Cálculo da projeção de um vetor sobre um eixo. Projeções de vetores em eixos coordenados. Definição de projeção, eixo e coordenada de um ponto

§ 3. Projeções vetoriais nos eixos coordenados

1. Encontrar projeções geometricamente.

Vetor
- projeção do vetor no eixo BOI
- projeção do vetor no eixo OY

Definição 1. Projeção vetorial em qualquer eixo de coordenadas é chamado um número tomado com um sinal de "mais" ou "menos", correspondente ao comprimento do segmento localizado entre as bases das perpendiculares, abaixado desde o início e o final do vetor até o eixo de coordenadas.

O sinal de projeção é definido como segue. Se, ao mover-se ao longo do eixo de coordenadas, houver um movimento do ponto de projeção do início do vetor para o ponto de projeção do final do vetor na direção positiva do eixo, então a projeção do vetor é considerada positiva . Se - for oposto ao eixo, a projeção é considerada negativa.

A figura mostra que se o vetor estiver de alguma forma orientado oposta ao eixo de coordenadas, então sua projeção neste eixo é negativa. Se o vetor é orientado de alguma forma na direção positiva do eixo de coordenadas, então sua projeção neste eixo é positiva.

Se o vetor é perpendicular ao eixo de coordenadas, então sua projeção neste eixo é igual a zero.
Se um vetor é co-direcionado com um eixo, então sua projeção neste eixo é igual ao módulo do vetor.
Se o vetor é oposto ao eixo de coordenadas, então sua projeção neste eixo é igual em valor absoluto ao módulo do vetor, tomado com um sinal de menos.

2. A definição mais geral de uma projeção.

De um triângulo retângulo ABD: .

Definição 2. Projeção vetorial em qualquer eixo coordenado é chamado um número igual ao produto do módulo do vetor e o cosseno do ângulo formado pelo vetor com a direção positiva do eixo coordenado.

O sinal da projeção é determinado pelo sinal do cosseno do ângulo formado pelo vetor com a direção positiva do eixo.
Se o ângulo for agudo, então o cosseno tem sinal positivo e as projeções são positivas. Para ângulos obtusos, o cosseno tem sinal negativo, portanto, nesses casos, as projeções no eixo são negativas.
- então para vetores perpendiculares ao eixo, a projeção é zero.

Sejam dois vetores e sejam dados no espaço. Afastado de um ponto arbitrário O vetores e . canto entre os vetores e é chamado o menor dos ângulos. Denotado .

Considere o eixo eu e plote um vetor unitário nele (ou seja, um vetor cujo comprimento é igual a um).

Ângulo entre o vetor e o eixo eu entender o ângulo entre os vetores e .

Então deixe eué algum eixo e é um vetor.

Denotado por A 1 e B1 projeções no eixo eu pontos UMA e B. Vamos fingir que A 1 tem uma coordenada x 1, uma B1- coordenar x2 no eixo eu.

Então projeção vetor por eixo eu chama-se diferença x 1 – x2 entre as coordenadas das projeções do final e início do vetor neste eixo.

Projeção de um vetor em um eixo eu vamos denotar.

É claro que se o ângulo entre o vetor e o eixo eu afiado então x2> x 1, e a projeção x2 – x 1> 0; se este ângulo é obtuso, então x2< x 1 e projeção x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси eu, então x2= x 1 e x2– x 1=0.

Assim, a projeção do vetor no eixo eué o comprimento do segmento A 1 B 1 tomado com um determinado sinal. Portanto, a projeção de um vetor em um eixo é um número ou um escalar.

A projeção de um vetor sobre outro é definida de forma semelhante. Neste caso, as projeções das extremidades deste vetor encontram-se na linha em que se encontra o 2º vetor.

Vejamos alguns dos principais propriedades de projeção.

SISTEMAS DE VETORES LINEARES DEPENDENTES E LINEARES INDEPENDENTES

Vamos considerar vários vetores.

Combinação linear desses vetores é qualquer vetor da forma , onde estão alguns números. Os números são chamados de coeficientes da combinação linear. Diz-se também que neste caso é expresso linearmente em termos de vetores dados , ou seja, obtido a partir deles por operações lineares.

Por exemplo, se três vetores são dados, então os vetores podem ser considerados como sua combinação linear:

Se um vetor é representado como uma combinação linear de alguns vetores, diz-se que ele é decomposto ao longo desses vetores.

