Função linear. proporção direta. Proporção inversa. Proporcionalidade direta e seu gráfico

O conceito de proporcionalidade direta

Imagine que você está pensando em comprar seu doce favorito (ou o que você realmente gosta). Os doces da loja têm seu próprio preço. Suponha que 300 rublos por quilograma. Quanto mais doces você comprar, mais mais dinheiro pagar. Ou seja, se você quiser 2 quilos - pague 600 rublos, e se quiser 3 quilos - dê 900 rublos. Tudo parece estar claro com isso, certo?

Se sim, agora está claro para você o que é proporcionalidade direta - este é um conceito que descreve a proporção de duas quantidades que dependem uma da outra. E a proporção dessas quantidades permanece inalterada e constante: quantas partes uma delas aumenta ou diminui, pelo mesmo número de partes a segunda aumenta ou diminui proporcionalmente.

Você pode descrever a proporcionalidade direta com a seguinte fórmula: f (x) = a * x, e a nesta fórmula - constante(a = const). Em nosso exemplo de doces, o preço é uma constante, uma constante. Não aumenta nem diminui, não importa quantos doces você decida comprar. A variável independente (argumento) x é quantos quilos de doce você vai comprar. E a variável dependente f(x) (função) é quanto dinheiro você acaba pagando por sua compra. Então podemos substituir os números na fórmula e obter: 600 r. = 300 r. * 2kg.

A conclusão intermediária é esta: se o argumento aumenta, a função também aumenta, se o argumento diminui, a função também diminui

Função e suas propriedades

Função proporcional diretaé um caso especial de função linear. Se a função linear for y = k*x + b, então para proporcionalidade direta ela se parece com isto: y = k*x, onde k é chamado de fator de proporcionalidade, e este é sempre um número diferente de zero. Calcular k é fácil - é encontrado como um quociente de uma função e um argumento: k = y/x.

Para ficar mais claro, vamos pegar outro exemplo. Imagine que um carro está se movendo do ponto A para o ponto B. Sua velocidade é de 60 km/h. Se assumirmos que a velocidade do movimento permanece constante, ela pode ser considerada constante. E então escrevemos as condições na forma: S \u003d 60 * t, e esta fórmula é semelhante à função de proporcionalidade direta y \u003d k * x. Vamos traçar um paralelo adicional: se k \u003d y / x, então a velocidade do carro pode ser calculada, conhecendo a distância entre A e B e o tempo gasto na estrada: V \u003d S / t.

E agora, da aplicação aplicada do conhecimento sobre proporcionalidade direta, voltemos à sua função. As propriedades dos quais incluem:

seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais (assim como seu subconjunto);

a função é ímpar;

a mudança nas variáveis é diretamente proporcional ao comprimento total da linha numérica.

Proporcionalidade direta e seu gráfico

Um gráfico de uma função proporcional direta é uma linha reta que intercepta o ponto de origem. Para construí-lo, basta marcar apenas mais um ponto. E conecte-o e a origem da linha.

No caso de um gráfico, k é a inclinação. Se a inclinação menos que zero(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент Acima de zero(k > 0), o gráfico e o eixo x formam um ângulo agudo e a função é crescente.

E mais uma propriedade do gráfico da função de proporcionalidade direta está diretamente relacionada à inclinação k. Suponha que temos duas funções não idênticas e, portanto, dois gráficos. Então, se os coeficientes k dessas funções são iguais, seus gráficos são paralelos no eixo de coordenadas. E se os coeficientes k não forem iguais entre si, os gráficos se interceptam.

Exemplos de tarefas

Vamos decidir um casal problemas de proporcionalidade direta

Vamos começar simples.

Tarefa 1: Imagine que 5 galinhas botaram 5 ovos em 5 dias. E se houver 20 galinhas, quantos ovos elas botarão em 20 dias?

