Encontre a área da figura limitada por gráficos. Exemplos

Integral definida. Como calcular a área de uma figura

Agora nos voltamos para a consideração de aplicações do cálculo integral. Nesta lição, analisaremos uma tarefa típica e mais comum. - Como usar integral definida calcule a area de uma figura plana. Finalmente, aqueles que procuram significado na matemática superior - que eles o encontrem. Nunca se sabe. Teremos que nos aproximar na vida área de casa de campo funções elementares e encontre sua área usando uma integral definida.

Para dominar o material com sucesso, você deve:

1) Compreender a integral indefinida pelo menos em um nível intermediário. Assim, os manequins devem primeiro ler a lição Não.

2) Ser capaz de aplicar a fórmula de Newton-Leibniz e calcular a integral definida. Você pode estabelecer relações amigáveis com certas integrais na página Integral definida. Exemplos de soluções.

De fato, para encontrar a área de uma figura, você não precisa de tanto conhecimento da integral indefinida e definida. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" sempre envolve a construção de um desenho, então seus conhecimentos e habilidades de desenho serão uma questão muito mais relevante. Nesse sentido, é útil refrescar a memória dos gráficos das principais funções elementares e, no mínimo, poder construir uma linha reta, uma parábola e uma hipérbole. Isso pode ser feito (muitos precisam) com a ajuda de material metodológico e artigos sobre transformações geométricas de grafos.

Na verdade, todos estão familiarizados com o problema de encontrar a área usando uma integral definida desde a escola, e iremos um pouco à frente currículo escolar. Este artigo pode não existir, mas o fato é que o problema ocorre em 99 casos em 100, quando um aluno é atormentado por uma torre odiada com entusiasmo para dominar um curso de matemática superior.

Os materiais deste workshop são apresentados de forma simples, detalhada e com um mínimo de teoria.

Vamos começar com um trapézio curvilíneo.

trapézio curvilíneo chamada de figura plana limitada pelo eixo , linhas retas , e o gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal nesse intervalo. Seja esta figura localizada não menos abscissa:

Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral. Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Integral definida. Exemplos de soluções Eu disse que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA.

Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida . O integrando define uma curva no plano que está localizado acima do eixo (quem desejar pode completar o desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

Esta é uma declaração de tarefa típica. Primeiro e momento crucial soluções - desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. Gráficos de função são mais rentáveis para construir ponto por ponto, a técnica de construção pontual pode ser encontrada em material de referência Gráficos e propriedades de funções elementares. Lá você também pode encontrar material muito útil em relação à nossa lição - como construir rapidamente uma parábola.

Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação define o eixo):

Eu não vou chocar um trapézio curvilíneo, é óbvio aqui qual área em questão. A solução continua assim:

No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, é por isso:

Responda:

Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz , consulte a palestra Integral definida. Exemplos de soluções.

Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 2

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , e o eixo

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo?

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada por linhas, e eixos de coordenadas.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se o trapézio curvilíneo está localizado sob o eixo(ou pelo menos não mais alto dado eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Nesse caso:

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer sentido geométrico, então pode ser negativo.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .

Solução: Primeiro você precisa completar o desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da linha. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .
É melhor não usar esse método, se possível..

É muito mais lucrativo e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. A técnica de construção ponto a ponto para vários gráficos é discutida em detalhes na ajuda Gráficos e propriedades de funções elementares. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.

Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

Repito que com a construção pontual, os limites da integração são mais frequentemente descobertos “automaticamente”.

E agora fórmula de trabalho : Se houver alguma função contínua no intervalo maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura limitada pelos gráficos dessas funções e linhas retas, pode ser encontrada pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

A conclusão da solução pode ficar assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (veja o exemplo simples nº 3) é um caso especial da fórmula . Como o eixo é dado pela equação , e o gráfico da função está localizado não mais alto eixos, então

E agora alguns exemplos para uma solução independente

Exemplo 5

Exemplo 6

Encontre a área da figura delimitada pelas linhas , .

