Desigualdades com o módulo. Um novo olhar sobre a solução. Resolvendo inequações com módulo

Existem várias maneiras de resolver inequações contendo um módulo. Vamos considerar alguns deles.

1) Resolvendo a inequação usando a propriedade geométrica do módulo.

Deixe-me lembrá-lo qual é a propriedade geométrica do módulo: o módulo do número x é a distância da origem ao ponto com coordenada x.

Ao resolver as desigualdades desta forma, podem surgir 2 casos:

1. |x| ≤ b,

E a desigualdade com módulo obviamente se reduz a um sistema de duas desigualdades. Aqui o sinal pode ser estrito, caso em que os pontos na imagem serão “perfurados”.

2. |x| ≥ b, então a imagem da solução fica assim:

E a desigualdade com o módulo obviamente se reduz ao conjunto de duas desigualdades. Aqui o sinal pode ser estrito, caso em que os pontos na imagem serão “perfurados”.

Exemplo 1

Resolva a desigualdade |4 – |x|| 3.

Solução.

Esta desigualdade é equivalente ao seguinte conjunto:

U [-1;1] U

Exemplo 2

Resolva a desigualdade ||x+2| – 3| 2.

Solução.

Esta desigualdade é equivalente ao seguinte sistema.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Resolvemos separadamente a primeira desigualdade do sistema. É equivalente ao seguinte conjunto:

U[-1; 3].

2) Resolver inequações usando a definição do módulo.

Deixe-me lembrá-lo de começar definição do módulo.

|a| = a se a 0 e |a| = -a se a< 0.

Por exemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Exemplo 1

Resolva a desigualdade 3|x – 1| x + 3.

Solução.

Usando a definição do módulo, obtemos dois sistemas:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

Resolvendo o primeiro e o segundo sistemas separadamente, obtemos:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

A solução para a desigualdade original serão todas as soluções do primeiro sistema e todas as soluções do segundo sistema.

Resposta: x€.

3) Resolvendo inequações ao quadrado.

Exemplo 1

Resolva a desigualdade |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solução.

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade. Observo que elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade só é possível se ambos forem positivos. Nesse caso, temos módulos à esquerda e à direita, para que possamos fazer isso.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Agora vamos usar a seguinte propriedade do módulo: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2)(2x 2 - x)< 0,

x(x - 2)(2x - 1)< 0.

Resolvemos pelo método intervalar.

Resposta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Resolver inequações pelo método de mudança de variáveis.

Exemplo.

Resolva a desigualdade (2x + 3) 2 – |2x + 3| 30.

Solução.

Observe que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Então obtemos a desigualdade

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Vamos fazer a mudança y = |2x + 3|.

Vamos reescrever nossa desigualdade levando em conta a substituição.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Fatoramos o trinômio quadrado à esquerda.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6)(y + 5) ≤ 0.

Resolvemos pelo método intervalar e obtemos:

Voltar para substituição:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Esta dupla desigualdade é equivalente ao sistema de desigualdades:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Resolvemos cada uma das inequações separadamente.

O primeiro é equivalente ao sistema

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Vamos resolver.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

A segunda desigualdade obviamente vale para todo x, já que o módulo é, por definição, um número positivo. Como a solução do sistema são todos os x que satisfazem simultaneamente a primeira e a segunda desigualdade do sistema, então a solução do sistema original será a solução de sua primeira desigualdade dupla (afinal, a segunda é verdadeira para todo x).

Resposta: x € [-4,5; 1.5].

