Como fatorar uma equação algébrica. fatoração
Fatorando um polinômio. Parte 1
fatoraçãoé uma técnica universal que ajuda a resolver equações e inequações complexas. O primeiro pensamento que deve ocorrer ao resolver equações e inequações em que o lado direito é zero é tentar fatorar o lado esquerdo.
Listamos os principais maneiras de fatorar um polinômio:
- tirando o fator comum do colchete
- uso de fórmulas de multiplicação abreviadas
- pela fórmula para fatorar um trinômio quadrado
- método de agrupamento
- dividindo um polinômio por um binômio
- método dos coeficientes indeterminados
Neste artigo, abordaremos os três primeiros métodos em detalhes; o restante será discutido nos artigos a seguir.
1. Tirando o fator comum do colchete.
Para tirar o fator comum do colchete, você deve primeiro encontrá-lo. Coeficiente multiplicador comumé igual ao máximo divisor comum de todos os coeficientes.
Parte da carta o fator comum é igual ao produto das expressões que compõem cada termo com o menor expoente.
O esquema para retirar um fator comum se parece com isso:
Atenção!
O número de termos entre colchetes é igual ao número de termos na expressão original. Se um dos termos coincidir com o fator comum, quando for dividido pelo fator comum, obtemos um.
Exemplo 1
Fatore o polinômio:
Vamos tirar o fator comum dos colchetes. Para fazer isso, primeiro o encontramos.
1. Encontre o máximo divisor comum de todos os coeficientes do polinômio, ou seja, números 20, 35 e 15. É igual a 5.
2. Estabelecemos que a variável está contida em todos os termos e o menor de seus expoentes é 2. A variável está contida em todos os termos e o menor de seus expoentes é 3.
A variável está contida apenas no segundo termo, portanto não faz parte do fator comum.
Então o fator comum é
3. Retiramos o fator usando o esquema acima:
Exemplo 2 Resolva a equação:
Solução. Vamos fatorar o lado esquerdo da equação. Vamos tirar o fator entre parênteses:
Então temos a equação 
Defina cada fator igual a zero:
Obtemos - a raiz da primeira equação.
Raízes:
Resposta: -1, 2, 4
2. Fatoração usando fórmulas de multiplicação abreviadas.
Se o número de termos no polinômio que vamos fatorar for menor ou igual a três, tentamos aplicar as fórmulas de multiplicação reduzida.
1. Se o polinômio fordiferença de dois termos, então tentamos aplicar fórmula da diferença de quadrados:
ou fórmula da diferença do cubo:
aqui estão as letras e denotam um número ou uma expressão algébrica.
2. Se o polinômio é a soma de dois termos, talvez possa ser fatorado usando fórmulas para a soma dos cubos:
3. Se o polinômio consiste em três termos, tentamos aplicar fórmula soma quadrada:
ou fórmula do quadrado da diferença:
Ou tentamos fatorar por fórmula para fatorar um trinômio quadrado:
Aqui e são as raízes da equação quadrática 
Exemplo 3Fatorando a expressão:
Solução. Temos a soma de dois termos. Vamos tentar aplicar a fórmula da soma dos cubos. Para fazer isso, você deve primeiro representar cada termo como um cubo de alguma expressão e, em seguida, aplicar a fórmula para a soma dos cubos:
Exemplo 4 Fatorando a expressão: 
Solução. Diante de nós está a diferença dos quadrados de duas expressões. Primeira expressão: , segunda expressão:
Vamos aplicar a fórmula da diferença de quadrados:
Vamos abrir os parênteses e dar termos iguais, obtemos:
Considere, usando exemplos específicos, como fatorar um polinômio.
Vamos expandir polinômios de acordo com .
Fatoração de polinômios:
Verifique se há um fator comum. sim, é igual a 7cd. Vamos tirá-lo dos parênteses:
A expressão entre parênteses consiste em dois termos. Não há mais um fator comum, a expressão não é uma fórmula para a soma dos cubos, o que significa que a decomposição está concluída.
