Gráficos dos exemplos de funções exponenciais. Tópico da lição: "Função exponencial, suas propriedades e gráfico"

Lição #2

Tema: Função exponencial, suas propriedades e gráfico.

Alvo: Verificar a qualidade de assimilação do conceito de “função exponencial”; formar competências no reconhecimento de uma função exponencial, na utilização das suas propriedades e gráficos, ensinar os alunos a utilizar as formas analíticas e gráficas de registo de uma função exponencial; proporcionar um ambiente de trabalho em sala de aula.

Equipamento: placa, cartazes

Formulário de Aula: Sala de aula

Tipo de aula: aula prática

Tipo de lição: aula de treinamento de habilidades

Plano de aula

1. Momento organizacional

2. Trabalho independente e verifique trabalho de casa

3. Resolução de problemas

4. Resumindo

5. Lição de casa

Durante as aulas.

1. Momento organizacional :

Olá. Abra os cadernos, anote a data de hoje e o tópico da lição "Função exponencial". Hoje continuaremos a estudar a função exponencial, suas propriedades e gráfico.

2. Trabalho independente e verificação da lição de casa .

Alvo: verificar a qualidade de assimilação do conceito de "função exponencial" e verificar o cumprimento da parte teórica do trabalho de casa

Método: tarefa de teste, levantamento frontal

Como lição de casa, você recebeu números do livro de problemas e um parágrafo do livro didático. Não verificaremos a execução dos números do livro didático agora, mas você entregará seus cadernos no final da lição. Agora a teoria será testada na forma de um pequeno teste. A tarefa é a mesma para todos: você recebe uma lista de funções, você deve descobrir quais delas são indicativas (sublinhe-as). E ao lado da função exponencial, você precisa escrever se está aumentando ou diminuindo.

Opção 1

Responda

D) - exponencial, decrescente

opção 2

Responda

D) - exponencial, decrescente

D) - indicativo, crescente

Opção 3

Responda

MAS) - indicativo, crescente

B) - exponencial, decrescente

Opção 4

Responda

MAS) - exponencial, decrescente

NO) - indicativo, crescente

Agora vamos lembrar juntos qual função é chamada de exponencial?

Uma função da forma , onde e , é chamada de função exponencial.

Qual é o escopo desta função?

Todos os números reais.

Qual é o alcance da função exponencial?

Todos os números reais positivos.

Diminui se a base do grau Acima de zero, mas menor que a unidade.

Quando uma função exponencial diminui em seu domínio?

Aumenta se a base for maior que um.

3. Resolução de problemas

Alvo: formar habilidades no reconhecimento de uma função exponencial, no uso de suas propriedades e gráficos, ensinar os alunos a usar as formas analíticas e gráficas de registrar uma função exponencial

Método: demonstração pelo professor da resolução de problemas típicos, trabalho oral, trabalho no quadro-negro, trabalho no caderno, conversa do professor com os alunos.

As propriedades da função exponencial podem ser usadas ao comparar 2 ou mais números. Por exemplo: nº 000. Compare os valores e se a) ..gif" width="37" height="20 src="> então é bonito trabalho duro: teríamos que tirar a raiz cúbica de 3 e 9 e compará-los. Mas sabemos que aumenta, o que por sua vez significa que quando o argumento aumenta, o valor da função aumenta, ou seja, basta comparar os valores do argumento e, obviamente, que (pode ser demonstrado em um pôster com uma função exponencial crescente). E sempre ao resolver tais exemplos, primeiro determine a base da função exponencial, compare com 1, determine a monotonicidade e prossiga com a comparação dos argumentos. No caso de uma função decrescente: à medida que o argumento aumenta, o valor da função diminui, portanto, o sinal de desigualdade é alterado ao passar da desigualdade de argumentos para a desigualdade de funções. Então resolvemos oralmente: b)

NO)

- Nº 000. Compare os números: a) e

Portanto, a função é crescente, então

Por quê ?

Aumentando a função e

Portanto, a função é decrescente, então

Ambas as funções aumentam em todo o seu domínio de definição, pois são exponenciais com base maior que um.

Qual é o significado disso?