Solução: Denote a incógnita como x. E vamos argumentar da seguinte forma: quantas vezes houve mais galinhas? Divida 20 por 5 e descubra 4 vezes. E quantas vezes mais 20 galinhas botarão nos mesmos 5 dias? Também 4 vezes mais. Então, encontramos o nosso assim: 5 * 4 * 4 \u003d 80 ovos serão postos por 20 galinhas em 20 dias.

Agora o exemplo é um pouco mais complicado, vamos reformular o problema da "Aritmética Geral" de Newton. Tarefa 2: Um escritor pode escrever 14 páginas de um novo livro em 8 dias. Se ele tivesse assistentes, quantas pessoas seriam necessárias para escrever 420 páginas em 12 dias?

Solução: Pensamos que o número de pessoas (escritor + assistentes) aumenta com o aumento da quantidade de trabalho se tiver que ser feito no mesmo tempo. Mas quantas vezes? Dividindo 420 por 14, descobrimos que aumenta 30 vezes. Mas como, de acordo com a condição da tarefa, é dado mais tempo para o trabalho, o número de auxiliares não aumenta 30 vezes, mas desta forma: x \u003d 1 (escritor) * 30 (vezes): 12/8 (dias). Vamos transformar e descobrir que x = 20 pessoas escreverão 420 páginas em 12 dias.

Vamos resolver outro problema semelhante aos que tivemos nos exemplos.

Tarefa 3: Dois carros partem na mesma viagem. Um estava se movendo a uma velocidade de 70 km/h e percorreu a mesma distância em 2 horas que o outro em 7 horas. Encontre a velocidade do segundo carro.

Solução: Como você se lembra, a trajetória é determinada pela velocidade e pelo tempo - S = V *t. Como os dois carros percorreram o mesmo caminho, podemos igualar as duas expressões: 70*2 = V*7. Onde descobrimos que a velocidade do segundo carro é V = 70*2/7 = 20 km/h.

E mais alguns exemplos de tarefas com funções de proporcionalidade direta. Às vezes, em problemas, é necessário encontrar o coeficiente k.

Tarefa 4: Dadas as funções y \u003d - x / 16 e y \u003d 5x / 2, determine seus coeficientes de proporcionalidade.

Solução: Como você se lembra, k = y/x. Portanto, para a primeira função, o coeficiente é -1/16 e, para a segunda, k = 5/2.

E você também pode se deparar com uma tarefa como Tarefa 5: Escreva a fórmula de proporcionalidade direta. Seu gráfico e o gráfico da função y \u003d -5x + 3 estão localizados em paralelo.

Solução: A função que nos é dada na condição é linear. Sabemos que a proporcionalidade direta é um caso especial de uma função linear. E também sabemos que se os coeficientes das funções k são iguais, seus gráficos são paralelos. Isso significa que tudo o que é necessário é calcular o coeficiente de uma função conhecida e definir a proporcionalidade direta usando a fórmula familiar: y \u003d k * x. Coeficiente k \u003d -5, proporcionalidade direta: y \u003d -5 * x.

Conclusão

Agora você aprendeu (ou lembrou, se já cobriu este tópico antes), o que é chamado proporcionalidade direta, e considerou exemplos. Também falamos sobre a função de proporcionalidade direta e seu gráfico, resolvemos alguns problemas, por exemplo.

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Hoje veremos quais quantidades são chamadas de inversamente proporcionais, como é o gráfico de proporcionalidade inversa e como tudo isso pode ser útil para você não apenas nas aulas de matemática, mas também fora dos muros da escola.

Proporções tão diferentes

Proporcionalidade Cite duas quantidades que são mutuamente dependentes uma da outra.

A dependência pode ser direta e reversa. Portanto, a relação entre as quantidades descreve a proporcionalidade direta e inversa.

proporcionalidade direta- esta é uma relação entre duas quantidades, na qual um aumento ou diminuição em uma delas leva a um aumento ou diminuição na outra. Aqueles. sua atitude não muda.

