Зачем развивать математические способности у детей дошкольного возраста. Являются ли математические способности врождёнными

Взгляды зарубежных психологов на математические способности
В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей - «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство - творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов - биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. В этом плане можно выделить три важные проблемы.
1. Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность - это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?
2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.
3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

Взгляды Б.М. Теплова на математические способности
Хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б.М. Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы «Психология музыкальных способностей» и «Ум полководца», ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б. М. Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б. М. Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе «Ум полководца». Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б.М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б.М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Она очень избирательна, то есть удерживает прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б.М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б.М. Теплов приходит к выводу, что «умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца» (Б.М. Теплов 1985, стр. 249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием «воля». Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б.М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б. М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае «озарению» должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б.М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде «Математическое творчество» Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом «озарения» необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и потому могут понимать и применять математику. Третьи владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия.

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, «между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера». Для того чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В.А. Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: «Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики».

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б.М. Теплов и С.Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В.С. Мерлин, 1986). Б. Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами «талант» и «призвание» (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте по В.А. Крутецкому
Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте.
1. Получение математической информации.
Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.
2. Переработка математической информации.
1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.
3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
4) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.
5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
6) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
3. Хранение математической информации.
1) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).
4. Общий синтетический компонент.
1) Математическая направленность ума. Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:
1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.
2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).
3. Память на цифры, числа, формулы.
4. Способность к пространственным представлениям.
5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Среди них особое место занимают две монографические работы - "Психология музыкальных способностей" и "Ум полководца", ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б.М.Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б.М.Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе "Ум полководца". Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б.М.Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б.М.Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Совсем не обязательно, чтобы она была универсальной. Гораздо важнее, чтобы она обладала избирательностью, то есть удерживала прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б.М.Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б.М.Теплов приходит к выводу, что "умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца" (Б.М.Теплов 1985, стр.249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием "воля". Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б.М.Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б.М.Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б.М.Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде "Математическое творчество" Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа , большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом "озарения" необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А.Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж.Адамар, "между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера" (Адамар Ж., стр.98). Для того, чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В.А.Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики" (Крутецкий В.А.,1968).

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б.М.Теплов и С.Л.Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В.С.Мерлин, 1986). Б.Г.Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами "талант" и "призвание" (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э.А.Голубева 1993).

Основные принципы комплексного типологического подхода к изучению способностей и индивидуальности подробно изложены Э.А.Голубевой в соответствующей главе настоящей монографии. Одним из важнейших принципов является использование, наряду с качественным анализом, измерительных методов диагностики разных характеристик индивидуальности. Исходя из этого, мы строили экспериментальное исследование математических способностей. В нашу конкретную задачу входила диагностика свойств нервной системы, которые рассматривались в качестве задатков математических способностей, изучение личностных особенностей математически одаренных учащихся и особенностей их интеллекта. Эксперименты проводились на базе школы № 91 г. Москвы, в которой есть специализированные математические классы. В эти классы принимаются старшеклассники со всей Москвы, в основном победители районных и городских олимпиад, прошедшие дополнительное собеседование. Преподавание математики здесь ведется по более углубленной программе, дополнительно читается курс математического анализа. Исследование проводилось совместно с Е.П.Гусевой и учителем-экспериментатором В.М.Сапожниковым.

Все ученики, с которыми нам довелось работать в 8-10 классах, уже определились в своих интересах и склонностях. Дальнейшую свою учебу и работу они связывают с математикой. Их успешность по математике значительно превосходит успешность учеников нематематических классов. Но при общей высокой успешности внутри этой группы учащихся наблюдаются существенные индивидуальные различия. Исследование строилось таким образом. Мы наблюдали учащихся в процессе уроков, анализировали с помощью экспертов их контрольные работы, предлагали для решения экспериментальные задания, направленные на выявление некоторых компонентов математических способностей. Кроме того, с учащимися была проведена серия психологических и психофизиологических экспериментов. Изучались уровень развития и своеобразие интеллектуальных функций, выявлялись их личностные особенности и типологические особенности нервной системы. Всего на протяжении нескольких лет были обследованы 57 учеников с выраженными способностями к математике.

Результаты

Объективное измерение уровня интеллектуального развития при помощи теста Векслера у математически одаренных ребят показало, что большинство из них имеет очень высокий уровень общего интеллекта. Цифровые значения общего интеллекта многих учащихся, обследованных нами, превышали 130 баллов. Такой величины значения по некоторым нормативным классификациям обнаруживаются лишь у 2,2 населения. Следует также отметить, что в подавляющем большинстве случаев мы наблюдали преобладание вербального интеллекта над невербальным. Сам по себе факт наличия высокоразвитого общего и вербального интеллекта у детей с выраженными математическими способностями не является неожиданным. Многие исследователи математических способностей отмечали, что высокая степень развития словесно-логических функций является необходимым условием для математических способностей. Нас в данном случае интересовала не только количественная характеристика интеллекта, но и то, как она связана с психофизиологическими, природными особенностями учащихся. Индивидуальные особенности нервной системы диагностировались с помощью электроэнцефалографической методики. В качестве показателей свойств нервной системы были использованы фоновые и реактивные характеристики электроэнцефалограммы, запись которой производилась на 17-ти канальном энцефалографе. По этим показателям проводилась диагностика силы, лабильности и активированности нервной системы.