Ao resolver problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos estavam corretos, mas por desatenção... encontrou a área da figura errada, é assim que você estragou várias vezes servo obediente. Aqui caso real da vida:

Exemplo 7

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .

Solução: Vamos fazer um desenho primeiro:

…Eh, o desenho ficou uma porcaria, mas tudo parece estar legível.

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, geralmente ocorre uma "falha", que você precisa encontrar a área da figura sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Sério:

1) No segmento acima do eixo há um gráfico de linha reta;

2) No segmento acima do eixo há um gráfico de hipérbole.

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:

Responda:

Vamos passar para mais uma tarefa significativa.

Exemplo 8

Calcule a área de uma figura delimitada por linhas,
Vamos apresentar as equações em forma de "escola" e fazer um desenho ponto a ponto:

Pode-se ver pelo desenho que nosso limite superior é “bom”: .
Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê? Pode ser ? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode ser que isso aconteça. Ou raiz. E se não acertarmos o gráfico?

Nesses casos, é preciso gastar mais tempo e refinar analiticamente os limites da integração.

Vamos encontrar os pontos de intersecção da linha e da parábola.
Para isso, resolvemos a equação:

,

Sério, .

A solução adicional é trivial, o principal é não se confundir com substituições e sinais, os cálculos aqui não são os mais fáceis.

No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Bem, na conclusão da lição, vamos considerar duas tarefas mais difíceis.

Exemplo 9

Calcule a área da figura delimitada por linhas , ,

Solução: Desenhe esta figura no desenho.

Caramba, esqueci de assinar o cronograma, e refazendo a foto, desculpe, não hotz. Não é um desenho, resumindo, hoje é o dia =)

Para construção pontual, você precisa saber aparência sinusóides (e, em geral, é útil saber gráficos de todas as funções elementares), bem como alguns valores de seno, eles podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Em alguns casos (como neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.

Não há problemas com os limites de integração aqui, eles seguem diretamente da condição: - "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:

No segmento, o gráfico da função está localizado acima do eixo, portanto:

Na seção anterior, dedicada à análise do significado geométrico de uma integral definida, obtivemos várias fórmulas para calcular a área de um trapézio curvilíneo:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x para uma função contínua e não negativa y = f (x) no segmento [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x para uma função contínua e não positiva y = f (x) no segmento [ a ; b] .

Essas fórmulas são aplicáveis para resolver problemas relativamente simples. Na verdade, muitas vezes temos que trabalhar com formas mais complexas. A esse respeito, dedicaremos esta seção à análise de algoritmos para calcular a área das figuras, que são limitadas por funções de forma explícita, ou seja, como y = f(x) ou x = g(y).

Teorema

Sejam as funções y = f 1 (x) ey = f 2 (x) definidas e contínuas no segmento [ a ; b ] e f 1 (x) ≤ f 2 (x) para qualquer valor x de [ a ; b] . Em seguida, a fórmula para calcular a área de uma figura G limitada pelas linhas x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) e y \u003d f 2 (x) se parecerá com S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Uma fórmula semelhante será aplicável para a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) e x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Prova

Analisaremos três casos para os quais a fórmula será válida.

No primeiro caso, levando em consideração a propriedade de aditividade da área, a soma das áreas da figura original G e do trapézio curvilíneo G 1 é igual à área da figura G 2 . Significa que

Portanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Podemos realizar a última transição usando a terceira propriedade da integral definida.

No segundo caso, a igualdade é verdadeira: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A ilustração gráfica ficará assim:

Se ambas as funções são não-positivas, obtemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. A ilustração gráfica ficará assim:

Passemos à consideração do caso geral quando y = f 1 (x) ey = f 2 (x) interceptam o eixo O x .

Vamos denotar os pontos de interseção como x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Esses pontos quebram o segmento [ a ; b] em n partes x i-1; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , onde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Consequentemente,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Podemos fazer a última transição usando a quinta propriedade da integral definida.

Vamos ilustrar o caso geral no gráfico.

A fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x pode ser considerada provada.

E agora vamos passar para a análise de exemplos de cálculo da área de figuras que são limitadas pelas linhas y \u003d f (x) e x \u003d g (y) .

Considerando qualquer um dos exemplos, começaremos com a construção de um gráfico. A imagem nos permitirá representar formas complexas como combinações de formas mais simples. Se plotar gráficos e formas neles for difícil para você, você pode estudar a seção sobre funções elementares básicas, transformação geométrica de gráficos de funções, bem como plotar durante o estudo de uma função.

Exemplo 1

É necessário determinar a área da figura, que é limitada pela parábola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 e linhas retas y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Solução

Vamos traçar as linhas no gráfico no sistema de coordenadas cartesianas.

No intervalo [ 1 ; 4] o gráfico da parábola y = - x 2 + 6 x - 5 está localizado acima da reta y = - 1 3 x - 1 2 . Nesse sentido, para obter uma resposta, usamos a fórmula obtida anteriormente, bem como o método para calcular uma integral definida usando a fórmula de Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Resposta: S (G) = 13

Vejamos um exemplo mais complexo.

Exemplo 2

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas linhas y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Solução

Neste caso, temos apenas uma linha reta paralela ao eixo x. Isso é x = 7. Isso exige que encontremos o segundo limite de integração por nós mesmos.

Vamos construir um gráfico e colocar nele as linhas dadas na condição do problema.

Tendo um gráfico diante de nossos olhos, podemos determinar facilmente que o limite inferior de integração será a abcissa do ponto de interseção do gráfico com uma linha reta y \u003d x e uma semiparábola y \u003d x + 2. Para encontrar a abcissa, usamos as igualdades:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Acontece que a abcissa do ponto de interseção é x = 2.

Chamamos sua atenção para o fato de que em exemplo geral no desenho, as linhas y = x + 2 , y = x se cruzam no ponto (2 ; 2) , de modo que esses cálculos detalhados podem parecer redundantes. Fornecemos uma solução tão detalhada aqui apenas porque em casos mais complexos a solução pode não ser tão óbvia. Isso significa que é melhor sempre calcular analiticamente as coordenadas da interseção das linhas.

No intervalo [ 2 ; 7 ] o gráfico da função y = x está localizado acima do gráfico da função y = x + 2 . Aplique a fórmula para calcular a área:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Resposta: S (G) = 59 6

Exemplo 3

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelos gráficos das funções y \u003d 1 x e y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Solução

Vamos desenhar linhas no gráfico.

Vamos definir os limites de integração. Para fazer isso, determinamos as coordenadas dos pontos de interseção das linhas igualando as expressões 1 x e - x 2 + 4 x - 2 . Desde que x não seja igual a zero, a igualdade 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 se torna equivalente à equação do terceiro grau - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 com coeficientes inteiros . Você pode atualizar a memória do algoritmo para resolver tais equações consultando a seção “Solução de equações cúbicas”.

A raiz desta equação é x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividindo a expressão - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 pelo binômio x - 1, obtemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Podemos encontrar as raízes restantes da equação x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Encontramos um intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2 , onde G é colocado acima da linha azul e abaixo da linha vermelha. Isso nos ajuda a determinar a área da figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Resposta: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplo 4

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas curvas y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 e o eixo x.

Solução

Vamos colocar todas as linhas no gráfico. Podemos obter o gráfico da função y = - log 2 x + 1 do gráfico y = log 2 x se o colocarmos simetricamente em torno do eixo x e o movermos uma unidade para cima. A equação do eixo x y \u003d 0.

Vamos denotar os pontos de interseção das linhas.