Construímos gráficos:

Qual função cresce mais rápido ao se esforçar https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Qual função diminui mais rápido ao se esforçar https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

No intervalo, qual das funções tem maior valor em um ponto específico?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Primeiro, vamos descobrir o escopo dessas funções. Eles coincidir?

Sim, o domínio dessas funções são todos os números reais.

Nomeie o escopo de cada uma dessas funções.

Os intervalos dessas funções coincidem: todos os números reais positivos.

Determine o tipo de monotonicidade de cada uma das funções.

Todas as três funções diminuem em todo o seu domínio de definição, uma vez que são exponenciais com uma base menor que um e maior que zero.

Qual é o ponto singular do gráfico de uma função exponencial?

Qual é o significado disso?

Qualquer que seja a base do grau de uma função exponencial, se o expoente for 0, então o valor dessa função será 1.

Construímos gráficos:

Vamos analisar os gráficos. Quantos pontos de interseção os gráficos de funções têm?

Qual função diminui mais rápido ao se esforçar? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Qual função cresce mais rápido ao se esforçar? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

No intervalo, qual das funções tem o maior valor em um determinado ponto?

Por que funções exponenciais com bases diferentes têm apenas um ponto de interseção?

As funções exponenciais são estritamente monotônicas em todo o seu domínio de definição, então elas só podem se cruzar em um ponto.

A próxima tarefa se concentrará no uso dessa propriedade. № 000. Encontre o maior e o menor valor de uma determinada função em um determinado intervalo a). Lembre-se de que uma função estritamente monotônica assume seus valores mínimo e máximo nas extremidades de um determinado intervalo. E se a função é crescente, então sua valor mais alto estará na extremidade direita do segmento, e o menor na extremidade esquerda do segmento (demonstração no pôster, usando a função exponencial como exemplo). Se a função estiver diminuindo, seu maior valor estará na extremidade esquerda do segmento e o menor na extremidade direita do segmento (demonstração no pôster, usando a função exponencial como exemplo). A função está aumentando, porque, portanto, o menor valor da função estará no ponto https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Pontos b) , dentro) d) resolva os cadernos por conta própria, vamos verificar oralmente.

Os alunos resolvem o problema em seu caderno

Função decrescente

o maior valor da função no intervalo

o menor valor da função no intervalo

Função crescente

o menor valor da função no intervalo

o maior valor da função no intervalo

- № 000. Encontre o maior e o menor valor de uma determinada função em um determinado intervalo a) . Esta tarefa é quase a mesma que a anterior. Mas aqui é dado não um segmento, mas um raio. Sabemos que a função está aumentando e não tem o maior nem o menor valor em toda a linha numérica https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, e tende a , ou seja, no raio, a função em tende a 0, mas não tem seu menor valor, mas tem o maior valor no ponto . Pontos b) , dentro) , G) Resolva seus próprios cadernos, nós verificaremos oralmente.

Função exponencial

Função da forma y = a x , onde a é maior que zero e a não é igual a um é chamada de função exponencial. As principais propriedades da função exponencial:

1. O domínio da função exponencial será o conjunto dos números reais.

2. O intervalo da função exponencial será o conjunto de todos os números reais positivos. Às vezes, esse conjunto é indicado como R+ por brevidade.

3. Se em uma função exponencial a base a for maior que um, então a função será crescente em todo o domínio de definição. Se a função exponencial para a base a satisfaz a seguinte condição 0

4. Todas as propriedades básicas dos graus serão válidas. As principais propriedades dos graus são representadas pelas seguintes igualdades:

uma x *uma y = um (x+y) ;

(uma x )/(uma y ) = um (x-y) ;

(a*b) x = (um x )*(uma y );

(a/b) x = um x /b x ;

(uma x ) y = um (x*y) .

Essas igualdades serão válidas para todos os valores reais de x e y.

5. O gráfico da função exponencial sempre passa pelo ponto com coordenadas (0;1)

6. Dependendo se a função exponencial aumenta ou diminui, seu gráfico terá um de dois tipos.

A figura a seguir mostra um gráfico de uma função exponencial crescente: a>0.

A figura a seguir é um gráfico de uma função exponencial decrescente: 0

Tanto o gráfico da função exponencial crescente quanto o gráfico da função exponencial decrescente, conforme a propriedade descrita no quinto parágrafo, passam pelo ponto (0; 1).

