Como descrever um círculo em torno de um trapézio. Propriedades interessantes de um trapézio

Neste artigo, tentaremos refletir as propriedades do trapézio da forma mais completa possível. Em particular, falaremos sobre características comuns e propriedades de um trapézio, bem como sobre as propriedades de um trapézio inscrito e sobre um círculo inscrito em um trapézio. Também abordaremos as propriedades dos isósceles e trapézio retangular.

Um exemplo de resolução de um problema usando as propriedades consideradas ajudará você a resolver as coisas em sua cabeça e a se lembrar melhor do material.

Trapézio e tudo-tudo-tudo

Para começar, vamos relembrar brevemente o que é um trapézio e quais outros conceitos estão associados a ele.

Portanto, um trapézio é uma figura quadrilátera, cujos dois lados são paralelos entre si (essas são as bases). E os dois não são paralelos lados.

Em um trapézio, a altura pode ser omitida - perpendicular às bases. Realizado linha do meio e diagonais. E também de qualquer ângulo do trapézio é possível desenhar uma bissetriz.

Pró várias propriedades associados a todos esses elementos e suas combinações, falaremos agora.

Propriedades das diagonais de um trapézio

Para ficar mais claro, durante a leitura, esboce o trapézio ACME em um pedaço de papel e desenhe diagonais nele.

  1. Se você encontrar os pontos médios de cada uma das diagonais (vamos chamar esses pontos de X e T) e conectá-los, você obtém um segmento. Uma das propriedades das diagonais de um trapézio é que o segmento XT está na linha média. E seu comprimento pode ser obtido dividindo a diferença das bases por dois: XT \u003d (a - b) / 2.
  2. Diante de nós está o mesmo trapézio ACME. As diagonais se interceptam no ponto O. Consideremos os triângulos AOE e IOC formados pelos segmentos das diagonais juntamente com as bases do trapézio. Esses triângulos são semelhantes. O coeficiente de semelhança de triângulos k é expresso em termos da razão das bases do trapézio: k = AE/KM.
    A razão entre as áreas dos triângulos AOE e IOC é descrita pelo coeficiente k 2 .
  3. Tudo o mesmo trapézio, as mesmas diagonais que se cruzam no ponto O. Só que desta vez vamos considerar triângulos que os segmentos diagonais formados juntamente com os lados do trapézio. As áreas dos triângulos AKO e EMO são iguais - suas áreas são iguais.
  4. Outra propriedade de um trapézio inclui a construção de diagonais. Portanto, se continuarmos os lados de AK e ME na direção da base menor, mais cedo ou mais tarde eles se cruzarão em algum ponto. Em seguida, desenhe uma linha reta pelos pontos médios das bases do trapézio. Ela intercepta as bases nos pontos X e T.
    Se agora estendermos a linha XT, ela unirá o ponto de interseção das diagonais do trapézio O, o ponto no qual as extensões dos lados e os pontos médios das bases de X e T se cruzam.
  5. Através do ponto de interseção das diagonais, desenhamos um segmento que conectará as bases do trapézio (T está na base menor de KM, X - na maior AE). O ponto de intersecção das diagonais divide este segmento na seguinte proporção: TO/OH = KM/AE.
  6. E agora, através do ponto de interseção das diagonais, desenhamos um segmento paralelo às bases do trapézio (a e b). O ponto de interseção irá dividi-lo em duas partes iguais. Você pode encontrar o comprimento de um segmento usando a fórmula 2ab/(a + b).

Propriedades da linha média de um trapézio

Desenhe a linha do meio no trapézio paralela às suas bases.

  1. O comprimento da linha média de um trapézio pode ser calculado somando os comprimentos das bases e dividindo-os ao meio: m = (a + b)/2.
  2. Se você desenhar qualquer segmento (altura, por exemplo) através de ambas as bases do trapézio, a linha do meio irá dividi-lo em duas partes iguais.

Propriedade da bissetriz de um trapézio

Escolha qualquer ângulo do trapézio e desenhe uma bissetriz. Tomemos, por exemplo, o ângulo KAE do nosso trapézio ACME. Tendo concluído a construção por conta própria, você pode ver facilmente que a bissetriz corta da base (ou sua continuação em linha reta fora da própria figura) um segmento do mesmo comprimento que o lado.

Propriedades do ângulo trapezoidal

  1. Qualquer um dos dois pares de ângulos adjacentes ao lado escolhido, a soma dos ângulos em um par é sempre 180 0: α + β = 180 0 e γ + δ = 180 0 .
  2. Conecte os pontos médios das bases do trapézio com um segmento TX. Agora vamos olhar para os ângulos nas bases do trapézio. Se a soma dos ângulos de qualquer um deles for 90 0, o comprimento do segmento TX é fácil de calcular com base na diferença dos comprimentos das bases, dividido ao meio: TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Se linhas paralelas forem traçadas através dos lados do ângulo de um trapézio, elas dividirão os lados do ângulo em segmentos proporcionais.

