O conceito básico do modelo predador e presa. Equilíbrio predador-presa. Modelo Clássico Volterra
MODELO DE COMPUTADOR "PREDATOR-Prey"
Kazachkov Igor Alekseevich 1 , Guseva Elena Nikolaevna 2
1 Estado de Magnitogorsk Universidade Técnica eles. GI Nosova, Instituto de Construção, Arquitetura e Arte, estudante do 5º ano
b Universidade Técnica do Estado de Magnitogorsk GI Nosov, Instituto de Energia e sistemas automatizados, candidato ciências pedagógicas, Professor Associado, Departamento de Informática Empresarial e Tecnologia da Informação
anotação
Este artigo é dedicado à revisão do modelo computacional "predador-presa". O estudo permite-nos afirmar que a modelação ecológica desempenha um papel enorme no estudo do ambiente. Esta questão é multifacetada.
MODELO DE COMPUTADOR "PREDADOR-VÍTIMA"
Kazatchkov Igor Alekseevich 1 , Guseva Elena Nikolaevna 2
1 Universidade Técnica Estadual Nosov Magnitogorsk, Instituto de Engenharia Civil, Arquitetura e Artes, aluno do 5º curso
2 Nosov Magnitogorsk State Technical University, Instituto de Engenharia de Energia e Sistemas Automatizados, PhD em Ciências Pedagógicas, Professor Associado do Departamento de Ciência da Computação Empresarial e Tecnologias da Informação
Abstrato
Este artigo fornece uma visão geral do modelo de computador "predador-vítima". O estudo sugere que a simulação ambiental desempenha um papel enorme no estudo do meio ambiente. Este problema é multifacetado.
A modelagem ecológica é usada para estudar o ambiente ao nosso redor. Modelos matemáticos são usados nos casos em que não há ambiente natural e não há objetos naturais, ajuda a prever a influência de vários fatores no objeto em estudo. Este método assume as funções de verificação, construção e interpretação dos resultados. Com base nessas formas, a modelagem ecológica lida com a avaliação das mudanças no ambiente ao nosso redor.
No momento, essas formas são usadas para estudar o ambiente ao nosso redor e, quando é necessário estudar qualquer uma de suas áreas, é usada a modelagem matemática. Este modelo permite prever a influência de determinados fatores sobre o objeto de estudo. Ao mesmo tempo, o tipo "predador-presa" foi proposto por cientistas como: T. Malthus (Malthus 1798, Malthus 1905), Verhulst (Verhulst 1838), Pearl (Pearl 1927, 1930), bem como A. Lotka ( Lotka 1925, 1927) e V. Volterra (Volterra 1926) Esses modelos reproduzem o regime oscilatório periódico que ocorre como resultado de interações interespécies na natureza.
Um dos principais métodos de cognição é a modelagem. Além de poder prever mudanças no ambiente, também ajuda a encontrar a melhor forma de resolver um problema. Por muito tempo, modelos matemáticos foram usados em ecologia para estabelecer padrões, tendências no desenvolvimento das populações e ajudar a destacar a essência das observações. O layout pode servir como uma amostra comportamento, objeto.
Ao recriar objetos em biologia matemática, as previsões são usadas vários sistemas, são fornecidas individualidades especiais de biossistemas: a estrutura interna de um indivíduo, as condições de suporte à vida, a constância dos sistemas ecológicos, graças à qual a atividade vital dos sistemas é salva.
O advento da simulação por computador ampliou consideravelmente a fronteira da capacidade de pesquisa. Havia a possibilidade de implementação multilateral de formas difíceis que não permitem estudo analítico, havia últimos destinos bem como modelagem de simulação.
Vamos considerar qual é o objeto da modelagem. “O objeto é um habitat fechado onde ocorre a interação de duas populações biológicas: predadores e presas. O processo de crescimento, extinção e reprodução ocorre diretamente na superfície do ambiente. As presas se alimentam dos recursos que estão presentes no ambiente, enquanto os predadores se alimentam das presas. Ao mesmo tempo, os recursos nutricionais podem ser renováveis e não renováveis.
Em 1931 Vito Volterra foram criados seguindo as leis relação predador-presa.