Por exemplo, quanto mais esforço você colocar na preparação para os exames, mais altas serão suas notas. Ou quanto mais coisas você leva em uma caminhada, mais difícil é carregar sua mochila. Aqueles. a quantidade de esforço gasto na preparação para os exames é diretamente proporcional às notas recebidas. E o número de coisas embaladas em uma mochila é diretamente proporcional ao seu peso.

proporcionalidade inversa - esta é uma dependência funcional na qual uma diminuição ou aumento várias vezes de um valor independente (é chamado de argumento) causa um aumento ou diminuição proporcional (ou seja, na mesma quantidade) em um valor dependente (é chamado de função ).

Ilustrar exemplo simples. Você quer comprar maçãs no mercado. As maçãs no balcão e a quantidade de dinheiro em sua carteira estão inversamente relacionadas. Aqueles. quanto mais maçãs você comprar, menos dinheiro sobrará.

Função e seu gráfico

A função de proporcionalidade inversa pode ser descrita como y = k/x. No qual x≠ 0 e k≠ 0.

Esta função tem as seguintes propriedades:

Seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais, exceto x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
O intervalo é todos os números reais, exceto y= 0. E(s): (-∞; 0) você (0; +∞) .
Não possui valores máximos ou mínimos.
É ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Não periódico.
Seu gráfico não cruza os eixos coordenados.
Não tem zeros.
Se k> 0 (ou seja, o argumento aumenta), a função diminui proporcionalmente em cada um de seus intervalos. Se k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
À medida que o argumento aumenta ( k> 0) valores negativos funções estão no intervalo (-∞; 0), e positivo - (0; +∞). Quando o argumento é decrescente ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

O gráfico da função de proporcionalidade inversa é chamado de hipérbole. Representado da seguinte forma:

Problemas de Proporcional Inversa

Para deixar mais claro, vamos ver algumas tarefas. Eles não são muito complicados e sua solução ajudará você a visualizar o que é proporção inversa e como esse conhecimento pode ser útil em sua vida cotidiana.

Tarefa número 1. O carro está se movendo a uma velocidade de 60 km/h. Ele levou 6 horas para chegar ao seu destino. Quanto tempo ele levará para cobrir a mesma distância se ele se mover com o dobro da velocidade?

Podemos começar escrevendo uma fórmula que descreve a relação entre tempo, distância e velocidade: t = S/V. Concordo, isso nos lembra muito a função de proporcionalidade inversa. E indica que o tempo que o carro passa na estrada e a velocidade com que ele se move são inversamente proporcionais.

Para verificar isso, vamos encontrar V 2, que, por condição, é 2 vezes maior: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Em seguida, calculamos a distância usando a fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Agora não é difícil descobrir o tempo t 2 que nos é exigido de acordo com a condição do problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como você pode ver, o tempo de viagem e a velocidade são inversamente proporcionais: com uma velocidade 2 vezes maior que a original, o carro passará 2 vezes menos tempo na estrada.

A solução para este problema também pode ser escrita como uma proporção. Por que criamos um diagrama como este:

↓ 60km/h – 6h

↓120 km/h – x h

As setas indicam uma relação inversa. Eles também sugerem que, ao elaborar uma proporção lado direito registros devem ser invertidos: 60/120 = x/6. Onde obtemos x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 horas.

Tarefa número 2. A oficina emprega 6 trabalhadores que realizam uma determinada quantidade de trabalho em 4 horas. Se o número de trabalhadores cair pela metade, quanto tempo levará para os trabalhadores restantes completarem a mesma quantidade de trabalho?

Escrevemos as condições do problema na forma de um diagrama visual:

↓ 6 trabalhadores - 4 horas

↓ 3 trabalhadores - x h

Vamos escrever isso como uma proporção: 6/3 = x/4. E obtemos x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 horas.Se houver 2 vezes menos trabalhadores, o restante gastará 2 vezes mais tempo para concluir todo o trabalho.

Tarefa número 3. Dois canos levam à piscina. Por um cano, a água entra a uma taxa de 2 l / se enche a piscina em 45 minutos. Através de outro cano, a piscina ficará cheia em 75 minutos. Com que rapidez a água entra na piscina através deste cano?

