Como encontrar as raízes de uma equação quadrática através do discriminante. Como resolver equações de segundo grau? Discriminante
Uma equação quadrática é uma equação que se parece com ax 2 + dx + c = 0. tem significado um, c E Com qualquer número, enquanto A não igual a zero.
Todas as equações quadráticas são divididas em vários tipos, a saber:
Equações com apenas uma raiz.
- Equações com duas raízes diferentes.
- Equações em que não há raízes.
Isso distingue equações lineares em que a raiz é sempre a mesma, de quadrados. Para entender quantas raízes na expressão, você precisa discriminante quadrático.
Digamos que nossa equação ax 2 + dx + c =0. Significa discriminante de uma equação quadrática -
D \u003d b 2 - 4 ac
E isso deve ser lembrado para sempre. Com a ajuda desta equação, determinamos o número de raízes em uma equação quadrática. E fazemos assim:
quando D menos que zero, a equação não tem raízes.
- Quando D é zero, há apenas uma raiz.
- Quando D Acima de zero, respectivamente, na equação há duas raízes.
Lembre-se de que o discriminante mostra quantas raízes existem na equação sem alterar os sinais.
Considere para maior clareza:
Você precisa descobrir quantas raízes nesta equação quadrática.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Entramos com os valores na primeira equação, encontramos o discriminante.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
O discriminante com um sinal de mais significa que há duas raízes nessa igualdade.
Faça o mesmo com a segunda equação
a=1, b=3, c=7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
O valor é menos, o que significa que não há raízes nessa igualdade.
Expandimos a seguinte equação por analogia.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
como consequência, temos uma raiz na equação.
É importante que em cada equação escrevamos os coeficientes. Claro, este não é um processo muito longo, mas nos ajudou a não nos confundir e evitar erros. Se você resolver essas equações com muita frequência, poderá realizar cálculos mentalmente e saber com antecedência quantas raízes a equação possui.
Vejamos outro exemplo:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Colocando o primeiro
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, que é maior que zero, significa duas raízes, vamos derivá-las
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Nós colocamos o segundo
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, que é maior que zero e também tem duas raízes. Vamos tirá-los:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Nós colocamos o terceiro
a = 1, b = 12, c = 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, que é zero e tem uma raiz
x \u003d -12 +?0 / 2 * 1 \u003d -6.
Resolver essas equações não é difícil.
Se nos for dada uma equação quadrática incompleta. Como
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Essas equações são diferentes das anteriores, pois não são completas, não possuem um terceiro valor. Mas, apesar disso, é mais simples do que a equação quadrática completa e não há necessidade de procurar o discriminante nela.
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Problemas na equação quadrática também são estudados em currículo escolar e nas universidades. Eles são entendidos como equações da forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, onde x- variável, a,b,c – constantes; a<>0 . O problema é encontrar as raízes da equação.
O significado geométrico da equação quadrática
O gráfico de uma função que é representada por uma equação quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são os pontos de interseção da parábola com o eixo x. Segue-se que existem três casos possíveis:
1) a parábola não tem pontos de interseção com o eixo x. Isso significa que está no plano superior com ramificações para cima ou no inferior com ramificações para baixo. Nesses casos, a equação quadrática não tem raízes reais (tem duas raízes complexas).
2) a parábola tem um ponto de interseção com o eixo Ox. Tal ponto é chamado de vértice da parábola, e a equação quadrática nele adquire seu valor mínimo ou máximo. Neste caso, a equação quadrática tem uma raiz real (ou duas raízes idênticas).
3) O último caso é mais interessante na prática - existem dois pontos de interseção da parábola com o eixo das abcissas. Isso significa que existem duas raízes reais da equação.
Com base na análise dos coeficientes nas potências das variáveis, conclusões interessantes podem ser tiradas sobre o posicionamento da parábola.
1) Se o coeficiente a for maior que zero, então a parábola é direcionada para cima, se for negativo, os ramos da parábola são direcionados para baixo.
2) Se o coeficiente b for maior que zero, então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo se leva significado negativo- então à direita.
