Regra de Gauss para resolução de sistemas de equações lineares. Método de Gauss reverso
Carl Friedrich Gauss, o maior matemático por muito tempo hesitava entre a filosofia e a matemática. Talvez tenha sido precisamente essa mentalidade que lhe permitiu "sair" de forma tão perceptível na ciência mundial. Em particular, criando o "Método Gauss" ...
Há quase 4 anos, os artigos deste site se preocupam com a educação escolar, principalmente do ponto de vista da filosofia, os princípios do (des)entendimento introduzidos na mente das crianças. Está chegando a hora de mais detalhes, exemplos e métodos ... Acredito que esta é a abordagem para o familiar, confuso e importanteáreas da vida dá os melhores resultados.
Nós, humanos, somos tão organizados que não importa o quanto você fale sobre pensamento abstrato, mas compreensão sempre acontece através de exemplos. Se não houver exemplos, é impossível captar os princípios ... Como é impossível estar no topo de uma montanha de outra forma que não percorrendo toda a sua encosta desde o pé.
O mesmo com a escola: por enquanto histórias vivas não bastasse, instintivamente, continuamos a considerá-lo um lugar onde as crianças são ensinadas a compreender.
Por exemplo, ensinando o método Gauss...
Método Gauss na 5ª série do ensino fundamental
Já vou fazer uma reserva: o método Gauss tem muito mais ampla aplicação, por exemplo, ao resolver sistemas de equações lineares. O que vamos falar acontece na 5ª série. isto começar, tendo entendido isso, é muito mais fácil entender mais "opções avançadas". Neste artigo estamos falando sobre método (método) de Gauss ao encontrar a soma de uma série
Aqui está um exemplo que eu trouxe da escola filho mais novo frequentando a 5ª série do ginásio de Moscou.
Demonstração escolar do método Gauss
Professor de matemática usando quadro interativo ( métodos modernos treinamento) mostrou às crianças uma apresentação da história da "criação do método" pelo pequeno Gauss.
A professora da escola deu uma surra no pequeno Carl (um método ultrapassado, hoje não mais usado nas escolas) por ser,
em vez de adicionar sequencialmente números de 1 a 100 para encontrar sua soma percebido que pares de números igualmente espaçados das arestas de uma progressão aritmética somam o mesmo número. por exemplo, 100 e 1, 99 e 2. Tendo contado o número desses pares, o pequeno Gauss resolveu quase instantaneamente o problema proposto pelo professor. Pelo qual foi submetido à execução diante de um público atônito. Para o resto, pensar era desrespeitoso.
O que o pequeno Gauss fez desenvolvido sentido numérico? Percebido algum recurso série de números com um passo constante (progressão aritmética). E exatamente isso fez dele mais tarde um grande cientista, capaz de perceber, possuindo sentimento, instinto de compreensão.
Este é o valor da matemática, que desenvolve capacidade de ver geral em particular - pensamento abstrato . Portanto, a maioria dos pais e empregadores consideram instintivamente a matemática uma disciplina importante ...
“A matemática deve ser ensinada mais tarde, para que coloque a mente em ordem.
M.V. Lomonosov".
No entanto, os seguidores daqueles que açoitavam os futuros gênios transformaram o Método em algo oposto. Como há 35 anos, meu diretor científico: "Aprenda a pergunta." Ou, como meu filho mais novo disse ontem sobre o método de Gauss: "Talvez não valha a pena fazer disso uma grande ciência, hein?"
As consequências da criatividade dos “cientistas” são visíveis ao nível da matemática escolar atual, ao nível do seu ensino e compreensão da “Rainha das Ciências” pela maioria.
No entanto, vamos continuar...
Métodos para explicar o método de Gauss no 5º ano do ensino fundamental.
Um professor de matemática em um ginásio de Moscou, explicando o método de Gauss à maneira de Vilenkin, complicou a tarefa.
E se a diferença (passo) de uma progressão aritmética não for um, mas outro número? Por exemplo, 20.
A tarefa que ele deu aos alunos da quinta série:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Antes de nos familiarizarmos com o método do ginásio, vamos dar uma olhada na Web: como os professores - tutores de matemática fazem isso? ..
Método Gauss: Explicação nº 1
Um conhecido tutor em seu canal do YOUTUBE apresenta o seguinte raciocínio:
"vamos escrever os números de 1 a 100 assim:
primeiro uma série de números de 1 a 50, e estritamente abaixo dela outra série de números de 50 a 100, mas em ordem inversa"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Observação: a soma de cada par de números das linhas superior e inferior é a mesma e é igual a 101! Vamos contar o número de pares, é 50 e multiplicar a soma de um par pelo número de pares! Voila: O a resposta está pronta!".
"Se você não conseguiu entender, não fique chateado!", repetiu a professora três vezes durante a explicação. "Você passará neste método na 9ª série!"
Método Gauss: Explicação nº 2
Outro tutor, menos conhecido (a julgar pelo número de visualizações) usa mais Metodo cientifico, oferecendo um algoritmo de solução de 5 pontos que deve ser executado sequencialmente.
Para os não iniciados: 5 é um dos números de Fibonacci tradicionalmente considerados mágicos. O método de 5 passos é sempre mais científico do que o método de 6 passos, por exemplo. ... E isso dificilmente é um acidente, muito provavelmente, o Autor é um adepto oculto da teoria de Fibonacci
Dada uma progressão aritmética: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritmo para encontrar a soma dos números em uma série usando o método de Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ao mesmo tempo, você precisa se lembrar sobre mais uma regra : um deve ser adicionado ao quociente resultante: caso contrário, obteremos um resultado que é um a menos que o número real de pares: 42 + 1 = 43.
Esta é a soma desejada da progressão aritmética de 4 a 256 com uma diferença de 6!
Método Gauss: explicação na 5ª série do ginásio de Moscou
E aqui está como foi necessário resolver o problema de encontrar a soma de uma série:
20+40+60+ ... +460+480+500
na 5ª série do ginásio de Moscou, o livro didático de Vilenkin (segundo meu filho).
Depois de fazer a apresentação, o professor de matemática mostrou alguns exemplos gaussianos e deu à turma a tarefa de encontrar a soma dos números de uma série com passo de 20.
