uma variação de Félix do método babilônico de extrair o cavalo quadrado por aproximações sucessivas. Este algoritmo foi substituído pelo método de Newton (método tangente)

   Gostaria de saber se cometi um erro na previsão?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Sim, o algoritmo em binário deveria ser mais simples, isso é bem óbvio.

    Sobre o método de Newton. Talvez seja, mas ainda é interessante

11. 20 Cirilo:

    Muito obrigado. Mas o algoritmo ainda não existe, não se sabe de onde veio, mas o resultado está correto. MUITO OBRIGADO! tava procurando isso a muito tempo

12. 21 Alexandre:

    E como será a extração da raiz de um número, onde o segundo grupo da esquerda para a direita é muito pequeno? por exemplo, o número favorito de todos é 4 398 046 511 104. após a primeira subtração, é impossível continuar tudo de acordo com o algoritmo. Você pode explicar por favor.

13. 22 Alexei:

    Sim, eu conheço assim. Lembro-me de lê-lo no livro "Álgebra" de alguma edição antiga. Então, por analogia, ele mesmo deduziu como extrair a raiz cúbica na mesma coluna. Mas aí já é mais complicado: cada dígito não é mais determinado em um (como para um quadrado), mas em duas subtrações, e mesmo aí cada vez que você precisa multiplicar números longos.

14. 23 Artem:

    Há erros de digitação no exemplo de tirar a raiz quadrada de 56789,321. O grupo de números 32 é atribuído duas vezes aos números 145 e 243, no número 2388025 o segundo 8 deve ser substituído por 3. Em seguida, a última subtração deve ser escrita da seguinte forma: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Além disso, ao dividir o resto pelo valor dobrado da resposta (excluindo a vírgula), obtemos um número adicional de dígitos significativos (47975/(2*238305) = 0,100658819…), que deve ser adicionado à resposta (√56789.321 = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Aparentemente, o algoritmo veio do livro de Isaac Newton "Aritmética geral ou um livro sobre síntese e análise aritmética". Aqui está um trecho dele:

    SOBRE O ROOTS

    Para extrair a raiz quadrada de um número, em primeiro lugar, você deve colocar um ponto sobre seus números através de um, começando pelas unidades. Então é necessário escrever no quociente ou na raiz o número cujo quadrado é igual ou mais próximo em defeito aos números ou algarismos que precedem o primeiro ponto. Depois de subtrair este quadrado, os algarismos restantes da raiz serão encontrados sucessivamente dividindo o resto por duas vezes o valor da parte já extraída da raiz e subtraindo cada vez do resto do quadrado o último algarismo encontrado e seu produto dez vezes por o divisor nomeado.

16. 25 Sergey:

    Corrija o título do livro “Aritmética geral ou um livro sobre síntese e análise aritmética”

17. 26 Alexandre:

    Obrigado pelo conteúdo interessante. Mas esse método me parece um pouco mais complicado do que é necessário, por exemplo, para um estudante. Eu uso um método mais simples baseado na expansão de uma função quadrática usando as duas primeiras derivadas. Sua fórmula é:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 onde
    A1 é um inteiro cujo quadrado está mais próximo de x;
    A2 é uma fração, no numerador x-A1, no denominador 2*A1.
    Para a maioria dos números encontrados no curso escolar, isso é suficiente para obter um resultado preciso ao centésimo.
    Se você precisar de um resultado mais preciso, tome
    A3 é uma fração, no numerador A2 ao quadrado, no denominador 2 * A1 + 1.
    Claro, você precisa de uma tabela de quadrados de inteiros para aplicar, mas isso não é um problema na escola. Lembrar dessa fórmula é bem simples.
    No entanto, me confunde que eu obtive A3 empiricamente como resultado de experimentos com uma planilha e não entendo muito bem por que esse termo tem essa forma. Talvez você possa aconselhar?

18. 27 Alexandre:

    Sim, também considerei essas considerações, mas o diabo está nos detalhes. Você escreve:
    “porque a2 e b já diferem bastante.” A questão é exatamente quão pouco.
    Esta fórmula funciona bem nos números da segunda dezena e muito pior (não até centésimos, apenas até décimos) nos números da primeira dezena. Por que isso acontece já é difícil de entender sem envolver derivativos.

19. 28 Alexandre:

    Vou esclarecer onde vejo a vantagem da fórmula que propus. Não requer a divisão não muito natural de números em pares de dígitos, o que, como mostra a experiência, muitas vezes é realizado com erros. Seu significado é óbvio, mas para uma pessoa familiarizada com a análise, é trivial. Funciona bem em números de 100 a 1000, os mais comuns na escola.