Verifique se há um fator comum. Não. O polinômio consiste em três termos, então verificamos se existe uma fórmula quadrada completa. Dois termos são os quadrados das expressões: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², o terceiro termo é igual ao dobro do produto dessas expressões: 2∙5x∙3y=30xy. Portanto, este polinômio é um quadrado perfeito. Como o produto duplo está com um sinal de menos, isso é:
Verificamos se é possível retirar o fator comum dos colchetes. Existe um fator comum, é igual a a. Vamos tirá-lo dos parênteses:
Há dois termos entre parênteses. Verificamos se existe uma fórmula para a diferença de quadrados ou para a diferença de cubos. a² é o quadrado de a, 1=1². Assim, a expressão entre parênteses pode ser escrita de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:
Existe um fator comum, é igual a 5. Tiramos entre parênteses:
entre parênteses estão três termos. Verifique se a expressão é um quadrado perfeito. Dois termos são quadrados: 16=4² e a² é o quadrado de a, o terceiro termo é igual a duas vezes o produto de 4 e a: 2∙4∙a=8a. Portanto, é um quadrado perfeito. Como todos os termos estão com sinal "+", a expressão entre parênteses é o quadrado completo da soma:
O fator comum -2x é retirado dos colchetes:
Entre parênteses está a soma dos dois termos. Verificamos se a expressão dada é a soma dos cubos. 64=4³, x³-cubo x. Assim, o binômio pode ser expandido de acordo com a fórmula:
Existe um fator comum. Mas, como o polinômio consiste em 4 membros, primeiro, e só depois, tiraremos o fator comum dos colchetes. Agrupamos o primeiro termo com o quarto, no segundo - com o terceiro:
Dos primeiros colchetes, retiramos o fator comum 4a, do segundo - 8b:
Ainda não existe um multiplicador comum. Para obtê-lo, dos segundos colchetes vamos retirar os colchetes “-”, enquanto cada sinal nos colchetes mudará para o oposto:
Agora tiramos o fator comum (1-3a) dos colchetes:
Nos segundos colchetes há um fator comum 4 (este é o mesmo fator que não tiramos dos colchetes no início do exemplo):
Como o polinômio consiste em quatro termos, realizamos o agrupamento. Agrupamos o primeiro termo com o segundo, o terceiro com o quarto:
Não há fator comum nos primeiros colchetes, mas existe uma fórmula para a diferença de quadrados, nos segundos colchetes o fator comum é -5:
Um fator comum (4m-3n) apareceu. Vamos tirá-lo dos colchetes.
Sobre esta lição relembraremos todos os métodos estudados anteriormente para fatorar um polinômio e consideraremos exemplos de sua aplicação; além disso, estudaremos novo método- o método de selecionar um quadrado completo e aprender como aplicá-lo na resolução de vários problemas.
Assunto:Fatoração de polinômios
Lição:Fatoração de polinômios. Método de seleção de quadrados completos. Combinação de métodos
Lembre-se dos principais métodos para fatorar um polinômio que foram estudados anteriormente:
O método de retirar um fator comum dos colchetes, ou seja, um fator que está presente em todos os membros do polinômio. Considere um exemplo:
Lembre-se de que um monômio é um produto de potências e números. Em nosso exemplo, ambos os membros têm alguns elementos idênticos e comuns.
Então, vamos tirar o fator comum dos colchetes:
;
Lembre-se de que, multiplicando o multiplicador renderizado pelo colchete, você pode verificar a exatidão da renderização.
método de agrupamento. Nem sempre é possível retirar um fator comum em um polinômio. Nesse caso, você precisa dividir seus membros em grupos de forma que em cada grupo você possa retirar um fator comum e tentar decompô-lo para que, após retirar os fatores dos grupos, apareça um fator comum para o toda a expressão, e a expansão poderia ser continuada. Considere um exemplo:
Agrupe o primeiro termo com o quarto, o segundo com o quinto e o terceiro com o sexto, respectivamente:
Vamos tirar os fatores comuns nos grupos:
A expressão tem um fator comum. Vamos tirar:
Aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas. Considere um exemplo:
;
Vamos escrever a expressão em detalhes:
Obviamente, temos diante de nós a fórmula do quadrado da diferença, pois há a soma dos quadrados de duas expressões e dela subtrai-se o seu duplo produto. Vamos rolar pela fórmula:
Hoje vamos aprender outra maneira - o método de seleção de quadrados completos. Baseia-se nas fórmulas do quadrado da soma e do quadrado da diferença. Relembre-os:
A fórmula do quadrado da soma (diferença);
A peculiaridade dessas fórmulas é que elas contêm quadrados de duas expressões e seu produto duplo. Considere um exemplo:
Vamos escrever a expressão:
Então a primeira expressão é , e a segunda .
