Tochilkina Julia

O artigo apresenta vários métodos para resolver equações com um módulo.

Download:

Visualização:

Instituição de ensino orçamentária municipal

"Escola secundária nº 59"

Equações do módulo

Trabalho abstrato

Executado aluno do 9º ano

MBOU "Escola Secundária No. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Supervisor

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

professor de matemática

MBOU "Escola Secundária No. 59", Barnaul

Barnaul 2015

Introdução

Estou no nono ano. Este ano lectivo tenho de passar a certificação final para o curso da escola básica. Para nos prepararmos para o exame, compramos uma coleção de D. A. Maltsev Mathematics. 9º ano Examinando a coleção, encontrei equações contendo não apenas um, mas também vários módulos. O professor explicou a mim e aos meus colegas que tais equações são chamadas de equações de "módulos aninhados". Esse nome parecia incomum para nós, e a solução, à primeira vista, bastante complicada. Foi assim que surgiu o tema do meu trabalho “Equações com módulo”. Resolvi aprofundar este tema, especialmente porque me será útil quando passar nos exames no final do ano letivo e acho que precisarei dele nas séries 10 e 11. Todos os itens acima determinam a relevância do tópico que escolhi.

Objetivo :

1. Considerar vários métodos solução de equações com módulo.
2. Aprenda a resolver equações contendo o sinal do valor absoluto usando vários métodos

Para trabalhar o tema, foram formuladas as seguintes tarefas:

Tarefas:

1. Explorar material teórico no tópico "O módulo de um número real".
2. Considerar métodos para resolver equações e consolidar o conhecimento adquirido com a resolução de problemas.
3. Aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de várias equações contendo o sinal do módulo no ensino médio

Objeto de estudo:métodos para resolver equações com um módulo

Objeto de estudo:equações de módulo

Métodos de pesquisa:

Teórico : estudo da literatura sobre o tema da pesquisa;

Internet - informações.

Análise informações obtidas no estudo da literatura; resultados obtidos ao resolver equações com módulo jeitos diferentes.

Comparação maneiras de resolver equações, o assunto da racionalidade de seu uso na resolução de várias equações com um módulo.

“Começamos a pensar quando esbarramos em algo.” Paulo Valéria.

1. Conceitos e definições.

O conceito de "módulo" é amplamente utilizado em muitas seções do curso de matemática escolar, por exemplo, no estudo dos erros absolutos e relativos de um número aproximado; na geometria e na física, estudam-se os conceitos de vetor e seu comprimento (módulo vetorial). O conceito de módulo é usado em cursos de matemática superior, física e ciências técnicas estudados em instituições de ensino superior.

A palavra "módulo" vem da palavra latina "módulo", que significa "medida" na tradução. Esta palavra tem muitos significados e é usada não apenas em matemática, física e tecnologia, mas também em arquitetura, programação e outras ciências exatas.

Acredita-se que o termo foi proposto para ser usado por Kots, aluno de Newton. O sinal do módulo foi introduzido no século 19 por Weierstrass.

Na arquitetura, um módulo é a unidade de medida inicial estabelecida para uma determinada estrutura arquitetônica.

Na engenharia, este é um termo usado em vários campos técnica, que serve para designar vários coeficientes e quantidades, por exemplo, o módulo de elasticidade, o módulo de engate ...

Em matemática, um módulo tem vários significados, mas vou tratá-lo como o valor absoluto de um número.

Definição1: Módulo (valor absoluto) de um número real uma o próprio número é chamado se uma ≥0, ou o número oposto - e se uma o módulo de zero é zero.

Ao resolver equações com um módulo, é conveniente usar as propriedades do módulo.

Considere as provas de 5,6,7 propriedades.

Declaração 5. Igualdade │ é verdadeiro se av ≥ 0.

Prova. De fato, depois de elevar ao quadrado ambas as partes dessa igualdade, obtemos, │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ a │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², de onde │ av │ = av

E a última igualdade será verdadeira para av ≥0.

Declaração 6. Igualdade │ a-c │=│ a │+│ c │ é verdadeiro quando av ≤0.