7. Uma função exponencial não possui pontos extremos, ou seja, não possui pontos mínimos e máximos da função. Se considerarmos a função em qualquer segmento específico, a função assumirá os valores mínimo e máximo nas extremidades desse intervalo.

8. A função não é par ou ímpar. Uma função exponencial é uma função visão geral. Isso também pode ser visto nos gráficos, nenhum deles é simétrico em relação ao eixo Oy ou em relação à origem.

Logaritmo

Os logaritmos sempre foram considerados um tópico difícil no curso de matemática escolar. Existem muitas definições diferentes do logaritmo, mas por alguma razão a maioria dos livros usa a mais complexa e infeliz delas.

Vamos definir o logaritmo de forma simples e clara. Vamos criar uma tabela para isso:

Então, temos potências de dois. Se você pegar o número da linha de fundo, poderá encontrar facilmente a potência à qual precisa aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para obter 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.

E agora - de fato, a definição do logaritmo:

Definição

Logaritmo basear a do argumento x é a potência à qual o número deve ser elevado uma para obter o número x.

Designação

logar a x = b
onde a é a base, x é o argumento, b O que exatamente é o logaritmo.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode também logar 2 64 = 6, já que 2 6 = 64.

A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma base dada é chamadalogaritmo . Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:

Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5. O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo estará em algum lugar no segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Esses números são chamados de irracionais: os números após a vírgula podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixá-lo assim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis (base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Para evitar mal-entendidos irritantes, basta dar uma olhada na imagem:

Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembre-se: o logaritmo é uma potência , para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento.É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos na primeira aula - e não há confusão.

Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livrar-se do sinal "log". Para começar, notamos que Dois fatos importantes decorrem da definição:

O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau por um expoente racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.

A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer poder ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que poder um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe esse grau!

Tais restrições chamado intervalo válido(ODZ). Acontece que a ODZ do logaritmo se parece com isso: log ax = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notar que sem limite no número b (valor do logaritmo) não se sobrepõe. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 = -1, porque 0,5 = 2 −1 .

No entanto, agora estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário conhecer a ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando as equações logarítmicas e as desigualdades entrarem em jogo, os requisitos do DHS se tornarão obrigatórios. De fato, na base e argumento pode haver construções muito fortes, que não necessariamente correspondem às restrições acima.

Agora considere o geral esquema para calcular logaritmos. Consiste em três etapas:

Enviar Fundação a e argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;

Decidir sobre uma variável b equação: x = a b ;

Número recebido b será a resposta.

Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso já será visto na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Igual a decimais: se você os traduzir imediatamente para os comuns, haverá muitas vezes menos erros.

Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:

Calcule o logaritmo: log 5 25

Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Recebeu uma resposta: 2.

Calcule o logaritmo:

Vamos representar a base e o argumento como uma potência de três: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Vamos fazer e resolver a equação:

Obteve a resposta: -4.

−4

Calcule o logaritmo: log 4 64

Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Recebeu uma resposta: 3.

Calcule o logaritmo: log 16 1

Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Recebeu uma resposta: 0.

Calcule o logaritmo: log 7 14

Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;

Decorre do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;

A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.

registro 7 14

Uma pequena nota sobre o último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta decompô-lo em fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.

Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; quatorze.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque há apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;

8, 81 - grau exato; 48, 35, 14 - não.

Também notamos que nós números primos são sempre poderes exatos de si mesmos.

logaritmo decimal

Alguns logaritmos são tão comuns que nome especial e designação.

Definição

logaritmo decimal do argumento x é o logaritmo na base 10, ou seja a potência à qual você precisa aumentar o número 10 para obter o número x.

Designação

lg x

Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

A partir de agora, quando você vir uma frase como “Encontre lg 0.01” em um livro didático, saiba que isso não é um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x

Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.

Logaritmo natural

Há outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. É sobre sobre o logaritmo natural.

Definição

Logaritmo natural do argumento x é o logaritmo básico e , ou seja a potência à qual o número deve ser elevado e para obter o número x.

Designação

ln x

Muitos vão perguntar: qual é o número e? Este é um número irracional, seu valor exato não pode ser encontrado e escrito. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459...