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Resolvendo desigualdades online em Math24.biz para consolidar o material coberto por alunos e escolares. E pratique suas habilidades práticas. Uma desigualdade em matemática é uma afirmação sobre a magnitude ou ordem relativa de dois objetos (um dos objetos é menor ou não maior que o outro), ou que dois objetos não são iguais (a negação da igualdade). Na matemática elementar estudam-se as desigualdades numéricas; na álgebra geral, na análise e na geometria, também são consideradas as desigualdades entre objetos de natureza não numérica. Para resolver uma desigualdade, ambas as partes devem ser definidas com um dos sinais de desigualdade entre elas. Desigualdades estritas implicam a desigualdade de dois objetos. Ao contrário das desigualdades estritas, as desigualdades não estritas permitem a igualdade dos objetos incluídos nela. As desigualdades lineares são as expressões mais simples para começar a aprender, e as mais técnicas simples. O principal erro dos alunos na resolução de desigualdades online é que eles não fazem distinção entre as características de desigualdades estritas e não estritas, o que determina se os valores de fronteira serão ou não incluídos na resposta final. Várias desigualdades ligadas por várias incógnitas são chamadas de sistema de desigualdades. A solução das desigualdades do sistema é uma certa área do plano, ou figura volumétrica no espaço tridimensional. Junto com isso, eles são abstraídos por espaços n-dimensionais, no entanto, ao resolver tais desigualdades, muitas vezes não se pode prescindir de computadores especiais. Para cada desigualdade separadamente, é necessário encontrar os valores da incógnita nos limites da área de solução. O conjunto de todas as soluções da inequação é sua resposta. A substituição de uma desigualdade por outra equivalente a ela é chamada de transição equivalente de uma desigualdade para outra. Uma abordagem semelhante é encontrada em outras disciplinas, porque ajuda a trazer as expressões para uma forma padrão. Você apreciará todas as vantagens de resolver as desigualdades online em nosso site. Uma desigualdade é uma expressão que contém um dos sinais = >. Basicamente, é uma expressão booleana. Pode ser verdade ou não - dependendo do que está à direita e à esquerda nesta desigualdade. A explicação do significado da desigualdade e as técnicas básicas para resolver as desigualdades são estudadas em vários cursos, bem como na escola. Solução de quaisquer desigualdades online - desigualdades com módulo, desigualdades algébricas, trigonométricas, transcendentais online. A desigualdade de identidade, assim como as desigualdades estritas e não estritas, simplifica o processo de obtenção do resultado final, é uma ferramenta auxiliar para a resolução do problema. A solução de quaisquer desigualdades e sistemas de desigualdades, sejam logarítmicas, exponenciais, trigonométricas ou quadradas, é fornecida com a ajuda de uma abordagem inicialmente correta para isso. processo importante. A solução de desigualdades online no site está sempre disponível para todos os usuários e é totalmente gratuita. As soluções para uma desigualdade com uma variável são os valores da variável que a transformam em uma verdadeira expressão numérica. Equações e desigualdades com módulo: O módulo de um número real é o valor absoluto desse número. Método padrão A solução para essas desigualdades é elevar ambas as partes da desigualdade à potência desejada. As desigualdades são expressões que indicam uma comparação de números, portanto, a solução correta das desigualdades garante a precisão de tais comparações. Eles são estritos (maior que, menor que) e não estritos (maior ou igual a, menor ou igual a). Resolver uma desigualdade significa encontrar todos aqueles valores de variáveis ​​que, quando substituídos na expressão original, a transformam na representação numérica correta. O conceito de desigualdade, sua essência e características, classificação e variedades - é isso que