Prova. Para provar, basta a igualdade

│ a + in │=│ a │+│ in │ substitua in por - in, então a (- in) ≥0, onde av ≤0.

Declaração 7. Igualdade │ a │+│ em │= a + em realizado em a ≥0 eb ≥0.

Prova . Considerando quatro casos a ≥0 eb ≥0; a ≥0 e b uma em ≥0; uma dentro a ≥0 eb ≥0.

(a-c) em ≥0.

Interpretação geométrica

|a| é a distância na linha de coordenadas do ponto com coordenada uma , para a origem das coordenadas.

|-a| |a|

A 0 a x

Interpretação geométrica do significado |a| confirma claramente que |-a|=|a|

Se um 0, então na linha de coordenadas existem dois pontos a e -a, equidistantes de zero, cujos módulos são iguais.

Se a=0, então na linha de coordenadas |a| representado pelo ponto 0.

Definição 2: Uma equação com um módulo é uma equação que contém uma variável sob o sinal de valor absoluto (sob o sinal de módulo). Por exemplo: |x +3|=1

Definição 3: Resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes, ou provar que não existem raízes.

2. Métodos de solução

A partir da definição e propriedades do módulo, seguem-se os principais métodos para resolver equações com um módulo:

1. "Expandir" um módulo (ou seja, usando uma definição);
2. Utilizando o significado geométrico do módulo (propriedade 2);
3. Método de solução gráfica;
4. Uso de transformações equivalentes (propriedades 4.6);
5. Substituição de variável (isso usa a propriedade 5).
6. método de intervalo.

já decidi o suficiente um grande número de exemplos, mas no trabalho apresento a sua atenção apenas alguns, na minha opinião, exemplos típicos resolvidos de várias maneiras, porque os demais se duplicam e para entender como resolver equações com um módulo, não há necessidade de considere todos os exemplos resolvidos.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES | f(x)| = uma

Considere a equação | f(x)| = a, e R

Uma equação deste tipo pode ser resolvida definindo o módulo:

Se um uma então a equação não tem raízes.

Se a= 0, então a equação é equivalente a f(x)=0.

Se a>0, então a equação é equivalente ao conjunto

Exemplo. Resolva a equação |3x+2|=4.

Solução.

|3x+2|=4, então 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

Resposta: -2;2/3.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES UTILIZANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO MÓDULO.

Exemplo 1 Resolva a equação /x-1/+/x-3/=6.

Solução.

Resolver esta equação significa encontrar todos esses pontos no eixo numérico Ox, para cada um dos quais a soma das distâncias dele aos pontos com coordenadas 1 e 3 é igual a 6.

Nenhum dos pontos da linhanão satisfaz esta condição, pois a soma das distâncias especificadas é 2. Fora deste segmento, existem dois pontos: 5 e -1.

1 1 3 5

Resposta: -1;5

Exemplo 2 Resolva a equação |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Solução.

Denote x 2 + x-5 \u003d a, então / a / + / a-4 /=10. Vamos encontrar pontos no eixo x tais que para cada um deles a soma das distâncias aos pontos com coordenadas 0 e 4 seja igual a 10. Esta condição é satisfeita por -4 e 7.

3 0 4 7

Então x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Resposta: -4; -2; 1; 3.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES | f(x)| = | g(x)|.

1. Desde | a |=|b |, se a=b, então uma equação da forma | f(x)| = | g(x )| equivale a um agregado

Exemplo 1.

Resolver equação | x–2| = |3 - x|.

Solução.

Esta equação é equivalente a duas equações:

x - 2 \u003d 3 - x (1) e x - 2 \u003d -3 + x (2)

2x = 5 -2 = -3 - incorreto

X = 2,5 a equação não tem soluções.

Resposta: 2.5.

Exemplo 2

Resolva a equação |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Solução.

Como ambos os lados da equação são não negativos, entãoo quadrado é a transformação equivalente:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 ou 2x 2-18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Resposta: -3; 3; 11/3.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DA VISTA | f(x)| = g(x).