Como pode ser visto na figura, os gráficos das funções y \u003d x 3 e y \u003d 0 se cruzam no ponto (0; 0) . Isso ocorre porque x \u003d 0 é a única raiz real da equação x 3 \u003d 0.

x = 2 é a única raiz da equação - log 2 x + 1 = 0 , então os gráficos das funções y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzam no ponto (2 ; 0) .

x = 1 é a única raiz da equação x 3 = - log 2 x + 1 . A esse respeito, os gráficos das funções y \u003d x 3 e y \u003d - log 2 x + 1 se cruzam no ponto (1; 1). A última afirmação pode não ser óbvia, mas a equação x 3 \u003d - log 2 x + 1 não pode ter mais de uma raiz, pois a função y \u003d x 3 é estritamente crescente e a função y \u003d - log 2 x + 1 é estritamente decrescente.

O próximo passo envolve várias opções.

Opção número 1

Podemos representar a figura G como a soma de dois trapézios curvilíneos localizados acima do eixo das abcissas, sendo o primeiro localizado abaixo linha do meio no segmento x ∈ 0 ; 1 , e o segundo está abaixo da linha vermelha no segmento x ∈ 1 ; 2. Isto significa que a área será igual a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opção número 2

A figura G pode ser representada como a diferença de duas figuras, sendo a primeira localizada acima do eixo x e abaixo da linha azul no segmento x ∈ 0; 2 , e a segunda está entre as linhas vermelha e azul no segmento x ∈ 1 ; 2. Isso nos permite encontrar a área assim:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Nesse caso, para encontrar a área, você terá que usar uma fórmula da forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fato, as linhas que delimitam a forma podem ser representadas como funções do argumento y.

Vamos resolver as equações y = x 3 e - log 2 x + 1 em relação a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obtemos a área necessária:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Resposta: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplo 5

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas linhas y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Solução

Desenhe uma linha no gráfico com uma linha vermelha, dada pela função y = x . Desenhe a linha y = - 1 2 x + 4 em azul e marque a linha y = 2 3 x - 3 em preto.

Observe os pontos de interseção.

Encontre os pontos de interseção dos gráficos das funções y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i é a solução da equação x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 é a solução da equação ⇒ (4 ; 2) ponto de interseção i y = x e y = - 1 2 x + 4

Encontre o ponto de interseção dos gráficos das funções y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verifique: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 é a solução para a equação ⇒ (9; 3) ponto e interseção y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 não é uma solução para a equação

Encontre o ponto de interseção das linhas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) ponto de interseção y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Método número 1

Representamos a área da figura desejada como a soma das áreas de figuras individuais.

Então a área da figura é:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Método número 2

A área da figura original pode ser representada como a soma das outras duas figuras.

Em seguida, resolvemos a equação da linha para x e somente depois aplicamos a fórmula para calcular a área da figura.

y = x ⇒ x = y 2 linha vermelha y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linha preta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Então a área é:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Como você pode ver, os valores coincidem.

Resposta: S (G) = 11 3

Resultados

Para encontrar a área de uma figura limitada por linhas dadas, precisamos desenhar linhas em um plano, encontrar seus pontos de interseção e aplicar a fórmula para encontrar a área. Nesta seção, revisamos as opções mais comuns para tarefas.

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Começamos a considerar o processo real de cálculo da integral dupla e nos familiarizamos com seu significado geométrico.

A integral dupla é numericamente igual à área de uma figura plana (região de integração). isto forma mais simples integral dupla quando a função de duas variáveis é igual a um: .

Consideremos primeiro o problema em visão geral. Agora você ficará surpreso com o quão simples é realmente! Vamos calcular a área de uma figura plana delimitada por linhas. Por definição, assumimos que no intervalo . A área desta figura é numericamente igual a:

Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a primeira maneira de contornar a área:

Nesse caminho:

E imediatamente um truque técnico importante: integrais iteradas podem ser consideradas separadamente. Primeiro a integral interna, depois a integral externa. Este método Altamente recomendado para iniciantes no tema bules.