Não vamos nos aprofundar no que é esse número e por que ele é necessário. Basta lembrar que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x

Assim ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.

Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.

Propriedades básicas dos logaritmos

Logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e convertidos de todas as formas possíveis. Mas como os logaritmos não são exatamente números regulares, ele tem suas próprias regras, que são chamadas de propriedades básicas.

Essas regras devem ser conhecidas - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, há muito poucos deles - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: log a x e logar a y . Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

registro um x +registro ay = registro uma ( x · y );

registro um x −log ay = registro uma ( x : y ).

Então, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Atenção: o ponto chave aqui são as mesmas bases. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (ver lição " "). Dê uma olhada nos exemplos - e veja:

Encontre o valor da expressão: log 6 4 + log 6 9.

Como as bases dos logaritmos são as mesmas, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são as mesmas, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois de transformações números bastante normais resultam. Com base nesse fato, muitos papéis de teste. Sim, esse controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidos no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil ver que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

É claro todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0 você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isso é o que é mais frequentemente exigido.

Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Encontre o valor da expressão:

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:

Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo ali na forma de graus e retiraram os indicadores - eles obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos olhar para a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. De acordo com as regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras para somar e subtrair logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

Fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Teorema

Deixe o logaritmo um x . Então para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar quão convenientes eles são apenas na hora de decidir equações logarítmicas e desigualdades.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos tirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois, e então descobrimos os logaritmos.

Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotá-lo e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar logaritmo decimal, movendo-se para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É chamado assim:identidade logarítmica básica.

De fato, o que acontecerá se o número b for elevado a tal grau que o número b neste grau dê o número a? Isso mesmo: este é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas "penduram" nele.

Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.

Uma tarefa

Encontre o valor da expressão:

Solução

Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas tirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências de mesma base, temos:

200

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do exame :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Em conclusão, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas mesmo para alunos "avançados".

log a a = 1 é unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base uma desta própria base é igual a um.

log a 1 = 0 é zero logarítmico. Basear um pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um - o logaritmo é zero! Porque um 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática!

Concentração de atenção:

Definição. Função espécie é chamada função exponencial .

Comente. Exclusão básica uma números 0; 1 e valores negativos uma explicado pelas seguintes circunstâncias:

A própria expressão analítica um x nesses casos, ela mantém seu significado e pode ser encontrada na resolução de problemas. Por exemplo, para a expressão xy ponto x = 1; y = 1 entra no intervalo de valores aceitáveis.

Construir gráficos de funções: e .



Gráfico de uma função exponencial
y= uma x, a > 1	y= uma x , 0< a < 1

Propriedades da função exponencial

Propriedades da função exponencial	y= uma x, a > 1	y= uma x , 0< a < 1
Escopo da função
2. Faixa de valores de função
3. Intervalos de comparação com a unidade	no x> 0, um x > 1	no x > 0, 0< a x < 1
	no x < 0, 0< a x < 1	no x < 0, a x > 1
4. Par, ímpar.	A função não é nem par nem ímpar (função geral).
5. Monotonia.	aumenta monotonicamente por R	diminui monotonicamente por R
6. Extremos.	A função exponencial não tem extremos.
7.Assíntota	Eixo O xé uma assíntota horizontal.
8. Para quaisquer valores reais x e y;

Quando a tabela é preenchida, as tarefas são resolvidas em paralelo com o preenchimento.

Tarefa número 1. (Para encontrar o domínio da função).

Quais valores de argumento são válidos para funções:

Tarefa número 2. (Para encontrar o intervalo da função).

A figura mostra um gráfico de uma função. Especifique o escopo e o escopo da função:

Tarefa número 3. (Para indicar os intervalos de comparação com a unidade).

Compare cada uma das seguintes potências com uma:

Tarefa número 4. (Estudar a função para monotonicidade).

Comparar números reais por magnitude m e n E se:

Tarefa número 5. (Estudar a função para monotonicidade).

Faça uma conclusão sobre a base uma, E se:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Como são os gráficos das funções exponenciais em relação umas às outras para x > 0, x = 0, x< 0?

Em um plano de coordenadas, gráficos de funções são plotados:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Como são os gráficos das funções exponenciais em relação umas às outras para x > 0, x = 0, x< 0?