Propriedades de um trapézio isósceles (isosceles)

  1. Em um trapézio isósceles, os ângulos em qualquer uma das bases são iguais.
  2. Agora construa um trapézio novamente para ficar mais fácil de imaginar do que se trata. Observe atentamente a base de AE ​​- o vértice da base oposta de M é projetado para um determinado ponto na linha que contém AE. A distância do vértice A ao ponto de projeção do vértice M e a linha média de um trapézio isósceles são iguais.
  3. Algumas palavras sobre a propriedade das diagonais de um trapézio isósceles - seus comprimentos são iguais. E também os ângulos de inclinação dessas diagonais para a base do trapézio são os mesmos.
  4. Apenas perto de um trapézio isósceles pode ser descrito um círculo, uma vez que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero é 180 0 - condição necessária por esta.
  5. A propriedade de um trapézio isósceles decorre do parágrafo anterior - se um círculo pode ser descrito próximo a um trapézio, ele é isósceles.
  6. Das características de um trapézio isósceles, segue-se a propriedade da altura de um trapézio: se suas diagonais se cruzam em ângulos retos, o comprimento da altura é igual à metade da soma das bases: h = (a + b)/2.
  7. Desenhe a linha TX novamente pelos pontos médios das bases do trapézio - em um trapézio isósceles ela é perpendicular às bases. E, ao mesmo tempo, TX é o eixo de simetria de um trapézio isósceles.
  8. Desta vez, abaixe para a base maior (vamos chamá-la de a) a altura do vértice oposto do trapézio. Você terá dois cortes. O comprimento de um pode ser encontrado se os comprimentos das bases forem adicionados e divididos ao meio: (a+b)/2. Obtemos o segundo quando subtraímos o menor da base maior e dividimos a diferença resultante por dois: (a-b)/2.

Propriedades de um trapézio inscrito em um círculo

Como já estamos falando de um trapézio inscrito em um círculo, vamos nos debruçar sobre esse assunto com mais detalhes. Em particular, onde é o centro do círculo em relação ao trapézio. Também aqui é recomendável não ter preguiça de pegar um lápis e desenhar o que será discutido a seguir. Então você entenderá mais rápido e se lembrará melhor.

  1. A localização do centro do círculo é determinada pelo ângulo de inclinação da diagonal do trapézio em relação ao seu lado. Por exemplo, uma diagonal pode emergir do topo de um trapézio em ângulos retos com o lado. Neste caso, a base maior intercepta o centro do círculo circunscrito exatamente no meio (R = ½AE).
  2. A diagonal e o lado também podem se encontrar em um ângulo agudo - então o centro do círculo está dentro do trapézio.
  3. O centro do círculo circunscrito pode estar fora do trapézio, além de sua grande base, se houver um ângulo obtuso entre a diagonal do trapézio e o lado lateral.
  4. O ângulo formado pela diagonal e a grande base do trapézio ACME (ângulo inscrito) é a metade do ângulo central que lhe corresponde: MAE = ½MY.
  5. Resumidamente sobre duas maneiras de encontrar o raio do círculo circunscrito. Método um: observe atentamente o seu desenho - o que você vê? Você notará facilmente que a diagonal divide o trapézio em dois triângulos. O raio pode ser encontrado através da razão entre o lado do triângulo e o seno do ângulo oposto, multiplicado por dois. Por exemplo, R \u003d AE / 2 * sinAME. Da mesma forma, a fórmula pode ser escrita para qualquer um dos lados de ambos os triângulos.
  6. Método dois: encontramos o raio do círculo circunscrito através da área do triângulo formado pela diagonal, lado e base do trapézio: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo

Você pode inscrever um círculo em um trapézio se uma condição for atendida. Mais sobre isso abaixo. E, juntos, essa combinação de números tem várias propriedades interessantes.

  1. Se um círculo está inscrito em um trapézio, o comprimento de sua linha média pode ser facilmente encontrado somando os comprimentos dos lados e dividindo a soma resultante pela metade: m = (c + d)/2.
  2. Para um trapézio ACME, circunscrito a um círculo, a soma dos comprimentos das bases é igual à soma dos comprimentos dos lados: AK + ME = KM + AE.
  3. Desta propriedade das bases de um trapézio, segue-se a afirmação inversa: um círculo pode ser inscrito nesse trapézio, cuja soma das bases é igual à soma dos lados.
  4. A tangente de um círculo de raio r inscrito em um trapézio divide a lateral em dois segmentos, vamos chamá-los de a e b. O raio de um círculo pode ser calculado pela fórmula: r = √ab.
  5. E mais um imóvel. Para não se confundir, desenhe você mesmo este exemplo. Temos o bom e velho trapézio ACME, circunscrito em torno de um círculo. Nela são desenhadas diagonais, que se cruzam no ponto O. Os triângulos AOK e EOM formados pelos segmentos das diagonais e os lados são retangulares.
    As alturas desses triângulos, reduzidas às hipotenusas (ou seja, os lados do trapézio), coincidem com os raios do círculo inscrito. E a altura do trapézio é igual ao diâmetro do círculo inscrito.