Os vetores são chamados linearmente dependente, se houver tais números, nem todos iguais a zero, que . É claro que os vetores dados serão linearmente dependentes se algum desses vetores for linearmente expresso em termos dos outros.

Caso contrário, ou seja quando a proporção realizado apenas quando , esses vetores são chamados Linearmente independente.

Teorema 1. Quaisquer dois vetores são linearmente dependentes se e somente se eles são colineares.

Prova:

O seguinte teorema pode ser provado da mesma forma.

Teorema 2. Três vetores são linearmente dependentes se e somente se eles são coplanares.

Prova.

BASE

Baseé a coleção de vetores linearmente independentes diferentes de zero. Os elementos da base serão indicados por .

Na subseção anterior, vimos que dois vetores não colineares no plano são linearmente independentes. Portanto, de acordo com o Teorema 1 do parágrafo anterior, uma base em um plano são quaisquer dois vetores não colineares neste plano.

Da mesma forma, quaisquer três vetores não coplanares são linearmente independentes no espaço. Portanto, três vetores não coplanares são chamados de base no espaço.

A afirmação a seguir é verdadeira.

Teorema. Seja uma base dada no espaço. Então qualquer vetor pode ser representado como uma combinação linear , Onde x, y, z- alguns números. Tal decomposição é única.

Prova.

Assim, a base permite associar de forma única cada vetor a um triplo de números - os coeficientes da expansão desse vetor em termos dos vetores da base: . O inverso também é verdadeiro, cada triplo de números x, y, z usando a base, você pode combinar o vetor se fizer uma combinação linear .

Se a base e , então os números x, y, z chamado coordenadas vetores na base dada. As coordenadas vetoriais denotam .

SISTEMA DE COORDENADA CARTESIANA

Seja dado um ponto no espaço O e três vetores não coplanares.

Sistema de coordenada cartesiana no espaço (em um plano) é chamado o conjunto de um ponto e uma base, ou seja, conjunto de um ponto e três vetores não coplanares (2 vetores não colineares) saindo deste ponto.

Ponto O chamado de origem; linhas retas que passam pela origem na direção dos vetores de base são chamadas de eixos coordenados - o eixo das abcissas, das ordenadas e do aplicado. Os planos que passam pelos eixos de coordenadas são chamados de planos de coordenadas.

Considere um ponto arbitrário no sistema de coordenadas escolhido M. Vamos introduzir o conceito de uma coordenada de ponto M. O vetor que liga a origem ao ponto M. chamado vetor de raio pontos M.

Um vetor na base selecionada pode ser associado a um triplo de números - suas coordenadas: .

Coordenadas vetoriais do raio do ponto M. chamado coordenadas do ponto M. no sistema de coordenadas considerado. M(x,y,z). A primeira coordenada é chamada de abcissa, a segunda é a ordenada e a terceira é a aplicada.

As coordenadas cartesianas no plano são definidas de forma semelhante. Aqui o ponto tem apenas duas coordenadas - a abcissa e a ordenada.

É fácil ver que para um dado sistema de coordenadas, cada ponto tem certas coordenadas. Por outro lado, para cada trio de números, existe um único ponto que tem esses números como coordenadas.

Se os vetores tomados como base no sistema de coordenadas escolhido têm comprimento unitário e são perpendiculares aos pares, então o sistema de coordenadas é chamado retangular cartesiana.

É fácil mostrar isso.

Os cossenos de direção de um vetor determinam completamente sua direção, mas não dizem nada sobre seu comprimento.

Primeiro, vamos lembrar o que é eixo coordenado, projeção de um ponto sobre um eixo e coordenadas de um ponto no eixo.

Eixo coordenadoé uma linha reta que recebe uma direção. Você pode pensar nisso como um vetor com um módulo infinitamente grande.

Eixo coordenado denotado por qualquer letra: X, Y, Z, s, t ... Normalmente, um ponto é escolhido (arbitrariamente) no eixo, que é chamado de origem e, via de regra, denotado pela letra O. Distâncias a outros pontos de interesse para nós são medidos a partir deste ponto.

Projeção de um ponto em um eixo- esta é a base da perpendicular baixada deste ponto para o eixo dado (Fig. 8). Ou seja, a projeção de um ponto sobre o eixo é um ponto.