Мы установили, используя статистические методы анализа, что более высокий уровень вербального и общего интеллекта в этой выборке имели обладатели более сильной нервной системы. Они же имели и более высокие оценки успеваемости по предметам естественного и гуманитарного циклов. По данным других исследователей, полученным на подростках-старшеклассниках общеобразовательных школ, более высокий уровень интеллекта и лучшую успеваемость имели обладатели слабой нервной системы (Голубева Э.А. с соавт. 1974, Кадыров Б.Р. 1977). Причину такого расхождения следует, вероятно, искать прежде всего в характере самой учебной деятельности. Учащиеся математических классов испытывают значительно большие учебные нагрузки, по сравнению с учениками обычных классов. С ними проводятся дополнительные факультативы, кроме того, помимо обязательных домашних и классных заданий, они решают множество заданий, связанных с подготовкой в высшие учебные заведения. Интересы этих ребят смещены в сторону повышенной постоянной умственной нагрузки. Такие условия деятельности предъявляют повышенные требования к выносливости, работоспособности, а поскольку главным, определяющим признаком свойства силы нервной системы является способность выдерживать длительное возбуждение, не входя в состояние запредельного торможения, то видимо поэтому наибольшую результативность демонстрируют те учащиеся, которые обладают такими характеристиками нервной системы, как выносливость, работоспособность.

В.А.Крутецкий, изучая математическую деятельность способных к математике учеников, обращал внимание на их характерную особенность - способность к длительному поддержанию напряжения, когда ученик может долго и сосредоточенно заниматься, не обнаруживая усталости. Эти наблюдения позволили ему предположить, что такое свойство, как сила нервной системы, может являться одной из природных предпосылок, благоприятствующих развитию математических способностей. Полученные нами соотношения отчасти подтверждают это предположение. Почему лишь отчасти? Пониженная утомляемость в процессе занятий математикой отмечалась многими исследователями у способных к математике учеников по сравнению с неспособными к ней. Мы же обследовали выборку, которая состояла только из способных учащихся. Однако, среди них были не только обладатели сильной нервной системы, но и те, кто характеризовались как обладатели слабой нервной системы. Это означает, что не только высокая общая работоспособность, являющаяся благоприятной природной основой для успешности в данном виде деятельности, может обеспечивать развитие математических способностей.

Анализ личностных особенностей показал, что в целом для группы учащихся с более слабой нервной системы оказались более характерны такие черты личности как разумность, рассудительность, упорство (фактор J+), а также независимость, самостоятельность (фактор Q2+). Лица с высокими оценками по фактору J уделяют много внимания планированию поведения, анализируют свои ошибки, проявляя при этом "осторожный индивидуализм". Высокие оценки по фактору Q2 имеют люди, склонные к самостоятельному принятию решений, способные нести за них ответственность. Этот фактор обозначается как "мыслящая интроверсия". Вероятно, обладатели слабой нервной системы достигают успешности в данном виде деятельности в том числе за счет формирования таких качеств, как планирование действий, самостоятельность.

Можно также предположить, что разные полюса данного свойства нервной системы могут быть связаны с разными компонентами математических способностей. Так известно, что свойство слабости нервной системы характеризуется повышенной чувствительностью. Именно она может лежать в основе способности интуитивного, внезапного постижения истины, "озарения" или догадки, что является одним из важных компонентов математических способностей. И хотя это только предположение, но его подтверждение можно найти в конкретных примерах среди математически одаренных учеников. Приведем только два самых ярких таких примера. Дима на основании результатов объективной психофизиологической диагностики может быть отнесен к представителям сильного типа нервной системы. Он - "звезда первой величины" в математическом классе. Важно отметить то, что блестящих успехов он достигает без каких-либо видимых усилий, с легкостью. Никогда не жалуется на усталость. Уроки, занятия математикой являются для него необходимой постоянной умственной гимнастикой. Особое предпочтение отдается решению нестандартных, сложных задач, требующих напряжения мысли, глубокого анализа, строгой логический последовательности. Дима не допускает неточностей в изложении материала. Даже, если учитель при объяснении делает логические пропуски, Дима обязательно обратит на это внимание. Его отличает высокая интеллектуальная культура. Это подтверждается и результатами тестирования. У Димы самый высокий в обследованной группе показатель общего интеллекта - 149 усл.ед.

Антон - один из самых ярких представителей слабого типа нервной системы, которого нам довелось наблюдать среди математически одаренных ребят. Он очень быстро утомляется на уроке, не в состоянии долго и сосредоточенно работать, часто оставляет одни дела, чтобы без достаточного обдумывания взяться за другие. Случается, что он отказывается от решения задачи, если предвидит, что оно потребует больших усилий. Однако, несмотря на эти особенности, учителя очень высоко оценивают его математические способности. Дело в том, что он обладает прекрасной математической интуицией. Часто бывает, что он первым решает сложнейшие задания, выдавая конечный результат и опуская при этом все промежуточные этапы решения. Для него характерна способность к "озарению". Он не затрудняет себя объяснением, почему выбрано именно такое решение, но на проверку оно оказывается оптимальным и оригинальным.

Математические способности очень сложны и многогранны по своей структуре. И тем не менее выделяются как бы два основных типа людей с их проявлением - это "геометры" и "аналитики". В истории математики яркими примерами этого могут являться такие имена, как Пифагор и Евклид (крупнейшие геометры), Ковалевская и Клейн (аналитики, создатели теории функций). В основе такого деления лежат прежде всего индивидуальные особенности восприятия действительности, в том числе и математического материала. Оно определяется не предметом, над которым работает математик: аналитики и в геометрии остаются аналитиками, тогда как геометры любую математическую реальность предпочитают воспринимать образно. В этой связи уместно привести высказывание А.Пуанкаре: "Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом." (цит. по Ж.Адамару, стр.102).