Derivação de uma fórmula para resolver uma equação quadrática
Vamos transferir a constante da equação quadrática 
para o sinal de igual, obtemos a expressão
Multiplique ambos os lados por 4a 
Para obter um quadrado completo à esquerda, adicione b ^ 2 em ambas as partes e execute a transformação
A partir daqui encontramos
Fórmula do discriminante e raízes da equação quadrática
O discriminante é o valor da expressão radical. Se for positivo, então a equação tem duas raízes reais, calculadas pela fórmula 
Quando o discriminante é zero, a equação quadrática tem uma solução (duas raízes coincidentes), que são fáceis de obter da fórmula acima para D = 0. Quando o discriminante é negativo, não há raízes reais da equação. No entanto, para estudar as soluções da equação quadrática no plano complexo, e seu valor é calculado pela fórmula 
teorema de vieta
Considere duas raízes de uma equação quadrática e construa uma equação quadrática com base nelas. Da notação, o próprio teorema de Vieta segue facilmente: se tivermos uma equação quadrática da forma 
então a soma de suas raízes é igual ao coeficiente p, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes da equação é igual ao termo livre q. A fórmula acima será semelhante a Se a constante a na equação clássica for diferente de zero, você precisará dividir a equação inteira por ela e, em seguida, aplicar o teorema de Vieta.
Tabela da equação quadrática em fatores
Que a tarefa seja definida: decompor a equação quadrática em fatores. Para realizá-lo, primeiro resolvemos a equação (encontramos as raízes). Em seguida, substituímos as raízes encontradas na fórmula para expandir a equação quadrática, este problema será resolvido.
Tarefas para uma equação quadrática
Tarefa 1. Encontrar as raízes de uma equação quadrática
x^2-26x+120=0 .
Solução: Anote os coeficientes e substitua na fórmula discriminante
raiz de dado valor igual a 14, é fácil encontrá-lo com uma calculadora, ou lembrá-lo com uso frequente, porém, por conveniência, no final do artigo darei uma lista de quadrados de números que podem ser encontrados com frequência em tais tarefas .
O valor encontrado é substituído na fórmula raiz 
e nós conseguimos 
Tarefa 2. resolva a equação
2x2+x-3=0.
Solução: Temos uma equação quadrática completa, escreva os coeficientes e encontre o discriminante 
Usando fórmulas bem conhecidas, encontramos as raízes da equação quadrática 
Tarefa 3. resolva a equação
9x2 -12x+4=0.
Solução: Temos uma equação de segundo grau completa. Determine o discriminante
Temos o caso quando as raízes coincidem. Encontramos os valores das raízes pela fórmula 
Tarefa 4. resolva a equação
x^2+x-6=0 .
Solução: Nos casos em que há coeficientes pequenos para x, é aconselhável aplicar o teorema de Vieta. Pela sua condição, obtemos duas equações
Da segunda condição, obtemos que o produto deve ser igual a -6. Isso significa que uma das raízes é negativa. Temos o seguinte par de soluções possíveis (-3;2), (3;-2) . Levando em consideração a primeira condição, rejeitamos o segundo par de soluções.
As raízes da equação são
Tarefa 5. Encontre os comprimentos dos lados de um retângulo se seu perímetro for 18 cm e a área for 77 cm 2.
Solução: Metade do perímetro de um retângulo é igual à soma dos lados adjacentes. Vamos denotar x - o lado maior, então 18-x é o lado menor. A área de um retângulo é igual ao produto desses comprimentos:
x(18x)=77;
ou
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Encontre o discriminante da equação
Calculamos as raízes da equação 
Se x=11, Que 18x=7 , vice-versa também é verdadeiro (se x=7, então 21-x=9).
Problema 6. Fatorize a equação quadrática 10x 2 -11x+3=0.
Solução: Calcule as raízes da equação, para isso encontramos o discriminante 
Substituímos o valor encontrado na fórmula das raízes e calculamos 
Aplicamos a fórmula para expandir a equação quadrática em termos de raízes 
Expandindo os colchetes, obtemos a identidade.
Equação quadrática com parâmetro
Exemplo 1. Para quais valores do parâmetro A , a equação (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 tem uma raiz?
Solução: Por substituição direta do valor a=3, vemos que não tem solução. Além disso, usaremos o fato de que, com um discriminante zero, a equação tem uma raiz de multiplicidade 2. Vamos escrever o discriminante 
simplifique e iguale a zero
Obtivemos uma equação quadrática em relação ao parâmetro a, cuja solução é fácil de obter pelo teorema de Vieta. A soma das raízes é 7 e o produto é 12. Por enumeração simples, estabelecemos que os números 3,4 serão as raízes da equação. Como já rejeitamos a solução a=3 no início dos cálculos, a única correta será - a=4. Assim, para a = 4, a equação tem uma raiz.
Exemplo 2. Para quais valores do parâmetro A , a equação a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 tem mais de uma raiz?
Solução: Considere primeiro os pontos singulares, serão os valores a=0 e a=-3. Quando a=0, a equação será simplificada para a forma 6x-9=0; x=3/2 e haverá uma raiz. Para a= -3 obtemos a identidade 0=0 .