Coordenada de ponto por eixoé um número, cujo valor absoluto é igual ao comprimento do segmento do eixo (na escala selecionada) entre o início do eixo e a projeção do ponto neste eixo. Este número é tomado com um sinal de mais se a projeção do ponto estiver localizada na direção do eixo desde seu início e com um sinal de menos se na direção oposta.

Projeção escalar de um vetor em um eixo- isto é número, cujo valor absoluto é igual ao comprimento do segmento do eixo (na escala selecionada) entre as projeções do ponto inicial e o ponto final do vetor. Importante! Geralmente em vez da expressão projeção escalar de um vetor em um eixo eles apenas dizem - projeção de um vetor em um eixo, ou seja, a palavra escalar abaixado. Projeção vetorial denotado pela mesma letra do vetor projetado (em escrita normal, sem negrito), com um subscrito (geralmente) do nome do eixo no qual esse vetor é projetado. Por exemplo, se um vetor é projetado no eixo x uma, então sua projeção é denotada a x . Ao projetar o mesmo vetor em outro eixo, digamos o eixo Y, sua projeção será denotada como y (Fig. 9).

Calcular projeção vetorial no eixo(por exemplo, o eixo X) é necessário subtrair a coordenada do ponto inicial da coordenada do seu ponto final, ou seja

e x \u003d x k - x n.

Devemos lembrar: a projeção escalar de um vetor em um eixo (ou, simplesmente, a projeção de um vetor em um eixo) é um número (não um vetor)! Além disso, a projeção pode ser positiva se o valor x k for maior que o valor x n, negativa se o valor x k for menor que o valor x n e igual a zero se x k for igual a x n (Fig. 10).

A projeção de um vetor em um eixo também pode ser encontrada conhecendo o módulo do vetor e o ângulo que ele faz com esse eixo.

A Figura 11 mostra que a x = a Cos α

Ou seja, a projeção do vetor no eixo é igual ao produto do módulo do vetor pelo cosseno do ângulo entre a direção do eixo e a direção do vetor. Se o ângulo for agudo, então Cos α > 0 e a x > 0, e se for obtuso, então o cosseno do ângulo obtuso é negativo, e a projeção do vetor no eixo também será negativa.

Os ângulos contados a partir do eixo no sentido anti-horário são considerados positivos e na direção - negativos. No entanto, como o cosseno é uma função par, ou seja, Cos α = Cos (− α), ao calcular as projeções, os ângulos podem ser contados no sentido horário e anti-horário.

Ao resolver problemas, as seguintes propriedades de projeções serão frequentemente usadas: se

uma = b + c +…+ d, então a x = b x + c x +…+ d x (da mesma forma para outros eixos),

uma= m b, então a x = mb x (da mesma forma para outros eixos).

A fórmula a x = a Cos α será Muitas vezes encontrar ao resolver problemas, por isso deve ser conhecido. Você precisa conhecer a regra para determinar a projeção de coraçâo!

Lembrar!

Para encontrar a projeção de um vetor sobre um eixo, o módulo desse vetor deve ser multiplicado pelo cosseno do ângulo entre a direção do eixo e a direção do vetor.

Mais uma vez - RÁPIDO!

Neste artigo, vamos lidar com a projeção de um vetor em um eixo e aprender como encontrar a projeção numérica de um vetor. Primeiro, damos uma definição da projeção de um vetor em um eixo, introduzimos a notação e também damos uma ilustração gráfica. Depois disso, anunciaremos a definição da projeção numérica de um vetor em um eixo, consideraremos maneiras de encontrá-la e mostraremos soluções para vários exemplos em que é necessário encontrar uma projeção numérica de um vetor em um eixo.

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Projeção de um vetor sobre um eixo - definição, designação, ilustrações, exemplo.

Vamos começar com informações gerais.

Um eixo é uma linha reta para a qual uma direção é indicada. Assim, a projeção de um vetor em um eixo e a projeção de um vetor em uma linha direcionada são a mesma coisa.

A projeção de um vetor sobre um eixo pode ser considerada em dois sentidos: geométrico e algébrico. Em um sentido geométrico, a projeção de um vetor em um eixo é um vetor, e em um sentido algébrico é um número. Muitas vezes essa distinção não é feita explicitamente, mas é entendida a partir do contexto. Não vamos ignorar essa distinção: usaremos o termo "" quando se trata da projeção de um vetor no sentido geométrico, e o termo "" quando se trata da projeção de um vetor no sentido algébrico (o próximo parágrafo deste artigo é dedicado à projeção numérica de um vetor em um eixo).

