Equações de segundo grau incompletas. Como resolver equações de segundo grau

A equação toma a forma:

Vamos resolver na forma geral:

Comente: a equação terá raízes somente se , caso contrárioacaba por ser um quadrado

é igual a um número negativo, o que é impossível.

Responder:

Exemplo:

Responder:

A última transição foi feita porque a irracionalidade no denominador fica extremamente raramente.

2. O membro gratuito é zero(c=0).

A equação toma a forma:

Vamos resolver na forma geral:

Para soluções dado equações quadráticas, ou seja se o coeficiente

a= 1:

x2+bx+c=0,

então x 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Para uma equação quadrática completa em que a≠1:

x2+bx+c=0,

divida toda a equação por A:

→ →

Onde x 1 e x 2 - raízes da equação.

terceira recepção. Se sua equação tiver coeficientes fracionários, eliminefrações! Multiplicar

a equação a um denominador comum.

Conclusão. Dicas Práticas:

1. Antes da decisão, apresentamos Equação quadrática para a visualização padrão, construa-a Certo.

2. Se houver um coeficiente negativo na frente do x no quadrado, nós o eliminamos multiplicação

de toda a equação por -1.

3. Se os coeficientes forem fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação porcorrespondente

fator.

4. Se x ao quadrado estiver limpo, o coeficiente nele igual a um, a solução pode ser facilmente conferido por

”, ou seja, equações de primeiro grau. Nesta lição, exploraremos o que é uma equação quadrática e como resolvê-lo.

O que é uma equação quadrática

Importante!

O grau de uma equação é determinado pelo grau mais alto em que a incógnita se encontra.

Se o grau máximo em que a incógnita está é “2”, então você tem uma equação quadrática.

Exemplos de equações quadráticas

  • 5x2 - 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Importante! A forma geral da equação quadrática é assim:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" e "c" - números dados.
  • "a" - o primeiro ou coeficiente sênior;
  • "b" - o segundo coeficiente;
  • "c" é um membro gratuito.

Para encontrar "a", "b" e "c" Você precisa comparar sua equação com a forma geral da equação quadrática "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vamos praticar a determinação dos coeficientes "a", "b" e "c" em equações de segundo grau.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +
A equação Chances
  • a=5
  • b = −14
  • c = 17
  • a = −7
  • b = −13
  • c = 8
1
3
= 0
  • a = -1
  • b = 1
  • c =
    1
    3
x2 + 0,25x = 0
  • a = 1
  • b = 0,25
  • c = 0
x 2 − 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • c = −8

Como resolver equações de segundo grau

Diferente equações lineares para resolver equações quadráticas, um especial fórmula para encontrar raízes.

Lembrar!

Para resolver uma equação do segundo grau você precisa:

  • trazer a equação quadrática para visão geral"ax 2 + bx + c = 0". Ou seja, apenas "0" deve permanecer no lado direito;
  • use a fórmula para raízes:

Vamos usar um exemplo para descobrir como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Vamos resolver a equação quadrática.

X 2 - 3x - 4 = 0


A equação "x 2 - 3x - 4 = 0" já foi reduzida à forma geral "ax 2 + bx + c = 0" e não requer simplificações adicionais. Para resolvê-lo, precisamos apenas aplicar fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

Vamos definir os coeficientes "a", "b" e "c" para esta equação.


x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Com sua ajuda, qualquer equação quadrática é resolvida.

Na fórmula "x 1; 2 \u003d" a expressão raiz é frequentemente substituída
"b 2 − 4ac" à letra "D" e denominado discriminante. O conceito de discriminante é discutido com mais detalhes na lição "O que é um discriminante".

Considere outro exemplo de uma equação quadrática.

x 2 + 9 + x = 7x

Nesta forma, é bastante difícil determinar os coeficientes "a", "b" e "c". Vamos primeiro trazer a equação para a forma geral "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Agora você pode usar a fórmula para as raízes.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6
2

x=3
Resposta: x = 3

Há momentos em que não há raízes em equações quadráticas. Essa situação ocorre quando um número negativo aparece na fórmula abaixo da raiz.

As equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é essencial.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a , b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos de solução específicos, notamos que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

  1. Não tenha raízes;
  2. Eles têm exatamente uma raiz;
  3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac .

Esta fórmula deve ser conhecida de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa importante: pelo sinal do discriminante, você pode determinar quantas raízes tem uma equação do segundo grau. Nomeadamente:

  1. Se D< 0, корней нет;
  2. Se D = 0, existe exatamente uma raiz;
  3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Observe: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como muitas pessoas pensam por algum motivo. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Tarefa. Quantas raízes têm as equações do segundo grau:

  1. x 2 - 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Escrevemos os coeficientes para a primeira equação e encontramos o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Então, o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação da mesma forma:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação permanece:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é igual a zero - a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso - mas você não vai confundir as probabilidades e não cometerá erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você "encher a mão", depois de um tempo não precisará mais escrever todos os coeficientes. Você executará essas operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso em algum lugar depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, nem tanto.