1) Calcule a integral interna, enquanto a integração é realizada sobre a variável "y":

A integral indefinida aqui é a mais simples, e então a fórmula banal de Newton-Leibniz é usada, com a única diferença de que os limites de integração não são números, mas funções. Primeiro, substituímos o limite superior no “y” (função antiderivada), depois o limite inferior

2) O resultado obtido no primeiro parágrafo deve ser substituído na integral externa:

Uma notação mais compacta para toda a solução se parece com isso:

A fórmula resultante - esta é exatamente a fórmula de trabalho para calcular a área de uma figura plana usando a integral definida "ordinária"! Ver lição Calculando a área usando uma integral definida, lá está ela em cada turno!

Aquilo é, o problema de calcular a área usando uma integral dupla pouco diferente do problema de encontrar a área usando uma integral definida! Na verdade, eles são a mesma coisa!

Assim, nenhuma dificuldade deve surgir! Não considerarei muitos exemplos, pois você, de fato, encontrou repetidamente esse problema.

Exemplo 9

Solução: Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a seguinte ordem de travessia da região:

Aqui e abaixo, não vou entrar em como atravessar uma área porque o primeiro parágrafo foi muito detalhado.

Nesse caminho:

Como já observei, é melhor que os iniciantes calculem as integrais iteradas separadamente, seguirei o mesmo método:

1) Primeiro, usando a fórmula de Newton-Leibniz, lidamos com a integral interna:

2) O resultado obtido na primeira etapa é substituído na integral externa:

O ponto 2 está na verdade encontrando a área de uma figura plana usando uma integral definida.

Responda:

Aqui está uma tarefa tão estúpida e ingênua.

Um exemplo curioso para uma solução independente:

Exemplo 10

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana limitada pelas linhas , ,

Amostra de Amostra finalizando a solução no final da lição.

Nos Exemplos 9-10, é muito mais lucrativo usar a primeira forma de contornar a área, leitores curiosos, aliás, podem alterar a ordem do desvio e calcular as áreas da segunda forma. Se você não cometer um erro, naturalmente, os mesmos valores de área serão obtidos.

Mas, em alguns casos, a segunda maneira de contornar a área é mais eficaz e, na conclusão do curso do jovem nerd, vejamos mais alguns exemplos sobre esse tópico:

Exemplo 11

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas.

Solução: estamos ansiosos por duas parábolas com uma brisa que estão de lado. Não há necessidade de sorrir, coisas semelhantes em integrais múltiplas são frequentemente encontradas.

Qual é a maneira mais fácil de fazer um desenho?

Vamos representar a parábola como duas funções:
- ramo superior e - ramo inferior.

Da mesma forma, imagine uma parábola como uma parte superior e inferior galhos.

Em seguida, unidades de plotagem ponto a ponto, resultando em uma figura tão bizarra:

A área da figura é calculada usando a integral dupla de acordo com a fórmula:

O que acontece se escolhermos a primeira maneira de contornar a área? Em primeiro lugar, esta área terá de ser dividida em duas partes. E em segundo lugar, vamos observar isso foto triste: . As integrais, é claro, não são de um nível supercomplexo, mas... existe um velho ditado matemático: quem é amigo das raízes não precisa de compensação.

Portanto, a partir do mal-entendido que é dado na condição, expressamos as funções inversas:

Funções inversas dentro este exemplo têm a vantagem de fixar imediatamente toda a parábola sem folhas, bolotas, ramos e raízes.

De acordo com o segundo método, a área transversal será a seguinte:

Nesse caminho:

Como dizem, sinta a diferença.

1) Lidamos com a integral interna:

Substituímos o resultado na integral externa:

A integração sobre a variável "y" não deve ser embaraçosa, se houvesse uma letra "zyu" - seria ótimo integrar sobre ela. Embora quem leu o segundo parágrafo da lição Como calcular o volume de um corpo de revolução, ele não sente mais o menor constrangimento com a integração sobre "y".

Preste atenção também ao primeiro passo: o integrando é par e o segmento de integração é simétrico em relação a zero. Portanto, o segmento pode ser dividido pela metade e o resultado pode ser dobrado. Esta técnica comentado em detalhes na lição Métodos eficazes cálculo de uma integral definida.