Para começar, traremos todas as quantidades que nos são dadas de acordo com a condição do problema para as mesmas unidades de medida. Para isso, expressamos a taxa de enchimento da piscina em litros por minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Como decorre da condição que a piscina é enchida mais lentamente pelo segundo tubo, significa que a vazão de entrada de água é menor. Diante da proporção inversa. Vamos expressar a velocidade desconhecida para nós em termos de x e elaborar o seguinte esquema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

E então faremos uma proporção: 120 / x \u003d 75/45, de onde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

No problema, a taxa de enchimento da piscina é expressa em litros por segundo, vamos trazer nossa resposta para a mesma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarefa número 4. Os cartões de visita são impressos em uma pequena gráfica particular. Um funcionário da gráfica trabalha a uma velocidade de 42 cartões de visita por hora e trabalha em período integral - 8 horas. Se ele trabalhasse mais rápido e imprimisse 48 cartões de visita por hora, quanto tempo antes ele poderia ir para casa?

Vamos de maneira comprovada e traçamos um esquema de acordo com a condição do problema, denotando o valor desejado como x:

↓ 42 cartões de visita/h – 8h

↓ 48 cartões de visita/h – xh

Diante de nós está uma relação inversamente proporcional: quantas vezes mais cartões de visita um funcionário de uma gráfica imprime por hora, o mesmo tempo que ele levará para concluir o mesmo trabalho. Sabendo disso, podemos montar a proporção:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 horas.

Assim, tendo concluído o trabalho em 7 horas, o funcionário da gráfica poderia ir para casa uma hora antes.

Conclusão

Parece-nos que esses problemas de proporcionalidade inversa são realmente simples. Esperamos que agora você também os considere assim. E o mais importante, o conhecimento da dependência inversamente proporcional das quantidades pode realmente ser útil para você mais de uma vez.

Não apenas em aulas de matemática e exames. Mas mesmo assim, quando você vai viajar, fazer compras, decidir ganhar algum dinheiro durante as férias, etc.

Conte-nos nos comentários quais exemplos de proporcionalidade inversa e direta você percebe ao seu redor. Que isso seja um jogo. Você vai ver como é emocionante. Não se esqueça de compartilhar este artigo nas redes sociais para que seus amigos e colegas também possam jogar.

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ADMINISTRAÇÃO DA FORMAÇÃO MUNICIPAL "CIDADE DE SARATOV"

INSTITUIÇÃO MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

"SEVERAGE SCHOOL № 95 COM PROFUNDIDADE

ESTUDANDO ASSUNTOS INDIVIDUAIS"

Desenvolvimento metódico

aula de álgebra na 7ª série

neste tópico:

"Proporcionalidade direta

e a agenda dela.

professor de matematica

1 categoria de qualificação

Goryunova E.V.

Ano letivo 2014 – 2015

Nota explicativa

para a lição sobre o tema:

"Proporcionalidade direta e seu gráfico".

Professora de matemática Goryunova Elena Viktorovna.

Sua atenção é apresentada à lição da 7ª série. O professor trabalha de acordo com um programa compilado com base nos programas de amostra do principal Educação geral e o programa do autor para instituições educacionais Yu.N. Makarychev. Algebra.7-9 classes // Coleção de programas em álgebra 7-9 classes. M. Enlightenment, 2009 compilado por T.A. Burmistrov. O programa corresponde ao livro de álgebra Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov., S.B. Suvorov., editado por S.A. Telyakovsky "Algebra Grade 7" (editora "Iluminismo" 2009).

14 horas são destinadas ao estudo do tópico "Funções", das quais 6 horas são para a seção "Funções e seus gráficos", 3 horas - para a seção "Proporcionalidade direta e seu gráfico", 4 horas para a seção "Função linear e seu gráfico" e 1 hora K/R.