As raízes de uma equação quadrática

Agora vamos para a solução. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

A fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - obtém o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 - 2x - 3 = 0;
  2. 15 - 2x - x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Por fim, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver nos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e sabe contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, ocorrem erros quando coeficientes negativos são substituídos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: observe a fórmula literalmente, pinte cada etapa - e livre-se dos erros muito em breve.

Equações de segundo grau incompletas

Acontece que a equação quadrática é um pouco diferente do que é dado na definição. Por exemplo:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

É fácil ver que um dos termos está faltando nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem precisam calcular o discriminante. Então, vamos apresentar um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja, o coeficiente da variável x ou o elemento livre é igual a zero.

Claro, é perfeitamente possível Caso difícil, quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b \u003d c \u003d 0. Nesse caso, a equação assume a forma ax 2 \u003d 0. Obviamente, essa equação tem uma única raiz: x \u003d 0.

Vamos considerar outros casos. Seja b \u003d 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta na forma ax 2 + c \u003d 0. Vamos transformá-la levemente:

Como a raiz quadrada aritmética só existe de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusão:

  1. Se uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 satisfaz a desigualdade (−c / a ) ≥ 0, haverá duas raízes. A fórmula é dada acima;
  2. Se (-c/a)< 0, корней нет.

Como você pode ver, o discriminante não foi necessário - não há nenhum cálculo complexo em equações quadráticas incompletas. Aliás, nem é preciso lembrar da desigualdade (−c / a ) ≥ 0. Basta expressar o valor de x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se negativo, não haverá raízes.

Agora vamos lidar com equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum do colchete

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. É daí que vêm as raízes. Em conclusão, analisaremos várias dessas equações:

Tarefa. Resolva equações de segundo grau:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Não há raízes, porque o quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Mais de forma simples. Para fazer isso, tire z dos colchetes. Você obtém: z(az + b) = 0. Os fatores podem ser escritos: z=0 e az + b = 0, pois ambos podem resultar em zero. Na notação az + b = 0, movemos o segundo para a direita com um sinal diferente. Daqui obtemos z1 = 0 e z2 = -b/а. Estas são as raízes do original.

Se houver equação incompleta da forma az² + c = 0, neste caso são encontrados simplesmente transferindo o termo livre para o lado direito da equação. Mude também seu sinal. Você obtém o registro az² \u003d -s. Expresse z² = -c/a. Pegue a raiz e anote duas soluções - positiva e significado negativo raiz quadrada.

observação

Se houver coeficientes fracionários na equação, multiplique a equação inteira pelo fator apropriado para eliminar as frações.

O conhecimento de como resolver equações quadráticas é necessário tanto para crianças em idade escolar quanto para alunos, às vezes pode ajudar um adulto em vida comum. Existem vários métodos de decisão específicos.

Resolvendo equações quadráticas

Uma equação quadrática da forma a*x^2+b*x+c=0. Coeficiente x é a variável desejada, a, b, c - coeficientes numéricos. Lembre-se que o sinal "+" pode mudar para o sinal "-".

Para resolver esta equação, você deve usar o teorema de Vieta ou encontrar o discriminante. A forma mais comum é encontrar o discriminante, pois para alguns valores de a, b, c não é possível usar o teorema de Vieta.

Para encontrar o discriminante (D), você deve escrever a fórmula D=b^2 - 4*a*c. O valor de D pode ser maior, menor ou igual a zero. Se D for maior ou menos que zero, então haverá duas raízes, se D \u003d 0, resta apenas uma raiz, mais precisamente podemos dizer que D neste caso tem duas raízes equivalentes. Substitua os coeficientes conhecidos a, b, c na fórmula e calcule o valor.

Depois de encontrar o discriminante, para encontrar x, use as fórmulas: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a onde sqrt é uma função que significa extrair raiz quadrada a partir deste número. Depois de calcular essas expressões, você encontrará as duas raízes de sua equação, após o que a equação é considerada resolvida.