В школьной практике при работе с одаренными учащимися эти различия проявляются не только в разной успешности овладения разными разделами математики, но и в предпочтительном отношении к принципам решения задач. Одни ученики любые задачи стремятся решить с помощью формул, логического рассуждения, другие по возможности используют пространственные представления. Причем эти различия являются весьма устойчивыми. Конечно, среди учеников встречаются и такие, у которых наблюдается определенное равновесие этих характеристик. Они одинаково ровно овладевают всеми разделами математики, используя при этом разные принципы подхода к решению разных задач. Индивидуальные различия между учащимися в подходах к решению задач и методах их решения были нами выявлены не только благодаря наблюдению за учащимися при работе на уроках, но и экспериментальным путем. Для анализа отдельных компонентов математических способностей учителем-экспериментатором В.М.Сапожниковым была разработана серия специальных экспериментальных задач. Анализ результатов решения задач этой серии позволил получить объективное представление о характере мыслительной деятельности школьников и о соотношении образного и аналитического компонентов математического мышления.

Были выявлены учащиеся, которые лучше справлялись с решением алгебраических задач, а также те, кто лучше решал геометрические задачи. Эксперимент показал, что среди учащихся есть представители аналитического типа математического мышления, которые характеризуются явным преобладанием вербально-логического компонента. У них нет потребности в наглядных схемах, они предпочитают оперировать знаковыми символами. Мышление учащихся, оказывающих предпочтение геометрическим заданиям, характеризуются большей выраженностью наглядно-образного компонента. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядном представлении и интерпретации в выражении математических отношений и зависимостей.

Из общего числа математически одаренных учеников, принявших участие в экспериментах, были выделены самые яркие "аналитики" и "геометры", составившие две крайние группы. В группу "аналитиков" вошли 11 человек, наиболее ярких представителей вербально-логического типа мышления. Группа "геометров" состояла из 5 человек, с ярким наглядно-образным типом мышления. Тот факт, что в группу ярких представителей "геометров" удалось отобрать значительно меньше учеников, можно объяснить, на наш взгляд, следующим обстоятельством. При проведении математических конкурсов и олимпиад недостаточно учитывается роль наглядно-образных компонентов мышления. В конкурсных заданиях удельный вес задач по геометрии невысок - из 4-5 заданий в лучшем случае одно направлено на выявление пространственных представлений у учащихся. Тем самым при отборе как бы "отсекаются" потенциально способные математики-геометры с ярким наглядно-образным типом мышления. Дальнейший анализ проводился с использованием статистического метода сравнения групповых различий (t-критерий Стьюдента) по всем, имевшимся в нашем распоряжении психофизиологическим и психологическим показателям.

Известно, что типологическая концепция И.П.Павлова помимо физиологической теории свойств нервной системы включала в себя классификацию специально человеческих типов высшей нервной деятельности, различающихся по соотношению сигнальных систем. Это - "художники", с преобладанием первой сигнальной системы, "мыслители", с преобладанием второй сигнальной системы, и средний тип, с равновесием обеих систем. Для "мыслителей" наиболее характерным является абстрактно-логический способ переработки информации, тогда как "художники" обладают ярким образным целостным восприятием действительности. Безусловно, эти различия не носят абсолютный характер, а отражают лишь преимущественные формы реагирования. Те же принципы лежат в основе различий между "аналитиками" и "геометрами". Первые предпочитают аналитические способы решения любых математических задач, то есть по типу приближаются к "мыслителям". "Геометры" стремятся вычленить в задачах образные компоненты, тем самым действуют так, как характерно для "художников".

В последнее время появился ряд работ, в которых предпринимались попытки объединить учение об основных свойствах нервной системы с представлениями о специально человеческих типах - "художниках" и "мыслителях". Установлено, что к "художественному" типу тяготеют обладатели сильной, лабильной и активированной нервной системы, а к "мыслительному" - слабой, инертной и инактивированной нервной системы (Печенков В.В., 1989). В нашей работе из показателей различных свойств нервной системы, наиболее информативной психофизиологической характеристикой при диагностике типов математического мышления оказалась характеристика свойства силы-слабости нервной системы. В группу "аналитиков" вошли обладатели относительно более слабой нервной системы, по сравнению с группой "геометров". То есть, выявленные нами различия между группами по свойству силы-слабости нервной системы оказались в русле ранее полученных результатов. По двум другим свойствам нервной системы (лабильности, активированности) статистически значимых различий установлено нами не было, при том что наметившиеся тенденции не противоречат исходным предположениям.

Проведен также сравнительный анализ результатов диагностики личностных особенностей, полученных с помощью вопросника Кэттелла. Статистически значимые различия между группами были установлены по двум факторам - Н и J. По фактору Н группу "аналитиков" можно в целом характеризовать как относительно более сдержанную, с ограниченным кругом интересов (Н-). Обычно люди с низкими показателями по этому фактору замкнуты, не стремятся к дополнительным контактам с людьми. Группа "геометров" имеет по этому личностному фактору большие величины (Н+) и отличается по нему определенной беззаботностью, общительностью. Такие люди не испытывают трудностей в общении, много и охотно идут на контакты, не теряются в неожиданных обстоятельствах. Они артистичны, способны выдерживать значительные эмоциональные нагрузки. По фактору J, который в целом характеризует такую черту личности, как индивидуализм, группа "аналитиков" имеет высокие среднегрупповые значения. Это означает, что им свойственны разумность, рассудительность, упорство. Люди, имеющие высокий вес по этому фактору, уделяют много внимания планированию своего поведения, при этом оставаясь замкнутыми и действуя индивидуально.