Isso exigia o seguinte:
Como você pode ver, é mais compacto e técnica eficaz: o número 3 também é um membro da sequência de Fibonacci
Meus comentários sobre a versão escolar do método Gauss
O grande matemático certamente teria escolhido a filosofia se tivesse previsto no que seus seguidores transformariam seu "método". professor de alemão que açoitou Karl com varas. Ele teria visto o simbolismo e a espiral dialética e a imorredoura estupidez dos "professores" tentando medir a harmonia do pensamento matemático vivo com a álgebra do mal-entendido ....
A propósito, você sabe. que nosso sistema educacional está enraizado em escola alemã Séculos 18 a 19?
Mas Gauss escolheu matemática.
Qual é a essência de seu método?
NO simplificação. NO observação e captura padrões simples de números. NO transformando a aritmética da escola seca em atividade interessante e divertida , ativando o desejo de continuar no cérebro e não bloqueando a atividade mental de alto custo.
É possível calcular a soma dos números de uma progressão aritmética com uma das "modificações do método de Gauss" acima? imediatamente? De acordo com os "algoritmos", o pequeno Karl teria garantido evitar palmadas, cultivar aversão à matemática e suprimir seus impulsos criativos pela raiz.
Por que o tutor aconselhou com tanta insistência os alunos do quinto ano a "não terem medo de mal-entendidos" do método, convencendo-os de que resolveriam "tais" problemas já no 9º ano? Ação psicologicamente analfabeta. Foi uma boa ideia anotar: "Vê você já na 5ª série você pode resolva problemas que você passará apenas em 4 anos! Que bons companheiros vocês são!"
Para usar o método gaussiano, o nível 3 da classe é suficiente quando crianças normais já sabem somar, multiplicar e dividir números de 2 a 3 dígitos. Os problemas surgem devido à incapacidade dos professores adultos que "não entram" em explicar as coisas mais simples em uma linguagem humana normal, não apenas matemática ... Eles não conseguem interessar a matemática e desencorajam completamente mesmo os "capazes".
Ou, como meu filho comentou, "faça disso uma grande ciência".
Método de Gauss, minhas explicações
Minha esposa e eu explicamos esse "método" para nosso filho, ao que parece, antes mesmo da escola ...
Simplicidade em vez de complexidade ou um jogo de perguntas - respostas
""Olha, aqui estão os números de 1 a 100. O que você vê?"
Não é sobre o que a criança vê. O truque é fazê-lo olhar.
"Como você pode colocá-los juntos?" O filho percebeu que essas perguntas não são feitas "assim" e você precisa olhar para a pergunta "de alguma forma diferente, diferente do que ele costuma fazer"
Não importa se a criança vê a solução de imediato, é improvável. É importante que ele deixou de ter medo de olhar, ou como eu digo: "mudou a tarefa". Este é o começo do caminho para a compreensão
"O que é mais fácil: somar, por exemplo, 5 e 6 ou 5 e 95?" Uma pergunta norteadora... Mas afinal, qualquer treinamento se resume a "guiar" uma pessoa a uma "resposta" - de qualquer forma aceitável para ela.
Nesta fase, já pode haver palpites sobre como "economizar" nos cálculos.
Tudo o que fizemos foi sugerir: o método de contagem "frontal, linear" não é o único possível. Se a criança truncou isso, mais tarde ela inventará muitos outros métodos, porque é interessante!!! E ele definitivamente evitará o "mal-entendido" da matemática, não sentirá nojo por isso. Ele conseguiu a vitória!
Se um bebê descoberto que somar pares de números que somam cem é uma tarefa insignificante, então "progressão aritmética com diferença 1"- uma coisa bastante triste e desinteressante para uma criança - de repente deu vida a ele . Do caos surgiu a ordem, e esta é sempre entusiástica: nós somos assim!
Uma pergunta rápida: por que, após o insight de uma criança, ela deveria ser novamente conduzida para a estrutura de algoritmos secos, que também são funcionalmente inúteis neste caso?!
Por que fazer reescrita estúpida números de sequência em um caderno: para que mesmo os capazes não tivessem uma única chance de entender? Estatisticamente, claro, mas a educação em massa é focada em "estatísticas"...
Para onde foi o zero?
E, no entanto, somar números que dão 100 é muito mais aceitável para a mente do que dar 101...
O "método escolar de Gauss" requer exatamente isso: dobrar sem pensar equidistante do centro da progressão de um par de números, não importa o que.
E se você olhar?
Ainda assim, o zero é a maior invenção da humanidade, que tem mais de 2.000 anos. E os professores de matemática continuam a ignorá-lo.
É muito mais fácil converter uma série de números começando em 1 em uma série começando em 0. A soma não vai mudar, vai? Você precisa parar de "pensar em livros didáticos" e começar a procurar ... E ver que pares com soma 101 podem ser totalmente substituídos por pares com soma 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Como abolir a "regra mais 1"?
Para ser sincero, ouvi falar dessa regra pela primeira vez daquele tutor do YouTube ...
O que ainda faço quando preciso determinar o número de membros de uma série?
Olhando a sequência:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
e quando estiver completamente cansado, faça uma linha mais simples:
1, 2, 3, 4, 5
e eu penso: se você subtrair um de 5, você obtém 4, mas estou bem claro Vejo 5 números! Portanto, você precisa adicionar um! Sentido de número desenvolvido em escola primaria, sugere: mesmo que haja todo um Google de membros da série (10 elevado à centésima potência), o padrão permanecerá o mesmo.
Foda-se as regras?..
Para que em alguns - três anos preencha todo o espaço entre a testa e a nuca e pare de pensar? Que tal ganhar pão com manteiga? Afinal de contas, estamos entrando na era da economia digital!
Mais sobre o método escolar de Gauss: "por que fazer ciência disso? .."
Não foi à toa que postei uma screenshot do notebook do meu filho...
"O que havia na lição?"
"Bem, eu imediatamente contei, levantei a mão, mas ela não perguntou. Portanto, enquanto os outros contavam, comecei a fazer DZ em russo para não perder tempo. Aí, quando os outros terminaram de escrever (?? ?), ela me chamou para o conselho. Eu disse a resposta."
"Isso mesmo, me mostre como você resolveu", disse o professor. Eu mostrei. Ela disse: "Errado, você precisa contar como eu mostrei!"
"É bom que eu não tenha colocado um empate. E me fiz escrever o "processo de decisão" à sua maneira em um caderno. Por que fazer disso uma grande ciência? .."