METAS:

Educacional:

Em desenvolvimento:

3. Incentive os alunos ao autocontrole e ao controle mútuo.

Educacional:

Incutir respeito pelos colegas, atenção à palavra, promover a educação da independência, responsabilidade, rigor na construção dos desenhos

Esses objetivos são alcançados por meio de uma série de tarefas:

Equipamento de aula:

A aula usou cartões individuais com tarefas e um projetor multimídia, todos os fatos sobre R. Descartes foram retirados pelo professor na Internet de sites de mídia oficiais e redesenhados especificamente para esta aula, levando em consideração o tema da aula, o livro didático.

Tipo de aula e estrutura:

Esta lição é uma aula para dominar novos conhecimentos e habilidades (tipos de aulas de acordo com V.A. Onischuk), por isso era racional aplicar elementos da atividade de pesquisa.

Implementação dos princípios de aprendizagem:

Os seguintes princípios foram implementados na lição:

Ensino Científico.

O princípio do ensino sistemático e consistente foi realizado com confiança constante no material previamente estudado.

A consciência, a atividade e a independência dos alunos foram alcançadas na forma de estimulação da atividade cognitiva com a ajuda de técnicas eficazes e recursos visuais (como apresentações de slides, apresentações factos históricos e informações da vida do matemático e filósofo R. Descartes, folhas impressas individuais dos alunos.

A lição foi implementada o princípio do conforto.

Formas e métodos de ensino:

Durante a aula foram aplicados várias formas a aprendizagem é um trabalho individual e frontal, de verificação mútua. Tais formas são mais racionais para deste tipo lição, pois permitem à criança desenvolver o pensamento independente, o pensamento crítico, a capacidade de defender o seu ponto de vista, a capacidade de comparar e tirar conclusões.

O método principal desta lição é o método de pesquisa parcial, que se caracteriza pelo trabalho dos alunos na resolução de tarefas cognitivas problemáticas.

Física um minuto era ao mesmo tempo exercício físico e consolidação do material acabado de estudar.

No final da aula, é aconselhável resumir o trabalho realizado na aula.

Resultados gerais da aula:

Acredito que as tarefas propostas para a aula foram implementadas, as crianças aplicaram seus conhecimentos em uma situação nova, todos puderam expressar seu ponto de vista. O uso da visualização em forma de apresentação, folhas impressas individuais dos alunos permite motivar os alunos em cada etapa da aula e evitar sobrecarga e excesso de trabalho dos alunos.

Tópico da lição:

Tarefa didática: familiaridade com a proporcionalidade direta e a construção de seu gráfico.

Metas:

Educacional:

1. Organize as atividades dos alunos sobre a percepção do tema "Proporcionalidade direta e seu cronograma" e consolidação primária: determinando a proporcionalidade direta e traçando seu cronograma, para formar habilidades para plotagem competente

2. Criar condições para a criação de um sistema na memória dos alunos conhecimento básico e habilidades para estimular a atividade de busca

Em desenvolvimento:

1. Desenvolver o pensamento analítico e sintetizador (promover o desenvolvimento da observação, da capacidade de análise, o desenvolvimento da capacidade de classificar os factos, de tirar conclusões generalizantes).

2. Desenvolver pensamento abstrato(desenvolvimento de habilidades para destacar características gerais e essenciais, para distinguir características não essenciais e se distrair delas).

3. Incentive os alunos ao autocontrole e ao controle mútuo

Educacional:

Incutir respeito pelos colegas, atenção à palavra, promover a educação da independência, responsabilidade, rigor na construção dos desenhos.

Equipamento: computador, apresentação, cartões impressos com tarefas para cada aluno.

Plano de aula:

1. Momento organizacional.

2.Motivação da aula.

3.Atualização de conhecimentos.

4. Estudo de novos materiais.

5. Fixação do material.

6. O resultado da lição.

Durante as aulas.

1. Momento organizacional.

Bom Dia pessoal! Eu gostaria de começar a lição com as seguintes palavras. (Slide 1)

O cientista francês René Descartes certa vez disse: “Penso, logo existo”.

A galera preparou uma mensagem sobre o cientista francês R. Descartes.