Se D for menor que zero, então ele ainda tem raízes. Na escola, essa seção praticamente não é estudada. Estudantes universitários devem estar cientes de que um número negativo aparece sob a raiz. Nos livramos disso separando a parte imaginária, ou seja, -1 sob a raiz é sempre igual ao elemento imaginário "i", que é multiplicado pela raiz com o mesmo número positivo. Por exemplo, se D=sqrt(-20), após a transformação, D=sqrt(20)*i é obtido. Após esta transformação, a solução da equação é reduzida ao mesmo achado das raízes, conforme descrito acima.

O teorema de Vieta consiste na seleção dos valores x(1) e x(2). Duas equações idênticas são usadas: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. E muito ponto importanteé o sinal antes do coeficiente b, lembre-se que este sinal é o oposto do da equação. À primeira vista, parece que calcular x(1) e x(2) é muito simples, mas ao resolver, você encontrará o fato de que os números terão que ser selecionados exatamente.

Elementos para resolver equações quadráticas

De acordo com as regras da matemática, alguns podem ser fatorados: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, se você conseguiu transformar esta equação quadrática dessa maneira usando fórmulas matemáticas, fique à vontade para anote a resposta. x(1) e x(2) serão iguais aos coeficientes adjacentes entre colchetes, mas com sinal oposto.

Além disso, não se esqueça das equações quadráticas incompletas. Você pode estar perdendo alguns dos termos, se sim, então todos os seus coeficientes são simplesmente iguais a zero. Se x^2 ou x é precedido por nada, então os coeficientes a e b são iguais a 1.

Com este artigo você aprenderá:

O que é isso em aparência equações para determinar se esta equação incompleto Equação quadrática? Mas como resolver incompleto equações quadráticas?

Como reconhecer "à vista" uma equação quadrática incompleta

Esquerda parte da equação Há trinômio quadrado, A certo - número. Tais equações são chamadas completo equações quadráticas.

No completo Equação quadrática Todos chances, E não igual. Para resolvê-los, existem fórmulas especiais, que conheceremos mais adiante.

Maioria simples para resolver são incompleto equações quadráticas. Estas são equações de segundo grau em que alguns coeficientes são zero.

Coeficiente por definição não pode ser zero, pois caso contrário a equação não seria quadrática. Nós conversamos sobre isso. Então, acontece que para aplicar para zero pode apenas chances ou.

Dependendo disso, há três tipos de incompletos equações quadráticas.

1) , Onde ;
2) , Onde ;
3) , Onde .

Então, se virmos uma equação quadrática, no lado esquerdo da qual em vez de três membros presente dois membros ou um membro, então esta equação será incompleto Equação quadrática.

Definição de uma equação quadrática incompleta

Equação quadrática incompletaé chamada de equação quadrática , no qual pelo menos um dos coeficientes ou zero.

Esta definição tem muito importante frase " pelo menos um de proporções... zero". Significa que um ou mais coeficientes podem ser iguais zero.

Com base nisso, é possível três opções: ou um coeficiente é zero, ou outro coeficiente é zero, ou ambos coeficientes são simultaneamente iguais a zero. É assim que três tipos de equação quadrática incompleta são obtidos.

incompleto equações quadráticas são as seguintes equações:
1)
2)
3)

solução de equação

vamos delinear plano de solução esta equação. esquerda parte da equação pode ser facilmente fatorizar, já que no lado esquerdo da equação os termos e têm fator comum, pode ser retirado do suporte. Então o produto de dois fatores será obtido à esquerda e zero à direita.

E então a regra "o produto é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for igual a zero, enquanto o outro faz sentido" funcionará. Tudo é muito simples!

Então, plano de solução.
1) Fatoramos o lado esquerdo.
2) Usamos a regra "o produto é igual a zero..."

Eu chamo equações deste tipo "um presente do destino". Estas são equações que parte direita zero, A esquerda parte pode ser dividida multiplicadores.

Resolva a equação de acordo com o plano.

1) vamos decompor lado esquerdo da equação multiplicadores, para isso retiramos o fator comum , obtemos a seguinte equação .

2) Na equação nós vemos que esquerda custos trabalhar, A zero à direita. Real um presente do destino! Aqui, é claro, usaremos a regra "o produto é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for igual a zero, enquanto o outro fizer sentido". Ao traduzir esta regra para a linguagem da matemática, obtemos dois equações ou .

Vemos que a equação desmoronou para dois mais simples equações, a primeira das quais já foi resolvida ().

Vamos resolver o segundo a equação . Mova os termos desconhecidos para a esquerda e os termos conhecidos para a direita. Um membro desconhecido já está à esquerda, vamos deixá-lo lá. E movemos o termo conhecido para a direita com o sinal oposto. Obtemos uma equação.

Nós encontramos e precisamos encontrar. Para se livrar do fator, você precisa dividir ambos os lados da equação por .