O principal crime de um professor de matemática
dificilmente depois Aquele caso Carl Gauss experimentou um grande senso de respeito pelo professor de matemática da escola. Mas se ele soubesse como seguidores desse professor perverter a essência do método... ele rugia em indignação e através a Organização Mundial Direitos de Propriedade Intelectual WIPO conseguiu a proibição do uso de seu nome honesto em livros escolares! ..
o que erro principal abordagem escolar ? Ou, como eu disse, o crime de professores de matemática escolar contra crianças?
Algoritmo mal-entendido
O que fazem os metodólogos escolares, cuja grande maioria não sabe pensar?
Crie métodos e algoritmos (ver). isto reação defensiva, que protege os professores das críticas ("Tudo é feito de acordo com ...") e as crianças da compreensão. E assim - do desejo de criticar os professores!(A segunda derivada da "sabedoria" burocrática, uma abordagem científica do problema). Uma pessoa que não compreende o significado culpará seu próprio mal-entendido, e não a estupidez do sistema escolar.
O que está acontecendo: os pais culpam as crianças e os professores ... o mesmo para as crianças que "não entendem matemática! ..
Você é esperto?
O que o pequeno Carl fez?
Abordagem absolutamente não convencional de uma tarefa de modelo. Esta é a quintessência de Sua abordagem. isto o principal que deve ser ensinado na escola é pensar não com livros didáticos, mas com a cabeça. Claro que também existe uma componente instrumental que pode ser utilizada... mais simples e métodos eficazes contas.
Método de Gauss segundo Vilenkin
Na escola eles ensinam que o método de Gauss é
o que, se o número de elementos na linha for ímpar, como na tarefa que foi atribuída ao filho? ..
O "truque" é que neste caso você deve encontrar o número "extra" da série e adicioná-lo à soma dos pares. No nosso exemplo, esse número é 260.
Como descobrir? Reescrevendo todos os pares de números em um caderno!(É por isso que o professor fez as crianças fazerem esse trabalho estúpido, tentando ensinar "criatividade" usando o método Gaussiano... E é por isso que tal "método" é praticamente inaplicável a grandes séries de dados, E é por isso que não é um Gaussiano método).
Um pouco de criatividade na rotina escolar...
O filho agiu de forma diferente.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Fácil, certo?
Mas, na prática, fica ainda mais fácil, o que permite reservar 2 a 3 minutos para sensoriamento remoto em russo, enquanto o restante está "contando". Além disso, mantém o número de etapas da metodologia: 5, o que não permite criticar a abordagem por ser anticientífica.
Obviamente esta abordagem é mais simples, rápida e versátil, no estilo do Método. Mas... o professor não só não elogiou, como também me obrigou a reescrever "da maneira certa" (veja a captura de tela). Ou seja, ela fez uma tentativa desesperada de sufocar o impulso criativo e a capacidade de entender a matemática pela raiz! Aparentemente, para depois ser contratada como tutora ... Ela atacou o errado ...
Tudo o que descrevi por tanto tempo e tediosamente pode ser explicado a uma criança normal em no máximo meia hora. Junto com exemplos.
E para que ele nunca se esqueça disso.
E vai passo para a compreensão...não apenas matemática.
Admita: quantas vezes em sua vida você somou usando o método de Gauss? E eu nunca!
Mas instinto de compreensão, que se desenvolve (ou extingue) no processo de estudar métodos matemáticos na escola ... Oh! .. Isso é realmente uma coisa insubstituível!
Especialmente na era da digitalização universal, na qual entramos silenciosamente sob a estrita orientação do Partido e do Governo.
Algumas palavras em defesa dos professores...
É injusto e errado colocar toda a responsabilidade por esse estilo de ensino apenas nos professores da escola. O sistema está em operação.
Algum os professores entendem o absurdo do que está acontecendo, mas o que fazer? Lei de Educação, Padrões Educacionais do Estado Federal, métodos, mapas tecnológicos lições... Tudo deve ser feito "de acordo com e com base em" e tudo deve ser documentado. Afaste-se - ficou na fila para demissão. Não sejamos hipócritas: o salário dos professores de Moscou é muito bom... Se forem demitidos, para onde devem ir?..
Portanto, este site não sobre educação. ele está prestes educação individual, só maneira possível saia da multidão Geração Z ...
Neste artigo, o método é considerado como uma forma de resolver sistemas de equações lineares (SLAE). O método é analítico, ou seja, permite escrever um algoritmo de solução em visão geral e, em seguida, substitua os valores de exemplos específicos lá. Ao contrário do método matricial ou das fórmulas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss, você também pode trabalhar com aquelas que possuem infinitas soluções. Ou eles não têm nada disso.
O que significa Gauss?
Primeiro você precisa escrever nosso sistema de equações em Parece assim. O sistema é tomado:
Os coeficientes são escritos na forma de uma tabela e à direita em uma coluna separada - membros livres. A coluna com membros livres é separada por conveniência.A matriz que inclui esta coluna é chamada estendida.
Além disso, a matriz principal com coeficientes deve ser reduzida à forma triangular superior. Este é o ponto principal de resolver o sistema pelo método de Gauss. Simplificando, após certas manipulações, a matriz deve ficar assim, de forma que haja apenas zeros em sua parte inferior esquerda:
Então, se você escrever a nova matriz novamente como um sistema de equações, notará que a última linha já contém o valor de uma das raízes, que é então substituída na equação acima, outra raiz é encontrada e assim por diante.
Esta descrição da solução pelo método de Gauss na forma mais em termos gerais. E o que acontece se de repente o sistema não tiver solução? Ou há um número infinito deles? Para responder a essas e muitas outras questões, é necessário considerar separadamente todos os elementos utilizados na solução pelo método de Gauss.
Matrizes, suas propriedades
Não há nenhum significado oculto na matriz. É apenas uma maneira conveniente de registrar dados para operações posteriores. Mesmo as crianças em idade escolar não devem ter medo deles.
A matriz é sempre retangular, porque é mais conveniente. Mesmo no método de Gauss, onde tudo se resume a construir uma matriz triangular, aparece um retângulo na entrada, apenas com zeros no lugar onde não há números. Zeros podem ser omitidos, mas estão implícitos.