В противовес им, ребята, входящие в группу "геометров", энергичны, экспрессивны. Они любят совместные действия, готовы включиться в групповые интересы и проявить при этом свою активность. Наметившиеся различия показывают, что исследуемые группы математически одаренных учащихся наиболее расходятся по двум факторам, которые, с одной стороны, характеризуют определенную эмоциональную направленность (сдержанность, рассудительность - беззаботность, экспрессивность), с другой, особенности в межличностных отношениях (замкнутость - общительность). Интересно, что описание этих черт в значительной степени совпадает с описанием типов экстравертов-интровертов, предложенных Айзенком. В свою очередь, эти типы имеют определенную психофизиологическую интерпретацию. Экстраверты - это сильные, лабильные, активированные, интроверты - слабые, инертные, инактивированные. Тот же набор психофизиологических характеристик получен для специально человеческих типов высшей нервной деятельности - "художников" и "мыслителей".

Наши результаты позволяют выстроить определенные синдромы взаимосвязи психофизиологических, психологических признаков и типов математического мышления.

"аналитики" "геометры" (абстрактно-логический тип мышления) (наглядно-образный тип мышления)

Слабая н.с. сильная н.с.
рассудительность беззаботность
замкнутость общительность
интроверты экстраверты

Таким образом, проведенное нами комплексное исследование математически одаренных школьников позволило экспериментально подтвердить наличие определенного сочетания психологических и психофизиологических факторов, составляющих благоприятную основу для развития математических способностей. Это касается как общих, так и специальных моментов в проявлении данного вида способностей.

Часть I
ИНДИВИДУАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧНОСТИ

В.А. Крутецкий. Математические способности и личность

Прежде всего следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, - она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности . На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество...

Составленные нами характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности (в относительно элементарных ее формах). Все без исключения наблюдаемые нами дети обладали обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Еще одна черта характера свойственна подлинному ученому - критическое отношение к себе, своим возможностям, своим достижениям, скромность, правильное отношение к своим способностям. Надо иметь в виду, что при неправильном отношении к способному школьнику - захваливании его, чрезмерном преувеличении его достижений, афишировании его способностей, подчеркивании его превосходства над другими - очень легко внушить ему веру в свою избранность, исключительность, заразить его «стойким вирусом зазнайства».

И наконец, последнее. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоничному развитию личности. Своеобразный «нигилизм» ко всему, кроме математики, резко одностороннее, «однобокое» развитие способностей не могут способствовать успешности в математической деятельности.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение... Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом - за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервио-психических сил... Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является системе специально организованных упражнений, тренировка.

СПЕЦИФИЧНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности, - способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению - по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости.

Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать нашу точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проивлением соответствующей способности в других областях... Иными словами, человек; талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д.И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули н единицы по языковым предметам. А.С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал».

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в В.Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч.Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В.Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А.С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А.В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н.В. Гоголь. М.Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л.Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали (правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе) слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению - одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам. Некоторые из наших испытуемых, проявляющих, например, способность к обобщению «с места» в области математики, не обладали этой способностью в области литературы, истории или географии. Имели место и обратные случаи: учащиеся, хорошо и быстро обобщающие и систематизирующие материал по литературе, истории или биологии, не проявляли подобной способности , в области математики.

Все сказанное выше позволяет нам сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде., - Те или иные особенности, умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряд случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики - мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Материалы нашего исследования - анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее - по биографическим материалам) - позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы:

часто (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения;
острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте;
большая (а часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой;
характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность сума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий.

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой (подчеркиваем это!) математической одаренности - мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на сакраментальный вопрос; «Математиком можно стать или им нужно родиться?» - мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, - многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А.Н. Колмогорова: «Талант , одаренность... в области математики... даны от природы не всем». О том же говорит и академик И.Е. Тамм: «Творить новое... под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня. - В.К.). Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы.

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968, с.380-390, 397-400

Калькуляторы могут быть удивительно полезными, но они не всегда под рукой. К тому же не всем удобно доставать калькуляторы или телефоны, чтобы подсчитать, сколько нужно заплатить в ресторане, или вычислить размер чаевых. Вот десять подсказок, которые могут помочь вам произвести все эти подсчеты в уме. На самом деле это совсем не сложно, особенно если запомнить несколько простых правил.

Прибавляйте и вычитайте слева направо

Помните, как в школе нас учили прибавлять и вычитать в столбик справа налево? Это сложение и вычитание удобно, когда под рукой карандаш и листок бумаги, но в уме эти математические действия легче выполнить, считая слева направо. В числе слева расположена цифра, определяющая большие ценности, например сотни и десятки, а справа меньшие, то есть единицы. Слева направо считать интуитивнее. Таким образом, прибавляя 58 и 26, начните с первых цифр, сначала 50 + 20 = 70, потом 8 + 6 = 14, затем сложите оба результата - и получите 84. Легко и просто.