Calcular o discriminante 
e encontre os valores de a para os quais é positivo 
Da primeira condição obtemos a>3. Para o segundo, encontramos o discriminante e as raízes da equação 
Vamos definir os intervalos onde a função leva valores positivos. Substituindo o ponto a=0 obtemos 3>0
.
Assim, fora do intervalo (-3; 1/3) a função é negativa. Não se esqueça do ponto a=0 que deve ser excluído, uma vez que a equação original tem uma raiz nela.
Como resultado, obtemos dois intervalos que satisfazem a condição do problema 
Haverá muitas tarefas semelhantes na prática, tente lidar com as tarefas você mesmo e não se esqueça de levar em consideração as condições que são mutuamente exclusivas. Aprenda bem as fórmulas para resolver equações quadráticas, eles são frequentemente necessários em cálculos em várias tarefas e ciências.
NÚMEROS COMPLEXOS XI
§ 253. Extração de raízes quadradas de números negativos.
Resolvendo equações quadráticas com discriminantes negativos
Como sabemos,
eu 2 = - 1.
No entanto,
(- eu ) 2 = (- 1 eu ) 2 = (- 1) 2 eu 2 = -1.
Assim, existem pelo menos dois valores para a raiz quadrada de -1, a saber eu E - eu . Mas talvez existam alguns outros números complexos cujos quadrados são - 1?
Para esclarecer esta questão, suponha que o quadrado de um número complexo a + bi é igual a - 1. Então
(a + bi ) 2 = - 1,
A 2 + 2abi - b 2 = - 1
Dois números complexos são iguais se e somente se suas partes reais e os coeficientes das partes imaginárias são iguais. É por isso
| { |
A
2 - b
2 = - 1 |
De acordo com a segunda equação do sistema (1), pelo menos um dos números A E b deve ser igual a zero. Se b = 0, então a primeira equação produz A 2 = - 1. Número A real e, portanto, A 2 > 0. Número não negativo A 2 não pode ser igual a um número negativo - 1. Portanto, a igualdade b = 0 é impossível neste caso. Resta reconhecer que A = 0, mas da primeira equação do sistema obtemos: - b 2 = - 1, b = ± 1.
Portanto, os únicos números complexos cujos quadrados são -1 são os números eu E - eu , Isso é escrito condicionalmente como:
√-1 = ± eu .
Por raciocínio semelhante, os alunos podem verificar que existem exatamente dois números cujos quadrados são iguais a um número negativo - A . Esses números são √ a eu e -√ a eu . Convencionalmente, é escrito assim:
√- A = ± √ a eu .
Abaixo de √ a aqui se entende a raiz aritmética, isto é, positiva. Por exemplo, √4 = 2, √9 =.3; É por isso
√-4 = + 2eu , √-9 = ± 3 eu
Se antes, ao considerar equações do segundo grau com discriminantes negativos, dizíamos que tais equações não têm raízes, agora não é mais possível afirmar isso. As equações quadráticas com discriminantes negativos têm raízes complexas. Essas raízes são obtidas por fórmulas conhecidas por nós. Vamos, por exemplo, dada a equação x 2 + 2x + 5 = 0; Então
x 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 eu .
Portanto, esta equação tem duas raízes: x 1 = - 1 +2eu , x 2 = - 1 - 2eu . Essas raízes são mutuamente conjugadas. É interessante notar que a soma deles é igual a -2, e o produto é 5, então o teorema de Vieta é cumprido.
exercícios
2022. (Us tn o.) Resolva as equações:
A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; às 3 x 2 = - 5.
2023. Encontre todos os números complexos cujos quadrados são iguais:
A) eu ; b) 1/2 - √ 3/2 eu ;
2024. Resolva equações de segundo grau:
A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.
Resolver sistemas de equações (No. 2025, 2026):
| { |
x+y
= 6 |
| { |
2x-
3y
= 1 |
2027. Prove que as raízes de uma equação quadrática com coeficientes reais e discriminante negativo são mutuamente conjugadas.
2028. Prove que o teorema de Vieta é verdadeiro para quaisquer equações de segundo grau, e não apenas para equações com discriminante não negativo.
2029. Escreva uma equação quadrática com coeficientes reais, cujas raízes são:
a) x 1 = 5 - eu , x 2 = 5 + eu ; b) x 1 = 3eu , x 2 = - 3eu .
2030. Componha uma equação quadrática com coeficientes reais, uma das raízes da qual é igual a (3 - eu ) (2eu - 4).
2031. Escreva uma equação quadrática com coeficientes reais, uma das raízes da qual é 32 -
eu
1- 3eu
.