20. 29 Alexandre:

    A propósito, fiz algumas pesquisas e encontrei a expressão exata para A3 na minha fórmula:
    A3= A22/2(A1+A2)

21. 30 vasos stryzhak:

    Em nosso tempo, o uso generalizado da tecnologia computacional, a questão de extrair um cavalo quadrado de um número do ponto de vista prático não vale a pena. Mas para os amantes da matemática, é claro, várias opções para resolver esse problema são interessantes. No currículo escolar, o método desse cálculo sem atrair fundos adicionais deve ocorrer em pé de igualdade com a multiplicação e a divisão em uma coluna. O algoritmo de cálculo deve ser não apenas memorizado, mas também compreensível. O método clássico disponibilizado neste material para discussão com a divulgação da essência atende integralmente aos critérios acima.
    Uma desvantagem significativa do método proposto por Alexander é o uso de uma tabela de quadrados de inteiros. Por que a maioria dos números encontrados no curso escolar é limitado, o autor se cala. Quanto à fórmula, no geral ela me impressiona pela precisão relativamente alta do cálculo.

22. 31 Alexandre:

    por 30 vasil stryzhak
    Eu não perdi nada. Supõe-se que a tabela de quadrados seja de até 1000. No meu tempo na escola, eles simplesmente memorizavam na escola e estava em todos os livros didáticos de matemática. Denominei explicitamente esse intervalo.
    Quanto à informática, ela não é usada principalmente nas aulas de matemática, a menos que haja um tópico especial de uso de calculadora. As calculadoras agora são incorporadas a dispositivos proibidos para uso no exame.

23. 32 vasos stryzhak:

    Alexander, obrigado pelo esclarecimento! Achei que para o método proposto é teoricamente necessário lembrar ou usar a tabela de quadrados de todos os números de dois dígitos. Então, para números radicais não incluídos no intervalo de 100 a 10000, você pode usar o método de aumentá-los ou diminuí-los pelo número necessário de pedidos movendo a vírgula.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDRE:

    MEU PRIMEIRO PROGRAMA NA LINGUAGEM "YAMB" NA MÁQUINA SOVIÉTICA "ISKRA 555" FOI ESCRITO PARA EXTRAIR A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO DE ACORDO COM A EXTRAÇÃO PARA UM ALGORITMO DE COLUNA! e agora eu esqueci como extraí-lo manualmente!

Em matemática, a questão de como criar uma raiz é considerada relativamente fácil. Se elevarmos ao quadrado os números da série natural: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, obteremos a seguinte série de quadrados: 1, 4, 9, 16 ... n 2. A série de quadrados é infinita, e se você olhar atentamente para ela, verá que não há muitos inteiros nela. Por que isso é assim será explicado um pouco mais tarde.

A raiz do número: regras de cálculo e exemplos

Então, elevamos o número 2 ao quadrado, ou seja, multiplicamos por ele mesmo e obtivemos 4. Mas como tirar a raiz do número 4? Digamos imediatamente que as raízes podem ser quadradas, cúbicas e de qualquer grau até o infinito.

O grau da raiz é sempre um número natural, ou seja, é impossível resolver tal equação: a raiz elevada à potência de 3,6 de n.

Raiz quadrada

Vamos voltar à questão de como extrair a raiz quadrada de 4. Como elevamos o número 2 ao quadrado, também extrairemos a raiz quadrada. Para tirar corretamente a raiz de 4, você só precisa escolher o número certo que, ao quadrado, daria o número 4. E isso, claro, é 2. Veja o exemplo:

• 2 2 =4
• Raiz de 4 = 2

Este exemplo é bem simples. Vamos tentar extrair a raiz quadrada de 64. Que número, quando multiplicado por ele mesmo, dá 64? Obviamente são 8.

• 8 2 =64
• Raiz de 64=8

raiz cúbica

Como mencionado acima, as raízes não são apenas quadradas, usando um exemplo tentaremos explicar mais claramente como extrair uma raiz cúbica ou uma raiz de terceiro grau. O princípio de extrair uma raiz cúbica é o mesmo de uma raiz quadrada, a única diferença é que o número desejado foi inicialmente multiplicado por si mesmo não uma, mas duas vezes. Então, digamos que tomamos o seguinte exemplo:

• 3x3x3=27
• Naturalmente, a raiz cúbica do número 27 será três:
• Raiz 3 de 27 = 3

Suponha que você precise encontrar a raiz cúbica de 64. Para resolver essa equação, basta encontrar um número que, elevado à terceira potência, daria 64.

• 4 3 =64
• Raiz 3 de 64 = 4

Extrair a raiz de um número em uma calculadora

Claro, é melhor aprender a extrair quadrado, cubo e outras potências pela prática, resolvendo muitos exemplos e memorizando uma tabela de quadrados e cubos de números pequenos. No futuro, isso facilitará muito e reduzirá o tempo de resolução de equações. Embora, deve-se notar que às vezes é necessário extrair a raiz de um número tão grande que custará muito trabalho, se for o caso, encontrar o número quadrado correto. Uma calculadora comum virá em socorro na extração da raiz quadrada. Como tirar uma raiz em uma calculadora? É muito simples inserir o número a partir do qual você deseja encontrar o resultado. Agora dê uma olhada nos botões da calculadora. Mesmo no mais simples deles, há uma chave com um ícone de raiz. Ao clicar nele, você obterá imediatamente o resultado final.