determina a especificidades desta seção matemática. As principais propriedades das desigualdades numéricas aplicáveis ​​a todos os objetos de uma determinada classe devem ser estudadas pelos alunos em Estado inicial familiarização com este tema. As desigualdades e intervalos da reta numérica estão intimamente relacionados quando nós estamos falando sobre como resolver desigualdades online. A designação gráfica da solução da desigualdade mostra claramente a essência de tal expressão, fica claro o que deve ser buscado ao resolver qualquer tarefa. O conceito de desigualdade é baseado na comparação de dois ou mais objetos. As desigualdades que contêm uma variável são resolvidas como equações compostas de forma semelhante, após o que uma seleção de intervalos é feita para ser tomada como resposta. Qualquer desigualdade algébrica, desigualdade trigonométrica ou desigualdades contendo funções transcendentais, você pode resolver fácil e instantaneamente usando nosso serviço gratuito. Um número é uma solução para uma inequação se, ao substituir este número ao invés de uma variável, obtivermos a expressão correta, ou seja, o sinal de inequação mostra o conceito verdadeiro. material abordado e consolidar suas habilidades práticas. Muitas vezes, o tópico da desigualdade online em matemática é estudado por crianças em idade escolar depois de passar pela seção de equações. Como esperado, todos os princípios são aplicados na solução para determinar os intervalos de solução. Pode ser mais difícil encontrar uma resposta de forma analítica do que fazer o mesmo, mas de forma numérica. No entanto, essa abordagem dá uma ideia mais visual e completa da integridade da solução da desigualdade. A complexidade pode surgir no estágio de construção da linha de abscissa e desenho de pontos para resolver o mesmo tipo de equação. Depois disso, a solução das desigualdades é reduzida para determinar o sinal da função em cada intervalo identificado para determinar se a função aumenta ou diminui. Para fazer isso, é necessário substituir alternadamente os valores incluídos em cada intervalo na função original e verificar seu valor para positividade ou negatividade. Esta é a essência de encontrar todas as soluções, incluindo intervalos de soluções. Quando você mesmo resolver a desigualdade e ver todos os intervalos com soluções, entenderá como essa abordagem é aplicável para outras ações. O site do site convida você a verificar novamente seus resultados de cálculo usando uma poderosa calculadora moderna nesta página. Você pode identificar facilmente imprecisões e deficiências em seus cálculos usando um solucionador de desigualdade exclusivo. Os alunos muitas vezes se perguntam onde encontrar um recurso útil? Com uma abordagem inovadora para poder identificar as necessidades dos engenheiros, a calculadora é baseada em poderosos servidores de computação usando apenas novas tecnologias. Em essência, a solução de desigualdades online é resolver a equação com o cálculo de todas as raízes possíveis. As soluções obtidas são marcadas na linha e, em seguida, uma operação padrão é realizada para determinar o valor da função em cada intervalo. Mas o que fazer se as raízes da equação forem complexas, como neste caso resolver a desigualdade em formulário completo, que satisfaria todas as regras para escrever o resultado? A resposta para esta e muitas outras perguntas será facilmente dada pelo nosso site de atendimento, para o qual nada é impossível na resolução de problemas matemáticos online. A favor do exposto, acrescentamos o seguinte: todos os que estão seriamente engajados no estudo de uma disciplina como a matemática são obrigados a estudar o tema das desigualdades. Existem diferentes tipos de desigualdades e às vezes não é fácil resolver as desigualdades online, pois você precisa conhecer os princípios das abordagens para cada uma delas. Esta é a base do sucesso e da estabilidade. Por exemplo, considere tipos como desigualdades logarítmicas ou desigualdades transcendentais. É geralmente tipo especial