Облегчите себе задачу

Если вы столкнулись со сложным примером или задачей, попытайтесь найти способ упростить ее, например, добавить или отнять определенное число, чтобы сделать общее вычисление проще. Если, например, вам нужно посчитать, сколько будет 593 + 680, сначала прибавьте 7 к 593, чтобы получить более удобное число 600. Вычислите, сколько будет 600 + 680, а затем от полученного результата 1280 отнимите те же 7, чтобы получить правильный ответ - 1273.

Подобным образом можно поступать и с умножением. Чтобы умножить 89 x 6, вычислите, сколько будет 90 x 6, а затем отнимите оставшиеся 1 х 6. Таким образом, 540 - 6 = 534.

Запомните стандартные блоки

Запоминание таблиц умножения является важной и нужной частью математики, которая отлично помогает решать примеры в уме.

Запоминая основные «стандартные блоки» математики, такие как таблица умножения, квадратные корни, процентные соотношения десятичных и обыкновенных дробей, мы можем немедленно получить ответы на простые задачи, спрятанные в более трудных.

Помните полезные уловки

Чтобы быстрее справиться с умножением, важно помнить несколько простых уловок. Одно из самых очевидных правил - умножение на 10, то есть просто добавление ноля к умножаемому числу или перенос запятой на один десятичный показатель. При умножении на 5, ответ будет всегда заканчиваться цифрой 0 или 5.

Кроме того, умножая число на 12, сначала умножьте его на 10, а потом на 2, затем прибавьте результаты. Например, вычисляя 12 x 4, сначала умножьте 4 x 10 = 40, а затем 4 x 2 = 8, и прибавьте 40 + 8 = 48. Умножая на 15, просто умножьте число на 10, и затем прибавьте еще половину полученного, например, 4 x 15 = 4 x 10 = 40, плюс еще половина (20), получается 60.

Есть также хитрая уловка для умножения на 16. Во-первых, умножьте рассматриваемое число на 10, а затем умножьте половину числа на 10. После прибавьте оба результата к числу, чтобы получить окончательный ответ. Таким образом, чтобы вычислить 16 x 24, сначала вычислите 10 x 24 = 240, затем половину 24, то есть 12, умножьте на 10 и получите 120. И последний шаг: 240 + 120 + 24 = 384.

Квадраты и их корни очень полезны

Почти как таблица умножения. И помочь они могут с умножением более крупных чисел. Квадрат получается при умножении числа на само себя. Вот как работает умножение с использованием квадратов.

Давайте предположим на мгновение, что мы не знаем ответ на 10 x 4. Сначала выясняем среднее число между этими двумя числами, оно равно 7 (т. е. 10 - 3 = 7, и 4 + 3=7, при этом различие между средним числом равно 3 - это важно).

Затем определяем квадрат 7, который равен 49. У нас теперь есть число, близкое к финальному ответу, но оно не достаточно близко. Чтобы получить правильный ответ, возвращаемся к различию между средним числом (в этом случае 3), его квадрат дает нам 9. Последний шаг включает в себя простое вычитание, 49 - 9 = 40, теперь у вас есть правильный ответ.

Это похоже на окольный и чересчур сложный способ вычислить, сколько же будет 10 x 4, но та же самая техника прекрасно работает и для больших чисел. Возьмем, например, 15 x 11. Сначала мы должны найти среднее число между этими двумя (15 - 2 = 13, 11 + 2 = 13). Квадрат 13 равен 169. Квадрат различия среднего числа 2 равен 4. Получаем 169 - 4 = 165, вот и правильный ответ.

Иногда достаточно и приблизительного ответа

Если вы пытаетесь решить сложные задачи в уме, неудивительно, что на это уходит немало времени и усилий. Если вам не нужен абсолютно точный ответ, возможно, достаточно будет подсчитать приблизительное число.

То же самое касается и задач, в условиях которых вам не известны все точные данные. Например, во время Манхэттенского проекта физик Энрико Ферми хотел примерно подсчитать силу атомного взрыва, прежде чем ученые получат точные данные. С этой целью он набросал бумажных обрывков на пол и следил за ними с безопасного расстояния, в тот момент, когда до бумажек дошла взрывная волна. Измерив расстояние, на которое сдвинулись обрывки, он предположил, что сила взрыва составила приблизительно 10 килотонн в тротиловом эквиваленте. Эта оценка оказалась довольно точна для предположения навскидку.

К счастью, нам не приходится регулярно оценивать приблизительную силу атомных взрывов, однако приблизительные подсчеты не повредят, если, например, вам нужно предположить, сколько в городе настройщиков фортепиано. Для этого проще всего оперировать числами, которые просто делить и умножать. Таким образом, сначала вы оцениваете население своего города (например, сто тысяч человек), затем оцениваете предположительное число фортепьяно (скажем, десять тысяч), ну и затем количество настройщиков фортепьяно (например, 100). Вы не получите точный ответ, но сумеете быстро предположить приблизительное количество.

Перестраивайте примеры

Основные правила математики помогают перестроить сложные примеры в более простые. Например, вычисление в уме примера 5 x (14 + 43) кажется грандиозной и даже непосильной задачей, но пример можно «разломить» на три довольно несложных вычисления. Например, эта непосильная задача может быть перестроена следующим образом: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Не так уж и сложно, правда?