Propriedades de um trapézio retangular

Um trapézio é chamado de retangular, um dos cantos do qual é direito. E suas propriedades decorrem dessa circunstância.

  1. Um trapézio retangular tem um dos lados perpendicular às bases.
  2. A altura e o lado do trapézio adjacente a ângulo certo, são iguais. Isso permite calcular a área de um trapézio retangular ( Fórmula geral S = (a + b) * h/2) não só pela altura, mas também pelo lado adjacente ao ângulo reto.
  3. Para um trapézio retangular, as propriedades gerais das diagonais do trapézio já descritas acima são relevantes.

Provas de algumas propriedades de um trapézio

Igualdade dos ângulos na base de um trapézio isósceles:

  • Você provavelmente já adivinhou que aqui precisamos novamente do trapézio ACME - draw trapézio isósceles. Desenhe uma linha MT do vértice M paralela ao lado de AK (MT || AK).

O quadrilátero AKMT resultante é um paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE é isósceles e MET = MTE.

AK || MT, portanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Onde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Agora, com base na propriedade de um trapézio isósceles (igualdade das diagonais), provamos que trapézio ACME é isósceles:

  • Para começar, vamos traçar uma linha reta МХ – МХ || KE. Obtemos um paralelogramo KMHE (base - MX || KE e KM || EX).

∆AMH é isósceles, pois AM = KE = MX e MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, portanto MAE = MXE.

Descobriu-se que os triângulos AKE e EMA são iguais entre si, porque AM \u003d KE e AE é o lado comum dos dois triângulos. E também MAE \u003d MXE. Podemos concluir que AK = ME e, portanto, segue-se que o trapézio AKME é isósceles.

Tarefa para repetir

As bases do trapézio ACME são 9 cm e 21 cm, o lado do KA, igual a 8 cm, forma um ângulo de 150 0 com base menor. Você precisa encontrar a área do trapézio.

Solução: Do ​​vértice K baixamos a altura para a base maior do trapézio. E vamos começar a olhar para os ângulos do trapézio.

Os ângulos AEM e KAN são unilaterais. O que significa que eles somam 1800. Portanto, KAN = 30 0 (com base na propriedade dos ângulos do trapézio).

Considere agora o ∆ANK retangular (acho que este ponto é óbvio para os leitores sem mais provas). Dele encontramos a altura do trapézio KH - em um triângulo é uma perna, oposta ao ângulo de 30 0. Portanto, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

A área do trapézio é encontrada pela fórmula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Posfácio

Se você estudou este artigo com atenção e atenção, não teve preguiça de desenhar trapézios para todas as propriedades acima com um lápis em suas mãos e analisá-los na prática, você deve ter dominado bem o material.

Claro, há muita informação aqui, variada e às vezes até confusa: não é tão difícil confundir as propriedades do trapézio descrito com as propriedades do inscrito. Mas você mesmo viu que a diferença é enorme.

Agora você tem um resumo detalhado de todos propriedades comuns trapézio. Bem como propriedades e características específicas de isósceles e trapézios retangulares. É muito conveniente usar para se preparar para testes e exames. Experimente você mesmo e compartilhe o link com seus amigos!

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Internato FGKOU "MKK" do Ministério da Defesa da Federação Russa "

"APROVAR"

Chefe de uma disciplina separada

(matemática, informática e TIC)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Trapézio e suas propriedades»

Desenvolvimento metódico

professor de matemática

Shatalina Elena Dmitrievna

Considerado e

na reunião do PMO datada de _______________

Protocolo No.______

Moscou

2015

Índice

Introdução 2

    Definições 3

    Propriedades de um trapézio isósceles 4

    Círculos inscritos e circunscritos 7

    Propriedades de trapézios inscritos e circunscritos 8

    Valores médios em um trapézio 12

    Propriedades de um trapézio arbitrário 15

    Sinais de um trapézio 18

    Construções adicionais em um trapézio 20

    Área do trapézio 25

10. Conclusão

Bibliografia

Aplicativo

    Provas de algumas propriedades de um trapézio 27

    Tarefas para trabalho independente

    Tarefas sobre o tema "Trapézio" de maior complexidade

    Teste de verificação sobre o tema "Trapézio"

Introdução

Este trabalho é dedicado a uma figura geométrica chamada trapézio. "Uma figura comum", você diz, mas não é. Ele contém muitos segredos e mistérios, se você olhar de perto e se aprofundar em seu estudo, descobrirá muitas coisas novas no mundo da geometria, tarefas que não foram resolvidas antes parecerão fáceis para você.