A lei do ciclo periódico - o processo de destruição da presa por um predador geralmente leva a flutuações periódicas no número de populações de ambas as espécies, dependendo apenas da taxa de crescimento de carnívoros e herbívoros e da proporção inicial de seus números .
Lei de conservação das médias - a abundância média de cada espécie é constante, independentemente do nível inicial, desde que as taxas específicas de aumento populacional, bem como a eficiência da predação, sejam constantes.
A lei da violação das médias - com redução em ambas as espécies proporcionalmente ao seu número, a população média de presas aumenta e predadores - diminui.
O modelo predador-presa é uma relação especial entre o predador e a presa, da qual ambos se beneficiam. Os indivíduos mais saudáveis e adaptados às condições ambientais sobrevivem, ou seja, sobrevivem. tudo isso acontece graças a seleção natural. Em um ambiente onde não há oportunidade de reprodução, o predador mais cedo ou mais tarde destruirá a população de presas, após o que ela própria morrerá.
Existem muitos organismos vivos na terra que, em condições favoráveis, aumentam o número de parentes em proporções enormes. Essa capacidade é chamada: o potencial biótico da espécie, ou seja, aumento da população de uma espécie em um determinado período de tempo. Cada espécie tem seu próprio potencial biótico, por exemplo, grandes espécies de organismos podem crescer apenas 1,1 vezes por ano, enquanto organismos de espécies menores, como crustáceos, etc. podem aumentar sua aparência em até 1030 vezes, mas as bactérias ainda estão em mais. Em qualquer um desses casos, a população crescerá exponencialmente.
O crescimento populacional exponencial é uma progressão geométrica do crescimento populacional. Essa capacidade pode ser observada em laboratório em bactérias, leveduras. Em condições não laboratoriais, o crescimento exponencial pode ser observado em gafanhotos ou outras espécies de insetos. Esse aumento no número de espécies pode ser observado nos locais onde praticamente não há inimigos e há comida mais do que suficiente. Eventualmente o crescimento da espécie, depois que a população aumentou por um curto período de tempo, o crescimento populacional começou a diminuir.
Considere um modelo de computador de reprodução de mamíferos no exemplo do modelo Lotka-Volterra. Deixar duas espécies de animais vivem em uma determinada área: veados e lobos. Modelo matemático de mudança populacional no modelo Trays-Volterra:
O número inicial de vítimas é xn, o número de predadores é yn.
Parâmetros do modelo:
P1 é a probabilidade de encontrar um predador,
P2 é a taxa de crescimento dos predadores em detrimento das presas,
d é a taxa de mortalidade do predador,
a é o aumento do número de vítimas.
Na tarefa de treinamento, foram definidos os seguintes valores: o número de veados era 500, o número de lobos era 10, a taxa de crescimento do veado era 0,02, a taxa de crescimento dos lobos era 0,1, a probabilidade de encontrar um predador era 0,0026, a taxa de crescimento de predadores devido à presa foi de 0,000056. Os dados são calculados para 203 anos.
Explorando a influência a taxa de crescimento de vítimas para o desenvolvimento de duas populações, os demais parâmetros permanecerão inalterados. No Esquema 1, observa-se um aumento no número de presas e, com algum atraso, observa-se um aumento nos predadores. Então os predadores derrubam a presa, o número de presas cai drasticamente, seguido pela diminuição do número de predadores (Fig. 1).
Figura 1. Tamanho da população com baixas taxas de natalidade entre as vítimas
Analisemos a mudança de modelo aumentando a taxa de natalidade da vítima a=0,06. No Esquema 2, vemos um processo oscilatório cíclico levando a um aumento no número de ambas as populações ao longo do tempo (Fig. 2).
Figura 2. Tamanho da população na taxa média de natalidade das vítimas
Vamos considerar como a dinâmica das populações mudará com um valor alto da taxa de natalidade da vítima a = 1,13. Na fig. 3, há um aumento acentuado no número de ambas as populações, seguido pela extinção de presas e predadores. Isso se deve ao fato de a população de vítimas ter aumentado a tal ponto que os recursos começaram a se esgotar, fazendo com que a vítima esteja morrendo. A extinção dos predadores se deve ao fato de que o número de vítimas diminuiu e os predadores ficaram sem recursos para existir.
Figura 3. Populações com altas taxas de natalidade em presas
Com base na análise de dados de experimentos de computador, podemos concluir que a modelagem de computador nos permite prever o tamanho das populações, estudar a influência vários fatores sobre a dinâmica populacional. No exemplo acima, investigamos o modelo predador-presa, o efeito da taxa de natalidade da presa no número de veados e lobos. Um pequeno aumento na população de presas leva a um pequeno aumento nas presas, que após um certo período são destruídas pelos predadores. Um aumento moderado na população de presas leva a um aumento no tamanho de ambas as populações. Um grande aumento na população de presas leva primeiro a crescimento rápido populações de presas, isso afeta o aumento no crescimento de predadores, mas os predadores reprodutores rapidamente destroem a população de veados. Como resultado, ambas as espécies foram extintas.
A dinâmica populacional é uma das seções da modelagem matemática. É interessante porque tem aplicações específicas em biologia, ecologia, demografia e economia. Existem vários modelos básicos nesta seção, um dos quais, o modelo Predator-Prey, é discutido neste artigo.
O primeiro exemplo de modelo em ecologia matemática foi o modelo proposto por V. Volterra. Foi ele quem primeiro considerou o modelo da relação entre predador e presa.
Considere a declaração do problema. Suponha que existam dois tipos de animais, um dos quais devora o outro (predadores e presas). Ao mesmo tempo, são feitas as seguintes suposições: os recursos alimentares das presas não são limitados e, portanto, na ausência de um predador, a população de presas cresce exponencialmente, enquanto os predadores, separados de suas presas, morrem gradativamente de fome , também de acordo com uma lei exponencial. Assim que predadores e presas começam a viver próximos uns dos outros, as mudanças em suas populações se tornam interconectadas. Nesse caso, obviamente, o aumento relativo do número de presas dependerá do tamanho da população do predador e vice-versa.
Neste modelo, assume-se que todos os predadores (e todas as presas) estão nas mesmas condições. Ao mesmo tempo, os recursos alimentares das presas são ilimitados e os predadores se alimentam exclusivamente de presas. Ambas as populações vivem em uma área limitada e não interagem com nenhuma outra população, e não há outros fatores que possam afetar o tamanho das populações.
O próprio modelo matemático “predador-presa” consiste em um par de equações diferenciais que descrevem a dinâmica das populações de predador e presa em seu caso mais simples, quando há uma população de predador e uma população de presa. O modelo é caracterizado por flutuações nos tamanhos de ambas as populações, com o pico do número de predadores ligeiramente atrás do pico do número de presas. Este modelo pode ser encontrado em muitos trabalhos sobre dinâmica populacional ou modelagem matemática. É amplamente coberto e analisado por métodos matemáticos. No entanto, as fórmulas nem sempre dão uma ideia óbvia do processo em andamento.
É interessante saber exatamente como a dinâmica das populações depende dos parâmetros iniciais desse modelo e o quanto isso corresponde à realidade e senso comum, e vê-lo graficamente, sem recorrer a cálculos complexos. Para tanto, baseado no modelo Volterra, foi criado um programa no ambiente Mathcad14.
Primeiro, vamos verificar se o modelo está em conformidade com as condições reais. Para isso, consideramos casos degenerados, quando apenas uma das populações vive em determinadas condições. Teoricamente, foi demonstrado que, na ausência de predadores, a população de presas aumenta indefinidamente no tempo, e a população de predadores desaparece na ausência de presas, o que geralmente corresponde ao modelo e à situação real (com a declaração do problema declarado) .
Os resultados obtidos refletem os teóricos: os predadores estão morrendo gradualmente (Fig. 1) e o número de presas aumenta indefinidamente (Fig. 2).
Fig.1 Dependência do número de predadores no tempo na ausência de presas
Fig. 2 Dependência do número de vítimas no tempo na ausência de predadores
Como pode ser visto, nestes casos o sistema corresponde ao modelo matemático.
Considere como o sistema se comporta para vários parâmetros iniciais. Que haja duas populações - leões e antílopes - predadores e presas, respectivamente, e os indicadores iniciais são dados. Então obtemos os seguintes resultados (Fig. 3):
Tabela 1. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.3 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 1
Vamos analisar os dados obtidos com base nos gráficos. Com o aumento inicial da população de antílopes, observa-se um aumento no número de predadores. Observe que o pico do aumento da população de predadores é observado posteriormente, no declínio da população de presas, o que é bastante consistente com as ideias reais e com o modelo matemático. Com efeito, um aumento do número de antílopes significa um aumento dos recursos alimentares para os leões, o que implica um aumento do seu número. Além disso, o consumo ativo de antílopes pelos leões leva a uma rápida diminuição no número de presas, o que não é surpreendente, dado o apetite do predador, ou melhor, a frequência da predação dos predadores. Uma diminuição gradual no número de predadores leva a uma situação em que a população de presas está em condições favoráveis para o crescimento. Então a situação se repete com um certo período. Concluímos que essas condições não são adequadas para o desenvolvimento harmonioso dos indivíduos, pois acarretam declínios acentuados na população de presas e aumentos acentuados em ambas as populações.
Vamos agora definir o número inicial do predador igual a 200 indivíduos, mantendo os restantes parâmetros (Fig. 4).
Tabela 2. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.4 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 2
Agora as oscilações do sistema ocorrem de forma mais natural. Sob essas suposições, o sistema existe de forma bastante harmoniosa, não há aumentos acentuados e diminuições no número de populações em ambas as populações. Concluímos que, com esses parâmetros, ambas as populações se desenvolvem de maneira bastante uniforme para viver juntas na mesma área.
Vamos definir o número inicial do predador igual a 100 indivíduos, o número de presas a 200, mantendo os restantes parâmetros (Fig. 5).
Tabela 3. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.5 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 3
Neste caso, a situação é próxima da primeira situação considerada. Observe que, com um aumento mútuo nas populações, as transições de um aumento para uma diminuição na população de presas tornam-se mais suaves e a população de predadores permanece na ausência de presas em um nível mais alto valor numérico. Concluímos que com uma relação próxima de uma população para outra, sua interação ocorre de forma mais harmoniosa se os números iniciais específicos de populações forem grandes o suficiente.
Considere alterar outros parâmetros do sistema. Deixe os números iniciais corresponderem ao segundo caso. Vamos aumentar o fator de multiplicação da presa (Fig.6).
Tabela 4. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.6 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 4
Vamos comparar este resultado com o resultado obtido no segundo caso. Nesse caso, há um aumento mais rápido de presas. Ao mesmo tempo, tanto o predador quanto a presa se comportam como no primeiro caso, o que foi explicado pelo baixo número de populações. Com essa interação, ambas as populações atingem um pico com valores bem maiores que no segundo caso.
Agora vamos aumentar o coeficiente de crescimento dos predadores (Fig. 7).
Tabela 5. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.7 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 5
Vamos comparar os resultados de maneira semelhante. Nesse caso características gerais sistema permanece o mesmo, exceto pela mudança de período. Como esperado, o período tornou-se mais curto, o que é explicado pela rápida diminuição da população de predadores na ausência de presas.
E, finalmente, mudaremos o coeficiente de interação interespécies. Para começar, vamos aumentar a frequência de predadores comendo presas:
Tabela 6. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.8 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 6
Como o predador come a presa com mais frequência, o máximo de sua população aumentou em relação ao segundo caso, e a diferença entre os valores máximo e mínimo das populações também diminuiu. O período de oscilação do sistema permaneceu o mesmo.
E agora vamos reduzir a frequência de predadores comendo presas:
Tabela 7. Coeficientes do modo oscilatório do sistema
Fig.9 Sistema com valores de parâmetros da Tabela 7
Agora o predador come a presa com menos frequência, o máximo de sua população diminuiu em relação ao segundo caso, e o máximo da população de presas aumentou e 10 vezes. Segue-se que, em dadas condições, a população de presas tem maior liberdade em termos de reprodução, pois basta uma massa menor para que o predador se sacie. A diferença entre os valores máximo e mínimo do tamanho da população também diminuiu.
Ao tentar modelar processos complexos na natureza ou na sociedade, de uma forma ou de outra, surge a questão sobre a correção do modelo. Naturalmente, ao modelar, o processo é simplificado, alguns pequenos detalhes são negligenciados. Por outro lado, existe o perigo de simplificar demais o modelo, descartando características importantes do fenômeno junto com outras insignificantes. Para evitar esta situação, antes da modelação, é necessário estudar a área temática em que este modelo é utilizado, explorar todas as suas características e parâmetros e, o mais importante, destacar as características que são mais significativas. O processo deve ter descrição natural, intuitivo, coincidindo nos principais pontos com o modelo teórico.
O modelo considerado neste artigo tem uma série de desvantagens significativas. Por exemplo, a suposição de recursos ilimitados para a presa, a ausência de fatores externos que afetem a mortalidade de ambas as espécies, etc. Todas essas suposições não refletem a situação real. No entanto, apesar de todas as deficiências, o modelo se difundiu em muitas áreas, mesmo longe da ecologia. Isso pode ser explicado pelo fato de que o sistema predador-presa dá ideia geral sobre a interação das espécies. Interação ambiente e outros fatores podem ser descritos por outros modelos e analisados em combinação.
A relação predador-presa é uma característica essencial vários tipos vida, na qual há uma colisão de duas partes em interação. Esse modelo ocorre não apenas na ecologia, mas também na economia, na política e em outros campos de atividade. Por exemplo, uma das áreas relacionadas com a economia é a análise do mercado de trabalho, tendo em conta os potenciais colaboradores disponíveis e as vagas disponíveis. Este tópico seria uma continuação interessante do trabalho no modelo predador-presa.
Agência Federal de Educação
Estado instituição educacional
mais alto Educação vocacional
"Universidade Técnica do Estado de Izhevsk"
Faculdade de Matemática Aplicada
Departamento "Modelagem matemática de processos e tecnologias"
na disciplina "Equações Diferenciais"
Tópico: "Estudo qualitativo do modelo predador-presa"
Izhevsk 2010
INTRODUÇÃO
1. PARÂMETROS E EQUAÇÃO PRINCIPAL DO MODELO PREDADOR-PRESA
2.2 Modelos generalizados de Voltaire do tipo "predador-presa".
3. APLICAÇÕES PRÁTICAS DO MODELO PREDADOR-PRESA
CONCLUSÃO
BIBLIOGRAFIA
INTRODUÇÃO
Atualmente, as questões ambientais são de suma importância. Um marco importante A solução desses problemas é o desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas ecológicos.
Uma das principais tarefas da ecologia de pa estágio atualé o estudo da estrutura e funcionamento dos sistemas naturais, a busca por padrões gerais. Grande influência a ecologia foi influenciada pela matemática, que contribuiu para o desenvolvimento da ecologia matemática, especialmente seções como a teoria das equações diferenciais, a teoria da estabilidade e a teoria controle ideal.
Um dos primeiros trabalhos no campo da ecologia matemática foi o trabalho de A.D. Lotki (1880 - 1949), que foi o primeiro a descrever a interação de várias populações conectadas por relações predador-presa. Uma grande contribuição para o estudo do modelo predador-presa foi feita por V. Volterra (1860 - 1940), V.A. Kostitsyn (1883-1963) Atualmente, as equações que descrevem a interação das populações são chamadas de equações de Lotka-Volterra.
As equações de Lotka-Volterra descrevem a dinâmica dos valores médios - tamanho da população. Atualmente, mais de modelos gerais interações populacionais descritas por equações integro-diferenciais, modelos predador-presa controláveis são estudados.
Um dos problemas importantes da ecologia matemática é o problema da estabilidade dos ecossistemas e o manejo desses sistemas. O gerenciamento pode ser executado para transferir o sistema de um curso estável para outro, para fins de seu uso ou restauração.
1. PARÂMETROS E EQUAÇÃO PRINCIPAL DO MODELO PREDADOR-PRESA
Tentativas de modelar matematicamente a dinâmica de populações biológicas individuais e comunidades que incluem populações em interação de várias espécies têm sido feitas há muito tempo. Um dos primeiros modelos de crescimento para uma população isolada (2.1) foi proposto em 1798 por Thomas Malthus:
, (1.1)Este modelo é definido pelos seguintes parâmetros:
N - tamanho da população;
- a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade.Integrando esta equação obtemos:
, (1.2)onde N(0) é o tamanho da população no momento t = 0. Obviamente, o modelo de Malthus para
> 0 dá um crescimento numérico infinito, o que nunca é observado em populações naturais, onde os recursos que garantem esse crescimento são sempre limitados. Mudanças nas populações de flora e fauna não podem ser descritas lei simples Malthus, a dinâmica do crescimento é influenciada por muitas razões inter-relacionadas - em particular, a reprodução de cada espécie é auto-regulada e modificada para que esta espécie seja preservada no processo de evolução.A descrição matemática dessas regularidades é realizada pela ecologia matemática - a ciência da relação dos organismos vegetais e animais e das comunidades que eles formam entre si e com o meio ambiente.
O mais sério estudo de modelos comunidades biológicas, incluindo várias populações de diferentes espécies, foi realizado pelo matemático italiano Vito Volterra:
, - tamanho da população; - coeficientes de crescimento natural (ou mortalidade) da população; - coeficientes de interação interespécies. Dependendo da escolha dos coeficientes, o modelo descreve a luta das espécies por recurso compartilhado, ou uma interação do tipo predador-presa, quando uma espécie serve de alimento para outra. Se nas obras de outros autores a atenção principal foi dada à construção vários modelos, então V. Volterra conduziu um estudo profundo dos modelos construídos de comunidades biológicas. É do livro de V. Volterra, na opinião de muitos cientistas, que a ecologia matemática moderna começou.2. ESTUDO QUALITATIVO DO MODELO ELEMENTAR "PREDADOR-PRESA"
2.1 Modelo de interação trófica predador-presa
Consideremos o modelo de interação trófica segundo o tipo "predador-presa", construído por W. Volterra. Que haja um sistema composto por duas espécies, das quais uma come a outra.
Considere o caso em que uma das espécies é predadora e a outra é presa, e assumiremos que o predador se alimenta apenas da presa. Aceitamos a seguinte hipótese simples:
- taxa de crescimento da presa; - taxa de crescimento do predador; - tamanho populacional da presa; - tamanho da população do predador; - coeficiente de crescimento natural da vítima; - a taxa de consumo da presa pelo predador; - a taxa de mortalidade do predador na ausência de presa; - coeficiente de "processamento" pelo predador da biomassa da presa em sua própria biomassa.Em seguida, a dinâmica populacional no sistema predador-presa será descrita pelo sistema de equações diferenciais (2.1):
(2.1)onde todos os coeficientes são positivos e constantes.
O modelo tem uma solução de equilíbrio (2.2):
(2.2)De acordo com o modelo (2.1), a proporção de predadores na massa total de animais é expressa pela fórmula (2.3):
(2.3)Uma análise da estabilidade do estado de equilíbrio em relação a pequenas perturbações mostrou que o ponto singular (2.2) é “neutramente” estável (do tipo “centro”), ou seja, quaisquer desvios do equilíbrio não decaem, mas transferem o sistema em um regime oscilatório com uma amplitude que depende da magnitude da perturbação. Trajetórias do sistema no plano de fase
têm a forma de curvas fechadas localizadas a diferentes distâncias do ponto de equilíbrio (Fig. 1).Arroz. 1 - Fase "retrato" do clássico sistema Volterra "predador-presa"
Dividindo a primeira equação do sistema (2.1) pela segunda, obtemos a equação diferencial (2.4) para a curva no plano de fase
. (2.4)Integrando essa equação, obtemos:
(2.5) é a constante de integração, ondeÉ fácil mostrar que o movimento de um ponto ao longo do plano de fase ocorrerá apenas em uma direção. Para fazer isso, é conveniente fazer uma mudança de funções
e , movendo a origem das coordenadas no plano até o ponto estacionário (2.2) e então introduzindo as coordenadas polares: (2.6)Neste caso, substituindo os valores do sistema (2.6) no sistema (2.1), temos
Freqüentemente, membros de uma espécie (população) se alimentam de membros de outra espécie.
O modelo Lotka-Volterra é um modelo da existência mútua de duas populações do tipo "predador-presa".