Para fazer uma fórmula para o quadrado da soma ou diferença, não basta o duplo produto das expressões. É preciso somar e subtrair:
Vamos recolher o quadrado completo da soma:
Vamos transformar a expressão resultante:
Aplicamos a fórmula da diferença de quadrados, lembre-se que a diferença dos quadrados de duas expressões é o produto e a soma pela diferença:
Então, este método consiste, antes de tudo, no fato de que é necessário identificar as expressões a e b que estão no quadrado, ou seja, determinar quais expressões quadrados estão no este exemplo. Depois disso, você precisa verificar a presença de um produto duplo e, se não estiver, adicione e subtraia, isso não mudará o significado do exemplo, mas o polinômio pode ser fatorado usando as fórmulas para o quadrado de a soma ou diferença e diferença de quadrados, se possível.
Vamos passar para a resolução de exemplos.
Exemplo 1 - fatorar:
Encontre expressões que são quadradas:
Vamos escrever qual deve ser o produto duplo:
Vamos somar e subtrair o produto duplo:
Vamos recolher o quadrado completo da soma e fornecer outros semelhantes:
Vamos escrever de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:
Exemplo 2 - resolva a equação:
;
Há um trinômio no lado esquerdo da equação. Você precisa fatorar. Usamos a fórmula do quadrado da diferença:
Temos o quadrado da primeira expressão e o produto duplo, falta o quadrado da segunda expressão, vamos somar e subtrair:
Vamos recolher o quadrado completo e fornecer termos semelhantes:
Vamos aplicar a fórmula da diferença de quadrados:
Então temos a equação 
Sabemos que o produto é igual a zero apenas se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Com base nisso, escreveremos as equações:
Vamos resolver a primeira equação:
Vamos resolver a segunda equação:
Resposta: ou
;
Agimos de forma semelhante ao exemplo anterior - selecione o quadrado da diferença.
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O que fazer se, no processo de resolução de um problema do Exame Estadual Unificado ou no vestibular de matemática, você recebeu um polinômio que não pode ser fatorado métodos padrão que você aprendeu na escola? Neste artigo, um tutor de matemática falará sobre uma maneira eficaz, cujo estudo está além currículo escolar, mas com a ajuda do qual não será difícil fatorar o polinômio. Leia este artigo até o final e assista ao tutorial em vídeo em anexo. O conhecimento adquirido irá ajudá-lo no exame.
Fatorando um polinômio pelo método da divisão
Caso você tenha recebido um polinômio maior que o segundo grau e tenha conseguido adivinhar o valor de uma variável na qual esse polinômio torna-se igual a zero (por exemplo, esse valor é igual a), saiba! Este polinômio pode ser dividido sem resto por .
Por exemplo, é fácil ver que um polinômio de quarto grau desaparece em . Isso significa que pode ser dividido por sem deixar resto, obtendo assim um polinômio de terceiro grau (menor que um). Ou seja, coloque na forma:
Onde A, B, C E D- alguns números. Vamos expandir os colchetes:
Como os coeficientes nas mesmas potências devem ser os mesmos, obtemos:
Então nós temos:
Vá em frente. Basta classificar vários pequenos inteiros para ver que o polinômio do terceiro grau é novamente divisível por . Isso resulta em um polinômio de segundo grau (menor que um). Em seguida, passamos para um novo registro:
Onde E, F E G- alguns números. Abrindo novamente os parênteses, chegamos à seguinte expressão:
Novamente, da condição de igualdade dos coeficientes às mesmas potências, obtemos:
Então obtemos:
Ou seja, o polinômio original pode ser fatorado da seguinte forma:
Em princípio, se desejado, usando a fórmula da diferença de quadrados, o resultado também pode ser representado da seguinte forma:
Tão simples e método eficaz fatoração de polinômios. Lembre-se, pode ser útil em um exame ou olimpíada de matemática. Verifique se você aprendeu a usar este método. Tente resolver o seguinte problema você mesmo.
Fatorar um polinômio:
Escreva suas respostas nos comentários.
Preparado por Sergey Valerievich