Número uma das constantes mais importantes da matemática. Por definição, é igual ao limite da sequência com ilimitado aumentando n . Designação e introduzido Leonardo Euler em 1736. Ele calculou os primeiros 23 dígitos deste número em notação decimal, e o próprio número foi nomeado em homenagem a Napier "Número de Neper".

Número e desempenha um papel especial na análise matemática. Função exponencial com base e, chamado de expoente e denotado y = e x.

Primeiros sinais números e fácil de lembrar: dois, uma vírgula, sete, o ano de nascimento de Leo Tolstoy - duas vezes, quarenta e cinco, noventa, quarenta e cinco.

Trabalho de casa:

Kolmogorov página 35; Nº 445-447; 451; 453.

Repita o algoritmo para construir gráficos de funções contendo uma variável sob o sinal do módulo.

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍMICAS VIII

§ 179 Propriedades básicas da função exponencial

Nesta seção, estudaremos as principais propriedades da função exponencial

y = a x (1)

Lembre-se que sob uma na fórmula (1) queremos dizer qualquer número positivo fixo diferente de 1.

Propriedade 1. O domínio da função exponencial é o conjunto de todos os números reais.

Com efeito, para um resultado positivo uma expressão uma x definido para qualquer número real X .

Propriedade 2. A função exponencial aceita apenas valores positivos.

Com efeito, se X > 0, então, como ficou provado no § 176,

uma x > 0.

Se X <. 0, то

uma x =

Onde - X já maior que zero. É por isso uma - x > 0. Mas então

uma x = > 0.

Finalmente, em X = 0

uma x = 1.

A 2ª propriedade da função exponencial tem uma interpretação gráfica simples. Está no fato de que o gráfico desta função (ver Fig. 246 e 247) está localizado inteiramente acima do eixo x.

Propriedade 3. Se um uma >1, então em X > 0 uma x > 1, e em X < 0 uma x < 1. Se uma < 1, тah, pelo contrário, X > 0 uma x < 1, e em X < 0 uma x > 1.

Esta propriedade da função exponencial também permite uma interpretação geométrica simples. No uma > 1 (fig. 246) curvas y = a x localizado acima da linha no = 1 em X > 0 e abaixo da linha reta no = 1 em X < 0.

Se uma < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x localizado abaixo da linha no = 1 em X > 0 e acima desta linha reta em X < 0.

Vamos dar uma prova rigorosa da 3ª propriedade. Deixar uma > 1 e X é um número positivo arbitrário. Vamos mostrar que

uma x > 1.

Se número X racional ( X = m / n ) , então uma x = uma m/ n = n √uma m .

Porque o uma > 1, então uma m > 1, mas a raiz de um número maior que um é obviamente também maior que 1.

Se um X irracional, então existem números racionais positivos X" e X" , que servem como aproximações decimais do número x :

X"< х < х" .

Mas então, por definição de um grau com um expoente irracional

uma x" < uma x < uma x"" .

Como mostrado acima, o número uma x" mais de um. Portanto, o número uma x , mais do que uma x" , também deve ser maior que 1,

Então, mostramos que uma >1 e positivo arbitrário X

uma x > 1.

Se o número X fosse negativo, então teríamos

uma x =

onde o número é X seria positivo. É por isso uma - x > 1. Portanto,

uma x = < 1.

Assim, ao uma > 1 e negativo arbitrário x

uma x < 1.

Caso quando 0< uma < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Propriedade 4. Se x = 0, então independentemente de um uma x =1.

Isso decorre da definição de grau zero; a potência zero de qualquer número diferente de zero é igual a 1. Graficamente, esta propriedade é expressa no fato de que para qualquer uma curva no = uma x (ver fig. 246 e 247) cruza o eixo no no ponto com ordenada 1.

Propriedade 5. No uma >1 função exponencial = uma x é crescente monotonicamente, e para um < 1 - diminuindo monotonicamente.

Esta propriedade também permite uma interpretação geométrica simples.

No uma > 1 (Fig. 246) curva no = uma x com crescimento X sobe cada vez mais alto, e uma < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Vamos dar uma prova rigorosa da 5ª propriedade.