O modelo "predador-presa" foi obtido pela primeira vez por A. Lotka em 1925, que o usou para descrever a dinâmica da interação de populações biológicas. Em 1926, independentemente de Lotka, modelos semelhantes (aliás, mais complexos) foram desenvolvidos pelo matemático italiano V. Volterra, cuja profunda pesquisa na área problemas ambientais lançou as bases para a teoria matemática das comunidades biológicas ou as chamadas. ecologia matemática.
Na forma matemática, o sistema de equações proposto tem a forma:
onde x é o número de presas, y é o número de predadores, t é o tempo, α, β, γ, δ são coeficientes que refletem as interações entre as populações.
Formulação do problema
Considere um espaço fechado no qual existem duas populações - herbívoros ("vítimas") e predadores. Acredita-se que os animais não sejam importados ou exportados e que haja comida suficiente para os herbívoros. Então a equação para alterar o número de vítimas (somente vítimas) terá a seguinte forma:
onde $α$ é a taxa de natalidade das vítimas,
$x$ é o tamanho da população de presas,
$\frac(dx)(dt)$ é a taxa de crescimento da população de presas.
Quando os predadores não estão caçando, eles podem morrer, então a equação para o número de predadores (somente predadores) se torna:
Onde $γ$ é o coeficiente de extinção dos predadores,
$y$ é o tamanho da população do predador,
$\frac(dy)(dt)$ é a taxa de crescimento da população do predador.
Quando predadores e presas se encontram (a frequência dos encontros é diretamente proporcional ao produto), os predadores destroem as presas com um coeficiente, predadores bem alimentados podem reproduzir descendentes com um coeficiente. Assim, o sistema de equações do modelo terá a forma:
A solução do problema
Vamos construir um modelo matemático da coexistência de duas populações biológicas do tipo "predador-presa".
Deixe duas populações biológicas viverem juntas em um ambiente isolado. O ambiente é estacionário e fornece uma quantidade ilimitada de tudo o que é necessário para a vida de uma das espécies - a vítima. Outra espécie - um predador - também vive em condições estacionárias, mas se alimenta apenas de presas. Gatos, lobos, lúcios, raposas podem atuar como predadores, e galinhas, lebres, crucians, ratos, respectivamente, podem atuar como vítimas.
Para ser mais preciso, vamos considerar os gatos como predadores e as galinhas como vítimas.
Assim, galinhas e gatos vivem em algum espaço isolado - o quintal de casa. O ambiente fornece comida ilimitada às galinhas, enquanto os gatos comem apenas as galinhas. denotar por
$x$ - o número de galinhas,
$y$ é o número de gatos.
Ao longo do tempo, o número de galinhas e gatos muda, mas vamos considerar $x$ e $y$ como funções contínuas do tempo t. Vamos chamar um par de números $x, y)$ de estado do modelo.
Vamos descobrir como o estado do modelo $(x, y).$ muda
Considere $\frac(dx)(dt)$, a taxa de variação no número de galinhas.
Se não houver gatos, o número de galinhas aumenta e quanto mais rápido, mais galinhas. Vamos considerar a dependência linear:
$\frac(dx)(dt) a_1 x$,
$a_1$ é um coeficiente que depende apenas das condições de vida das galinhas, sua mortalidade natural e taxa de natalidade.
$\frac(dy)(dt)$ – a taxa de variação no número de gatos (se não houver galinhas), depende do número de gatos y.
Se não houver galinhas, o número de gatos diminui (eles não têm comida) e eles morrem. Vamos considerar a dependência linear:
$\frac(dy)(dt) - a_2 y$.
No ecossistema, a taxa de variação do número de cada espécie também será considerada proporcional ao seu número, mas apenas com um coeficiente dependente do número de indivíduos de outra espécie. Assim, para as galinhas, esse coeficiente diminui com o aumento do número de gatos e, para os gatos, aumenta com o aumento do número de galinhas. Assumiremos que a dependência também é linear. Então obtemos um sistema de equações diferenciais:
Este sistema de equações é chamado de modelo Volterra-Lotka.
a1, a2, b1, b2 são coeficientes numéricos, chamados de parâmetros do modelo.