A diferença entre essas equações e| f(x)| = um em que o lado direito também é uma variável. E pode ser tanto positivo quanto negativo. Portanto, você precisa ter certeza de que é não negativo, porque o módulo não pode ser igual a um número negativo (propriedade№1 )

1 caminho

Solução de equações | f(x)| = g(x ) é reduzido ao conjunto de soluções das equaçõese verificar a validade da desigualdade g(x )>0 para os valores encontrados do desconhecido.

2 vias (por definição de módulo)

Desde | f(x)| = g (x) se f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) se f(x)

Exemplo.

Resolva a Equação |3 x –10| = x - 2.

Solução.

Esta equação é equivalente à combinação de dois sistemas:

Ot et: 3; quatro.

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO FORMULÁRIO |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

A solução de equações deste tipo é baseada na definição do módulo. Para cada função f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) é necessário encontrar o domínio de definição, seus zeros e pontos de descontinuidade, dividindo o domínio geral de definição em intervalos, em cada um dos quais as funções f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) manter seu sinal. Além disso, usando a definição do módulo, para cada uma das áreas encontradas obtemos uma equação que deve ser resolvida em um determinado intervalo. Este método foi chamado "método de intervalo»

Exemplo.

Resolva a equação |x-2|-3|x+4|=1.

Solução.

Vamos encontrar os pontos onde as expressões do submódulo são iguais a zero

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Vamos quebrar a reta numérica em intervalos x

A solução da equação é reduzida à solução de três sistemas:

Resposta: -15, -1,8.

MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER EQUAÇÕES CONTENDO SINAL DO MÓDULO.

A maneira gráfica de resolver as equações é aproximada, pois a precisão depende do segmento único selecionado, da espessura do lápis, dos ângulos nos quais as linhas se cruzam, etc. Mas esse método permite estimar quantas soluções uma determinada equação possui.

Exemplo. Resolva graficamente a equação |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Solução. Vamos construir gráficos de funções em um sistema de coordenadas

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| e y=9.

Para construir um gráfico, é necessário considerar esta função em cada intervalo (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞)

Resposta: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Também usamos o método das transformações equivalentes na resolução das equações | f(x)| = | g(x)|.

EQUAÇÕES COM "MÓDULO COMPLEXO"

Outro tipo de equações são equações com um módulo "complexo". Tais equações incluem equações que têm "módulos dentro de um módulo". Equações desse tipo podem ser resolvidas usando vários métodos.

Exemplo 1

Resolva a equação ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Solução.

Por definição do módulo, temos:

Vamos resolver a primeira equação.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Vamos resolver a segunda equação.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 e | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

Exemplo 2

Resolva a equação |2 – |x + 1|| = 3.

Solução.

Vamos resolver a equação introduzindo uma nova variável.

Deixe | x + 1| = y , então |2 – y | = 3, portanto

Vamos fazer a substituição inversa:

(1) | x + 1| = -1 - sem soluções.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; quatro.

Exemplo3.

Quantas raízes tem a equação | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Solução. Vamos resolver a equação usando esquemas de equivalência.

Equação | 2 | x | -6 | = 5 -x é equivalente ao sistema:

Resolvendo equações e desigualdades com módulo muitas vezes causa problemas. No entanto, se você entender bem o que é o valor absoluto de um número, e como expandir corretamente expressões contendo o sinal de módulo, então a presença na equação expressão sob o sinal do módulo deixa de ser um obstáculo à sua solução.

Um pouco de teoria. Cada número tem duas características: o valor absoluto do número e seu sinal.

Por exemplo, o número +5, ou apenas 5, tem um sinal "+" e um valor absoluto de 5.

O número -5 tem um sinal "-" e um valor absoluto de 5.

Os valores absolutos dos números 5 e -5 são 5.

O valor absoluto do número x é chamado de módulo do número e é denotado por |x|.

Como podemos ver, o módulo de um número é igual ao próprio número, se esse número for maior ou igual a zero, e a esse número com o sinal oposto, se esse número for negativo.

O mesmo se aplica a quaisquer expressões que estejam sob o sinal do módulo.