Agora nos voltamos para a definição da projeção do vetor no eixo. Para isso, não custa repetir.

Deixe no plano ou no espaço tridimensional nos é dado o eixo L e um vetor diferente de zero . Vamos designar as projeções dos pontos A e B na linha L como A 1 e B 1, respectivamente, e construir um vetor . Olhando adiante, digamos que um vetor é uma projeção de um vetor no eixo L.

Definição.

Projeção de um vetor em um eixoé um vetor cujo início e fim são, respectivamente, as projeções do início e do fim do vetor dado.

A projeção de um vetor no eixo L é denotada como .

Para construir uma projeção de um vetor no eixo L, você precisa abaixar as perpendiculares dos pontos A e B até a linha direcionada L - as bases dessas perpendiculares darão o início e o fim da projeção desejada.

Vamos dar um exemplo da projeção de um vetor em um eixo.

Seja introduzido um sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano e dado algum ponto. Vamos representar o vetor raio do ponto M 1 e construir suas projeções nos eixos coordenados Ox e Oy . Obviamente, eles são vetores com coordenadas e respectivamente.

Frequentemente, ouve-se sobre a projeção de um vetor em outro vetor diferente de zero, ou sobre a projeção de um vetor em uma direção de um vetor. Nesse caso, está implícita a projeção do vetor sobre algum eixo, cuja direção coincide com a direção do vetor (em geral, existem infinitos eixos cujas direções coincidem com a direção do vetor). A projeção de um vetor em uma linha reta cuja direção determina o vetor é denotada como .

Observe que se o ângulo entre os vetores e for agudo, então os vetores e são codirecionais. Se o ângulo entre os vetores e for obtuso, então os vetores e terão direções opostas. Se o vetor é zero ou perpendicular ao vetor , então a projeção do vetor na linha reta, cuja direção especifica o vetor , é o vetor zero.

Projeção numérica de um vetor sobre um eixo - definição, designação, exemplos de achados.

A característica numérica da projeção de um vetor em um eixo é a projeção numérica desse vetor em um determinado eixo.

Definição.

Projeção numérica de um vetor em um eixoé um número que é igual ao produto do comprimento de um dado vetor pelo cosseno do ângulo entre este vetor e o vetor que determina a direção do eixo.

A projeção numérica do vetor no eixo L é denotada como (sem a seta no topo), e a projeção numérica do vetor no eixo definido pelo vetor é denotada como .

Nestas notações, a definição da projeção numérica de um vetor em uma linha reta direcionada como um vetor tomará a forma , onde é o comprimento do vetor , é o ângulo entre os vetores e .

Então temos o primeiro fórmula para calcular a projeção numérica de um vetor: . Esta fórmula é usada quando o comprimento do vetor e o ângulo entre os vetores e são conhecidos. Sem dúvida, esta fórmula também pode ser usada quando as coordenadas dos vetores e são conhecidas em relação a um determinado sistema de coordenadas retangulares, mas neste caso é mais conveniente usar outra fórmula, que obteremos abaixo.

Exemplo.

Calcule a projeção numérica de um vetor em uma linha direcionada como um vetor se o comprimento do vetor for 8 e o ângulo entre os vetores e for igual a .

Solução.

Da condição do problema temos . Resta apenas aplicar a fórmula que permite determinar a projeção numérica necessária do vetor:

Responda:

Nós sabemos isso , onde é o produto escalar de vetores e . Então a fórmula , permitindo que você encontre a projeção numérica de um vetor em uma linha reta direcionada como um vetor , terá a forma . Ou seja, podemos formular outra definição da projeção numérica de um vetor sobre um eixo, que é equivalente à definição dada no início desta seção.

Definição.

Projeção numérica de um vetor em um eixo, cuja direção coincide com a direção do vetor, é a razão entre o produto escalar dos vetores e o comprimento do vetor.

É conveniente usar a fórmula obtida da forma para encontrar a projeção numérica de um vetor em uma linha reta, cuja direção coincide com a direção do vetor, quando as coordenadas dos vetores e são conhecidas. Vamos mostrar isso resolvendo exemplos.

Exemplo.

Sabe-se que o vetor define a direção do eixo L . Encontre a projeção numérica do vetor no eixo L.

Solução.

A fórmula na forma de coordenadas é , onde e . Nós o usamos para encontrar a projeção numérica necessária do vetor no eixo L:

Responda:

Exemplo.

Em relação ao sistema de coordenadas retangulares Oxyz no espaço tridimensional, dois vetores são dados e . Encontre a projeção numérica do vetor no eixo L, cuja direção coincide com a direção do vetor.

Solução.

Por coordenadas vetoriais e você pode calcular o produto escalar desses vetores: . O comprimento de um vetor em suas coordenadas é calculado pela seguinte fórmula . Então a fórmula para determinar a projeção numérica do vetor no eixo L em coordenadas tem a forma .

Vamos aplicar:

Responda:

Agora vamos obter a relação entre a projeção numérica do vetor no eixo L, cuja direção determina o vetor, e o comprimento da projeção do vetor no eixo L. Para fazer isso, desenhe o eixo L, separe os vetores e de um ponto situado em L, solte a perpendicular da extremidade do vetor à linha L e construa a projeção do vetor no eixo L. Dependendo da medida do ângulo entre os vetores e as seguintes cinco opções são possíveis:

No primeiro caso, é óbvio que , portanto, , então .

No segundo caso, em um triângulo retângulo marcado, da definição do cosseno de um ângulo, temos , Consequentemente, .

No terceiro caso, é óbvio que , e , portanto, e .

No quarto caso, segue-se da definição do cosseno de um ângulo que , Onde .

Neste último caso, portanto, então
.

A seguinte definição da projeção numérica de um vetor em um eixo combina os resultados obtidos.

Definição.

Projeção numérica de um vetor no eixo L, dirigido como um vetor , é

Exemplo.

O comprimento da projeção do vetor sobre o eixo L , cuja direção é definida pelo vetor , é igual a . Qual é a projeção numérica do vetor no eixo L se o ângulo entre os vetores e é igual a radianos.

O eixo é a direção. Assim, a projeção sobre um eixo ou sobre uma linha direcionada é considerada a mesma. A projeção pode ser algébrica ou geométrica. Em termos geométricos, a projeção de um vetor sobre um eixo é entendida como um vetor e, em termos algébricos, é um número. Ou seja, são utilizados os conceitos de projeção de um vetor em um eixo e a projeção numérica de um vetor em um eixo.

Se temos um eixo L e um vetor diferente de zero A B → , então podemos construir um vetor A 1 B 1 ⇀ , denotando as projeções de seus pontos A 1 e B 1 .

A 1 B → 1 será a projeção do vetor A B → em L .

Definição 1

A projeção do vetor no eixo um vetor é chamado, cujo início e fim são projeções do início e do fim do vetor dado. n p L A B → → costuma-se denotar a projeção de A B → em L . Para construir uma projeção em L, solte as perpendiculares em L.

Exemplo 1

Um exemplo da projeção de um vetor em um eixo.

No plano de coordenadas O x y, é especificado um ponto M 1 (x 1, y 1). É necessário construir projeções em O x e O y para a imagem do vetor raio do ponto M 1 . Vamos obter as coordenadas dos vetores (x 1 , 0) e (0 , y 1) .

Se estamos falando sobre a projeção de a → em um b diferente de zero ou a projeção de a → na direção b → , então queremos dizer a projeção de a → no eixo com o qual a direção b → coincide. A projeção a → na linha definida por b → é denotada n p b → a → → . Sabe-se que quando o ângulo está entre a → e b → , podemos considerar n p b → a → → e b → codirecional. No caso em que o ângulo é obtuso, n p b → a → e b → têm direções opostas. Na situação de perpendicularidade a → e b → , e a → é zero, a projeção de a → ao longo da direção b → é um vetor zero.

A característica numérica da projeção de um vetor em um eixo é a projeção numérica de um vetor em um determinado eixo.

Definição 2

Projeção numérica do vetor no eixo chame um número que seja igual ao produto do comprimento de um vetor dado pelo cosseno do ângulo entre o vetor dado e o vetor que determina a direção do eixo.

A projeção numérica de A B → em L é denotada n p L A B → , e a → em b → -n p b → a → .

Com base na fórmula, obtemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , onde a → é o comprimento do vetor a → , a ⇀ , b → ^ é o ângulo entre os vetores a → e b→.

Obtemos a fórmula para calcular a projeção numérica: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . É aplicável para comprimentos conhecidos a → e b → e o ângulo entre eles. A fórmula é aplicável para coordenadas conhecidas a → e b → , mas há uma versão simplificada dela.