Deixar uma > 1 e X 2 > X 1 . Vamos mostrar que

uma x 2 > uma x 1

Porque o X 2 > X 1., então X 2 = X 1 + d , Onde d é algum número positivo. É por isso

uma x 2 - uma x 1 = uma x 1 + d - uma x 1 = uma x 1 (uma d - 1)

De acordo com a 2ª propriedade da função exponencial uma x 1 > 0. Desde d > 0, então pela 3ª propriedade da função exponencial uma d > 1. Ambos os fatores no produto uma x 1 (uma d - 1) são positivos, portanto, este produto em si é positivo. Significa, uma x 2 - uma x 1 > 0, ou uma x 2 > uma x 1, o que deveria ser provado.

Então, ao uma > 1 função no = uma x é monotonicamente crescente. Da mesma forma, prova-se que uma < 1 функция no = uma x é monotonicamente decrescente.

Consequência. Se duas potências do mesmo número positivo diferente de 1 são iguais, então seus expoentes também são iguais.

Em outras palavras, se

uma b = uma c (uma > 0 e uma =/= 1),

b = c .

De fato, se os números b e Com não eram iguais, então devido à monotonicidade da função no = uma x a maioria corresponderia a uma >1 é maior, e em uma < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или uma b > uma c , ou uma b < uma c . Ambos contradizem a condição uma b = uma c . Resta reconhecer que b = c .

Propriedade 6. Se um > 1, então com um aumento ilimitado no argumento X (X -> ∞ ) valores de função no = uma x também crescer indefinidamente (no -> ∞ ). Com uma diminuição ilimitada no argumento X (X -> -∞ ) os valores desta função tendem a zero, mantendo-se positivos (no->0; no > 0).

Levando em conta a monotonicidade provada acima da função no = uma x , podemos dizer que, no caso em consideração, a função no = uma x aumenta monotonicamente de 0 a ∞ .

Se um 0 <uma < 1, então, com um aumento ilimitado no argumento x (x -> ∞), os valores da função y \u003d a x tendem a zero, permanecendo positivos (no->0; no > 0). Com uma diminuição ilimitada no argumento x (X -> -∞ ) os valores desta função crescem indefinidamente (no -> ∞ ).

Devido à monotonicidade da função y = machado podemos dizer que neste caso a função no = uma x diminui monotonicamente de ∞ para 0.

A 6ª propriedade da função exponencial está claramente refletida nas figuras 246 e 247. Não vamos prová-la estritamente.

Só precisamos estabelecer o intervalo da função exponencial y = machado (uma > 0, uma =/= 1).

Acima provamos que a função y = machado assume apenas valores positivos e aumenta monotonicamente de 0 a ∞ (no uma > 1), ou diminui monotonicamente de ∞ a 0 (a 0< uma <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = machado quando você muda algum salto? Aceita algum valor positivo? Esta pergunta é respondida positivamente. Se uma > 0 e uma =/= 1, então qualquer que seja o número positivo no 0 deve ser encontrado X 0, tal que

uma x 0 = no 0 .

(Devido à monotonicidade da função y = machado valor especificado X 0 seria o único, é claro.)

A prova deste fato está além do escopo de nosso programa. Sua interpretação geométrica é que para qualquer valor positivo no 0 gráfico de função y = machado deve cruzar com a linha no = no 0 e, além disso, apenas em um ponto (Fig. 248).

Disto podemos tirar a seguinte conclusão, que formulamos na forma da propriedade 7.

Propriedade 7. A área de mudança da função exponencial y \u003d a x (uma > 0, uma =/= 1)é o conjunto de todos os números positivos.

Exercícios

1368. Encontre os domínios das seguintes funções:

1369. Qual dos números dados é maior que 1 e qual é menor que 1:

1370. Com base em qual propriedade da função exponencial pode-se afirmar que

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Qual número é maior:

a) π - √3 ou (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 ou (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 ou ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 ou (√3) √3 - 2 ?

1372. As desigualdades são equivalentes:

1373. O que dizer dos números X e no , E se um x = e y , Onde uma é um dado número positivo?

1374. 1) É possível entre todos os valores de uma função no = 2x realçar:

2) É possível entre todos os valores de função no = 2 | x| realçar:

a) o maior valor; b) o menor valor?