tarefas tão difíceis à primeira vista para os alunos, especialmente para os escolares. Os professores dos institutos dedicam muito tempo desde a preparação dos estagiários até a obtenção de habilidades profissionais em seu trabalho. Referimos desigualdades trigonométricas aos mesmos tipos e denotamos abordagem geral ao resolver muitos exemplos práticos da declaração do problema. Em vários casos, primeiro você precisa trazer tudo para uma equação, simplificá-la, decompô-la em diferentes fatores, enfim, trazê-la para uma forma completamente visual. Em todos os tempos, a humanidade procurou encontrar a melhor abordagem em qualquer empreendimento. Graças a tecnologias modernas, a humanidade fez apenas um grande avanço em seu desenvolvimento futuro. Inovações cada vez mais, dia após dia, estão entrando em nossas vidas. A base Ciência da Computação estabelecer, é claro, a matemática com seus próprios princípios e abordagem estrita aos negócios. o site é um recurso matemático geral que possui uma calculadora de desigualdade desenvolvida e muitos outros serviços úteis. Use nosso site e você terá confiança na exatidão das tarefas resolvidas. Sabe-se da teoria que objetos de natureza não numérica também são estudados por desigualdades online, apenas esta abordagem é maneira especial estudando esta seção em álgebra, geometria e outras áreas da matemática. Você pode resolver as desigualdades de diferentes maneiras, a verificação final das soluções permanece inalterada, e é melhor fazer isso substituindo diretamente os valores na própria desigualdade. Em muitos casos, a resposta dada é óbvia e fácil de verificar mentalmente. Suponha que somos solicitados a resolver uma desigualdade fracionária, na qual as variáveis ​​necessárias estão presentes nos denominadores das expressões fracionárias. Então a solução das desigualdades será reduzida para trazer todos os termos para um denominador comum, depois de mover tudo para a esquerda e lado direito desigualdades. Em seguida, você precisa resolver a equação homogênea obtida no denominador da fração. Essas raízes numéricas serão pontos não incluídos nos intervalos da solução geral da inequação, ou, como também são chamados, pontos puncionados nos quais a função vai ao infinito, ou seja, a função não está definida, mas você só pode obter seu valor limite em um determinado ponto. Tendo resolvido a equação obtida no numerador, colocamos todos os pontos no eixo real. Vamos sombrear os pontos em que o numerador da fração vira zero. Assim, todos os outros pontos são deixados vazios ou perfurados. Vamos encontrar o sinal da fração em cada intervalo e então escrever a resposta final. Se houver pontos sombreados nos limites do intervalo, incluímos esses valores na solução. Se houver pontos perfurados nos limites do intervalo, não incluímos esses valores na solução. Depois de resolver a desigualdade, você precisará verificar o resultado sem falhas. Você pode fazer isso manualmente, substituir cada valor dos intervalos de resposta na expressão inicial e identificar erros. O site do site fornecerá facilmente todas as soluções para a desigualdade e você comparará imediatamente as respostas recebidas e a calculadora. Se, no entanto, ocorrer um erro, em nosso recurso, a solução de desigualdades on-line será muito útil para você. 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Escolher verdadeiramente a solução ótima para uma desigualdade online geralmente envolve uma abordagem lógica para uma variável aleatória. Se desprezarmos o pequeno desvio do campo fechado, então o vetor do valor crescente é proporcional ao menor valor no intervalo decrescente da linha ordenada. A invariante é proporcional à duplicação das feições mapeadas junto com o vetor de saída diferente de zero. A melhor resposta sempre contém a precisão dos cálculos. Nossa solução de desigualdades tomará a forma de uma função homogênea de subconjuntos numéricos sucessivamente conjugados da direção principal. Para o primeiro intervalo, tomamos apenas o pior valor em