Упрощайте задачи

Если задача кажется сложной, упростите ее. Всегда проще справиться с несколькими простыми заданиями, чем с одним сложным. Решение многих сложных примеров в уме заключается в умении правильно разделить их на более простые примеры, решение которых не составляет труда.

Например, умножать на 8 проще всего, удваивая число три раза. Таким образом, вместо того, чтобы пытаться решить, сколько будет 12 x 8 традиционным способом, просто удвойте 12 три раза: 12 х 2 = 24, 24 х 2 = 48, 48 х 2 = 96.

Или умножая на 5, сначала умножайте на 10, так как это легко, затем разделите результат на 2, так как это также довольно легко. Например, для решения 5 x 18, вычислите 10 x 18 и разделите на 2, где 180: 2 = 90.

Пользуйтесь возведением в степень

Вычисляя большие суммы в уме, помните, что вы можете преобразовать их в более мелкие числа, умноженные на 10 в нужной степени. Например, сколько получится, если 44 миллиарда разделить на 400 тысяч? Простой способ решить эту задачу состоит в том, чтобы преобразовать 44 миллиарда в следующее число - 44 х 10 9 , а из 400 тысяч сделать 4 х 10 5 . Теперь мы можем преобразовать задачу следующим образом: 44: 4 и 10 9: 10 5 . Согласно математическим правилам, все это выглядит так: 44: 4 х 10(9-5), таким образом, мы получаем 11 x 10 4 = 110,000.

Самый простой способ вычислить необходимые чаевые

Математика необходима даже во время ужина в ресторане, точнее после него. В зависимости от заведения, размер чаевых может составлять от 10% до 20% от стоимости счета. Например, в США принято оставлять на чай официантам 15%. И там, как и во многих европейских странах, чаевые обязательны.

Если вычислить 10% от общей суммы сравнительно легко (просто разделите сумму на 10), то с 15 и с 20% дело, кажется, обстоит сложнее. Но на самом деле, все так же просто и очень логично.

Вычисляя 10-процентные чаевые за ужин, который обошелся в 112,23 доллара, просто переместите десятичную точку влево на одну цифру, получится 11,22 $. Вычисляя 20-процентные чаевые, сделайте то же самое, и просто удвойте полученную сумму (20% просто в два раза больше 10%), в этом случае чаевые составят 22,44 $.

Для 15-процентных чаевых сначала определите 10% от суммы, а затем добавьте половину полученной суммы (дополнительные 5% - это половина 10-процентной суммы). Не волнуйтесь, если не можете получить точный ответ, до последнего цента. Если не заморачиваться слишком сильно с десятичными знаками, мы можем быстро вычислить, что 15-процентные чаевые от суммы 112,23 $ составляют 11 + 5,50 $, что дает нам 16,50 $. Достаточно точно. Если вы не хотите обидеть официанта, недосчитав нескольких центов, округлите сумму до целого числа и заплатите 17 долларов.

"Нет ни одного ребенка не способного, бездарного. Важно, чтобы этот ум, эта талантливость стали основой успехов в учении, чтобы ни один ученик не учился ниже своих возможностей" (Сухомлинский В.А.)

В чём же заключаются математические способности? Или они есть не что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой .

Большое значение в психологии придается проблеме способностей вообще и проблеме способностей школьников в частности. Целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности.

В науке, в частности, в психологической, продолжается дискуссия о самой сущности способностей, их структуре, происхождении и развитии. Не вдаваясь в детали традиционных и новых подходов к проблеме способностей, укажем на некоторые основные спорные пункты различных точек зрения психологов на способности. Однако среди них нет единого подхода к данной проблеме .

Различие в понимании сущности способностей обнаруживается, прежде всего, в том, рассматриваются ли они как социально приобретенные свойства или же признаются как природные. Одни авторы под способностями понимают комплекс индивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющихся условием успешного ее выполнения, которые не сводятся к подготовленности, к имеющимся знаниям, умениям и навыкам. Здесь следует обратить внимание на несколько фактов. Во-первых, способности - это индивидуальные особенности, то есть то, что отличает одного человека от другого. Во-вторых, это не просто особенности, а психологические особенности. И, наконец, способности это не всякие индивидуально-психологические особенности, а лишь те, которые соответствуют требованиям определенной деятельности .

При другом подходе, наиболее ярко выраженном у К.К. Платонова, способностью считается любое качество "динамической функциональной структуры личности", если оно обеспечивает успешное освоение и выполнение деятельности. Однако, как отмечал В.Д. Шадриков, "при таком подходе к способностям онтологический аспект проблемы переносится на задатки , под которыми понимаются анатомо-физиологические особенности человека, составляющие основу развития способностей. Решение психофизиологической проблемы заводилось в тупик в контексте способностей как таковых, поскольку способности, как психологическая категория не рассматривались как свойство мозга. Не более продуктивен и признак успешности, ибо успешность деятельности определяется и целью, и мотивацией, и многими другими факторами". Согласно его теории способностей, продуктивно определить способности как особенности можно только по отношению к их единичному и всеобщему .

Всеобщим (общим) для каждой способности В.Д. Шадриков называет свойство, на основе которого реализуется конкретная психическая функция. Каждое свойство представляет собой сущностную характеристику функциональной системы. Именно для того чтобы реализовать это свойство, формировалась конкретная функциональная система в процессе эволюционного развития человека, например свойство адекватно отражать объективный мир (восприятие) или свойство запечатлевать внешние воздействия (память) и так далее. Свойство проявляется в процессе деятельности. Таким образом, теперь можно определить способности с позиции всеобщего как свойство функциональной системы, реализующее отдельные психические функции .