A matriz tem um tamanho. Sua "largura" é o número de linhas (m), seu "comprimento" é o número de colunas (n). Em seguida, o tamanho da matriz A (maiúsculas são geralmente usadas para denotá-las) cartas) será denotado como A m×n . Se m=n, então esta matriz é quadrada e m=n é a sua ordem. Assim, qualquer elemento da matriz A pode ser denotado pelo número de sua linha e coluna: a xy ; x - número da linha, alterações, y - número da coluna, alterações.
B não é o ponto principal da solução. Em princípio, todas as operações podem ser realizadas diretamente com as próprias equações, mas a notação se tornará muito mais complicada e será muito mais fácil confundi-la.
Determinante
A matriz também tem um determinante. Isto é muito característica importante. Descobrir seu significado agora não vale a pena, você pode simplesmente mostrar como ele é calculado e depois dizer quais propriedades da matriz ele determina. A maneira mais fácil de encontrar o determinante é através das diagonais. Diagonais imaginárias são desenhadas na matriz; os elementos localizados em cada um deles são multiplicados e, a seguir, somados os produtos resultantes: diagonais com inclinação para a direita - com sinal de "mais", com inclinação para a esquerda - com sinal de "menos".
É extremamente importante observar que o determinante só pode ser calculado para uma matriz quadrada. Para uma matriz retangular, você pode fazer o seguinte: escolha o menor entre o número de linhas e o número de colunas (que seja k) e marque aleatoriamente k colunas e k linhas na matriz. Os elementos localizados na interseção das colunas e linhas selecionadas formarão uma nova matriz quadrada. Se o determinante de tal matriz for um número diferente de zero, ele será chamado de base menor da matriz retangular original.
Antes de prosseguir com a solução do sistema de equações pelo método de Gauss, não custa nada calcular o determinante. Se for zero, podemos dizer imediatamente que a matriz tem um número infinito de soluções ou não há nenhuma. Em um caso tão triste, você precisa ir mais longe e descobrir a classificação da matriz.
Classificação do sistema
Existe algo como o posto de uma matriz. Esta é a ordem máxima de seu determinante diferente de zero (lembrando da base menor, podemos dizer que o posto de uma matriz é a ordem da base menor).
De acordo com a situação do rank, o SLAE pode ser dividido em:
- Articulação. No de sistemas conjuntos, o posto da matriz principal (consistindo apenas de coeficientes) coincide com o posto da matriz estendida (com uma coluna de termos livres). Tais sistemas têm uma solução, mas não necessariamente uma, portanto, além sistemas de juntas dividido em:
- - certo- ter uma solução única. Em certos sistemas, o posto da matriz e o número de incógnitas (ou o número de colunas, que é a mesma coisa) são iguais;
- - indefinido - com um número infinito de soluções. A classificação das matrizes para tais sistemas é menor que o número de incógnitas.
- Incompatível. No Em tais sistemas, os postos das matrizes principal e estendida não coincidem. Sistemas incompatíveis não têm solução.
O método de Gauss é bom porque permite obter uma prova inequívoca da inconsistência do sistema (sem calcular os determinantes de grandes matrizes) ou uma solução geral para um sistema com um número infinito de soluções durante a solução.
transformações elementares
Antes de prosseguir diretamente para a solução do sistema, é possível torná-lo menos trabalhoso e mais conveniente para os cálculos. Isso é alcançado por meio de transformações elementares - de modo que sua implementação não altere a resposta final de forma alguma. Deve-se notar que algumas das transformações elementares acima são válidas apenas para matrizes, cuja fonte foi precisamente o SLAE. Aqui está uma lista dessas transformações:
- Permutação de strings. É óbvio que se mudarmos a ordem das equações no registro do sistema, isso não afetará a solução de forma alguma. Conseqüentemente, também é possível trocar linhas na matriz desse sistema, sem esquecer, é claro, da coluna de membros livres.
- Multiplicando todos os elementos de uma string por algum fator. Muito útil! Pode ser usado para encurtar grandes números na matriz ou remover zeros. O conjunto de soluções, como sempre, não mudará e será mais conveniente realizar outras operações. O principal é que o coeficiente não é igual a zero.
- Exclua linhas com coeficientes proporcionais. Isso decorre parcialmente do parágrafo anterior. Se duas ou mais linhas na matriz tiverem coeficientes proporcionais, ao multiplicar / dividir uma das linhas pelo coeficiente de proporcionalidade, duas (ou, novamente, mais) linhas absolutamente idênticas serão obtidas e você poderá remover as extras, deixando apenas 1.
- Removendo a linha nula. Se, no decorrer das transformações, uma string for obtida em algum lugar em que todos os elementos, incluindo o membro livre, sejam zero, essa string poderá ser chamada de zero e expulsa da matriz.
- Adicionando aos elementos de uma linha os elementos de outra (nas colunas correspondentes), multiplicado por um determinado coeficiente. A transformação mais obscura e mais importante de todas. Vale a pena insistir nisso com mais detalhes.
Adicionando uma string multiplicada por um fator
Para facilitar o entendimento, vale a pena desmontar esse processo passo a passo. Duas linhas são retiradas da matriz:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Suponha que você precise adicionar o primeiro ao segundo, multiplicado pelo coeficiente "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Então, na matriz, a segunda linha é substituída por uma nova e a primeira permanece inalterada.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Deve-se notar que o fator de multiplicação pode ser escolhido de forma que, como resultado da adição de duas strings, um dos elementos da nova string seja igual a zero. Assim, é possível obter uma equação no sistema, onde haverá uma incógnita a menos. E se você obtiver duas dessas equações, a operação poderá ser feita novamente e obter uma equação que já conterá duas incógnitas a menos. E se cada vez que voltarmos a zero um coeficiente para todas as linhas menores que a original, podemos, como etapas, descer até o fundo da matriz e obter uma equação com uma incógnita. Isso é chamado de resolver o sistema usando o método gaussiano.
No geral
Que haja um sistema. Tem m equações e n raízes desconhecidas. Você pode escrever assim:
A matriz principal é compilada a partir dos coeficientes do sistema. Uma coluna de membros livres é adicionada à matriz estendida e separada por uma barra por conveniência.
