A proporcionalidade inversa na matemática e na vida. proporcionalidade direta
O conceito de proporcionalidade direta
Imagine que você está pensando em comprar seu doce favorito (ou o que você realmente gosta). Os doces da loja têm seu próprio preço. Suponha que 300 rublos por quilograma. Quanto mais doces você comprar, mais mais dinheiro pagar. Ou seja, se você quiser 2 quilos - pague 600 rublos, e se quiser 3 quilos - dê 900 rublos. Tudo parece estar claro com isso, certo?
Se sim, agora está claro para você o que é proporcionalidade direta - este é um conceito que descreve a proporção de duas quantidades que dependem uma da outra. E a proporção dessas quantidades permanece inalterada e constante: quantas partes uma delas aumenta ou diminui, pelo mesmo número de partes a segunda aumenta ou diminui proporcionalmente.
Você pode descrever a proporcionalidade direta com a seguinte fórmula: f (x) = a * x, e a nesta fórmula - constante(a = const). Em nosso exemplo de doces, o preço é uma constante, uma constante. Não aumenta nem diminui, não importa quantos doces você decida comprar. A variável independente (argumento) x é quantos quilos de doce você vai comprar. E a variável dependente f(x) (função) é quanto dinheiro você acaba pagando por sua compra. Então podemos substituir os números na fórmula e obter: 600 r. = 300 r. * 2kg.
A conclusão intermediária é esta: se o argumento aumenta, a função também aumenta, se o argumento diminui, a função também diminui
Função e suas propriedades
Função proporcional diretaé um caso especial Função linear. Se a função linear for y = k*x + b, então para proporcionalidade direta ela se parece com isto: y = k*x, onde k é chamado de fator de proporcionalidade, e este é sempre um número diferente de zero. Calcular k é fácil - é encontrado como um quociente de uma função e um argumento: k = y/x.
Para ficar mais claro, vamos pegar outro exemplo. Imagine que um carro está se movendo do ponto A para o ponto B. Sua velocidade é de 60 km/h. Se assumirmos que a velocidade do movimento permanece constante, ela pode ser considerada constante. E então escrevemos as condições na forma: S \u003d 60 * t, e esta fórmula é semelhante à função de proporcionalidade direta y \u003d k * x. Vamos traçar um paralelo adicional: se k \u003d y / x, então a velocidade do carro pode ser calculada, conhecendo a distância entre A e B e o tempo gasto na estrada: V \u003d S / t.
E agora, da aplicação aplicada do conhecimento sobre proporcionalidade direta, voltemos à sua função. As propriedades dos quais incluem:
seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais (assim como seu subconjunto);
a função é ímpar;
a mudança nas variáveis é diretamente proporcional ao comprimento total da linha numérica.
Proporcionalidade direta e seu gráfico
Um gráfico de uma função proporcional direta é uma linha reta que intercepta o ponto de origem. Para construí-lo, basta marcar apenas mais um ponto. E conecte-o e a origem da linha.
No caso de um gráfico, k é a inclinação. Se a inclinação menos que zero(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент Acima de zero(k > 0), o gráfico e o eixo x formam um ângulo agudo e a função é crescente.
E mais uma propriedade do gráfico da função de proporcionalidade direta está diretamente relacionada à inclinação k. Suponha que temos duas funções não idênticas e, portanto, dois gráficos. Então, se os coeficientes k dessas funções são iguais, seus gráficos são paralelos no eixo de coordenadas. E se os coeficientes k não forem iguais entre si, os gráficos se interceptam.
Exemplos de tarefas
Vamos decidir um casal problemas de proporcionalidade direta
Vamos começar simples.
Tarefa 1: Imagine que 5 galinhas botaram 5 ovos em 5 dias. E se houver 20 galinhas, quantos ovos elas botarão em 20 dias?
Solução: Denote a incógnita como x. E vamos argumentar da seguinte forma: quantas vezes houve mais galinhas? Divida 20 por 5 e descubra 4 vezes. E quantas vezes mais 20 galinhas botarão nos mesmos 5 dias? Também 4 vezes mais. Então, encontramos o nosso assim: 5 * 4 * 4 \u003d 80 ovos serão postos por 20 galinhas em 20 dias.
Agora o exemplo é um pouco mais complicado, vamos reformular o problema da "Aritmética Geral" de Newton. Tarefa 2: Um escritor pode escrever 14 páginas de um novo livro em 8 dias. Se ele tivesse assistentes, quantas pessoas seriam necessárias para escrever 420 páginas em 12 dias?
Solução: Pensamos que o número de pessoas (escritor + assistentes) aumenta com o aumento da quantidade de trabalho se tiver que ser feito no mesmo tempo. Mas quantas vezes? Dividindo 420 por 14, descobrimos que aumenta 30 vezes. Mas como, de acordo com a condição da tarefa, é dado mais tempo para o trabalho, o número de auxiliares não aumenta 30 vezes, mas desta forma: x \u003d 1 (escritor) * 30 (vezes): 12/8 (dias). Vamos transformar e descobrir que x = 20 pessoas escreverão 420 páginas em 12 dias.
Vamos resolver outro problema semelhante aos que tivemos nos exemplos.
Tarefa 3: Dois carros partem na mesma viagem. Um estava se movendo a uma velocidade de 70 km/h e percorreu a mesma distância em 2 horas que o outro em 7 horas. Encontre a velocidade do segundo carro.
Solução: Como você se lembra, a trajetória é determinada pela velocidade e pelo tempo - S = V *t. Como os dois carros percorreram o mesmo caminho, podemos igualar as duas expressões: 70*2 = V*7. Onde descobrimos que a velocidade do segundo carro é V = 70*2/7 = 20 km/h.
E mais alguns exemplos de tarefas com funções de proporcionalidade direta. Às vezes, em problemas, é necessário encontrar o coeficiente k.
Tarefa 4: Dadas as funções y \u003d - x / 16 e y \u003d 5x / 2, determine seus coeficientes de proporcionalidade.
Solução: Como você se lembra, k = y/x. Portanto, para a primeira função, o coeficiente é -1/16 e, para a segunda, k = 5/2.
E você também pode se deparar com uma tarefa como Tarefa 5: Escreva a fórmula de proporcionalidade direta. Seu gráfico e o gráfico da função y \u003d -5x + 3 estão localizados em paralelo.
Solução: A função que nos é dada na condição é linear. Sabemos que a proporcionalidade direta é um caso especial de uma função linear. E também sabemos que se os coeficientes das funções k são iguais, seus gráficos são paralelos. Isso significa que tudo o que é necessário é calcular o coeficiente de uma função conhecida e definir a proporcionalidade direta usando a fórmula familiar: y \u003d k * x. Coeficiente k \u003d -5, proporcionalidade direta: y \u003d -5 * x.
Conclusão
Agora você aprendeu (ou lembrou, se já cobriu este tópico antes), o que é chamado proporcionalidade direta, e considerou exemplos. Também falamos sobre a função de proporcionalidade direta e seu gráfico, resolvemos alguns problemas, por exemplo.
Se este artigo foi útil e ajudou a entender o assunto, conte-nos sobre ele nos comentários. Para que possamos saber se podemos beneficiá-lo.
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Exemplo
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.fator de proporcionalidade
A razão constante de quantidades proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.
proporcionalidade direta
proporcionalidade direta- dependência funcional, na qual uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, a função também mudou duas vezes na mesma direção.
Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:
f(x) = ax,a = const
proporcionalidade inversa
Proporção inversa- trata-se de uma dependência funcional, em que um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).
Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:
Propriedades da função:
Fontes
Fundação Wikimedia. 2010 .
>>Matemática: proporcionalidade direta e seu gráfico
Proporcionalidade direta e seu gráfico
Dentre as funções lineares y = kx + m, destaca-se o caso em que m = 0; neste caso assume a forma y = kx e é chamada de proporcionalidade direta. Este nome é explicado pelo fato de que duas quantidades y e x são chamadas diretamente proporcionais se sua razão for igual a um determinado
um número diferente de zero. Aqui, esse número k é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
Muitas situações reais são modeladas usando proporcionalidade direta.
Por exemplo, o caminho s e o tempo t a uma velocidade constante, 20 km/h, estão relacionados pela dependência s = 20t; esta é uma proporcionalidade direta, com k = 20.
Outro exemplo:
o custo y e o número x de pães ao preço de 5 rublos. por pão estão ligados pela dependência y = 5x; esta é uma proporcionalidade direta, onde k = 5.
Prova. Vamos fazê-lo em duas etapas.
1. y \u003d kx é um caso especial de uma função linear, e o gráfico de uma função linear é uma linha reta; vamos denotar por I.
2. O par x \u003d 0, y \u003d 0 satisfaz a equação y - kx e, portanto, o ponto (0; 0) pertence ao gráfico da equação y \u003d kx, ou seja, a linha I.
Portanto, a reta I passa pela origem. O teorema foi provado.
Deve-se ser capaz de passar não apenas do modelo analítico y \u003d kx para o geométrico (gráfico de proporcionalidade direta), mas também do modelo geométrico modelos para analítico. Considere, por exemplo, uma reta no plano coordenado xOy mostrado na Figura 50. É um gráfico de proporcionalidade direta, basta encontrar o valor do coeficiente k. Como y, basta pegar qualquer ponto da reta e encontrar a razão entre a ordenada desse ponto e sua abcissa. A reta passa pelo ponto P (3; 6), e para este ponto temos: Portanto, k = 2 e, portanto, a reta dada serve como um gráfico de proporcionalidade direta y \u003d 2x.
Como resultado, o coeficiente k na notação da função linear y \u003d kx + m também é chamado de inclinação. Se k>0, então a linha y \u003d kx + m forma um ângulo agudo com a direção positiva do eixo x (Fig. 49, a), e se k< О, - тупой угол (рис. 49, б).
