Desigualdades com o módulo. Um novo olhar sobre a solução. Resolvendo inequações com módulo
Existem várias maneiras de resolver inequações contendo um módulo. Vamos considerar alguns deles.
1) Resolvendo a inequação usando a propriedade geométrica do módulo.
Deixe-me lembrá-lo qual é a propriedade geométrica do módulo: o módulo do número x é a distância da origem ao ponto com coordenada x.
Ao resolver as desigualdades desta forma, podem surgir 2 casos:
1. |x| ≤ b,
E a desigualdade com módulo obviamente se reduz a um sistema de duas desigualdades. Aqui o sinal pode ser estrito, caso em que os pontos na imagem serão “perfurados”.
2. |x| ≥ b, então a imagem da solução fica assim:
E a desigualdade com o módulo obviamente se reduz ao conjunto de duas desigualdades. Aqui o sinal pode ser estrito, caso em que os pontos na imagem serão “perfurados”.
Exemplo 1
Resolva a desigualdade |4 – |x|| ≥ 3.
Solução.
Esta desigualdade é equivalente ao seguinte conjunto:
U [-1;1] U
Exemplo 2
Resolva a desigualdade ||x+2| – 3| ≤ 2.
Solução.
Esta desigualdade é equivalente ao seguinte sistema.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Resolvemos separadamente a primeira desigualdade do sistema. É equivalente ao seguinte conjunto:
U[-1; 3].
2) Resolver inequações usando a definição do módulo.
Deixe-me lembrá-lo de começar definição do módulo.
|a| = a se a ≥ 0 e |a| = -a se a< 0.
Por exemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Exemplo 1
Resolva a desigualdade 3|x – 1| ≤ x + 3.
Solução.
Usando a definição do módulo, obtemos dois sistemas:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.
Resolvendo o primeiro e o segundo sistemas separadamente, obtemos:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(x< 1
(x ≥ 0.
A solução para a desigualdade original serão todas as soluções do primeiro sistema e todas as soluções do segundo sistema.
Resposta: x€.
3) Resolvendo inequações ao quadrado.
Exemplo 1
Resolva a desigualdade |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Solução.
Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade. Observo que elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade só é possível se ambos forem positivos. Nesse caso, temos módulos à esquerda e à direita, para que possamos fazer isso.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Agora vamos usar a seguinte propriedade do módulo: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.
(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,
(x - 2)(2x 2 - x)< 0,
x(x - 2)(2x - 1)< 0.
Resolvemos pelo método intervalar.
Resposta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Resolver inequações pelo método de mudança de variáveis.
Exemplo.
Resolva a desigualdade (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Solução.
Observe que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Então obtemos a desigualdade
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Vamos fazer a mudança y = |2x + 3|.
Vamos reescrever nossa desigualdade levando em conta a substituição.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Fatoramos o trinômio quadrado à esquerda.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 - 11) / 2,
(y - 6)(y + 5) ≤ 0.
Resolvemos pelo método intervalar e obtemos:
Voltar para substituição:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Esta dupla desigualdade é equivalente ao sistema de desigualdades:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Resolvemos cada uma das inequações separadamente.
O primeiro é equivalente ao sistema
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Vamos resolver.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
A segunda desigualdade obviamente vale para todo x, já que o módulo é, por definição, um número positivo. Como a solução do sistema são todos os x que satisfazem simultaneamente a primeira e a segunda desigualdade do sistema, então a solução do sistema original será a solução de sua primeira desigualdade dupla (afinal, a segunda é verdadeira para todo x).
Resposta: x € [-4,5; 1.5].
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Equações e desigualdades com módulos
No curso básico de álgebra da escola, você pode encontrar as equações e desigualdades mais simples com módulos. Para resolvê-los, você pode aplicar um método geométrico baseado no fato de que \(|x-a| \) é a distância na reta numérica entre os pontos x e a: \(|x-a| = \rho (x;\; a )\). Por exemplo, para resolver a equação \(|x-3|=2 \), você precisa encontrar pontos na reta numérica que estão a uma distância de 2 do ponto 3. Existem dois desses pontos: \(x_1=1 \) e \(x_2=5\) .
Resolvendo a desigualdade \(|2x+7|
Mas a principal maneira de resolver equações e desigualdades com módulos está relacionada à chamada "expansão de módulo por definição":
se \(a \geq 0 \), então \(|a|=a \);
if \(a Via de regra, uma equação (desigualdade) com módulos se reduz a um conjunto de equações (desigualdades) que não contém o sinal do módulo.