A regra de expansão do módulo se parece com isso:

|f(x)|= f(x) se f(x) ≥ 0, e

|f(x)|= - f(x) se f(x)< 0

Por exemplo |x-3|=x-3 se x-3≥0 e |x-3|=-(x-3)=3-x se x-3<0.

Para resolver uma equação contendo uma expressão sob o sinal do módulo, você deve primeiro expandir módulo por regra de expansão de módulo.

Então nossa equação ou desigualdade é transformada em duas equações diferentes existentes em dois intervalos numéricos diferentes.

Existe uma equação em um intervalo numérico no qual a expressão sob o sinal do módulo é não negativa.

E a segunda equação existe no intervalo em que a expressão sob o sinal do módulo é negativa.

Vamos considerar um exemplo simples.

Vamos resolver a equação:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Vamos abrir o módulo.

|x-3|=x-3 se x-3≥0, ou seja se x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x se x-3<0, т.е. если х<3

2. Temos dois intervalos numéricos: x≥3 e x<3.

Considere em quais equações a equação original é transformada em cada intervalo:

A) Para x≥3 |x-3|=x-3, e nossa equação se parece com:

Atenção! Esta equação existe apenas no intervalo x≥3!

Vamos abrir os colchetes, dar membros semelhantes:

e resolva essa equação.

Esta equação tem raízes:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3

Atenção! como a equação x-3=-x 2 +4x-3 existe apenas no intervalo x≥3, estamos interessados ​​apenas nas raízes que pertencem a esse intervalo. Esta condição satisfaz apenas x 2 = 3.

B) Em x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Atenção! Esta equação existe apenas no intervalo x<3!

Vamos abrir os colchetes e dar termos semelhantes. Obtemos a equação:

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3

Atenção! já que a equação 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 existe apenas no intervalo x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Então: do primeiro intervalo tiramos apenas a raiz x=3, do segundo - a raiz x=2.

Esta calculadora matemática online irá ajudá-lo resolver uma equação ou desigualdade com módulos. Programa para resolvendo equações e inequações com módulos não só dá a resposta ao problema, mas também leva solução detalhada com explicações, ou seja exibe o processo de obtenção do resultado.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Neste caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

|x| ou abs(x) - módulo x

Insira equação ou desigualdade com módulos

Resolva uma equação ou desigualdade

Verificou-se que alguns scripts necessários para resolver esta tarefa não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Nesse caso, desative-o e atualize a página.

Você desativou o JavaScript em seu navegador.
O JavaScript deve estar habilitado para que a solução apareça.
Aqui estão as instruções sobre como habilitar o JavaScript no seu navegador.

Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
Espere, por favor seg...

Se você notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback .
Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.

Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:

Um pouco de teoria.

Equações e desigualdades com módulos

No curso básico de álgebra da escola, você pode encontrar as equações e desigualdades mais simples com módulos. Para resolvê-los, você pode aplicar um método geométrico baseado no fato de que \(|x-a| \) é a distância na reta numérica entre os pontos x e a: \(|x-a| = \rho (x;\; a )\). Por exemplo, para resolver a equação \(|x-3|=2 \), você precisa encontrar pontos na reta numérica que estão a uma distância de 2 do ponto 3. Existem dois desses pontos: \(x_1=1 \) e \(x_2=5\) .

Resolvendo a desigualdade \(|2x+7|

Mas a principal maneira de resolver equações e desigualdades com módulos está relacionada à chamada "expansão de módulo por definição":
se \(a \geq 0 \), então \(|a|=a \);
if \(a Via de regra, uma equação (desigualdade) com módulos se reduz a um conjunto de equações (desigualdades) que não contém o sinal do módulo.