René Descartes é mais conhecido como um grande filósofo do que como um matemático. Mas foi ele o pioneiro da matemática moderna, e seus méritos nessa área são tão grandes que ele é justamente incluído entre os grandes matemáticos de nosso tempo.

Mensagem do aluno:(Slide 2)

Nascimento Descartes nasceu na França, na pequena cidade de Lae. Seu pai era advogado, sua mãe faleceu quando René tinha 1 ano. Depois de se formar em uma faculdade para filhos de famílias aristocráticas, ele, a exemplo do irmão, começou a estudar direito. Aos 22 anos, ele deixou a França e, como oficial voluntário, serviu nas tropas de vários líderes militares que participaram da guerra de 13 anos. Descartes em seu filosofia desenvolveu a ideia da onipotência da mente humana, e por isso foi perseguido pela Igreja Católica. Querendo encontrar um porto seguro para um trabalho tranquilo em filosofia e matemática, pelos quais se interessava desde a infância, Descartes se estabeleceu na Holanda em 1629, onde viveu quase até o fim de sua vida. Todas as principais obras de Descartes sobre filosofia, matemática, física, cosmologia e fisiologia foram escritas por ele na Holanda.

Obras matemáticas de Descartes são coletadas em seu livro "Geometria" (1637) Em "Geometria" Descartes deu os fundamentos da geometria analítica e álgebra. Descartes foi o primeiro a introduzir na matemática o conceito variável de função. Ele chamou a atenção para o fato de que uma curva em um plano é caracterizada por uma equação que tem a propriedade de que as coordenadas de qualquer ponto situado nessa linha satisfazem essa equação. Ele dividiu as curvas dadas equação algébrica, em classes dependendo da maior potência da quantidade desconhecida na equação. Descartes introduziu na matemática os sinais de mais e menos para denotar quantidades positivas e negativas, a notação do grau e o sinal para denotar uma quantidade infinitamente grande. Para variáveis e quantidades desconhecidas, Descartes adotou as designações x, y, z, e para quantidades conhecidas e constantes -a .b .c, como você sabe, essas designações são usadas em matemática até hoje. Apesar de Descartes não ter avançado muito no campo da geometria analítica, suas obras tiveram uma influência decisiva na desenvolvimento adicional matemática. Por 150 anos, a matemática se desenvolveu de acordo com as linhas delineadas por Descartes.

Vamos seguir o conselho do cientista. Seremos ativos, atentos, raciocinaremos, pensaremos e aprenderemos coisas novas, porque o conhecimento será útil para você mais tarde vida... E gostaria de oferecer estas palavras (Slide 3) de R. Descartes como lema de nossa lição : "O respeito pelos outros dá origem ao respeito por si mesmo."

2.Motivação.

Vamos verificar com que humor você veio para a aula. Desenhamos um smiley nas margens.

Pegue cartões. As palavras de R. Descartes também estão escritas aqui: “ Para melhorar sua mente, você precisa raciocinar mais do que memorizar. Estas palavras nos guiarão em nosso trabalho.

Tarefa número 1 com termos matemáticos que usaremos na aula. Corrija os erros cometidos na ortografia desses termos. (Slide 4)

Troque os folhetos e verifique se todos os erros foram corrigidos. (Slide 5) O que você percebeu? Qual palavra não tem erros? (função, gráfico)

3. Atualização do conhecimento.

a) Conhecemos o conceito de "função" nas aulas anteriores. Vamos relembrar os conceitos básicos e definições sobre este tópico.

Também trabalhamos com gráficos de funções. Qual das palavras do ditado usamos ao trabalhar no tópico "Gráficos de funções"? o que eles representam?