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deixe o valor y depende do tamanho x. Se com aumento x várias vezes o tamanho no aumenta pelo mesmo fator, então tais valores x E no são chamados diretamente proporcionais.
Exemplos.
1 . A quantidade dos bens adquiridos e o custo da compra (a um preço fixo de uma unidade de bens - 1 peça ou 1 kg, etc.) Quantas vezes mais mercadorias foram compradas, tantas vezes mais e pagas.
2 . A distância percorrida e o tempo gasto nela (em velocidade constante). Quantas vezes caminho mais longo, tantas vezes mais tempo para passar por isso.
3 . Volume de um corpo e sua massa. ( Se uma melancia for 2 vezes maior que a outra, sua massa será 2 vezes maior)
II. A propriedade da proporcionalidade direta das quantidades.
Se duas quantidades são diretamente proporcionais, a proporção de dois valores arbitrários da primeira quantidade é igual à proporção dos dois valores correspondentes da segunda quantidade.
Tarefa 1. Para geléia de framboesa 12kg framboesas e 8kg Saara. Quanto açúcar será necessário se tomado 9kg framboesas?
Solução.
Argumentamos assim: que seja necessário x kg açúcar em 9kg framboesas. A massa de framboesas e a massa de açúcar são valores diretamente proporcionais: quantas vezes menos framboesas, a mesma quantidade de açúcar é necessária. Portanto, a proporção de framboesas tomadas (em peso) ( 12:9 ) será igual à proporção de açúcar tomado ( 8:x). Obtemos a proporção:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Responder: sobre 9kg framboesas para levar 6kg Saara.
A solução do problema poderia ter sido feito assim:
Vamos 9kg framboesas para levar x kg Saara.
(As setas na figura são direcionadas em uma direção e não importa para cima ou para baixo. Significado: quantas vezes o número 12 mais número 9 , o mesmo número 8 mais número x, ou seja, há uma dependência direta aqui).
Responder: sobre 9kg framboesas para levar 6kg Saara.
Tarefa 2. carro para 3 horas distância percorrida 264 km. Quanto tempo vai demorar 440 km se ele viaja na mesma velocidade?
Solução.
deixe por x horas o carro cobrirá a distância 440 km.
Responder: o carro vai passar 440 km em 5 horas.
Tarefa 3. A água entra na piscina pelo cano. Atrás 2 horas ela preenche 1/5 piscina. Que parte da piscina está cheia de água para 5 horas?
Solução.
Respondemos à pergunta da tarefa: para 5 horas encher 1/x parte da piscina. (Toda a piscina é tomada como um todo).
As duas grandezas são chamadas diretamente proporcional, se quando um deles é aumentado várias vezes, o outro é aumentado na mesma quantidade. Conseqüentemente, quando um deles diminui várias vezes, o outro diminui na mesma quantidade.
A relação entre tais quantidades é uma relação diretamente proporcional. Exemplos de uma relação proporcional direta:
1) a uma velocidade constante, a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo;
2) o perímetro de um quadrado e seu lado são diretamente proporcionais;
3) o custo de uma mercadoria comprada a um preço é diretamente proporcional à sua quantidade.
Para distinguir uma relação proporcional direta de uma relação inversa, você pode usar o provérbio: "Quanto mais longe na floresta, mais lenha".
É conveniente resolver problemas de quantidades diretamente proporcionais usando proporções.
1) Para a fabricação de 10 peças são necessários 3,5 kg de metal. Quanto metal será usado para fazer 12 dessas peças?
(Nós argumentamos assim:
1. Na coluna preenchida, coloque a seta na direção do maior número para o menor.
2. Quanto mais peças, mais metal é necessário para produzi-las. Portanto, é uma relação diretamente proporcional.
Sejam necessários x kg de metal para fazer 12 peças. Fazemos a proporção (na direção do início da seta até o final):
12:10=x:3,5
Para encontrar , precisamos dividir o produto dos termos extremos pelo termo médio conhecido:
Isso significa que serão necessários 4,2 kg de metal.
Resposta: 4,2kg.
2) 1680 rublos foram pagos por 15 metros de tecido. Quanto custa 12 metros desse tecido?
(1. Na coluna preenchida, coloque a seta na direção do maior número para o menor.
2. Quanto menos tecido você comprar, menos terá que pagar por ele. Portanto, é uma relação diretamente proporcional.
3. Portanto, a segunda flecha é direcionada na mesma direção da primeira).
Suponha que x rublos custem 12 metros de tecido. Fazemos a proporção (do início da flecha até o fim):
15:12=1680:x
Para encontrar o membro extremo desconhecido da proporção, dividimos o produto dos termos médios pelo membro extremo conhecido da proporção:
Portanto, 12 metros custam 1344 rublos.
Resposta: 1344 rublos.