termos de precisão de nossa representação da variável. Vamos calcular a expressão anterior para o desvio máximo. Usaremos o serviço a critério das opções propostas, conforme necessário. Se a solução das desigualdades será encontrada online com a ajuda de uma calculadora que seja boa em sua classe é uma pergunta retórica, claro, tal ferramenta só beneficiará os alunos e trará grande sucesso em matemática. Impomos uma restrição na área com um conjunto, que reduzimos a elementos com a percepção de impulsos por tensão. Os valores físicos de tais extremos descrevem matematicamente o aumento e a diminuição de funções contínuas por partes. Ao longo do caminho, os cientistas encontraram evidências da existência de elementos em Niveis diferentes estudar. Vamos colocar todos os subconjuntos consecutivos de um espaço complexo em uma linha com objetos como uma esfera, um cubo ou um cilindro. Do nosso resultado, podemos tirar uma conclusão inequívoca e, quando você resolver a desigualdade, a saída certamente esclarecerá a suposição matemática declarada sobre a integração do método na prática. No estado atual das coisas Condição necessaria também será uma condição suficiente. Os critérios de incerteza muitas vezes causam desacordo entre os alunos devido a dados não confiáveis. Esta omissão deve ser assumida pelos professores universitários, bem como pelos professores das escolas, uma vez que isso também deve ser tido em conta na fase inicial da educação. Da conclusão acima, na opinião de pessoas experientes, podemos concluir que é muito difícil resolver a desigualdade online. tarefa difícil ao entrar na desigualdade de incógnitas tipo diferente dados. Isso é afirmado em conferência científica dentro distrito oeste, que apresentou diversas justificativas sobre descobertas científicas em matemática e física, bem como análise molecular biologicamente sistemas arranjados. Ao encontrar a solução ótima, absolutamente todas as desigualdades logarítmicas são de valor científico para toda a humanidade. Vamos examinar esta abordagem para conclusões lógicas sobre uma série de inconsistências no mais alto nível dos conceitos de instalação existente. A lógica sugere algo mais do que é visível à primeira vista para um estudante inexperiente. Devido ao surgimento de analogias em larga escala, será racional primeiro equacionar a relação com a diferença nos objetos da área de estudo, para depois mostrar na prática a presença de um resultado analítico comum. A solução de desigualdades está absolutamente ligada à aplicação da teoria e será importante que todos estudem esse ramo da matemática que é necessário para pesquisas futuras. No entanto, ao resolver as desigualdades, você precisa encontrar todas as raízes da equação e só então colocar todos os pontos no eixo y. Alguns pontos serão perfurados e o restante será incluído nos intervalos com uma solução comum. Vamos começar a estudar a seção de matemática a partir do básico da disciplina mais importante currículo escolar. Se as desigualdades trigonométricas são parte integrante de um problema de texto, basta usar o recurso para calcular a resposta. Insira as partes esquerda e direita da desigualdade corretamente, pressione o botão e obtenha o resultado em alguns segundos. Para cálculos matemáticos rápidos e precisos com coeficientes numéricos ou simbólicos diante de incógnitas, como sempre, você precisará de uma calculadora universal de desigualdades e equações que possa fornecer uma resposta ao seu problema em questão de segundos. Se você não tem tempo para escrever toda uma série de exercícios escritos, a validade do serviço é inegável mesmo a olho nu. Para os alunos, esta abordagem é mais óptima e justificada em termos de poupança de recursos materiais e de tempo. Há um ângulo oposto à perna e é necessário um compasso para medi-lo, mas você pode usar as dicas a qualquer momento e resolver a desigualdade sem usar nenhuma fórmula de redução. Isso significa a conclusão bem-sucedida da ação iniciada? A resposta com certeza será positiva.