Trapézio - a palavra grega trapézio - "mesa". Empréstimos. no século 18 de lat. lang., onde trapézio é grego. É um quadrilátero com dois lados opostos paralelos. O trapézio é encontrado pela primeira vez pelo antigo cientista grego Posidonius (século II aC). Existem muitas figuras diferentes em nossa vida. Na 7ª série a gente conheceu de perto o triângulo, na 8ª série, currículo escolar começamos a estudar o trapézio. Essa figura nos interessou e, no livro didático, muito pouco é escrito sobre ela. Portanto, decidimos resolver esse problema com nossas próprias mãos e encontrar informações sobre o trapézio. suas propriedades.

O artigo discute as propriedades familiares aos alunos do material abordado no livro didático, mas em maior medida propriedades desconhecidas que são necessárias para resolver problemas complexos. Como mais quantidade tarefas, mais perguntas surgem ao resolvê-las. A resposta a essas perguntas às vezes parece um mistério, aprendendo novas propriedades do trapézio, métodos incomuns de resolver problemas, bem como a técnica de construções adicionais, descobrimos aos poucos os segredos do trapézio. Na Internet, se você pontuar em um mecanismo de busca, há muito pouca literatura sobre métodos para resolver problemas sobre o tema “trapézio”. No processo de trabalho do projeto, foi encontrada uma grande quantidade de informações que irão auxiliar os alunos em um estudo aprofundado da geometria.

Trapézio.

    Definições

Trapézio Um quadrilátero com apenas um par de lados paralelos (e o outro par de lados não paralelos).

Os lados paralelos de um trapézio são chamados fundamentos. Os outros dois são os lados .
Se os lados são iguais, um trapézio é chamado isósceles.

Um trapézio que tem ângulos retos em seu lado é chamado retangular .

O segmento que liga os pontos médios dos lados é chamadolinha média do trapézio.

A distância entre as bases é chamada de altura do trapézio.

2 . Propriedades de um trapézio isósceles



3. As diagonais de um trapézio isósceles são iguais.

4



1
0. A projeção do lado lateral de um trapézio isósceles na base maior é igual à meia diferença das bases, e a projeção da diagonal é igual à soma das bases.



3. Círculo inscrito e circunscrito

Se a soma das bases de um trapézio é igual à soma dos lados, então um círculo pode ser inscrito nele.

E
Se o trapézio é isósceles, então um círculo pode ser circunscrito em torno dele.

4 . Propriedades de trapézios inscritos e circunscritos


2. Se um círculo pode ser inscrito em um trapézio isósceles, então


a soma dos comprimentos das bases é igual à soma dos comprimentos dos lados. Portanto, o comprimento do lado lateral é igual ao comprimento da linha média do trapézio.

4 . Se um círculo estiver inscrito em um trapézio, os lados de seu centro serão visíveis em um ângulo de 90 °.



    E se um círculo está inscrito em um trapézio, que toca um dos lados, divide-o em segmentos m e n , então o raio do círculo inscrito é igual à média geométrica desses segmentos.


1

0 . Se o círculo é construído na base menor do trapézio como um diâmetro, passa pelos pontos médios das diagonais e toca a base inferior, então os ângulos do trapézio são 30°, 30°, 150°, 150°.






5. Valores médios em um trapézio

média geométrica






    Em qualquer trapézio com bases a E b Para a > ba desigualdade :



b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Propriedades de um trapézio arbitrário

1
. Os pontos médios das diagonais do trapézio e os pontos médios dos lados estão na mesma linha reta.



2. As bissetrizes dos ângulos adjacentes a um dos lados do trapézio são perpendiculares e se cruzam em um ponto situado na linha média do trapézio, ou seja, quando se cruzam, forma-se um triângulo retângulo com uma hipotenusa igual ao lado.



3. Os segmentos de uma reta paralela às bases de um trapézio, que cruzam os lados e as diagonais do trapézio, encerrados entre os lados da diagonal, são iguais.

    O ponto de interseção da extensão dos lados de um trapézio arbitrário, o ponto de interseção de suas diagonais e os pontos médios das bases estão em uma linha reta.



5. Quando as diagonais de um trapézio arbitrário se cruzam, quatro triângulos são formados com um vértice comum, e os triângulos adjacentes às bases são semelhantes e os triângulos adjacentes aos lados são iguais (isto é, têm áreas iguais).