Различают два вида свойств: те, которые не обладают интенсивностью и поэтому не могут ее менять, и те, которые обладают интенсивностью, то есть могут быть больше или меньше. Гуманитарные науки имеют дело главным образом со свойствами первого вида, естественные со свойствами второго вида. Психические функции характеризуются свойствами, которые обладают интенсивностью, мерой выраженности. Это позволяет определить способности с позиции единичного (отдельного, индивидуального). Единичное будет представлено мерой выраженности свойства;

Таким образом, согласно представленной выше теории, способности можно определить как свойства функциональных систем, реализующих отдельные психические функции, которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности и качественном своеобразии освоения и реализации деятельности. При оценке индивидуальной меры выраженности способностей целесообразно использовать те же параметры, что и при характеристике любой деятельности: производительность, качество и надежность (в плане рассматриваемой психической функции).

Одним из инициаторов изучения математических способностей школьников был выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Он констатировал специфичность творческих математических способностей и выделил их важнейший компонент - математическую интуицию. С этого времени началось изучение этой проблемы. Впоследствии психологи выделили три вида математических способностей - арифметические, алгебраические и геометрические. При этом оставался неразрешимым вопрос о наличии математических способностей .

В свою очередь, исследователи В. Хаекер и Т. Циген выделили четыре основных сложных компонента: пространственный, логический, числовой, символический, являющихся "ядром" математических способностей. В этих компонентах они различали понимание, запоминание, оперирование .

Наряду с основным компонентом математического мышления - способностью к избирательному мышлению, к дедуктивному рассуждению в числовой и символической сферах, способностью к абстрактному мышлению, А. Блекуэлл выделяет еще и способность к манипулированию пространственными объектами. Также он отмечает вербальную способность и способность сохранять в памяти данные в их точном и строгом порядке и значении .

Значительная часть их представляет интерес и сегодня. В книге, которая в оригинале названа "Психология алгебры", Э. Торндайк формулирует сначала общие математические способности : умение обращаться с символами, выбирать и устанавливать соотношения, обобщать и систематизировать, определенным образом выбирать существенные элементы и данные, приводить в систему идеи и навыки. Он выделяет также специальные алгебраические способности : возможность понимать и составлять формулы, выражать в виде формулы количественные соотношения, преобразовывать формулы, составлять уравнения, выражающие данные количественные отношения, решать уравнения, выполнять тождественные алгебраические преобразования, графически выражать функциональную зависимость двух величин и т.д.

Одно из самых значительных со времени выхода работ Э. Торндайка исследований математических способностей принадлежит шведскому психологу И. Верделину. Он дает весьма широкое определение математических способностей, в котором отражает репродуктивный и продуктивный аспекты, понимание и применение, но основное внимание он уделяет важнейшему из этих аспектов - продуктивному, который исследует в процессе решения задач. Ученый полагает, что на характере математических способностей может сказываться метод обучения .

Крупнейший швейцарский психолог Ж. Пиаже придавал большое значение мыслительным операциям, выделяя в онтогенетическом развитии интеллекта стадию малоформализированных конкретных операций, связанных с конкретными данными, и стадию обобщенных формализированных операций, когда организуются операторные структуры. Он соотносил последние с тремя фундаментальными математическими структурами, которые выделены Н. Бурбаки: алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Ж. Пиаже обнаруживает все типы этих структур в развитии арифметических и геометрических операций в сознании ребенка и в особенностях логических операций. Отсюда делается вывод о необходимости синтеза математических структур и операторных структур мышления в процессе преподавания математики .

В психологии исследованием проблемы математических способностей занимался В.А. Крутецкий. В своей книге "Психология математических способностей школьников" он приводит следующую общую схему структуры математических способностей школьников. Во-первых, получение математической информации - способность к формализированному восприятию математического материала, схватыванию структуры задачи. Во-вторых, переработка математической информации - способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики, способность мыслить математическими символами, способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий, способность к свертыванию процесса математических рассуждений и системы соответствующих действий, способность мыслить свернутыми структурами. Также необходима гибкость мыслительных процессов в математической деятельности, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений. Существенную роль играет тут способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении). В-третьих, хранение математической информации - математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). И, наконец, общий синтетический компонент - математическая направленность ума. Все приведенные выше исследования позволяют утверждать, что фактор общих математических рассуждений лежит в основе общих умственных способностей, и математические способности имеют общеинтеллектуальную основу .

Из различного понимания сущности способностей вытекает различный подход к раскрытию их структуры, которая у разных авторов предстает в виде набора разных качеств, классифицируемых по разным основаниям и находящихся в разном соотношении.

Нет однозначного ответа и на вопрос о генезисе и развитии способностей, их связи с деятельностью. Наряду с утверждением, что способности в своей родовой форме существуют у человека до деятельности как предпосылка ее реализации. Высказывалась и другая, противоречивая точка зрения: способности не существуют до деятельности Б.М. Тепловым. Последнее положение заводит в тупик, так как непонятно, каким образом начинает совершаться деятельность без способностей к ней. В действительности способности на определенном уровне их развития существуют до деятельности, а с началом ее проявляются и затем развиваются в деятельности, если она предъявляет все более высокие требования к человеку .