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|x| ou abs(x) - módulo x

Insira equação ou desigualdade com módulos

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Equações e desigualdades com módulos

No curso básico de álgebra da escola, você pode encontrar as equações e desigualdades mais simples com módulos. Para resolvê-los, você pode aplicar um método geométrico baseado no fato de que \(|x-a| \) é a distância na reta numérica entre os pontos x e a: \(|x-a| = \rho (x;\; a )\). Por exemplo, para resolver a equação \(|x-3|=2 \), você precisa encontrar pontos na reta numérica que estão a uma distância de 2 do ponto 3. Existem dois desses pontos: \(x_1=1 \) e \(x_2=5\) .

Resolvendo a desigualdade \(|2x+7|

Mas a principal maneira de resolver equações e desigualdades com módulos está relacionada à chamada "expansão de módulo por definição":
se \(a \geq 0 \), então \(|a|=a \);
if \(a Via de regra, uma equação (desigualdade) com módulos se reduz a um conjunto de equações (desigualdades) que não contém o sinal do módulo.

Além da definição acima, as seguintes afirmações são usadas:
1) Se \(c > 0 \), então a equação \(|f(x)|=c \) é equivalente ao conjunto de equações: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) Se \(c > 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| 3) Se \(c \geq 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| > c \) é equivalente ao conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Se ambos os lados da desigualdade \(f(x) EXEMPLO 1. Resolva a equação \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Se \(x-1 \geq 0 \), então \(|x-1| = x-1 \) e a equação dada se torna
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Se \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Assim, a equação dada deve ser considerada separadamente em cada um dos dois casos indicados.
1) Seja \(x-1 \geq 0 \), ou seja. \(x \geq 1\). Da equação \(x^2 +2x -8 = 0 \) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\). A condição \(x \geq 1 \) é satisfeita apenas pelo valor \(x_1=2\).
2) Seja \(x-1 Resposta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLO 2. Resolva a equação \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Primeira maneira(expansão do módulo por definição).
Argumentando como no Exemplo 1, concluímos que a equação dada deve ser considerada separadamente sob duas condições: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7

1) Se \(x^2-6x+7 \geq 0 \), então \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) e a equação dada se torna \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Resolvendo Equação quadrática, obtemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Vamos descobrir se o valor \(x_1=6 \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ou seja. \(7 \geq 0 \) é a desigualdade correta. Portanto, \(x_1=6 \) é a raiz da equação dada.
Vamos descobrir se o valor \(x_2=\frac(5)(3) \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ou seja. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) é uma desigualdade inválida. Então \(x_2=\frac(5)(3) \) não é uma raiz da equação dada.

2) Se \(x^2-6x+7 O valor \(x_3=3\) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 O valor \(x_4=\frac(4)(3) \) não satisfaz a condição \ (x^2-6x+7 Assim, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3 \).

A segunda maneira. Dada uma equação \(|f(x)| = h(x) \), então para \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Ambas as equações são resolvidas acima (com o primeiro método de resolver a equação dada), suas raízes são as seguintes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). A condição \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) desses quatro valores é satisfeita apenas por dois: 6 e 3. Portanto, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3\).

Terceira via(gráfico).
1) Vamos plotar a função \(y = |x^2-6x+7| \). Primeiro construímos uma parábola \(y = x^2-6x+7\). Temos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2\). O gráfico da função \(y = (x-3)^2-2 \) pode ser obtido a partir do gráfico da função \(y = x^2 \) deslocando-o 3 unidades de escala para a direita (no eixo x) e 2 unidades de escala para baixo (ao longo do eixo y). A reta x = 3 é o eixo da parábola que nos interessa. Como pontos de controle para uma plotagem mais precisa, é conveniente tomar o ponto (3; -2) - o topo da parábola, o ponto (0; 7) e o ponto (6; 7) simétrico em relação ao eixo da parábola.
Para construir agora o gráfico da função \(y = |x^2-6x+7| \), você precisa deixar inalteradas as partes da parábola construída que não estão abaixo do eixo x e espelhar a parte da parábola que está abaixo do eixo x em torno do eixo x.
2) Vamos construir um gráfico Função linear\(y = \frac(5x-9)(3)\). É conveniente tomar os pontos (0; –3) e (3; 2) como pontos de controle.

É essencial que o ponto x \u003d 1,8 da interseção da linha reta com o eixo de abcissas esteja localizado à direita do ponto de interseção esquerdo da parábola com o eixo de abcissas - este é o ponto \(x=3-\ sqrt(2) \) (desde \(3-\sqrt(2 ) 3) A julgar pelo desenho, os gráficos se cruzam em dois pontos - A (3; 2) e B (6; 7). Substituindo as abcissas destes pontos x \u003d 3 e x \u003d 6 na equação fornecida, garantimos que ambos os outros valores forneçam a igualdade numérica correta. Portanto, nossa hipótese foi confirmada - a equação tem duas raízes: x \u003d 3 e x \u003d 6 . Resposta: 3; 6.

Comente. O método gráfico, apesar de toda a sua elegância, não é muito confiável. No exemplo considerado, funcionou apenas porque as raízes da equação são números inteiros.

EXEMPLO 3. Resolva a equação \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Primeira maneira
A expressão 2x–4 torna-se 0 no ponto x = 2, e a expressão x + 3 no ponto x = –3. Esses dois pontos dividem a reta numérica em três intervalos: \(x

Considere o primeiro intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Se x Considere o segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Se \(-3 \leq x Considere o terceiro intervalo: \()