6. A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio arbitrário é igual à soma dos quadrados dos lados, adicionado ao dobro do produto das bases.


d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. Em um trapézio retangular, a diferença dos quadrados das diagonais é igual à diferença dos quadrados das bases d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Linhas retas que cruzam os lados do ângulo cortam segmentos proporcionais dos lados do ângulo.


9. Um segmento paralelo às bases e passando pelo ponto de interseção das diagonais é dividido por estas ao meio.

7. Sinais de um trapézio


8 . Construções adicionais em um trapézio

1. O segmento que liga os pontos médios dos lados é a linha média do trapézio.

2
. Um segmento paralelo a um dos lados de um trapézio, cuja extremidade coincide com o ponto médio do outro lado, o outro pertence à linha que contém a base.

3
. Dados todos os lados de um trapézio, uma linha reta é traçada através do vértice da base menor, paralela ao lado lateral. Acontece um triângulo com lados iguais aos lados do trapézio e a diferença das bases. Pela fórmula de Heron, encontra-se a área do triângulo, depois a altura do triângulo, que é igual à altura do trapézio.

4

. A altura de um trapézio isósceles, traçada a partir do vértice da base menor, divide a base maior em segmentos, um dos quais é igual à meia diferença das bases e o outro à meia soma das bases da trapézio, ou seja, a linha média do trapézio.

5. As alturas do trapézio, abaixadas dos vértices de uma base, são recortadas em linha reta contendo outra base, um segmento, igual ao primeiro base.

6
. Um segmento paralelo a uma das diagonais de um trapézio é traçado através de um vértice - um ponto que é o fim de outra diagonal. O resultado é um triângulo com dois lados iguais às diagonais do trapézio e o terceiro - igual à soma das bases


7
.O segmento que liga os pontos médios das diagonais é igual à meia-diferença das bases do trapézio.

8. As bissetrizes dos ângulos adjacentes a um dos lados do trapézio são perpendiculares e se cruzam em um ponto situado na linha média do trapézio, ou seja, quando se cruzam, forma-se um triângulo retângulo com uma hipotenusa igual ao lado.

9. A bissetriz do ângulo de um trapézio corta um triângulo isósceles.


1
0. As diagonais de um trapézio arbitrário na interseção formam dois triângulos semelhantes com um coeficiente de semelhança igual à razão das bases e dois triângulos iguais adjacentes aos lados.

1
1. As diagonais de um trapézio arbitrário na interseção formam dois triângulos semelhantes com um coeficiente de semelhança igual à razão das bases e dois triângulos iguais adjacentes aos lados.

1
2. A continuação dos lados do trapézio até a interseção permite considerar triângulos semelhantes.

13. Se um círculo é inscrito em um trapézio isósceles, então a altura do trapézio é desenhada - o produto médio geométrico das bases do trapézio ou duas vezes o produto médio geométrico dos segmentos laterais em que é dividido pelo ponto de contato.


9. Área de um trapézio

1 . A área de um trapézio é igual ao produto da metade da soma das bases e da altura S = ½( a + b) h ou

P

A área de um trapézio é igual ao produto da linha média do trapézio pela altura S = m h .

2. A área de um trapézio é igual ao produto de um lado e uma perpendicular traçada do meio do outro lado até a linha que contém o primeiro lado.


    A área de um trapézio isósceles com um raio de círculo inscrito igual a re ângulo na baseα :

10. Conclusão

ONDE, COMO E PARA QUE SERVE UM TRAPEZE?

Trapézio no esporte: O trapézio é certamente uma invenção progressiva da humanidade. Ele é projetado para aliviar nossas mãos, tornar a caminhada em um windsurfista confortável e fácil. Andar em uma prancha curta não faz sentido sem um trapézio, pois sem ele é impossível distribuir corretamente a tração entre os degraus e as pernas e acelerar efetivamente.

Trapézio na moda: O trapézio nas roupas era popular na Idade Média, na era românica dos séculos IX-XI. Naquela época, a base Roupas Femininas as túnicas compunham o chão, a túnica muito alargada para baixo, o que criava o efeito de trapézio. O renascimento da silhueta ocorreu em 1961 e se tornou o hino da juventude, independência e sofisticação. Um grande papel na popularização do trapézio foi desempenhado pela frágil modelo Leslie Hornby, conhecida como Twiggy. Uma garota baixinha com um físico anoréxico e olhos enormes se tornou um símbolo da época, e suas roupas favoritas eram vestidos curtos de trapézio.

Trapézio na natureza: O trapézio também é encontrado na natureza. Uma pessoa tem um músculo trapézio, em algumas pessoas o rosto tem a forma de um trapézio. Pétalas de flores, constelações e, claro, o Monte Kilimanjaro também têm a forma de um trapézio.