Como você pode ver, a natureza da mudança no estado do modelo (x, y) é determinada pelos valores dos parâmetros. Ao alterar esses parâmetros e resolver o sistema de equações do modelo, é possível estudar os padrões de mudanças no estado do sistema ecológico.
Usando o programa MATLAB, o sistema de equações de Lotka-Volterra é resolvido da seguinte forma:
Na fig. 1 mostra a solução do sistema. Dependendo das condições iniciais, as soluções são diferentes, o que corresponde a Cores diferentes trajetórias.
Na fig. 2 mostra as mesmas soluções, mas levando em conta o eixo do tempo t (ou seja, há uma dependência do tempo).
Premissas:
1. O ambiente é homogêneo.
2. O número desta espécie é descrito por uma variável, ou seja, negligenciamos idade, sexo e diferenças genéticas.
3. Desprezamos as flutuações aleatórias.
4. A interação é instantânea.
Na literatura biológica, há um grande número de trabalhos em que tais sistemas foram observados na natureza ou modelados em populações "modelos" em laboratório.
No entanto, seus resultados são muitas vezes contraditório uns aos outros:
- em alguns experimentos, à primeira vista, foram observados fenômenos incompreensíveis de mudanças periódicas no número de populações em um ambiente homogêneo;
- em outras observações, os sistemas foram destruídos rapidamente: ou o predador morre e a presa permanece, ou a presa morre e o predador a segue.
Construído na década de 1920 por Vito Voltaire, o modelo de comunidade predador-presa explica muitas dessas características.
Este é o primeiro sucesso da ecologia matemática.
Ao considerar este sistema, consideramos as questões de estabilidade: as condições de estabilidade e os mecanismos de estabilidade.
modelo clássico Volterra
O número de vítimas
O número de predadores.
Suposições adicionais.
1. O único fator limitante que limita a reprodução das presas é a pressão dos predadores sobre elas. Os recursos limitados do ambiente para a vítima não são levados em consideração (como no modelo de Malthus).
2. A reprodução dos predadores é limitada pela quantidade de comida que recebem (o número de presas).
− coeficiente de aumento natural de presas;
− coeficiente de mortalidade de predadores naturais;
− número (biomassa) de presa consumida por um predador por unidade de tempo (função trófica);
- parte da energia obtida da biomassa, que é consumida pelo predador para reprodução. O restante da energia é gasto na manutenção do metabolismo básico e na atividade de caça.
Equações do sistema "predador-presa"
A função é determinada em trabalhos experimentais. Até agora, foi estabelecido que essas funções pertencem a um dos três tipos a seguir.
Este tipo é típico de invertebrados e algumas espécies de peixes predadores.
Uma função trófica com um limiar de saturação pronunciado é característica de predadores filtradores (moluscos).
Este tipo é típico de vertebrados - organismos capazes de aprender.
Com baixo número de presas, quase todas as presas se tornam presas de um predador, que está sempre com fome e nunca se sacia. A função trófica pode ser considerada linear:
Modelo clássico de Volterra:
Condições iniciais
O sistema (2) é autônomo, pois não tem do lado direito. A mudança no estado do sistema é representada no plano de fase e é uma solução para a equação
Vamos encontrar os pontos de repouso do sistema (2).
O ponto de repouso não trivial do sistema (4) tem a forma
Vamos determinar a natureza do ponto de repouso (5).
Vamos fazer uma substituição
Vamos abrir os colchetes e pegar o sistema
Descartando os termos não lineares, obtemos o sistema
A equação característica tem a forma
Raízes são números puramente imaginários. O ponto de repouso é o centro. Nas variáveis originais, as trajetórias de fase têm a forma
As setas indicam a direção na qual o estado do sistema muda ao longo do tempo.
De acordo com esse movimento ao longo da trajetória, o número de populações de predadores e presas realiza oscilações periódicas não amortecidas, e as oscilações no número do predador ficam atrás das oscilações no número de presas em fase (em um quarto do período).
O retrato de fase da solução parece uma espiral:
No sistema "predador-presa", surgem oscilações amortecidas. Os números de presas e predadores tendem aos seus valores de equilíbrio (8).
Gráficos da dependência do número de espécies.