Однако это не раскрывает соотношения навыков и способностей. Решение этой проблемы предложил В.Д. Шадриков. Он считает, что суть онтологических различий способностей и навыков заключается в следующем: способность описывается функциональной системой, одним из ее обязательных элементов является природный компонент, в качестве которого выступают функциональные механизмы способностей, а навыки описываются изоморфной системой, одним из ее главных компонентов являются способности, выполняющие в этой системе те функции, которые в системе способностей реализуют функциональные механизмы. Таким образом, функциональная система навыков как бы произрастает из системы способностей. Это система вторичного уровня интеграции (если принять систему способностей за первичную) .

Говоря о способностях вообще, следует указать, что способности бывают разного уровня учебные и творческие. Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнения деятельности, приобретением знаний, умений и навыков. Творческие способности связаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новых способов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, например, способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности. Но, как писал Ж. Адамар, "между работой ученика, решающего задачу …, и творческой работой разница лишь в уровне, так как обе работы аналогичного характера" .

Природные предпосылки имеют значение, однако, они не являются собственно способностями, а являются задатками. Сами по себе задатки не означают, что у человека разовьются соответствующие способности. Развитие способностей зависит от многих социальных условий (воспитание, потребность в общении, система образования).

Виды способностей:

1. Природные (естественные) способности.

Являются общими для человека и животных: восприятие, память, способность к элементарной коммуникации. Данные способности непосредственно связаны с врожденными задатками. На базе этих задатков у человека, при наличии элементарного жизненного опыта, через механизмы учения, формируются специфические способности.

2. Специфические способности.

Общие: определяют успехи человека в различных видах деятельности (мыслительные способности, речь, точность ручных движений).

Специальные: определяют успехи человека в специфических видах деятельности, для осуществления которых необходимы задатки особого рода и их развитие (музыкальные, математические, лингвистические, технические, художественные способности).

Кроме того, способности делят на теоретические и практические. Теоретические предопределяют склонность человека к абстрактно-теоретическим размышлениям, а практические - к конкретным практическим действиям. Чаще всего теоретические и практические способности не сочетаются друг с другом. Большинство людей обладают или одним, или другим типом способностей. Вместе они встречаются крайне редко.

Существует также деление на учебные и творческие способности. Первые определяют успешность обучения, усвоения знаний, умений и навыков, а вторые определяют возможность открытий и изобретений, создания новых предметов материальной и духовной культуры.

3. Творческие способности.

Это в первую очередь умение человека находить особый взгляд на привычные и повседневные вещи или задачи. Это умение напрямую зависит от кругозора человека. Чем больше он знает, тем легче ему взглянуть на исследуемый вопрос с разных ракурсов. Творческая личность постоянно стремится больше узнать об окружающем мире не только в области своей основной деятельности, но и в смежных отраслях. В большинстве случаев творческий человек - это в первую очередь оригинально мыслящий человек, способный на нестандартные решения.

Уровни развития способностей:

1) Задатки - природные предпосылки способностей;
2) Способности - сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств и компонентов;
3) Одаренность - своеобразное сочетание способностей, которое обеспечивает человеку возможность успешного выполнения какой-либо деятельности;
4) Мастерство - совершенство в конкретном виде деятельности;
5) Талант - высокий уровень развития специальных способностей (это определенное сочетание высокоразвитых способностей, т.к. изолированная способность, даже очень высокоразвитая, не может быть названа талантом);
6) Гениальность - высший уровень развития способностей (за всю историю цивилизации было не более 400 гениев).

Общие умственные способности - это способности, которые необходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. К общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как умственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание. Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваивается на фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности .

Как отмечает В.Д. Шадриков, "специальные способности" есть общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности". Специальные способности это способности, которые необходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определенной деятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных способностей. Например, в составе математических способностей большую роль играет математическая память; способность к логическому мышлению в области количественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщение математического материала; легкое и свободное переключение от одной умственной операции к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональности рассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневой способностью математической направленностью ума (под которой понимают тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости), связанной с потребностью в математической деятельности.

А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода есть основной элемент математического творчества .

Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить "свернутыми”, крупными единицами и "экономно", без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли .

Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Выделение наиболее важных компонентов математических способностей представлено на рисунке 1:

Рисунок 1

Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики".

В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными.

Итак, В.А. Крутецкий различает девять компонентов математических способностей:

1. Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
2. Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;
3. Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
4. Способность к "последовательному, правильно расчлененному логическому, рассуждению", связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
5. Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
6. Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);
7. Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
8. Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;
9. Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия .

Кроме перечисленных, есть и такие компоненты, наличие которых в структуре математических способностей, хотя и полезно, не обязательно. Учителю, прежде чем относить ученика к числу способных или неспособных к математике, необходимо это учитывать. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.
2. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Ученик может размышлять неторопливо, медленно, но обстоятельно и глубоко.
3. Способности к быстрым и точным вычислениям (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей.
4. Память на цифры, числа, формулы. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко. Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе "обобщение математических понятий" и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и "сужению" математических понятий. В указанном компоненте, можно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным .

Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств: активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность. Также можно выделить ряд характеристических черт, таких как: трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.

Наличие во времени осуществления деятельности благоприятных для выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего "психического" самочувствия и т.д. Определенный фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области. Определенные индивидуально-психологические особенности в сенсорной и умственной сферах, отвечающие требованиям данной деятельности .

Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников .