sistema equações lineares com duas incógnitas - são duas ou mais equações lineares para as quais é necessário encontrar todas as suas soluções comuns. Vamos considerar sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. Forma geral um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas é mostrado na figura abaixo:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Aqui xey são variáveis ​​desconhecidas, a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns números reais. Uma solução para um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas é um par de números (x, y) tal que, se esses números forem substituídos nas equações do sistema, cada uma das equações do sistema se transformará em uma igualdade verdadeira. Considere uma das maneiras de resolver um sistema de equações lineares, ou seja, o método de substituição.

Algoritmo para resolver pelo método de substituição

Algoritmo para resolver um sistema de equações lineares pelo método de substituição:

1. Escolha uma equação (é melhor escolher aquela em que os números são menores) e expresse uma variável dela através de outra, por exemplo, x até y. (você também pode de y a x).

2. Substitua a expressão resultante em vez da variável correspondente em outra equação. Assim, obtemos uma equação linear com uma incógnita.

3. Resolvemos a equação linear resultante e obtemos a solução.

4. Substituímos a solução obtida na expressão obtida no primeiro parágrafo, obtemos a segunda incógnita da solução.

5. Verifique a solução resultante.

Exemplo

Para deixar mais claro, vamos resolver um pequeno exemplo.

Exemplo 1 Resolva o sistema de equações:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Solução:

1. Da primeira equação deste sistema, expressamos a variável x. Temos x= (12 -2*y);

2. Substituindo esta expressão na segunda equação, obtemos 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Resolvemos a equação linear resultante: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*a=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Substituímos o resultado obtido na expressão obtida no primeiro parágrafo. x= (12-2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Verificamos a solução obtida, para isso substituímos os números encontrados no sistema original.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Obtivemos as igualdades corretas, portanto, encontramos corretamente a solução.

Resolvendo sistemas de equações pelo método de substituição

Lembre-se do que é um sistema de equações.

Um sistema de duas equações com duas variáveis ​​são duas equações escritas uma abaixo da outra, unidas por um colchete. Resolver um sistema significa encontrar um par de números que seja uma solução para a primeira e a segunda equações ao mesmo tempo.

Nesta lição, vamos nos familiarizar com uma maneira de resolver sistemas como o método de substituição.

Vejamos o sistema de equações:

Você pode resolver este sistema graficamente. Para fazer isso, precisaremos construir gráficos de cada uma das equações em um sistema de coordenadas, convertendo-os na forma:

Em seguida, encontre as coordenadas do ponto de interseção dos gráficos, que será a solução do sistema. Mas o método gráfico está longe de ser sempre conveniente, porque. difere em baixa precisão e até mesmo inacessibilidade. Vamos dar uma olhada no nosso sistema. Agora parece:

Pode-se ver que os lados esquerdos das equações são iguais, o que significa que os lados direitos também devem ser iguais. Então obtemos a equação:

Esta é uma equação familiar de uma variável que sabemos como resolver. Vamos transferir os termos desconhecidos para o lado esquerdo e os conhecidos - para a direita, não esquecendo de alterar os sinais +, - ao transferir. Nós temos:

Agora substituímos o valor encontrado de x em qualquer equação do sistema e encontramos o valor de y. Em nosso sistema, é mais conveniente usar a segunda equação y \u003d 3 - x, após a substituição obtemos y \u003d 2. Agora vamos analisar o trabalho realizado. Primeiro, na primeira equação, expressamos a variável y em termos da variável x. Em seguida, a expressão resultante - 2x + 4 foi substituída na segunda equação em vez da variável y. Então resolvemos a equação resultante com uma variável x e encontramos seu valor. E, em conclusão, usamos o valor encontrado de x para encontrar outra variável y. Aqui surge a pergunta: era necessário expressar a variável y de ambas as equações ao mesmo tempo? Claro que não. Poderíamos expressar uma variável em termos de outra apenas em uma equação do sistema e usá-la em vez da variável correspondente na segunda. Além disso, qualquer variável de qualquer equação pode ser expressa. Aqui a escolha depende exclusivamente da conveniência da conta. Os matemáticos chamaram esse procedimento de algoritmo para resolver sistemas de duas equações com duas variáveis ​​usando o método de substituição.

1. Expresse uma das variáveis ​​em função da outra em uma das equações do sistema.

2. Substitua a expressão resultante ao invés da variável correspondente em outra equação do sistema.

3. Resolva a equação resultante com uma variável.

4. Substitua o valor encontrado da variável na expressão obtida no primeiro parágrafo e encontre o valor de outra variável.

5. Anote a resposta como um par de números que foram encontrados na terceira e quarta etapas.

Vejamos mais um exemplo. Resolva o sistema de equações:

Aqui é mais conveniente expressar a variável y da primeira equação. Obtemos y \u003d 8 - 2x. A expressão resultante deve ser substituída por y na segunda equação. Nós temos:

Escrevemos esta equação separadamente e a resolvemos. Vamos abrir os parênteses primeiro. Obtemos a equação 3x - 16 + 4x \u003d 5. Vamos coletar os termos desconhecidos no lado esquerdo da equação e os conhecidos no lado direito e fornecer termos semelhantes. Obtemos a equação 7x \u003d 21, portanto x \u003d 3.

Agora, usando o valor encontrado de x, você pode encontrar:

Resposta: um par de números (3; 2).

Assim, nesta lição, aprendemos a resolver sistemas de equações com duas incógnitas de forma analítica, precisa, sem recorrer a métodos gráficos duvidosos.

Lista de literatura usada:

1. Mordkovich A.G., Álgebra grau 7 em 2 partes, Parte 1, Livro didático para instituições educacionais / A.G. Mordkovich. - 10ª ed., revisada - Moscou, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra grau 7 em 2 partes, Parte 2, Livro de tarefas para instituições educacionais / [A.G. Mordkovich e outros]; editado por A. G. Mordkovich - 10ª edição, revisada - Moscou, Mnemosyne, 2007.
3. SUA. Tulchinskaya, Álgebra 7º ano. Pesquisa Blitz: um guia para estudantes de instituições educacionais, 4ª edição, revisada e complementada, Moscou, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Álgebra Série 7. Temático trabalho de verificação dentro nova forma para estudantes de instituições de ensino, editado por A.G. Mordkovich, Moscou, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Álgebra 7º ano. Trabalho independente para estudantes de instituições de ensino, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edição, estereotipada, Moscou, "Mnemosyne", 2010.

1. Método de substituição: de qualquer equação do sistema expressamos uma incógnita em função de outra e a substituímos na segunda equação do sistema.

Uma tarefa. Resolva o sistema de equações:

Solução. Da primeira equação do sistema, expressamos no Através dos X e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema equivalente ao original.

Após trazer tais termos, o sistema terá a forma:

Da segunda equação encontramos: . Substituindo esse valor na equação no = 2 - 2X, Nós temos no= 3. Portanto, a solução deste sistema é um par de números .

2. Método de adição algébrica: adicionando duas equações, obtém uma equação com uma variável.

Uma tarefa. Resolva a equação do sistema:

Solução. Multiplicando ambos os lados da segunda equação por 2, obtemos o sistema equivalente ao original. Somando as duas equações deste sistema, chegamos ao sistema

Depois de reduzir termos semelhantes, este sistema terá a forma: Da segunda equação encontramos . Substituindo esse valor na Equação 3 X + 4no= 5, obtemos , Onde . Portanto, a solução deste sistema é um par de números .

3. Método para introdução de novas variáveis: estamos procurando algumas expressões repetidas no sistema, que denotaremos por novas variáveis, simplificando assim a forma do sistema.

Uma tarefa. Resolva o sistema de equações:

Solução. Vamos escrever este sistema de forma diferente:

Deixar x + y = você, oi = v. Então obtemos o sistema

Vamos resolvê-lo pelo método de substituição. Da primeira equação do sistema, expressamos você Através dos v e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema Essa.

Da segunda equação do sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.

Substituindo esses valores na equação você = 5 - v, Nós temos você 1 = 3,
você 2 = 2. Então temos dois sistemas

Resolvendo o primeiro sistema, obtemos dois pares de números (1; 2), (2; 1). O segundo sistema não tem soluções.

Exercícios para trabalho independente

1. Resolver sistemas de equações usando o método de substituição.

Vamos analisar dois tipos de resolução de sistemas de equações:

1. Solução do sistema pelo método de substituição.
2. Solução do sistema por adição termo a termo (subtração) das equações do sistema.

Para resolver o sistema de equações método de substituição você precisa seguir um algoritmo simples:
1. Expressamos. De qualquer equação, expressamos uma variável.
2. Substituto. Substituímos em outra equação ao invés da variável expressa, o valor resultante.
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável. Encontramos uma solução para o sistema.

Resolver sistema por adição termo a termo (subtração) precisar:
1. Selecione uma variável para a qual faremos os mesmos coeficientes.
2. Adicionamos ou subtraímos as equações, como resultado obtemos uma equação com uma variável.
3. Resolvemos a equação linear resultante. Encontramos uma solução para o sistema.

A solução do sistema são os pontos de interseção dos gráficos da função.

Vamos considerar em detalhes a solução de sistemas usando exemplos.

Exemplo 1:

Vamos resolver pelo método de substituição

Resolvendo o sistema de equações pelo método de substituição

2x+5y=1 (1 equação)
x-10y=3 (2ª equação)

1. Expresso
Pode-se ver que na segunda equação existe uma variável x com um coeficiente de 1, portanto, é mais fácil expressar a variável x a partir da segunda equação.
x=3+10y

2. Depois de expressar, substituímos 3 + 10y na primeira equação em vez da variável x.
2(3+10ano)+5ano=1

3. Resolvemos a equação resultante com uma variável.
2(3+10y)+5y=1 (colchetes abertos)
6+20anos+5anos=1
25 anos = 1-6
25ano=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

A solução do sistema de equações são os pontos de interseção dos gráficos, portanto, precisamos encontrar x e y, pois o ponto de interseção consiste em x e y. Vamos encontrar x, no primeiro parágrafo onde expressamos substituímos y ali.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

É costume escrever pontos em primeiro lugar, escrevemos a variável x e, em segundo lugar, a variável y.
Resposta: (1; -0,2)

Exemplo #2:

Vamos resolver por adição termo a termo (subtração).

Resolvendo um sistema de equações pelo método de adição

3x-2y=1 (1 equação)
2x-3y=-10 (2ª equação)

1. Selecione uma variável, digamos que selecionamos x. Na primeira equação, a variável x tem um coeficiente de 3, na segunda - 2. Precisamos tornar os coeficientes iguais, para isso temos o direito de multiplicar as equações ou dividir por qualquer número. Multiplique a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para obter proporção geral 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Da primeira equação, subtraia a segunda para se livrar da variável x. Resolva a equação linear.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Encontre x. Substituímos o y encontrado em qualquer uma das equações, digamos na primeira equação.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

O ponto de interseção será x=4,6; y=6,4
Resposta: (4,6; 6,4)

Quer se preparar para os exames gratuitamente? Tutor on-line é grátis. Sem brincadeiras.

Com a ajuda deste programa matemático você pode resolver um sistema de duas equações lineares com duas variáveis ​​usando o método de substituição e o método de adição.

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também fornece uma solução detalhada com explicações das etapas da solução de duas maneiras: o método de substituição e o método de adição.

Este programa pode ser útil para estudantes do ensino médio em preparação para trabalho de controle e exames, ao testar o conhecimento antes do exame, os pais para controlar a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazê-lo o mais rápido possível? trabalho de casa matemática ou álgebra? Neste caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, você pode realizar seu próprio treinamento e/ou treinar seus Irmãos mais novos ou irmãs, enquanto o nível de educação no campo das tarefas a serem resolvidas aumenta.

Regras para inserir equações

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Ao inserir equações você pode usar colchetes. Neste caso, as equações são primeiro simplificadas. As equações após simplificações devem ser lineares, ou seja, da forma ax+by+c=0 com a precisão da ordem dos elementos.
Por exemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

Nas equações, você pode usar não apenas números inteiros, mas também números fracionários na forma de frações decimais e ordinárias.

Regras para inserir frações decimais.
Parte inteira e fracionária frações decimais podem ser separados por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &

Exemplos.
-1&2/3a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Resolver um sistema de equações

Verificou-se que alguns scripts necessários para resolver esta tarefa não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Nesse caso, desative-o e atualize a página.

Você desativou o JavaScript em seu navegador.
O JavaScript deve estar habilitado para que a solução apareça.
Aqui estão as instruções sobre como habilitar o JavaScript no seu navegador.

Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
Espere, por favor seg...

Se você notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback .
Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.

Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:

Um pouco de teoria.

Resolução de sistemas de equações lineares. Método de substituição

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de substituição:
1) expressar uma variável de alguma equação do sistema em função de outra;
2) substituir a expressão resultante em outra equação do sistema ao invés desta variável;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Vamos expressar da primeira equação y até x: y = 7-3x. Substituindo a expressão 7-3x em vez de y na segunda equação, obtemos o sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

É fácil mostrar que o primeiro e o segundo sistemas têm as mesmas soluções. No segundo sistema, a segunda equação contém apenas uma variável. Vamos resolver esta equação:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Substituindo o número 1 em vez de x na equação y=7-3x, encontramos o valor correspondente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solução do sistema

Sistemas de equações em duas variáveis ​​que têm as mesmas soluções são chamados equivalente. Sistemas que não possuem soluções também são considerados equivalentes.

Resolvendo sistemas de equações lineares adicionando

Considere outra maneira de resolver sistemas de equações lineares - o método de adição. Ao resolver sistemas dessa maneira, bem como ao resolver pelo método de substituição, passamos de um determinado sistema para outro sistema equivalente a ele, no qual uma das equações contém apenas uma variável.

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de adição:
1) multiplique as equações do sistema termo a termo, escolhendo fatores para que os coeficientes de uma das variáveis ​​se tornem números opostos;
2) somar termo a termo as partes esquerda e direita das equações do sistema;
3) resolva a equação resultante com uma variável;
4) encontre o valor correspondente da segunda variável.

Exemplo. Vamos resolver o sistema de equações:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nas equações deste sistema, os coeficientes de y são números opostos. Somando termo a termo as partes esquerda e direita das equações, obtemos uma equação com uma variável 3x=33. Vamos substituir uma das equações do sistema, por exemplo a primeira, pela equação 3x=33. Vamos pegar o sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Da equação 3x=33 encontramos que x=11. Substituindo este valor x na equação \(x-3y=38 \) obtemos uma equação com a variável y: \(11-3y=38 \). Vamos resolver esta equação:
\(-3y=27 \Seta para a direita y=-9 \)

Assim, encontramos a solução do sistema de equações adicionando: \(x=11; y=-9 \) ou \((11; -9) \)

Aproveitando que os coeficientes de y nas equações do sistema são números opostos, reduzimos sua solução à solução de um sistema equivalente (somando ambas as partes de cada uma das equações do simema original), em que uma das equações contém apenas uma variável.

Livros (livros didáticos) Resumos do Exame do Estado Unificado e testes OGE online Jogos, quebra-cabeças Construção de gráficos de funções Dicionário de ortografia da língua russa Dicionário de gírias juvenis Diretório de escolas russas Catálogo de escolas secundárias na Rússia Catálogo de universidades russas Lista de tarefas