O que adicionar…. Tudo!

Responda:

Para testar sua técnica de integração, você pode tentar calcular . A resposta deve ser exatamente a mesma.

Exemplo 12

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas

Este é um exemplo de faça você mesmo. É interessante notar que, se você tentar usar a primeira maneira de contornar a área, a figura não será mais dividida em duas, mas em três partes! E, consequentemente, obtemos três pares de integrais iteradas. As vezes acontece.

A master class chegou ao fim, e é hora de passar para o nível de grande mestre - Como calcular a integral dupla? Exemplos de soluções. Vou tentar não ser tão maníaco no segundo artigo =)

Desejo-lhe sucesso!

Soluções e respostas:

Exemplo 2:Solução: Desenhe uma área no desenho:

Vamos escolher a seguinte ordem de travessia da região:

Nesse caminho:
Vamos para as funções inversas:

Nesse caminho:
Responda:

Exemplo 4:Solução: Vamos para as funções diretas:

Vamos executar o desenho:

Vamos alterar a ordem de travessia da área:

Responda:

Solução.

O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho.

Vamos fazer um desenho:

A equação y=0 define o eixo x;

- x=-2 e x=1 - reta, paralela ao eixo UO;

- y \u003d x 2 +2 - uma parábola cujos ramos são direcionados para cima, com um vértice no ponto (0;2).

Comente. Para construir uma parábola, basta encontrar os pontos de sua interseção com os eixos coordenados, ou seja, colocando x=0 encontre a interseção com o eixo UO e decidir o adequado Equação quadrática, encontre a interseção com o eixo Oh .

O vértice de uma parábola pode ser encontrado usando as fórmulas:

Você pode desenhar linhas e ponto a ponto.

No intervalo [-2;1] o gráfico da função y = x 2 +2 localizado sobre o eixo Boi , é por isso:

Responda: S \u003d 9 unidades quadradas

Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, "a olho" contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células claramente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo Oh?

b) Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=-e x , x=1 e eixos coordenados.

Solução.

Vamos fazer um desenho.

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo Oh , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Responda: S=(e-1) unidade quadrada" 1,72 unidade quadrada

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior.

Com) Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Solução.

Primeiro você precisa fazer um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola e direto Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica.

Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração a=0 , o limite superior de integração b=3 .

Construímos as linhas dadas: 1. Parábola - vértice no ponto (1;1); interseção do eixo Oh - pontos(0;0) e (0;2). 2. Reta - a bissetriz dos ângulos coordenados 2º e 4º. E agora Atenção! Se no segmento [ a; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual a alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula: .

E não importa onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas é importante qual gráfico está MAIS ALTO (em relação a outro gráfico) e qual está ABAIXO. No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

É possível construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são descobertos como se fossem "por si mesmos". No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais).

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.

No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda: S \u003d unidades de 4,5 m²

Um trapézio curvilíneo é uma figura plana limitada por um eixo, linhas retas e um gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal nesse intervalo. Seja esta figura localizada não menos abscissa:

Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral. Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom.

Em termos de geometria, a integral definida é a ÁREA.

Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida . O integrando define uma curva no plano que está localizado acima do eixo (quem desejar pode completar o desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

Esta é uma declaração de tarefa típica. O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação define o eixo):

No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, é por isso:

Responda:

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos de coordenadas.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se o trapézio curvilíneo está localizado sob o eixo(ou pelo menos não mais alto dado eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .

Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .

É melhor não usar esse método, se possível..

É muito mais lucrativo e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.

Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

E agora a fórmula de trabalho: Se houver alguma função contínua no intervalo maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura limitada pelos gráficos dessas funções e linhas retas, pode ser encontrada pela fórmula:

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

A conclusão da solução pode ficar assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Exemplo 4

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .

Solução: Vamos fazer um desenho primeiro:

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas.

Sério:

1) No segmento acima do eixo há um gráfico de linha reta;

2) No segmento acima do eixo há um gráfico de hipérbole.

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto: