Como escrever uma equação para uma tangente em um ponto. Tangente ao gráfico de uma função em um ponto. Equação tangente. O significado geométrico da derivada

Tipo de trabalho: 7

Doença

A reta y=3x+2 é tangente ao gráfico da função y=-12x^2+bx-10. Encontre b , dado que a abcissa do ponto de contato menos que zero.

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Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=-12x^2+bx-10 por onde passa a tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por outro lado, o ponto tangente pertence tanto ao gráfico da função quanto ao tangente, ou seja, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obtemos um sistema de equações \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casos)

Resolvendo esse sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição da abcissa, os pontos de contato são menores que zero, portanto x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

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Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico de função

Doença

A reta y=-3x+4 é paralela à tangente ao gráfico da função y=-x^2+5x-7. Encontre a abcissa do ponto de contato.

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Solução

A inclinação da linha para o gráfico da função y=-x^2+5x-7 em um ponto arbitrário x_0 é y"(x_0). Mas y"=-2x+5, então y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular o coeficiente da linha y=-3x+4 especificado na condição é -3.As linhas paralelas têm as mesmas inclinações.Portanto, encontramos um valor x_0 que =-2x_0 +5=-3.

Obtemos: x_0 = 4.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2017. nível de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico de função

Doença

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Solução

Da figura, determinamos que a tangente passa pelos pontos A(-6; 2) e B(-1; 1). Denote por C(-6; 1) o ponto de interseção das retas x=-6 e y=1, e por \alpha o ângulo ABC (pode-se ver na figura que é agudo). Então a linha AB forma um ângulo obtuso \pi -\alpha com a direção positiva do eixo Ox.

Como você sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0. notar que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. A partir daqui, pelas fórmulas de redução, obtemos: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2017. nível de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico de função

Doença

A reta y=-2x-4 é tangente ao gráfico da função y=16x^2+bx+12. Encontre b , dado que a abcissa do ponto de contato Acima de zero.

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Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=16x^2+bx+12 através do qual

é tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y "(x_0)=32x_0+b=-2. Por outro lado, o ponto tangente pertence tanto ao gráfico da função e a tangente, ou seja, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obtemos um sistema de equações \begin(casos) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(casos)

Resolvendo o sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição da abcissa, os pontos de contato são maiores que zero, portanto x_0=1, então b=-2-32x_0=-34.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2017. nível de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico de função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos onde a tangente ao gráfico da função é paralela à reta y=6.

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Solução

A linha y=6 é paralela ao eixo Ox. Portanto, encontramos pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo Ox. Neste gráfico, tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 4 pontos extremos.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2017. nível de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico de função

Doença

A reta y=4x-6 é paralela à tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9. Encontre a abcissa do ponto de contato.

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Solução

A inclinação da tangente ao gráfico da função y \u003d x ^ 2-4x + 9 em um ponto arbitrário x_0 é y "(x_0). Mas y" \u003d 2x-4, o que significa y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. A inclinação da tangente y \u003d 4x-7 especificada na condição é igual a 4. As linhas paralelas têm as mesmas inclinações. Portanto, encontramos um valor x_0 que 2x_0-4 \u003d 4. Obtemos : x_0 \u003d 4.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2017. nível de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico de função

Doença

A figura mostra o gráfico da função y=f(x) e a tangente a ela no ponto com abscissa x_0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

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Solução

Da figura, determinamos que a tangente passa pelos pontos A(1; 1) e B(5; 4). Denote por C(5; 1) o ponto de interseção das retas x=5 e y=1, e por \alpha o ângulo BAC (pode-se ver na figura que é agudo). Então a linha AB forma um ângulo \alpha com a direção positiva do eixo Ox.

O tutorial em vídeo "A equação de uma tangente a um gráfico de função" demonstra material educacional dominar o assunto. Durante o tutorial em vídeo, material teórico, necessário para a formação do conceito da equação da tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto, o algoritmo para encontrar tal tangente, são descritos exemplos de resolução de problemas usando o material teórico estudado.

O tutorial em vídeo usa métodos que melhoram a visibilidade do material. Desenhos, diagramas são inseridos na vista, comentários de voz importantes são dados, animação, realce de cores e outras ferramentas são aplicadas.

A videoaula começa com a apresentação do tema da aula e a imagem de uma tangente ao gráfico de alguma função y=f(x) no ponto M(a;f(a)). Sabe-se que a inclinação da tangente traçada ao gráfico em um determinado ponto é igual à derivada da função f΄(a) em um determinado ponto. Também do curso de álgebra, a equação da reta y=kx+m é conhecida. A solução do problema de encontrar a equação da tangente em um ponto é apresentada esquematicamente, o que se reduz a encontrar os coeficientes k, m. Conhecendo as coordenadas do ponto pertencente ao gráfico da função, podemos encontrar m substituindo o valor das coordenadas na equação da tangente f(a)=ka+m. A partir dele encontramos m=f(a)-ka. Assim, conhecendo o valor da derivada em um dado ponto e as coordenadas do ponto, podemos representar a equação da tangente desta forma y=f(a)+f΄(a)(x-a).

O seguinte é um exemplo de elaboração de uma equação tangente, seguindo o esquema. Dada uma função y=x 2 , x=-2. Tendo aceito a=-2, encontramos o valor da função neste ponto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinamos a derivada da função f΄(х)=2х. Neste ponto, a derivada é igual a f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Para compilar a equação, todos os coeficientes a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 são encontrados, então a equação tangente y=4+(-4)(x+2). Simplificando a equação, obtemos y \u003d -4-4x.

No exemplo a seguir, propõe-se formular a equação da tangente na origem ao gráfico da função y=tgx. Neste ponto a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Portanto, a equação da tangente se parece com y=x.

Como generalização, o processo de compilação da equação da tangente ao gráfico da função em algum ponto é formalizado como um algoritmo composto por 4 etapas:

• Uma designação é introduzida para a abcissa do ponto de contato;
• f(a) é calculado;
• F΄(х) é determinado e f΄(a) é calculado. Os valores encontrados a, f(a), f΄(a) são substituídos na fórmula da equação tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

O Exemplo 1 considera a compilação da equação da tangente ao gráfico da função y \u003d 1 / x no ponto x \u003d 1. Usamos um algoritmo para resolver o problema. Para esta função no ponto a=1, o valor da função f(a)=-1. Derivada da função f΄(х)=1/х 2 . No ponto a=1, a derivada f΄(a)= f΄(1)=1. Usando os dados obtidos, a equação da tangente y \u003d -1 + (x-1), ou y \u003d x-2, é compilada.

No exemplo 2, você precisa encontrar a equação da tangente ao gráfico da função y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2. A principal condição é o paralelismo da tangente e da reta y \u003d -2x + 1. Primeiro, encontramos a inclinação da tangente, igual à inclinação da reta y \u003d -2x + 1. Como f΄(a)=-2 para esta reta, então k=-2 para a tangente desejada. Encontramos a derivada da função (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Sabendo que f΄(a)=-2, encontramos as coordenadas do ponto 3а 2 +6а-2=-2. Resolvendo a equação, obtemos 1 \u003d 0 e 2 \u003d -2. Usando as coordenadas encontradas, você pode encontrar a equação tangente usando um algoritmo conhecido. Encontramos o valor da função nos pontos f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. O valor da derivada no ponto f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substituindo os valores encontrados na equação tangente, obtemos para o primeiro ponto a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, e para o segundo ponto a 2 \u003d -2 a equação tangente y \u003d -2x- 22.

O Exemplo 3 descreve a formulação da equação tangente para seu desenho no ponto (0;3) ao gráfico da função y=√x. A decisão é tomada de acordo com o algoritmo conhecido. O ponto de contato tem coordenadas x=a, onde a>0. O valor da função no ponto f(a)=√x. A derivada da função f΄(х)=1/2√х, portanto, no ponto dado f΄(а)=1/2√а. Substituindo todos os valores obtidos na equação tangente, obtemos y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Transformando a equação, obtemos y=x/2√a+√a/2. Sabendo que a tangente passa pelo ponto (0; 3), encontramos o valor de a. Encontre a de 3=√a/2. Daí √a=6, a=36. Encontramos a equação da tangente y \u003d x / 12 + 3. A figura mostra o gráfico da função em questão e a tangente desejada construída.

Os alunos são lembrados das igualdades aproximadas Δy=≈f΄(x)Δx e f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tomando x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obtemos f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), portanto f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

No exemplo 4, é necessário encontrar o valor aproximado da expressão 2,003 6 . Como é necessário encontrar o valor da função f (x) \u003d x 6 no ponto x \u003d 2,003, podemos usar a conhecida fórmula, tomando f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Derivada no ponto f΄(2)=192. Portanto, 2,003 6 ≈65-192 0,003. Depois de calcular a expressão, obtemos 2,003 6 ≈64,576.

A videoaula "Equação da tangente ao gráfico de uma função" é recomendada para uso em aula de matemática tradicional na escola. Para um professor de ensino a distância, o material em vídeo ajudará a explicar o assunto com mais clareza. O vídeo pode ser recomendado para autoavaliação dos alunos, caso seja necessário aprofundar sua compreensão sobre o assunto.

INTERPRETAÇÃO DO TEXTO:

Sabemos que se o ponto M (a; f (a)) (em com coordenadas a e eff de a) pertence ao gráfico da função y \u003d f (x) e se neste ponto uma tangente pode ser desenhada para o gráfico da função, não perpendicular ao eixo abscissa, então a inclinação da tangente é f "(a) (ef curso de a).

Sejam dados uma função y = f(x) e um ponto M (a; f(a)), e sabe-se também que f´(a) existe. Vamos compor a equação da tangente ao gráfico de uma determinada função em um determinado ponto. Esta equação, como a equação de qualquer linha reta não paralela ao eixo y, tem a forma y = kx + m (y é igual a ka x mais em), então a tarefa é encontrar os valores dos coeficientes k e m. (ka e em)

Inclinação k \u003d f "(a). Para calcular o valor de m, usamos o fato de que a reta desejada passa pelo ponto M (a; f (a)). Isso significa que se substituirmos as coordenadas do ponto M na equação da reta, obtemos a igualdade correta: f(a) = ka+m, de onde descobrimos que m = f(a) - ka.

Resta substituir os valores encontrados dos coeficientes ki e m na equação de uma linha reta:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y é igual a eff de a mais ef golpe de a multiplicado por x menos a).

Obtivemos a equação da tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto x=a.

Se, digamos, y \u003d x 2 e x \u003d -2 (ou seja, a \u003d -2), então f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, então f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (então eff de a é igual a quatro, eff linha de x é igual a dois x, o que significa ef golpe de a igual a menos quatro)

Substituindo na equação os valores encontrados a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, obtemos: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , ou seja, y \u003d -4x -4.

(y é igual a menos quatro x menos quatro)

Vamos compor a equação da tangente ao gráfico da função y \u003d tgx (y é igual à tangente x) na origem. Temos: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , então f"(0) = l. Substituindo os valores encontrados a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 na equação, obtemos: y=x.

Generalizamos nossos passos para encontrar a equação da tangente ao gráfico da função no ponto x usando o algoritmo.

ALGORITMO PARA COMPOR A EQUAÇÃO DA FUNÇÃO tangente ao GRÁFICO y \u003d f (x):

1) Designe a abcissa do ponto de contato com a letra a.

2) Calcule f(a).

3) Encontre f´(x) e calcule f´(a).

4) Substitua os números encontrados a, f(a), f´(a) na fórmula y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Exemplo 1. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função y \u003d - in

ponto x = 1.

Solução. Vamos usar o algoritmo, levando em conta que em este exemplo

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Substitua os três números encontrados: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1 na fórmula. Obtemos: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Resposta: y = x-2.

Exemplo 2. Dada uma função y = x 3 +3x 2 -2x-2. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função y \u003d f (x), paralela à reta y \u003d -2x +1.

Usando o algoritmo para compilar a equação tangente, levamos em consideração que neste exemplo f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, mas a abcissa do ponto de toque não é especificada aqui.

Vamos começar falando assim. A tangente desejada deve ser paralela à reta y \u003d -2x + 1. E linhas paralelas têm inclinações iguais. Portanto, a inclinação da tangente é igual à inclinação da reta dada: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Assim, podemos encontrar o valor de a a partir da equação f ´ (a) \u003d -2.

Vamos encontrar a derivada da função y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

Da equação f "(a) \u003d -2, ou seja 3à 2 +6à-2\u003d -2 encontramos um 1 \u003d 0, um 2 \u003d -2. Isso significa que existem duas tangentes que satisfazem as condições do problema: uma no ponto com abcissa 0, a outra no ponto com abscissa -2.

Agora você pode agir de acordo com o algoritmo.

1) a 1 \u003d 0 e 2 \u003d -2.

2) f(a1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Substituindo os valores a 1 = 0, f (a 1) = -2, f"(a 1) = -2 na fórmula, obtemos:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Substituindo os valores a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 na fórmula, obtemos:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Resposta: y=-2x-2, y=-2x+2.

Exemplo 3. Do ponto (0; 3) desenhe uma tangente ao gráfico da função y \u003d. Solução. Vamos usar o algoritmo para compilar a equação tangente, dado que neste exemplo f(x) = . Observe que aqui, como no Exemplo 2, a abcissa do ponto de contato não é explicitamente indicada. No entanto, agimos de acordo com o algoritmo.

1) Seja x = a a abcissa do ponto de contato; é claro que a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Substituindo os valores a, f(a) = , f"(a) = na fórmula

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), Nós temos:

Por condição, a tangente passa pelo ponto (0; 3). Substituindo os valores x = 0, y = 3 na equação, obtemos: 3 = , e então =6, a =36.

Como você pode ver, neste exemplo, apenas na quarta etapa do algoritmo conseguimos encontrar a abcissa do ponto de contato. Substituindo o valor a =36 na equação, obtemos: y=+3

Na fig. A Figura 1 apresenta uma ilustração geométrica do exemplo considerado: um gráfico da função y \u003d é traçado, uma linha reta y \u003d +3 é desenhada.

Resposta: y = +3.

Sabemos que para a função y = f(x), que tem derivada no ponto x, vale a igualdade aproximada: Δyf´(x)Δx

ou, mais detalhadamente, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef de x mais delta x menos ef de x é aproximadamente igual a ef linha de x a delta x).

Para facilitar o raciocínio, mudamos a notação:

ao invés de x vamos escrever A,

em vez de x + Δx vamos escrever x

em vez de Δx, escreveremos x-a.

Então a igualdade aproximada escrita acima terá a forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef de x é aproximadamente igual a eff de a mais ef golpe de a, multiplicado pela diferença entre x e a).

Exemplo 4. Encontre o valor aproximado da expressão numérica 2,003 6 .

Solução. É sobre sobre encontrar o valor da função y \u003d x 6 no ponto x \u003d 2,003. Vamos usar a fórmula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), considerando que neste exemplo f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x \u003d 2,003, f "(x) \u003d 6x 5 e, portanto, f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

Como resultado, obtemos:

2,003 6 64+192 0,003, ou seja, 2,003 6 = 64,576.

Se usarmos uma calculadora, obtemos:

2,003 6 = 64,5781643...

Como você pode ver, a precisão da aproximação é bastante aceitável.

Tangenteé uma reta que passa por um ponto da curva e coincide com ele neste ponto até a primeira ordem (Fig. 1).

Outra definição: esta é a posição limite da secante em Δ x→0.

Explicação: Pegue uma linha que intercepta a curva em dois pontos: A E b(Ver foto). Esta é uma secante. Vamos girá-lo no sentido horário até que tenha apenas um ponto comum com a curva. Assim, obtemos uma tangente.

Definição estrita de uma tangente:

Tangente ao gráfico de função f, diferenciável em um ponto xO, é uma reta que passa pelo ponto ( xO; f(xO)) e tendo uma inclinação f′( xO).

A inclinação tem uma linha reta y=kx +b. Coeficiente k e é fator de inclinação esta linha reta.

O coeficiente angular é igual à tangente do ângulo agudo formado por esta linha reta com o eixo x:

k = tgα

Aqui o ângulo α é o ângulo entre a linha y=kx +b e a direção positiva (ou seja, no sentido anti-horário) do eixo x. é chamado ângulo de inclinação reto(Fig.1 e 2).

Se o ângulo de inclinação for reto y=kx +b agudo, então a inclinação é um número positivo. O gráfico aumenta (Fig. 1).

Se o ângulo de inclinação for reto y=kx +b obtuso, então a inclinação é um número negativo. O gráfico é decrescente (Fig. 2).

Se a linha é paralela ao eixo x, então a inclinação da linha é zero. Nesse caso, a inclinação da linha também é zero (já que a tangente de zero é zero). A equação da reta terá a aparência de y = b (Fig. 3).

Se o ângulo de inclinação de uma reta é 90º (π/2), ou seja, é perpendicular ao eixo x, então a reta é dada pela igualdade x=c, Onde c- algum número real (Fig. 4).

A equação da tangente ao gráfico da funçãoy = f(x) no ponto xO:

Exemplo: Vamos encontrar a equação da tangente ao gráfico da função f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 no ponto com abcissa 2.

Solução .

Seguimos o algoritmo.

1) Ponto de toque xOé igual a 2. Calcule f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Encontre f′( x). Para fazer isso, usamos as fórmulas de diferenciação descritas na seção anterior. De acordo com essas fórmulas, x 2 = 2x, A x 3 = 3x 2. Significa:

f′( x) = 3x 2 – 2 ∙ 2x = 3x 2 – 4x.

Agora, usando o valor resultante f′( x), calcular f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Então, temos todos os dados necessários: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Substituímos esses números na equação da tangente e encontramos a solução final:

y= f(xO) + f′( xO) (x- x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Resposta: y \u003d 4x - 7.

Tangente é uma reta , que toca o gráfico da função em um ponto e todos os pontos estão na menor distância do gráfico da função. Portanto, a tangente passa tangente ao gráfico da função em um determinado ângulo e várias tangentes não podem passar pelo ponto tangente em ângulos diferentes. As equações tangentes e as equações da normal ao gráfico da função são compiladas usando a derivada.

A equação da tangente é derivada da equação da reta .

Derivamos a equação da tangente e, em seguida, a equação da normal ao gráfico da função.

y = kx + b .

Nele k- coeficiente angular.

Daqui obtemos a seguinte entrada:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Valor derivado f "(x 0 ) funções y = f(x) no ponto x0 igual à inclinação k=tg φ tangente ao gráfico de uma função traçada por um ponto M0 (x 0 , y 0 ) , Onde y0 = f(x 0 ) . Isso é o que significado geométrico da derivada .

Assim, podemos substituir k sobre f "(x 0 ) e obtenha o seguinte a equação da tangente ao gráfico da função :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Nas tarefas de compilar a equação de uma tangente ao gráfico de uma função (e logo passaremos a elas), é necessário trazer a equação obtida da fórmula acima para equação geral da reta. Para fazer isso, você precisa transferir todas as letras e números para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito.

Agora sobre a equação normal. Normal é uma reta que passa pelo ponto tangente ao gráfico da função perpendicular à tangente. equação normal :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Para aquecer o primeiro exemplo, você deve resolvê-lo sozinho e, em seguida, olhar para a solução. Há todos os motivos para esperar que esta tarefa não seja um "banho frio" para nossos leitores.

Exemplo 0. Componha a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função em um ponto M (1, 1) .

Exemplo 1 Componha a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa do ponto de contato for .

Vamos encontrar a derivada da função:

Agora temos tudo o que precisa ser substituído na entrada dada no referencial teórico para obter a equação tangente. Nós temos

Neste exemplo, tivemos sorte: a inclinação acabou sendo igual a zero, então traga a equação separadamente para visão geral não precisava. Agora podemos escrever a equação normal:

Na figura abaixo: gráfico da função cor bordô, tangente Cor verde, o normal é laranja.

O próximo exemplo também não é complicado: a função, como na anterior, também é um polinômio, mas o coeficiente de inclinação não será igual a zero, então mais uma etapa será adicionada - trazendo a equação para uma forma geral.

Exemplo 2

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto de contato:

Vamos encontrar a derivada da função:

.

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de contato, ou seja, a inclinação da tangente:

Substituímos todos os dados obtidos na "fórmula em branco" e obtemos a equação tangente:

Trazemos a equação para uma forma geral (recolhemos todas as letras e números que não sejam zero no lado esquerdo e deixamos o zero no lado direito):

Compomos a equação da normal:

Exemplo 3 Componha a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa do ponto de contato for .

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto de contato:

Vamos encontrar a derivada da função:

.

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de contato, ou seja, a inclinação da tangente:

.

Encontramos a equação da tangente:

Antes de trazer a equação para uma forma geral, você precisa "combiná-la" um pouco: multiplique termo a termo por 4. Fazemos isso e trazemos a equação para uma forma geral:

Compomos a equação da normal:

Exemplo 4 Componha a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa do ponto de contato for .

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto de contato:

.

Vamos encontrar a derivada da função:

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de contato, ou seja, a inclinação da tangente:

.

Obtemos a equação da tangente:

Nós trazemos a equação para uma forma geral:

Compomos a equação da normal:

Um erro comum ao escrever equações tangentes e normais é não perceber que a função dada no exemplo é complexa e calcular sua derivada como a derivada de uma função simples. Os exemplos a seguir já estão funções complexas(a lição correspondente abrirá em uma nova janela).

Exemplo 5 Componha a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa do ponto de contato for .

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto de contato:

Atenção! Esta função é complexa, pois o argumento da tangente (2 x) é em si uma função. Portanto, encontramos a derivada de uma função como a derivada de uma função complexa.