Além da definição acima, as seguintes afirmações são usadas:
1) Se \(c > 0 \), então a equação \(|f(x)|=c \) é equivalente ao conjunto de equações: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.\)
2) Se \(c > 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| 3) Se \(c \geq 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| > c \) é equivalente ao conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Se ambas as partes da desigualdade \(f(x) EXEMPLO 1. Resolva a equação \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Se \(x-1 \geq 0 \), então \(|x-1| = x-1 \) e a equação dada se torna
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Se \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Assim, a equação dada deve ser considerada separadamente em cada um dos dois casos indicados.
1) Seja \(x-1 \geq 0 \), ou seja. \(x \geq 1\). Da equação \(x^2 +2x -8 = 0 \) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\). A condição \(x \geq 1 \) é satisfeita apenas pelo valor \(x_1=2\).
2) Seja \(x-1 Resposta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLO 2. Resolva a equação \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Primeira maneira(expansão do módulo por definição).
Argumentando como no Exemplo 1, concluímos que a equação dada deve ser considerada separadamente sob duas condições: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7

1) Se \(x^2-6x+7 \geq 0 \), então \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) e a equação dada se torna \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Resolvendo Equação quadrática, obtemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Vamos descobrir se o valor \(x_1=6 \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ou seja. \(7 \geq 0 \) é a desigualdade correta. Portanto, \(x_1=6 \) é a raiz da equação dada.
Vamos descobrir se o valor \(x_2=\frac(5)(3) \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ou seja. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) é uma desigualdade inválida. Então \(x_2=\frac(5)(3) \) não é uma raiz da equação dada.

2) Se \(x^2-6x+7 O valor \(x_3=3\) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 O valor \(x_4=\frac(4)(3) \) não satisfaz a condição \ (x^2-6x+7 Assim, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3 \).

A segunda maneira. Dada uma equação \(|f(x)| = h(x) \), então para \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Ambas as equações são resolvidas acima (com o primeiro método de resolver a equação dada), suas raízes são as seguintes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). A condição \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) desses quatro valores é satisfeita apenas por dois: 6 e 3. Portanto, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3\).

Terceira via(gráfico).
1) Vamos plotar a função \(y = |x^2-6x+7| \). Primeiro construímos uma parábola \(y = x^2-6x+7\). Temos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2\). O gráfico da função \(y = (x-3)^2-2 \) pode ser obtido a partir do gráfico da função \(y = x^2 \) deslocando-o 3 unidades de escala para a direita (no eixo x) e 2 unidades de escala para baixo (ao longo do eixo y). A reta x = 3 é o eixo da parábola que nos interessa. Como pontos de controle para plotagem mais precisa, é conveniente tomar o ponto (3; -2) - o topo da parábola, o ponto (0; 7) e o ponto (6; 7) simétrico a ele em relação ao eixo da parábola.
Para construir agora o gráfico da função \(y = |x^2-6x+7| \), você precisa deixar inalteradas as partes da parábola construída que não estão abaixo do eixo x, e espelhar a parte do parábola que está abaixo do eixo x em torno do eixo x.
2) Vamos plotar a função linear \(y = \frac(5x-9)(3) \). É conveniente tomar os pontos (0; –3) e (3; 2) como pontos de controle.

É essencial que o ponto x \u003d 1,8 da interseção da linha reta com o eixo de abcissas esteja localizado à direita do ponto de interseção esquerdo da parábola com o eixo de abcissas - este é o ponto \(x=3-\ sqrt(2) \) (desde \(3-\sqrt(2 ) 3) A julgar pelo desenho, os gráficos se cruzam em dois pontos - A (3; 2) e B (6; 7). Substituindo as abcissas destes pontos x \u003d 3 e x \u003d 6 na equação fornecida, garantimos que ambos os outros valores forneçam a igualdade numérica correta. Portanto, nossa hipótese foi confirmada - a equação tem duas raízes: x \u003d 3 e x \u003d 6 . Resposta: 3; 6.

Comente. O método gráfico, apesar de toda a sua elegância, não é muito confiável. No exemplo considerado, funcionou apenas porque as raízes da equação são números inteiros.

EXEMPLO 3. Resolva a equação \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Primeira maneira
A expressão 2x–4 torna-se 0 no ponto x = 2, e a expressão x + 3 no ponto x = –3. Esses dois pontos dividem a reta numérica em três intervalos: \(x

Considere o primeiro intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Se x Considere o segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Se \(-3 \leq x Considere o terceiro intervalo: \()