- a primeira linha da matriz é multiplicada pelo coeficiente k = (-a 21 / a 11);
- a primeira linha modificada e a segunda linha da matriz são adicionadas;
- em vez da segunda linha, o resultado da adição do parágrafo anterior é inserido na matriz;
- agora o primeiro coeficiente em novo segundo linha é um 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Agora a mesma série de transformações é executada, apenas a primeira e a terceira linhas estão envolvidas. Assim, em cada passo do algoritmo, o elemento a 21 é substituído por a 31 . Então tudo se repete para um 41 , ... um m1 . O resultado é uma matriz onde o primeiro elemento nas linhas é igual a zero. Agora precisamos esquecer a linha número um e executar o mesmo algoritmo a partir da segunda linha:
- coeficiente k \u003d (-a 32 / a 22);
- a segunda linha modificada é adicionada à linha "atual";
- o resultado da adição é substituído na terceira, quarta e assim por diante, enquanto a primeira e a segunda permanecem inalteradas;
- nas linhas da matriz, os dois primeiros elementos já são iguais a zero.
O algoritmo deve ser repetido até que apareça o coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Isso significa que em última vez o algoritmo foi realizado apenas para a equação inferior. Agora a matriz se parece com um triângulo ou tem uma forma escalonada. A linha inferior contém a igualdade a mn × x n = b m . O coeficiente e o termo livre são conhecidos, e a raiz é expressa por eles: x n = b m /a mn. A raiz resultante é substituída na linha superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . E assim por diante por analogia: em cada linha seguinte há uma nova raiz e, tendo atingido o "topo" do sistema, você pode encontrar muitas soluções. Será o único.
Quando não há soluções
Se em uma das linhas da matriz todos os elementos, exceto o termo livre, forem iguais a zero, a equação correspondente a essa linha parecerá 0 = b. Não tem solução. E como tal equação está incluída no sistema, então o conjunto de soluções de todo o sistema está vazio, ou seja, é degenerado.
Quando há um número infinito de soluções
Pode acontecer que na matriz triangular reduzida não haja linhas com um elemento - o coeficiente da equação e um - um membro livre. Existem apenas strings que, quando reescritas, pareceriam uma equação com duas ou mais variáveis. Isso significa que o sistema tem um número infinito de soluções. Nesse caso, a resposta pode ser dada na forma de uma solução geral. Como fazer isso?
Todas as variáveis na matriz são divididas em básicas e livres. Básico - são aqueles que ficam "na borda" das linhas da matriz escalonada. Os demais são gratuitos. Na solução geral, as variáveis básicas são escritas em função das livres.
Por conveniência, a matriz é primeiro reescrita em um sistema de equações. Então, no último deles, onde exatamente apenas uma variável básica permaneceu, ela permanece de um lado e tudo o mais é transferido para o outro. Isso é feito para cada equação com uma variável básica. Então, nas demais equações, sempre que possível, ao invés da variável básica, a expressão obtida para ela é substituída. Se, como resultado, aparecer novamente uma expressão contendo apenas uma variável básica, ela é novamente expressa a partir daí e assim por diante, até que cada variável básica seja escrita como uma expressão com variáveis livres. Esta é a solução geral do SLAE.
Você também pode encontrar a solução básica do sistema - dê quaisquer valores às variáveis livres e, para este caso específico, calcule os valores das variáveis básicas. Existem infinitas soluções particulares.
Solução com exemplos específicos
Aqui está o sistema de equações.
Por conveniência, é melhor criar imediatamente sua matriz
Sabe-se que ao resolver pelo método de Gauss, a equação correspondente à primeira linha permanecerá inalterada ao final das transformações. Portanto, será mais lucrativo se o elemento superior esquerdo da matriz for o menor - então os primeiros elementos das linhas restantes após as operações serão zerados. Isso significa que na matriz compilada será vantajoso colocar a segunda no lugar da primeira linha.
segunda linha: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
terceira linha: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Agora, para não se confundir, é preciso anotar a matriz com os resultados intermediários das transformações.
É óbvio que tal matriz pode se tornar mais conveniente para a percepção com a ajuda de algumas operações. Por exemplo, você pode remover todos os "menos" da segunda linha multiplicando cada elemento por "-1".
Também é importante notar que na terceira linha todos os elementos são múltiplos de três. Então você pode encurtar a string por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - ao mesmo tempo, para remover valores negativos).
Parece muito mais legal. Agora precisamos deixar a primeira linha sozinha e trabalhar com a segunda e a terceira. A tarefa é somar a segunda linha à terceira linha, multiplicada por um fator tal que o elemento a 32 se torne igual a zero.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 frações, e só então, quando as respostas forem recebidas, decida se arredondar e traduzir em outra forma de notação)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
A matriz é escrita novamente com novos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como você pode ver, a matriz resultante já possui uma forma escalonada. Portanto, outras transformações do sistema pelo método de Gauss não são necessárias. O que pode ser feito aqui é remover da terceira linha coeficiente geral "-1/7".
Agora está tudo lindo. O ponto é pequeno - escreva a matriz novamente na forma de um sistema de equações e calcule as raízes
x + 2y + 4z = 12(1)
7a + 11z = 24 (2)
O algoritmo pelo qual as raízes serão agora encontradas é chamado de movimento reverso no método de Gauss. A equação (3) contém o valor de z:
y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9
E a primeira equação permite encontrar x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Temos o direito de chamar tal sistema de conjunto, e até definitivo, ou seja, ter uma solução única. A resposta é escrita da seguinte forma:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
Exemplo de sistema indefinido
A variante de resolver um determinado sistema pelo método de Gauss foi analisada, agora é necessário considerar o caso se o sistema for indefinido, ou seja, infinitas soluções podem ser encontradas para ele.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
A própria forma do sistema já é alarmante, pois o número de incógnitas é n = 5, e a classificação da matriz do sistema já é exatamente menor que esse número, pois o número de linhas é m = 4, ou seja, a maior ordem do determinante quadrado é 4. Isso significa que há um número infinito de soluções e é necessário procurar sua forma geral. O método de Gauss para equações lineares torna possível fazer isso.
Primeiro, como de costume, a matriz aumentada é compilada.
Segunda linha: coeficiente k = (-a 21 / a 11) = -3. Na terceira linha, o primeiro elemento está antes das transformações, então não precisa mexer em nada, precisa deixar como está. Quarta linha: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Multiplicando os elementos da primeira linha por cada um de seus coeficientes e adicionando-os às linhas desejadas, obtemos uma matriz da seguinte forma:
Como você pode ver, a segunda, terceira e quarta linhas consistem em elementos proporcionais entre si. O segundo e o quarto são geralmente iguais, então um deles pode ser removido imediatamente e o restante multiplicado pelo coeficiente "-1" e obter a linha número 3. E, novamente, deixe uma das duas linhas idênticas.