Trapézio no dia a dia: O trapézio também é muito utilizado no dia a dia, pois seu formato é prático. Ele é encontrado em itens como: caçamba de escavadeira, mesa, parafuso, máquina.

O trapézio é um símbolo da arquitetura Inca. A forma estilística dominante na arquitetura inca é simples, mas graciosa, o trapézio. Não tem apenas um valor funcional, mas também um design artístico estritamente limitado. Portais trapezoidais, janelas e nichos de paredes são encontrados em edifícios de todos os tipos, tanto em templos quanto em edifícios menos significativos, edifícios mais toscos, por assim dizer. O trapézio também é encontrado em Arquitetura moderna. Esta forma de edifícios é incomum, então tais edifícios sempre atraem os olhos dos transeuntes.

Trapézio na engenharia: O trapézio é usado no projeto de peças na tecnologia espacial e na aviação. Por exemplo, algumas matrizes solares da estação espacial são em forma de trapézio porque têm grande área, o que significa que eles acumulam mais energia solar

No século 21, as pessoas quase não pensam no significado das formas geométricas em suas vidas. Eles não se importam com o formato de sua mesa, óculos ou telefone. Eles simplesmente escolhem a forma que é prática. Mas o uso do objeto, sua finalidade, o resultado do trabalho pode depender da forma desta ou daquela coisa. Hoje apresentamos a você uma das maiores conquistas da humanidade - o trapézio. Abrimos a porta para você mundo maravilhoso figuras, contou-lhe os segredos do trapézio e mostrou que a geometria está ao nosso redor.

Bibliografia

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Aplicativo

1. Prova de algumas propriedades de um trapézio.

1. Uma reta que passa pelo ponto de interseção das diagonais de um trapézio paralelo às suas bases intercepta os lados do trapézio em pontosk E eu . Prove que se as bases de um trapézio são iguais A E b , Que comprimento do segmento KL igual à média geométrica das bases do trapézio. Prova

DeixarSOBRE - ponto de intersecção das diagonais,DE ANÚNCIOS = um sol = b . direto KL paralela à baseDE ANÚNCIOS , por isso,k SOBRE║ DE ANÚNCIOS , triângulosEM k SOBRE Eruim semelhante, portanto


(1)

(2)

Substituindo (2) em (1), obtemos KO =

De forma similar LO= Então k eu = KO + LO =

    EM sobre qualquer trapézio, os pontos médios das bases, o ponto de interseção das diagonais e o ponto de interseção da extensão dos lados estão na mesma linha reta.

    Prova: Deixe as extensões dos lados se interceptarem em um pontoPARA. Através do pontoPARA e apontarSOBRE interseções diagonaisdesenhe uma linha reta KO.

k

Vamos mostrar que esta linha divide as bases ao meio.

SOBRE designarVM = x, EM = sim, UM = E, ND = v . Nós temos:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Um trapézio é uma figura geométrica com quatro cantos. Ao construir um trapézio, é importante considerar que dois lados opostos são paralelos, enquanto os outros dois, ao contrário, não são paralelos entre si. Esta palavra entrou nos tempos modernos de Grécia antiga e soava como "trapedzion", que significava "mesa", "mesa de jantar".

Este artigo fala sobre as propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo. Também consideraremos os tipos e elementos dessa figura.

Elementos, tipos e sinais de um trapézio de figura geométrica

Os lados paralelos nesta figura são chamados de bases, e aqueles que não são paralelos são chamados de lados. Desde que os lados tenham o mesmo comprimento, o trapézio é considerado isósceles. Um trapézio, cujos lados estão perpendiculares à base em um ângulo de 90 °, é chamado de trapézio retangular.

Esta figura aparentemente descomplicada possui um número considerável de propriedades que lhe são inerentes, destacando suas características:

  1. Se você desenhar uma linha média ao longo dos lados, ela ficará paralela às bases. Este segmento será igual a 1/2 da diferença de base.
  2. Ao construir uma bissetriz de qualquer ângulo de um trapézio, um triângulo equilátero é formado.
  3. Das propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo, sabe-se que a soma dos lados paralelos deve ser igual à soma das bases.
  4. Ao construir segmentos diagonais, onde um dos lados é a base do trapézio, os triângulos resultantes serão semelhantes.
  5. Ao construir segmentos diagonais, onde um dos lados é lateral, os triângulos resultantes terão uma área igual.
  6. Se continuar margem e construa um segmento a partir do centro da base, então o ângulo formado será igual a 90 °. O segmento que conecta as bases será igual a 1/2 de sua diferença.

Propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo

Fechar um círculo em um trapézio só é possível sob uma condição. Esta condição é que a soma dos lados deve ser igual à soma das bases. Por exemplo, ao construir um trapézio AFDM, AF + DM = FD + AM é aplicável. Somente neste caso, um círculo pode ser encerrado em um trapézio.