Além da definição acima, as seguintes afirmações são usadas:
1) Se \(c > 0 \), então a equação \(|f(x)|=c \) é equivalente ao conjunto de equações: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) Se \(c > 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| 3) Se \(c \geq 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| > c \) é equivalente ao conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Se ambos os lados da desigualdade \(f(x) EXEMPLO 1. Resolva a equação \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
Se \(x-1 \geq 0 \), então \(|x-1| = x-1 \) e a equação dada se torna
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Se \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Assim, a equação dada deve ser considerada separadamente em cada um dos dois casos indicados.
1) Seja \(x-1 \geq 0 \), ou seja. \(x \geq 1\). Da equação \(x^2 +2x -8 = 0 \) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\). A condição \(x \geq 1 \) é satisfeita apenas pelo valor \(x_1=2\).
2) Seja \(x-1 Resposta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
EXEMPLO 2. Resolva a equação \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).
Primeira maneira(expansão do módulo por definição).
Argumentando como no Exemplo 1, concluímos que a equação dada deve ser considerada separadamente sob duas condições: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7
1) Se \(x^2-6x+7 \geq 0 \), então \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) e a equação dada se torna \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Resolvendo Equação quadrática, obtemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Vamos descobrir se o valor \(x_1=6 \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ou seja. \(7 \geq 0 \) é a desigualdade correta. Portanto, \(x_1=6 \) é a raiz da equação dada.
Vamos descobrir se o valor \(x_2=\frac(5)(3) \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ou seja. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) é uma desigualdade inválida. Então \(x_2=\frac(5)(3) \) não é uma raiz da equação dada.
2) Se \(x^2-6x+7 O valor \(x_3=3\) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 O valor \(x_4=\frac(4)(3) \) não satisfaz a condição \ (x^2-6x+7 Assim, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3 \).
A segunda maneira. Dada uma equação \(|f(x)| = h(x) \), então para \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Ambas as equações são resolvidas acima (com o primeiro método de resolver a equação dada), suas raízes são as seguintes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). A condição \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) desses quatro valores é satisfeita apenas por dois: 6 e 3. Portanto, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3\).
Terceira via(gráfico).
1) Vamos plotar a função \(y = |x^2-6x+7| \). Primeiro construímos uma parábola \(y = x^2-6x+7\). Temos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2\). O gráfico da função \(y = (x-3)^2-2 \) pode ser obtido a partir do gráfico da função \(y = x^2 \) deslocando-o 3 unidades de escala para a direita (no eixo x) e 2 unidades de escala para baixo (ao longo do eixo y). A reta x = 3 é o eixo da parábola que nos interessa. Como pontos de controle para uma plotagem mais precisa, é conveniente tomar o ponto (3; -2) - o topo da parábola, o ponto (0; 7) e o ponto (6; 7) simétrico em relação ao eixo da parábola.
Para construir agora o gráfico da função \(y = |x^2-6x+7| \), você precisa deixar inalteradas as partes da parábola construída que não estão abaixo do eixo x e espelhar a parte da parábola que está abaixo do eixo x em torno do eixo x.
2) Vamos construir um gráfico Função linear\(y = \frac(5x-9)(3)\). É conveniente tomar os pontos (0; –3) e (3; 2) como pontos de controle.
É essencial que o ponto x \u003d 1,8 da interseção da linha reta com o eixo de abcissas esteja localizado à direita do ponto de interseção esquerdo da parábola com o eixo de abcissas - este é o ponto \(x=3-\ sqrt(2) \) (desde \(3-\sqrt(2 ) 3) A julgar pelo desenho, os gráficos se cruzam em dois pontos - A (3; 2) e B (6; 7). Substituindo as abcissas destes pontos x \u003d 3 e x \u003d 6 na equação fornecida, garantimos que ambos os outros valores forneçam a igualdade numérica correta. Portanto, nossa hipótese foi confirmada - a equação tem duas raízes: x \u003d 3 e x \u003d 6 . Resposta: 3; 6.
Comente. O método gráfico, apesar de toda a sua elegância, não é muito confiável. No exemplo considerado, funcionou apenas porque as raízes da equação são números inteiros.
EXEMPLO 3. Resolva a equação \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Primeira maneira
A expressão 2x–4 torna-se 0 no ponto x = 2, e a expressão x + 3 no ponto x = –3. Esses dois pontos dividem a reta numérica em três intervalos: \(x
Considere o primeiro intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Se x Considere o segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Se \(-3 \leq x Considere o terceiro intervalo: \()