Descobriu-se tal matriz. O sistema ainda não foi escrito, é necessário determinar aqui as variáveis básicas - estando nos coeficientes a 11 \u003d 1 e 22 \u003d 1, e livre - todo o resto.
A segunda equação tem apenas uma variável básica - x 2 . Daí, pode-se expressar a partir daí, escrevendo pelas variáveis x 3 , x 4 , x 5 , que são livres.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação.
Descobriu-se uma equação na qual a única variável básica é x 1. Vamos fazer o mesmo com x 2 .
Todas as variáveis básicas, das quais existem duas, são expressas em termos de três livres, agora você pode escrever a resposta de forma geral.
Você também pode especificar uma das soluções particulares do sistema. Para tais casos, via de regra, zeros são escolhidos como valores para variáveis livres. Então a resposta será:
16, 23, 0, 0, 0.
Exemplo de sistema incompatível
A solução de sistemas inconsistentes de equações pelo método de Gauss é a mais rápida. Termina assim que em uma das etapas for obtida uma equação sem solução. Ou seja, a fase de cálculo das raízes, que é bastante longa e monótona, desaparece. O seguinte sistema é considerado:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Como de costume, a matriz é compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
E é reduzido a uma forma escalonada:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Após a primeira transformação, a terceira linha contém uma equação da forma
não tendo solução. Portanto, o sistema é inconsistente e a resposta é o conjunto vazio.
Vantagens e desvantagens do método
Se você escolher qual método resolver o SLAE no papel com uma caneta, o método considerado neste artigo parecerá o mais atraente. Em transformações elementares, é muito mais difícil ficar confuso do que acontece se você tiver que procurar manualmente o determinante ou alguma matriz inversa complicada. No entanto, se você usar programas para trabalhar com dados desse tipo, por exemplo, planilhas, esses programas já contêm algoritmos para calcular os principais parâmetros das matrizes - determinante, menores, inversa e assim por diante. E se você tem certeza de que a própria máquina calculará esses valores e não cometerá erros, é mais conveniente usar o método matricial ou as fórmulas de Cramer, pois sua aplicação começa e termina com o cálculo de determinantes e matrizes inversas.
Inscrição
Como a solução gaussiana é um algoritmo e a matriz é, na verdade, um array bidimensional, ela pode ser usada na programação. Mas como o artigo se posiciona como um guia "para leigos", vale dizer que o lugar mais fácil de colocar o método são as planilhas, por exemplo, o Excel. Novamente, qualquer SLAE inserido em uma tabela na forma de uma matriz será considerado pelo Excel como um array bidimensional. E para operações com eles, existem muitos comandos legais: adição (você só pode adicionar matrizes do mesmo tamanho!), Multiplicação por um número, multiplicação de matrizes (também com certas restrições), localização de matrizes inversas e transpostas e, o mais importante , calculando o determinante. Se essa tarefa demorada for substituída por um único comando, é muito mais rápido determinar o posto de uma matriz e, portanto, estabelecer sua compatibilidade ou inconsistência.
Seja um sistema linear equações algébricas, que precisa ser resolvido (encontre os valores da incógnita хi que transformam cada equação do sistema em uma igualdade).
Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:
1) Não ter soluções (ser incompatível).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Tenha uma solução única.
Como lembramos, a regra de Cramer e o método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. método Gauss – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, qual o Em todo caso nos leve à resposta! O algoritmo do método nos três casos funciona da mesma maneira. Se os métodos de Cramer e de matrizes exigem o conhecimento dos determinantes, a aplicação do método de Gauss requer apenas o conhecimento de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.
Transformações de matriz estendidas ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:
1) Com troky matrizes posso reorganizar lugares.
2) se houver (ou forem) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma.
3) se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir.
4) a linha da matriz pode multiplicar (dividir) a qualquer número diferente de zero.
5) para a linha da matriz, você pode adicione outra string multiplicada por um número, diferente de zero.
No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.
O método de Gauss consiste em duas etapas:
- "Movimento direto" - usando transformações elementares, traga a matriz estendida do sistema de equações algébricas lineares para uma forma escalonada "triangular": os elementos da matriz estendida localizada abaixo da diagonal principal são iguais a zero (movimento de cima para baixo ). Por exemplo, para este tipo:
Para fazer isso, execute as seguintes etapas:
1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente em x 1 é igual a K. A segunda, terceira, etc. transformamos as equações da seguinte maneira: dividimos cada equação (coeficientes para incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente para incógnitas x 1, que está em cada equação, e multiplicamos por K. Depois disso, subtraia a primeira da segunda equação ( coeficientes para incógnitas e termos livres). Obtemos em x 1 na segunda equação o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação, portanto, até que todas as equações, exceto a primeira, com desconhecido x 1, não tenham um coeficiente 0.
2) Passe para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente em x 2 igual a M. Com todas as equações "subordinadas", procedemos conforme descrito acima. Assim, "sob" a incógnita x 2 em todas as equações serão zeros.
3) Passamos para a próxima equação e assim sucessivamente até restar uma última incógnita e um termo livre transformado.
- O "movimento reverso" do método de Gauss é obter uma solução para um sistema de equações algébricas lineares (o movimento "de baixo para cima"). Da última equação "inferior" obtemos uma primeira solução - a incógnita x n. Para fazer isso, resolvemos a equação elementar A * x n \u003d B. No exemplo acima, x 3 \u003d 4. Substituímos o valor encontrado na próxima equação “superior” e resolvemos em relação à próxima incógnita. Por exemplo, x 2 - 4 \u003d 1, ou seja, x 2 \u003d 5. E assim por diante até encontrarmos todas as incógnitas.
Exemplo.
Resolvemos o sistema de equações lineares usando o método de Gauss, como alguns autores aconselham:
Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:
Nós olhamos para o "degrau" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há ninguém na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer assim:
1 passo
. À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a soma da primeira e segunda linhas, enquanto a segunda linha não mudou.
Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplicar a primeira linha por -1 (mudar seu sinal).
2 passo . A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha.A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.
3 passo . A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para a segunda posição, assim, na segunda “etapa, tínhamos a unidade desejada.