Então, mais sobre as propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo:

  1. Se um círculo é encerrado em um trapézio, para encontrar o comprimento de sua linha que intercepta a figura ao meio, você precisa encontrar 1/2 da soma dos comprimentos dos lados.
  2. Ao construir um trapézio circunscrito a um círculo, a hipotenusa formada é idêntica ao raio do círculo e a altura do trapézio também é o diâmetro do círculo.
  3. Outra propriedade de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo é que seu lado lateral é imediatamente visível a partir do centro do círculo em um ângulo de 90°.

Um pouco mais sobre as propriedades de um trapézio fechado em um círculo

Apenas um trapézio isósceles pode ser inscrito em um círculo. Isso significa que é necessário atender às condições nas quais o trapézio AFDM construído atenderá aos seguintes requisitos: AF + DM = FD + MA.

O teorema de Ptolomeu afirma que em um trapézio fechado em um círculo, o produto das diagonais é idêntico e igual à soma dos lados opostos multiplicados. Isso significa que, ao construir um círculo circunscrito ao trapézio AFDM, aplica-se: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Nos exames escolares, muitas vezes há problemas que exigem a resolução de problemas com um trapézio. Um grande número de teoremas devem ser memorizados, mas se você não aprender imediatamente, não importa. O melhor é recorrer periodicamente às dicas dos livros didáticos para que esse conhecimento por si só, sem muita dificuldade, caiba na sua cabeça.

\[(\Large(\text(Trapézio arbitrário)))\]

Definições

Um trapézio é um quadrilátero convexo no qual dois lados são paralelos e os outros dois lados não são paralelos.

Os lados paralelos de um trapézio são chamados de bases, e os outros dois lados são chamados de lados.

A altura de um trapézio é a perpendicular caída de qualquer ponto de uma base a outra base.

Teoremas: propriedades de um trapézio

1) A soma dos ângulos do lado é \(180^\circ\) .

2) As diagonais dividem o trapézio em quatro triângulos, dois dos quais são semelhantes e os outros dois são iguais.

Prova

1) Porque \(AD\parallel BC\) , então os ângulos \(\angle BAD\) e \(\angle ABC\) são unilaterais nessas linhas e a secante \(AB\) , portanto, \(\ângulo BAD +\ângulo ABC=180^\circ\).

2) Porque \(AD\paralelo BC\) e \(BD\) é uma secante, então \(\ângulo DBC=\ângulo BDA\) transversalmente.
Também \(\ângulo BOC=\ângulo AOD\) como vertical.
Portanto, em dois cantos \(\triângulo BOC \sim \triângulo AOD\).

Vamos provar que \(S_(\triângulo AOB)=S_(\triângulo COD)\). Seja \(h\) a altura do trapézio. Então \(S_(\triângulo ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triângulo ACD)\). Então: \

Definição

A linha média de um trapézio é um segmento que conecta os pontos médios dos lados.

Teorema

A linha mediana do trapézio é paralela às bases e igual à metade de sua soma.


Prova*

1) Vamos provar o paralelismo.


Desenhe uma linha \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) passando pelo ponto \(M\) ). Então, pelo teorema de Tales (porque \(MN"\paralelo AD\paralelo BC, AM=MB\)) o ponto \(N"\) é o ponto médio do segmento \(CD\)... Portanto, os pontos \(N\) e \(N"\) irão coincidir.

2) Vamos provar a fórmula.

Vamos desenhar \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Deixar \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).


Então, pelo teorema de Tales, \(M"\) e \(N"\) são os pontos médios dos segmentos \(BB"\) e \(CC"\), respectivamente. Então \(MM"\) é a linha do meio \(\triângulo ABB"\) , \(NN"\) é a linha do meio \(\triângulo DCC"\) . É por isso: \

Porque \(MN\paralelo AD\paralelo BC\) e \(BB", CC"\perp AD\) , então \(B"M"N"C"\) e \(BM"N"C\) são retângulos. Pelo teorema de Tales, \(MN\parallel AD\) e \(AM=MB\) implicam que \(B"M"=M"B\) . Portanto, \(B"M"N"C"\) e \(BM"N"C\) são retângulos iguais, portanto \(M"N"=B"C"=BC\) .

Por isso:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: propriedade de um trapézio arbitrário

Os pontos médios das bases, o ponto de interseção das diagonais do trapézio e o ponto de interseção das extensões dos lados laterais estão na mesma linha reta.


Prova*
Recomenda-se que você se familiarize com a prova após estudar o tópico “Triângulos semelhantes”.

1) Provemos que os pontos \(P\) , \(N\) e \(M\) estão na mesma reta.