Nem todo número pode ser tomado como uma raiz inteira, considere o seguinte exemplo:

Raiz de 1859 = 43,116122…

Você pode tentar resolver este exemplo em uma calculadora em paralelo. Como você pode ver, o número resultante não é um inteiro; além disso, o conjunto de dígitos após o ponto decimal não é finito. Um resultado mais preciso pode ser dado por calculadoras especiais de engenharia, mas o resultado completo simplesmente não cabe na tela das calculadoras comuns. E se você continuar a série de quadrados que começou antes, não encontrará o número 1859 nela, precisamente porque o número que você elevou ao quadrado para obtê-lo não é um número inteiro.

Se você precisar extrair a raiz do terceiro grau em uma calculadora simples, precisará clicar duas vezes no botão com o sinal da raiz. Por exemplo, vamos pegar o número 1859 usado acima e extrair a raiz cúbica dele:

Raiz 3 de 1859 = 6,5662867…

Ou seja, se o número 6,5662867 ... for elevado à terceira potência, obteremos aproximadamente 1859. Assim, extrair raízes de números não é difícil, basta lembrar os algoritmos acima.

Extraindo uma raiz de um grande número. Caros amigos!Neste artigo, mostraremos como obter a raiz de um número grande sem uma calculadora. Isso é necessário não apenas para resolver certos tipos de problemas de USE (existem esses problemas para movimento), mas também é desejável conhecer essa técnica analítica para o desenvolvimento matemático geral.

Parece que tudo é simples: fatorar e extrair. Não há problema. Por exemplo, o número 291600, quando expandido, dará ao produto:

Calculamos:

Existe um MAS! O método é bom se os divisores 2, 3, 4 e assim por diante forem facilmente determinados. Mas e se o número do qual extraímos a raiz for um produto de números primos? Por exemplo, 152881 é o produto dos números 17, 17, 23, 23. Tente encontrar esses divisores imediatamente.

A essência do método que estamos considerando- isso é pura análise. A raiz com a habilidade acumulada é encontrada rapidamente. Se a habilidade não é trabalhada, mas a abordagem é simplesmente compreendida, então é um pouco mais lenta, mas ainda determinada.

Vamos tirar a raiz de 190969.

Primeiro, vamos determinar entre quais números (múltiplos de cem) nosso resultado está.

Obviamente, o resultado da raiz de um determinado número está no intervalo de 400 a 500, Porque

400 2 = 160.000 e 500 2 = 250.000

Sério:

no meio, mais perto de 160.000 ou 250.000?

O número 190969 está em algum lugar no meio, mas ainda mais próximo de 160000. Podemos concluir que o resultado da nossa raiz será menor que 450. Vamos verificar:

De fato, é menos de 450, já que 190.969< 202 500.

Agora vamos verificar o número 440:

Então nosso resultado é menor que 440, já que 190 969 < 193 600.

Verificando o número 430:

Estabelecemos que o resultado dessa raiz está na faixa de 430 a 440.

O produto de números que terminam em 1 ou 9 dá um número que termina em 1. Por exemplo, 21 vezes 21 é igual a 441.

O produto de números que terminam em 2 ou 8 dá um número que termina em 4. Por exemplo, 18 vezes 18 é igual a 324.

O produto de números que terminam em 5 dá um número que termina em 5. Por exemplo, 25 vezes 25 é igual a 625.

O produto de números que terminam em 4 ou 6 dá um número que termina em 6. Por exemplo, 26 vezes 26 é igual a 676.

O produto de números que terminam em 3 ou 7 dá um número que termina em 9. Por exemplo, 17 vezes 17 é igual a 289.

Como o número 190969 termina com o número 9, esse produto é 433 ou 437.

*Só eles, ao quadrado, podem dar 9 no final.

Verificamos:

Então o resultado da raiz será 437.

Ou seja, nós meio que "sentimos" a resposta certa.

Como você pode ver, o máximo necessário é realizar 5 ações em uma coluna. Talvez você chegue imediatamente ao ponto ou faça apenas três ações. Tudo depende da precisão com que você faz a estimativa inicial do número.

Extraia sua própria raiz de 148996

Tal discriminante é obtido no problema:

O barco a motor passa ao longo do rio até ao destino 336 km e depois de estacionar regressa ao ponto de partida. Encontre a velocidade do navio em águas paradas, se a velocidade da corrente é de 5 km/h, o estacionamento dura 10 horas e o navio retorna ao ponto de partida 48 horas após sair dele. Dê sua resposta em km/h.

Ver solução

O resultado da raiz está entre os números 300 e 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

De fato, 90.000<148996<160000.

A essência do raciocínio adicional é determinar como o número 148996 está localizado (distante) em relação a esses números.

Calcule as diferenças 148996 - 90000=58996 e 160000 - 148996=11004.

Acontece que 148996 está próximo (muito mais próximo) de 160000. Portanto, o resultado da raiz definitivamente será maior que 350 e até 360.

Podemos concluir que nosso resultado é maior que 370. Além disso, é claro: como 148996 termina com o número 6, isso significa que você deve elevar ao quadrado o número que termina em 4 ou 6. *Somente esses números, quando elevados ao quadrado, cedem fim 6.

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

P.S: Agradeceria se você me falasse sobre o site em nas redes sociais.