4 passo . Na terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 2.
5 passo . A terceira linha é dividida por 3.
Um sinal que indica um erro nos cálculos (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado final "ruim". Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 | 23) abaixo e, consequentemente, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então, com alto grau de probabilidade, podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino fundamental transformações.
Realizamos um movimento reverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito e as equações são “tiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento inverso, lembro a você, funciona "de baixo para cima". NO este exemplo recebeu um presente:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, portanto x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Responda:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Multiplicando a segunda e a terceira equações por 4, obtemos:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Subtraindo a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divida a terceira equação por 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multiplique a terceira equação por 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Subtraindo a segunda equação da terceira equação, obtemos a matriz aumentada “escalonada”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Assim, como um erro acumulado no processo de cálculo, obtemos x 3 \u003d 0,96, ou aproximadamente 1.
x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d -1.
Resolvendo dessa forma, você nunca ficará confuso nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.
Este método de resolver um sistema de equações algébricas lineares é fácil de programar e não leva em conta características específicas coeficientes para incógnitas, porque na prática (em cálculos econômicos e técnicos) é preciso lidar com coeficientes não inteiros.
Desejo-lhe sucesso! Vejo você na aula! Tutor.
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1. Sistema de equações algébricas lineares
1.1 O conceito de um sistema de equações algébricas lineares
Um sistema de equações é uma condição que consiste na execução simultânea de várias equações em diversas variáveis. Um sistema de equações algébricas lineares (doravante referido como SLAE) contendo m equações e n incógnitas é um sistema da forma:
onde os números a ij são chamados de coeficientes do sistema, os números b i são membros livres, aij e b eu(i=1,…, m; b=1,…, n) são alguns números conhecidos, e x 1 ,…, xn- desconhecido. Na notação dos coeficientes aij o primeiro índice i denota o número da equação, e o segundo índice j é o número da incógnita em que esse coeficiente se encontra. Sujeito a encontrar o número x n . É conveniente escrever tal sistema em uma forma de matriz compacta: AX = B. Aqui A é a matriz de coeficientes do sistema, denominada matriz principal;
é um vetor coluna de desconhecido xj. é um vetor coluna de membros livres bi.
O produto das matrizes A * X é definido, pois existem tantas colunas na matriz A quanto linhas na matriz X (n partes).
A matriz estendida do sistema é a matriz A do sistema, complementada por uma coluna de termos livres
1.2 Solução de um sistema de equações algébricas lineares
A solução de um sistema de equações é um conjunto ordenado de números (valores de variáveis), ao substituí-los em vez de variáveis, cada uma das equações do sistema se transforma em uma verdadeira igualdade.
A solução do sistema é n valores das incógnitas x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, substituindo que todas as equações do sistema se transformam em igualdades verdadeiras. Qualquer solução do sistema pode ser escrita como uma matriz-coluna
Um sistema de equações é chamado consistente se tiver pelo menos uma solução e inconsistente se não tiver soluções.
Um sistema conjunto é chamado de definido se tiver uma única solução e indefinido se tiver mais de uma solução. Neste último caso, cada uma de suas soluções é chamada de solução particular do sistema. O conjunto de todas as soluções particulares é chamado de solução geral.
Resolver um sistema significa descobrir se ele é consistente ou inconsistente. Se o sistema for compatível, encontre sua solução geral.
Dois sistemas são chamados equivalentes (equivalentes) se tiverem a mesma solução geral. Em outras palavras, os sistemas são equivalentes se toda solução para um deles é uma solução para o outro, e vice-versa.
Uma transformação, cuja aplicação transforma o sistema em novo sistema, equivalente ao original, é chamada de transformação equivalente ou equivalente. As seguintes transformações podem servir como exemplos de transformações equivalentes: trocar duas equações do sistema, trocar duas incógnitas junto com os coeficientes de todas as equações, multiplicar ambas as partes de qualquer equação do sistema por um número diferente de zero.
Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se todos os termos livres são iguais a zero:
Um sistema homogêneo é sempre consistente, pois x1=x2=x3=…=xn=0 é uma solução do sistema. Esta solução é chamada de nula ou trivial.
2. método de eliminação gaussiana
2.1 A essência do método de eliminação gaussiana
O método clássico para resolver sistemas de equações algébricas lineares é o método de eliminação sucessiva de incógnitas - método Gauss(Também é chamado de método de eliminação gaussiana). Este é um método de eliminação sucessiva de variáveis, quando, com a ajuda de transformações elementares, um sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular), a partir do qual todas as outras variáveis são encontradas sequencialmente, a partir do últimas (por número) variáveis.
O processo de solução gaussiana consiste em dois estágios: movimentos para frente e para trás.
1. Movimento direto.
No primeiro estágio, é realizado o chamado movimento direto, quando, por meio de transformações elementares sobre linhas, o sistema é levado a uma forma escalonada ou triangular, ou é estabelecido que o sistema é inconsistente. Ou seja, entre os elementos da primeira coluna da matriz, um diferente de zero é escolhido, é movido para a posição mais alta permutando as linhas, e a primeira linha obtida após a permutação é subtraída das linhas restantes, multiplicando-a por um valor igual à razão do primeiro elemento de cada uma dessas linhas para o primeiro elemento da primeira linha, zerando assim a coluna abaixo dela.
Após as transformações indicadas terem sido feitas, a primeira linha e a primeira coluna são riscadas mentalmente e continuam até que uma matriz de tamanho zero permaneça. Se em alguma das iterações entre os elementos da primeira coluna não foi encontrado um diferente de zero, vá para a próxima coluna e execute uma operação semelhante.
No primeiro estágio (avanço), o sistema é reduzido a uma forma escalonada (em particular, triangular).
O sistema abaixo é passo a passo:
,
Os coeficientes aii são chamados de elementos principais (líderes) do sistema.