Desenhe uma linha \(PN\) (\(P\) é o ponto de interseção das extensões dos lados, \(N\) é o ponto médio de \(BC\) ). Deixe-o interceptar o lado \(AD\) no ponto \(M\) . Provemos que \(M\) é o ponto médio de \(AD\) .

Considere \(\triangle BPN\) e \(\triangle APM\) . Eles são semelhantes em dois ângulos (\(\ângulo APM\) - comum, \(\ângulo PAM=\ângulo PBN\) conforme correspondente em \(AD\paralelo BC\) e \(AB\) secante). Significa: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Considere \(\triangle CPN\) e \(\triangle DPM\) . Eles são semelhantes em dois ângulos (\(\ângulo DPM\) - comum, \(\ângulo PDM=\ângulo PCN\) conforme correspondente em \(AD\paralelo BC\) e \(CD\) secante). Significa: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Daqui \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Mas \(BN=NC\) , portanto \(AM=DM\) .

2) Provemos que os pontos \(N, O, M\) estão sobre uma reta.


Seja \(N\) o ponto médio de \(BC\) , \(O\) o ponto de interseção das diagonais. Desenhe uma linha \(NO\) , ela cruzará o lado \(AD\) no ponto \(M\) . Provemos que \(M\) é o ponto médio de \(AD\) .

\(\triângulo BNO\sim \triângulo DMO\) em dois ângulos (\(\ângulo OBN=\ângulo ODM\) como \(BC\paralelo AD\) e \(BD\) secante; \(\ângulo BON=\ângulo DOM\) como vertical). Significa: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

De forma similar \(\triângulo CON\sim \triângulo AOM\). Significa: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Daqui \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Mas \(BN=CN\) , portanto \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapézio isósceles)))\]

Definições

Um trapézio é chamado de retângulo se um de seus ângulos for reto.

Um trapézio é dito isósceles se seus lados são iguais.

Teoremas: propriedades de um trapézio isósceles

1) Um trapézio isósceles tem os ângulos da base iguais.

2) As diagonais de um trapézio isósceles são iguais.

3) Os dois triângulos formados pelas diagonais e a base são isósceles.

Prova

1) Considere um trapézio isósceles \(ABCD\) .

A partir dos vértices \(B\) e \(C\) deixamos cair para o lado \(AD\) as perpendiculares \(BM\) e \(CN\), respectivamente. Desde \(BM\perp AD\) e \(CN\perp AD\) , então \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , então \(MBCN\) é um paralelogramo, portanto \(BM = CN\) .

Considere os triângulos retângulos \(ABM\) e \(CDN\) . Como eles têm hipotenusas iguais e a perna \(BM\) é igual à perna \(CN\) , esses triângulos são congruentes, portanto, \(\ângulo DAB = \ângulo CDA\) .

2)

Porque \(AB=CD, \ângulo A=\ângulo D, AD\)- geral, então no primeiro sinal. Portanto, \(AC=BD\) .

3) Porque \(\triângulo ABD=\triângulo ACD\), então \(\ângulo BDA=\ângulo CAD\) . Portanto, o triângulo \(\triângulo AOD\) é isósceles. Pode-se provar similarmente que \(\triângulo BOC\) é isósceles.

Teoremas: sinais de um trapézio isósceles

1) Se os ângulos na base de um trapézio são iguais, então é isósceles.

2) Se as diagonais de um trapézio são iguais, então ele é isósceles.

Prova

Considere um trapézio \(ABCD\) tal que \(\ângulo A = \ângulo D\) .


Vamos completar o trapézio ao triângulo \(AED\) como mostra a figura. Como \(\angle 1 = \angle 2\) , então o triângulo \(AED\) é isósceles e \(AE = ED\) . Os ângulos \(1\) e \(3\) são iguais conforme correspondem às retas paralelas \(AD\) e \(BC\) e à secante \(AB\) . Da mesma forma, os ângulos \(2\) e \(4\) são iguais, mas \(\angle 1 = \angle 2\) , então \(\ângulo 3 = \ângulo 1 = \ângulo 2 = \ângulo 4\), portanto, o triângulo \(BEC\) também é isósceles e \(BE = EC\) .

Eventualmente \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), ou seja, \(AB = CD\) , que deveria ser provado.

2) Seja \(AC=BD\) . Porque \(\triângulo AOD\sim \triângulo BOC\), então denotamos seu coeficiente de similaridade por \(k\) . Então, se \(BO=x\) , então \(OD=kx\) . Semelhante a \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Porque \(AC=BD\) , então \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Então \(\triangle AOD\) é isósceles e \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Assim, de acordo com o primeiro sinal \(\triângulo ABD=\triângulo ACD\) (\(AC=BD, \ângulo OAD=\ângulo ODA, AD\)- em geral). Então \(AB=CD\) , então.