O uso de equações é bastante difundido em nossas vidas. Eles são usados em muitos cálculos, construção de estruturas e até esportes. As equações são utilizadas pelo homem desde a antiguidade e desde então seu uso só aumentou. O discriminante permite que você resolva quaisquer equações quadráticas usando Fórmula geral, que tem a seguinte forma:
A fórmula discriminante depende do grau do polinômio. A fórmula acima é adequada para resolver equações quadráticas da seguinte forma:
O discriminante tem as seguintes propriedades que você precisa saber:
* "D" é 0 quando o polinômio tem raízes múltiplas (raízes iguais);
* "D" é um polinômio simétrico em relação às raízes do polinômio e, portanto, é um polinômio em seus coeficientes; além disso, os coeficientes desse polinômio são inteiros, independentemente da extensão em que as raízes são tomadas.
Suponha que nos seja dada uma equação quadrática da seguinte forma:
1 equação
Pela fórmula temos:
Desde \, então a equação tem 2 raízes. Vamos defini-los:
Onde posso resolver a equação por meio do solucionador discriminante online?
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Espero que depois de estudar este artigo, você aprenda como encontrar as raízes de uma equação quadrática completa.
Com a ajuda do discriminante, apenas equações quadráticas completas são resolvidas; para resolver equações quadráticas incompletas, outros métodos são usados, que você encontrará no artigo "Resolvendo equações quadráticas incompletas".
Quais equações de segundo grau são chamadas de completas? Esse equações da forma ax 2 + b x + c = 0, onde os coeficientes a, b e c não são iguais a zero. Então, para resolver a equação quadrática completa, você precisa calcular o discriminante D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Dependendo do valor do discriminante, escreveremos a resposta.
Se o discriminante for um número negativo (D< 0),то корней нет.
Se o discriminante for zero, então x \u003d (-b) / 2a. Quando o discriminante é um número positivo (D > 0),
então x 1 = (-b - √D)/2a, ex 2 = (-b + √D)/2a.
Por exemplo. resolva a equação x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Resposta: 2.
Resolva a Equação 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Resposta: sem raízes.
Resolva a Equação 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Resposta: - 3,5; 1.
Então, vamos imaginar a solução de equações quadráticas completas pelo esquema da Figura 1.
Essas fórmulas podem ser usadas para resolver qualquer equação quadrática completa. Você só precisa ter cuidado para a equação foi escrita como um polinômio de forma padrão
A x 2 + bx + c, caso contrário, você pode cometer um erro. Por exemplo, ao escrever a equação x + 3 + 2x 2 = 0, você pode erroneamente decidir que
a = 1, b = 3 e c = 2. Então
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 e então a equação tem duas raízes. E isso não é verdade. (Veja a solução do exemplo 2 acima).
Portanto, se a equação não for escrita como um polinômio da forma padrão, primeiro a equação quadrática completa deve ser escrita como um polinômio da forma padrão (em primeiro lugar deve haver um monômio com o maior expoente, ou seja A x 2 , então com menos – bx, e então o termo livre Com.
Ao resolver a equação quadrática acima e a equação quadrática com um coeficiente par para o segundo termo, outras fórmulas também podem ser usadas. Vamos nos familiarizar com essas fórmulas. Se na equação quadrática completa com o segundo termo o coeficiente for par (b = 2k), então a equação pode ser resolvida usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 2.
Uma equação quadrática completa é dita reduzida se o coeficiente em x 2 igual a um e a equação terá a forma x 2 + px + q = 0. Tal equação pode ser dada para resolver, ou é obtida dividindo todos os coeficientes da equação pelo coeficiente A parado em x 2 .
A Figura 3 mostra um diagrama da solução do quadrado reduzido 
equações. Considere o exemplo da aplicação das fórmulas discutidas neste artigo.
Exemplo. resolva a equação
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Vamos resolver essa equação usando as fórmulas mostradas na Figura 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Resposta: -1 - √3; –1 + √3
Você pode ver que o coeficiente em x nesta equação numero par, ou seja, b \u003d 6 ou b \u003d 2k, de onde k \u003d 3. Então vamos tentar resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da figura D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6) \ u003d 9 + 18 \u003d 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Resposta: -1 - √3; –1 + √3. Notando que todos os coeficientes nesta equação quadrática são divisíveis por 3 e dividindo, obtemos a equação quadrática reduzida x 2 + 2x - 2 = 0 Resolvemos esta equação usando as fórmulas para a equação quadrática reduzida 
equações figura 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Resposta: -1 - √3; –1 + √3.
Como podemos ver, ao resolver esta equação por várias fórmulas obtivemos a mesma resposta. Portanto, tendo dominado bem as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1, você sempre pode resolver qualquer equação quadrática completa.
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