(se a11=0, reorganize as linhas da matriz de forma que uma 11 não era igual a 0. Isso sempre é possível, porque senão a matriz contém uma coluna zero, seu determinante é igual a zero e o sistema é inconsistente).Transformamos o sistema eliminando a incógnita x1 em todas as equações, exceto na primeira (usando transformações elementares do sistema). Para fazer isso, multiplique ambos os lados da primeira equação por
e somamos termo a termo com a segunda equação do sistema (ou da segunda equação subtraímos termo a termo a primeira multiplicada por ). Em seguida, multiplicamos as duas partes da primeira equação por e adicionamos à terceira equação do sistema (ou subtraímos a primeira multiplicada pela terceira termo a termo). Assim, multiplicamos sucessivamente a primeira linha por um número e adicionamos a eu-ésima linha, para eu= 2, 3, …,n.Continuando este processo, obtemos o sistema equivalente:
– novos valores dos coeficientes para incógnitas e termos livres nas últimas m-1 equações do sistema, que são determinados pelas fórmulas: Assim, na primeira etapa, todos os coeficientes sob o primeiro elemento líder a 11 são destruídos
0, a segunda etapa destrói os elementos sob o segundo elemento principal a 22 (1) (se a 22 (1) 0) e assim por diante. Continuando ainda mais esse processo, finalmente reduziremos o sistema original a um sistema triangular na etapa (m-1).Se, no processo de redução do sistema a uma forma gradual, aparecerem equações zero, ou seja, igualdades da forma 0=0, elas são descartadas. Se existe uma equação da forma
Isso indica a incompatibilidade do sistema. Isso completa o curso direto do método de Gauss.
2. Movimento reverso.
Na segunda etapa, é realizado o chamado movimento reverso, cuja essência é expressar todas as variáveis básicas resultantes em termos de não básicas e construir um sistema fundamental de soluções ou, se todas as variáveis forem básicas, então expresse numericamente a única solução do sistema de equações lineares.
Este procedimento começa com a última equação, a partir da qual a variável básica correspondente é expressa (é apenas uma nela) e substituída nas equações anteriores, e assim sucessivamente, subindo os "degraus" até o topo.
Cada linha corresponde exatamente a uma variável básica, então a cada passo, exceto o último (topmost), a situação repete exatamente o caso da última linha.
Observação: na prática, é mais conveniente trabalhar não com o sistema, mas com sua matriz estendida, realizando todas as transformações elementares em suas linhas. É conveniente que o coeficiente a11 seja igual a 1 (reorganize as equações, ou divida ambos os lados da equação por a11).
2.2 Exemplos de resolução de SLAE pelo método de Gauss
Nesta seção, três vários exemplos Vamos mostrar como o SLAE pode ser resolvido pelo método de Gauss.
Exemplo 1. Resolva o SLAE de 3ª ordem.
Defina os coeficientes como zero em
na segunda e terceira linhas. Para fazer isso, multiplique-os por 2/3 e 1, respectivamente, e adicione-os à primeira linha:
o calculadora online encontra uma solução para o sistema de equações lineares (SLE) pelo método de Gauss. Uma solução detalhada é dada. Para calcular, escolha o número de variáveis e o número de equações. Em seguida, insira os dados nas células e clique no botão "Calcular".
|
Representação numérica:
Inteiros e (ou) Frações comunsNúmeros inteiros e/ou decimais
Número de dígitos após o separador decimal
×
Aviso
Limpar todas as células?
Fechar Limpar
Instrução de entrada de dados. Os números são inseridos como números inteiros (exemplos: 487, 5, -7623, etc.), números decimais (por exemplo, 67., 102,54, etc.) ou frações. A fração deve ser digitada na forma a/b, onde a e b (b>0) são inteiros ou números decimais. Exemplos 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.
método Gauss
O método de Gauss é um método de transição do sistema original de equações lineares (usando transformações equivalentes) para um sistema mais fácil de resolver do que o sistema original.
As transformações equivalentes do sistema de equações lineares são:
- trocando duas equações no sistema,
- multiplicação de qualquer equação no sistema por um número real diferente de zero,
- adicionando a uma equação outra equação multiplicada por um número arbitrário.
Considere um sistema de equações lineares:
| (1) |
Escrevemos o sistema (1) na forma matricial:
| ax=b | (2) |
  | (3) |
UMAé chamada de matriz de coeficientes do sistema, b − parte direita restrições x− vetor de variáveis a serem encontradas. Let rank( UMA)=p.
Transformações equivalentes não alteram o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada do sistema. O conjunto de soluções do sistema também não muda sob transformações equivalentes. A essência do método de Gauss é trazer a matriz de coeficientes UMA para diagonal ou escalonado.
Vamos construir a matriz estendida do sistema:
Na próxima etapa, redefinimos todos os elementos da coluna 2, abaixo do elemento. Se o elemento fornecido for nulo, essa linha será trocada pela linha situada abaixo da linha fornecida e com um elemento diferente de zero na segunda coluna. Em seguida, zeramos todos os elementos da coluna 2 abaixo do elemento principal uma 22. Para fazer isso, adicione linhas 3, ... m com a linha 2 multiplicada por − uma 32 /uma 22 , ..., −uma m2 / uma 22, respectivamente. Continuando o procedimento, obtemos uma matriz de forma diagonal ou escalonada. Deixe a matriz aumentada resultante se parecer com:
| (7) |
 |
Porque classificaçãoA=classificação(A|b), então o conjunto de soluções (7) é ( n-p) é uma variedade. Consequentemente n-p incógnitas podem ser escolhidas arbitrariamente. As incógnitas restantes do sistema (7) são calculadas como segue. Da última equação expressamos x p pelo resto das variáveis e inserir nas expressões anteriores. Em seguida, da penúltima equação, expressamos x p−1 pelo resto das variáveis e inserir nas expressões anteriores, etc. Considere o método de Gauss em exemplos específicos.
Exemplos de resolução de um sistema de equações lineares usando o método de Gauss
Exemplo 1. Encontre a solução geral de um sistema de equações lineares usando o método de Gauss:
denotar por uma elementos ij eu-ésima linha e j-ésima coluna.
uma onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -2/3, -1/2, respectivamente:
Tipo de registro da matriz: ax=b, Onde
denotar por uma elementos ij eu-ésima linha e j-ésima coluna.
Excluir os elementos da 1ª coluna da matriz abaixo do elemento uma onze . Para fazer isso, adicione as linhas 2,3 com a linha 1, multiplicada por -1/5, -6/5, respectivamente:
Dividimos cada linha da matriz pelo elemento líder correspondente (se o elemento líder existir):
Onde x 3 , x
Substituindo as expressões superiores nas inferiores, obtemos a solução.
Então a solução vetorial pode ser representada da seguinte forma:
 |
Onde x 3 , x 4 são números reais arbitrários.