Exemplo 2

Descubra a projeção numérica a → em uma linha reta na direção b → com o comprimento a → igual a 8 e o ângulo entre eles é de 60 graus. Por condição temos a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Assim, substituímos os valores numéricos na fórmula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Responda: 4.

Com cos conhecido (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , temos a → , b → como o produto escalar de a → e b → . Seguindo a fórmula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , podemos encontrar a projeção numérica a → direcionada ao longo do vetor b → e obter n p b → a → = a → , b → b → . A fórmula é equivalente à definição dada no início da cláusula.

Definição 3

A projeção numérica do vetor a → no eixo que coincide em direção com b → é a razão do produto escalar dos vetores a → e b → pelo comprimento b → . A fórmula n p b → a → = a → , b → b → é aplicável para encontrar a projeção numérica de a → em uma linha reta que coincide em direção com b → , com coordenadas conhecidas a → e b →.

Exemplo 3

Dado b → = (- 3 , 4) . Encontre a projeção numérica a → = (1 , 7) em L .

Solução

No plano coordenado n p b → a → = a → , b → b → tem a forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y by y b x 2 + b y 2 , com a → = (a x , a y ) e b → = b x , b y . Para encontrar a projeção numérica do vetor a → no eixo L, você precisa: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Responda: 5.

Exemplo 4

Encontre a projeção a → sobre L , coincidindo com a direção b → , onde existem a → = - 2 , 3 , 1 eb → = (3 , - 2 , 6) . Um espaço tridimensional é dado.

Solução

Dado a → = a x , a y , a z e b → = b x , b y , b z calcule o produto escalar: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Encontramos o comprimento b → pela fórmula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Segue que a fórmula para determinar a projeção numérica a → será: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Substituímos os valores numéricos: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Resposta: - 6 7 .

Vejamos a conexão entre a → em L e o comprimento da projeção de a → em L . Desenhe um eixo L adicionando a → e b → de um ponto a L , após o que desenhamos uma linha perpendicular do final de a → a L e projetamos em L . Existem 5 variações de imagem:

O primeiro o caso quando a → = n p b → a → → significa a → = n p b → a → → , portanto n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Segundo caso implica o uso de n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , então n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Terceiro O caso explica que quando n p b → a → → = 0 → obtemos n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, então n p b → a → → = 0 e n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Quarto caso mostra n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^), segue n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Quinto caso mostra a → = n p b → a → → , o que significa a → = n p b → a → → , portanto temos n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Definição 4

A projeção numérica do vetor a → no eixo L , que é direcionado como b → , tem o significado:

• o comprimento da projeção do vetor a → em L desde que o ângulo entre a → e b → seja menor que 90 graus ou igual a 0: n p b → a → = n p b → a → → com a condição 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero na condição de perpendicularidade a → e b → : n p b → a → = 0 quando (a → , b → ^) = 90 ° ;
• o comprimento da projeção a → em L, vezes -1 quando há um ângulo obtuso ou achatado dos vetores a → e b → : n p b → a → = - n p b → a → → com a condição de 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Exemplo 5

Dado o comprimento da projeção a → em L , igual a 2 . Encontre a projeção numérica a → dado que o ângulo é 5 π 6 radianos.

Solução

Pode ser visto a partir da condição de que este ângulo é obtuso: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Resposta: - 2.

Exemplo 6

Dado um plano O x y z com o comprimento do vetor a → igual a 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) com um ângulo de 30 graus. Encontre as coordenadas da projeção a → no eixo L.

Solução

Primeiro, calculamos a projeção numérica do vetor a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Por condição, o ângulo é agudo, então a projeção numérica a → = é o comprimento da projeção do vetor a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Este caso mostra que os vetores n p L a → → e b → são codirigidos, o que significa que existe um número t para o qual a igualdade é verdadeira: n p L a → → = t · b → . A partir daqui vemos que n p L a → → = t b → , então podemos encontrar o valor do parâmetro t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Então n p L a → → = 3 b → com as coordenadas da projeção do vetor a → no eixo L são b → = (- 2 , 1 , 2) , onde é necessário multiplicar os valores por 3 .Temos n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Resposta: (- 6 , 3 , 6) .

É necessário repetir as informações previamente estudadas sobre a condição de colinearidade vetorial.

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