Neste slide, determine qual das linhas será o gráfico da função? (Slide 6)

E quem dirá sobre o que falaremos nesta lição? Quais são os objetivos da aula? (slide 7)

Nas folhas dos alunos, escreva o número e escreva o tópico da lição: "Proporcionalidade direta e seu gráfico"

Lembre-se do material das aulas anteriores

Escreva fórmulas para resolver os seguintes problemas. (Slide 9,10)

Quais são as variáveis dependentes e independentes? O que depende do quê? Que vício? (Deslizar)

Qual das fórmulas é diferente das outras? (Deslizar)

c) Como as fórmulas podem ser escritas em visão geral? (Deslizar)

y =kx , y - variável dependente

x - variável independente

k - número constante (coeficiente)

Escrevemos a fórmula, e esta é uma maneira de definir uma função. A dependência proporcional direta é uma função.

4. Estudo de novos materiais.

Definição. A proporcionalidade direta é uma função que pode ser especificada pela fórmula y \u003d kx, onde x é uma variável independente e k é um certo número que não é igual a zero, o coeficiente de proporcionalidade direta (uma proporção constante de valores proporcionais)

Leia a regra no livro didático na página 65

O escopo desta função? (O conjunto de todos os números)

Fixação do material.

Conclua a tarefa nas folhas nº 4 (Slide) Divida as fórmulas em 2 grupos de acordo com o tema da lição: (leia a regra no livro didático na p. 65)

y=2x, y=3x-7, y=-0,2x, y=x, y=x², y=x, y=-5,8+3x, y=-x, y=50x,

1º grupo: _____________________________________________________

2º grupo: _____________________________________________________

Sublinhe o fator de proporcionalidade direto.

Cumprimos o nº 298 da página 68 (oralmente), eu dito, você determina a fórmula da proporcionalidade de ouvido e aperta os olhos, se não a proporcionalidade, então gire os olhos da esquerda para a direita.

Crie e anote 4 fórmulas para a função de proporcionalidade direta:

1)y=_________2)y=__________3)y=_________4)y=__________

Aprendendo novo material

Qual é o gráfico dessa função? Você quer saber?

Já construímos um gráfico de função na tarefa nº 2, podemos chamar essa função de proporcionalidade? Então já construímos um gráfico de pr.proporcionalidade. Regra no livro didático na página 67.

Vamos ver como vamos construir um gráfico desta função (Slide)

Fixação do material.

Vamos construir um gráfico número 7 nas folhas dos alunos (Slide)

Que ponto teremos em qualquer gráfico de proporcionalidade?

Trabalhamos de acordo com desenhos prontos. (Deslizar)

Conclusão: o gráfico é uma reta passando pela origem.

T.K. o gráfico é uma linha reta, quantos pontos são necessários para plotá-lo? Já existe um (0;0)

Nós realizamos o nº 300

Resumo da lição. Vamos resumir o trabalho na lição de hoje (Slide). Eles fizeram tudo. O que você planejou?

Reflexão. (Deslizar)

Verifique o humor dos alunos no final da aula. (Sorriso) (Slide)

O conceito de proporcionalidade direta

Imagine que você está pensando em comprar seu doce favorito (ou o que você realmente gosta). Os doces da loja têm seu próprio preço. Suponha que 300 rublos por quilograma. Quanto mais doces você comprar, mais dinheiro você paga. Ou seja, se você quiser 2 quilos - pague 600 rublos, e se quiser 3 quilos - dê 900 rublos. Tudo parece estar claro com isso, certo?

A proporcionalidade direta pode ser descrita pela seguinte fórmula: f(x) = a*x, e a nesta fórmula é um valor constante (a = const). Em nosso exemplo de doces, o preço é uma constante, uma constante. Não aumenta nem diminui, não importa quantos doces você decida comprar. A variável independente (argumento) x é quantos quilos de doce você vai comprar. E a variável dependente f(x) (função) é quanto dinheiro você acaba pagando por sua compra. Então podemos substituir os números na fórmula e obter: 600 r. = 300 r. * 2kg.

A conclusão intermediária é esta: se o argumento aumenta, a função também aumenta, se o argumento diminui, a função também diminui

Função e suas propriedades

E agora, da aplicação aplicada do conhecimento sobre proporcionalidade direta, voltemos à sua função. As propriedades dos quais incluem:

seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais (assim como seu subconjunto);

a função é ímpar;

a mudança nas variáveis é diretamente proporcional ao comprimento total da linha numérica.

Proporcionalidade direta e seu gráfico

Um gráfico de uma função proporcional direta é uma linha reta que intercepta o ponto de origem. Para construí-lo, basta marcar apenas mais um ponto. E conecte-o e a origem da linha.

No caso de um gráfico, k é a inclinação. Se a inclinação for menor que zero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), o gráfico e o eixo x formam um ângulo agudo e a função é crescente.

Exemplos de tarefas

Vamos decidir um casal problemas de proporcionalidade direta

Vamos começar simples.

Tarefa 1: Imagine que 5 galinhas botaram 5 ovos em 5 dias. E se houver 20 galinhas, quantos ovos elas botarão em 20 dias?

Vamos resolver outro problema semelhante aos que tivemos nos exemplos.

E mais alguns exemplos de tarefas com funções de proporcionalidade direta. Às vezes, em problemas, é necessário encontrar o coeficiente k.

Tarefa 4: Dadas as funções y \u003d - x / 16 e y \u003d 5x / 2, determine seus coeficientes de proporcionalidade.

Solução: Como você se lembra, k = y/x. Portanto, para a primeira função, o coeficiente é -1/16 e, para a segunda, k = 5/2.

E você também pode se deparar com uma tarefa como Tarefa 5: Escreva a fórmula de proporcionalidade direta. Seu gráfico e o gráfico da função y \u003d -5x + 3 estão localizados em paralelo.

Conclusão

Se este artigo foi útil e ajudou a entender o assunto, conte-nos sobre ele nos comentários. Para que possamos saber se podemos beneficiá-lo.

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>>Matemática: proporcionalidade direta e seu gráfico

Proporcionalidade direta e seu gráfico

Dentre as funções lineares y = kx + m, destaca-se o caso em que m = 0; neste caso assume a forma y = kx e é chamada de proporcionalidade direta. Este nome é explicado pelo fato de que duas quantidades y e x são chamadas diretamente proporcionais se sua razão for igual a um determinado
um número diferente de zero. Aqui, esse número k é chamado de coeficiente de proporcionalidade.

Muitas situações reais são modeladas usando proporcionalidade direta.

Por exemplo, o caminho s e o tempo t a uma velocidade constante, 20 km/h, estão relacionados pela dependência s = 20t; esta é uma proporcionalidade direta, com k = 20.

Outro exemplo:

o custo y e o número x de pães ao preço de 5 rublos. por pão estão ligados pela dependência y = 5x; esta é uma proporcionalidade direta, onde k = 5.

Prova. Vamos fazê-lo em duas etapas.
1. y \u003d kx é um caso especial de uma função linear, e o gráfico de uma função linear é uma linha reta; vamos denotar por I.
2. O par x \u003d 0, y \u003d 0 satisfaz a equação y - kx e, portanto, o ponto (0; 0) pertence ao gráfico da equação y \u003d kx, ou seja, a linha I.

Portanto, a reta I passa pela origem. O teorema foi provado.

Deve-se ser capaz de passar não apenas do modelo analítico y \u003d kx para o geométrico (gráfico de proporcionalidade direta), mas também do modelo geométrico modelos para analítico. Considere, por exemplo, uma reta no plano coordenado xOy mostrado na Figura 50. É um gráfico de proporcionalidade direta, basta encontrar o valor do coeficiente k. Como y, basta pegar qualquer ponto da reta e encontrar a razão entre a ordenada desse ponto e sua abcissa. A reta passa pelo ponto P (3; 6), e para este ponto temos: Portanto, k = 2 e, portanto, a reta dada serve como um gráfico de proporcionalidade direta y \u003d 2x.

Como resultado, o coeficiente k na notação da função linear y \u003d kx + m também é chamado de inclinação. Se k>0, então a linha y \u003d kx + m forma um ângulo agudo com a direção positiva do eixo x (Fig. 49, a), e se k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

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