Неравенства с модулем. Новый взгляд на решение. Решение неравенств с модулем
Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим некоторые из них.
1) Решение неравенства с помощью геометрического свойства модуля.
Напомню, что такое геометрическое свойство модуля: модуль числа x – это расстояние от начала координат до точки с координатой x.
В ходе решения неравенств этим способом может возникнуть 2 случая:
1. |x| ≤ b,
И неравенство с модулем очевидно сводится к системе двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».
2. |x| ≥ b, тогда картинка решения выглядит так:
И неравенство с модулем очевидно сводится к совокупности двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».
Пример 1.
Решить неравенство |4 – |x|| ≥ 3.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
U [-1;1] U
Пример 2.
Решить неравенство ||x+2| – 3| ≤ 2.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей системе.
{|x + 2| – 3 ≥ -2
{|x + 2| – 3 ≤ 2,
{|x + 2| ≥ 1
{|x + 2| ≤ 5.
Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности:
U [-1; 3].
2) Решение неравенств, используя определение модуля.
Напомню для начала определение модуля.
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0.
Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Пример 1.
Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3.
Решение.
Используя определение модуля получим две системы:
{x – 1 ≥ 0
{3(x – 1) ≤ x + 3
{x – 1 < 0
{-3(x – 1) ≤ x + 3.
Решая первую вторую системы в отдельности, получим:
{x ≥ 1
{x ≤ 3,
{x < 1
{x ≥ 0.
Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы.
Ответ: x € .
3) Решение неравенств методом возведения в квадрат.
Пример 1.
Решить неравенство |x 2 – 1| < | x 2 – x + 1|.
Решение.
Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать.
(|x 2 – 1|) 2 < (|x 2 – x + 1|) 2 .
Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2 < (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2 < 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1) < 0,
(x – 2)(2x 2 – x) < 0,
x(x – 2)(2x – 1) < 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Решение неравенств методом замены переменных.
Пример.
Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Решение.
Заметим, что (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогда получим неравенство
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Сделаем замену y = |2x + 3|.
Перепишем наше неравенство с учетом замены.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Решим методом интервалов и получим:
Вернемся к замене:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств:
{|2x + 3| ≤ 6
{|2x + 3| ≥ -5.
Решим каждое из неравенств в отдельности.
Первое равносильно системе
{2x + 3 ≤ 6
{2x + 3 ≥ -6.
Решим ее.
{x ≤ 1.5
{x ≥ -4.5.
Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x).
Ответ: x € [-4,5; 1,5].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями . Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
|x| или abs(x) - модуль xВведите уравнение или неравенство с модулями
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \(|x-a| \) - это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \(|x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \(x_1=1 \) и \(x_2=5 \).
Решая неравенство \(|2x+7| 
Но основной способ решения уравнений и неравенств с модулями связан с так называемым
«раскрытием модуля по определению»:
если \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
если \(a
Как правило, уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.
Кроме указанного определения, используются следующие утверждения:
1) Если \(c > 0 \), то уравнение \(|f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений:
\(\left[\begin{array}{l} f(x)=c \\ f(x)=-c \end{array}\right. \)
2) Если \(c > 0 \), то неравенство \(|f(x)|
3) Если \(c \geq 0 \), то неравенство \(|f(x)| > c \) равносильно совокупности неравенств:
\(\left[\begin{array}{l} f(x) c \end{array}\right. \)
4) Если обе части неравенства \(f(x) ПРИМЕР 1. Решить уравнение \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
Если \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Если же \(x-1
\(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x \geq 1 \). Из уравнения \(x^2 +2x -8 = 0 \) находим \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Условию \(x \geq 1 \) удовлетворяет лишь значение \(x_1=2\).
2) Пусть \(x-1
Ответ: \(2; \;\; 1-\sqrt{5} \)
ПРИМЕР 2. Решить уравнение \(|x^2-6x+7| = \frac{5x-9}{3} \).
Первый способ
(раскрытие модуля по определению).
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении
двух условий: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7
1) Если \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим:
\(x_1=6, \; x_2=\frac{5}{3} \).
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_1=6 \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение
в квадратное неравенство. Получим: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) - верное неравенство.
Значит, \(x_1=6 \) - корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_2=\frac{5}{3} \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное
значение в квадратное неравенство. Получим: \(\left(\frac{5}{3} \right)^2 -\frac{5}{3} \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е.
\(\frac{25}{9} -3 \geq 0 \) - неверное неравенство. Значит, \(x_2=\frac{5}{3} \) не является корнем заданного уравнения.
2) Если \(x^2-6x+7 Значение \(x_3=3\) удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Значение \(x_4=\frac{4}{3} \) не удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Итак, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
Второй способ.
Если дано уравнение \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x)
\(\left[\begin{array}{l} x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \\ x^2-6x+7 = -\frac{5x-9}{3} \end{array}\right. \)
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения заданного уравнения), их корни таковы:
\(6,\; \frac{5}{3},\; 3,\; \frac{4}{3} \). Условию \(\frac{5x-9}{3} \geq 0 \) из этих четырёх значений
удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
Третий способ
(графический).
1) Построим график функции \(y = |x^2-6x+7| \). Сначала построим параболу \(y = x^2-6x+7 \).
Имеем \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). График функции \(y = (x-3)^2-2 \) можно получить из графика функции \(y = x^2 \)
сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси x) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси y).
Прямая x=3 - ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно
взять точку (3; -2) - вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7).
Чтобы построить теперь график функции \(y = |x^2-6x+7| \), нужно оставить без изменения те части построенной параболы,
которые лежат не ниже оси x, а ту часть параболы, которая лежит ниже оси x, отобразить зеркально относительно оси x.
2) Построим график линейной функции \(y = \frac{5x-9}{3} \). В качестве контрольных точек удобно взять точки
(0; –3) и (3; 2).
Существенно то, что точка х = 1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения
параболы с осью абсцисс - это точка \(x=3-\sqrt{2} \) (поскольку \(3-\sqrt{2}
3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках - А(3; 2) и В(6; 7). Подставив абсциссы этих точек
x = 3 и x = 6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении получается верное числовое равенство.
Значит, наша гипотеза подтвердилась - уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 6.
Ответ: 3; 6.
Замечание . Графический способ при всём своём изяществе не очень надёжен. В рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения - целые числа.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Первый способ
Выражение 2x–4 обращается в 0 в точке х = 2, а выражение х + 3 - в точке х = –3. Эти две точки разбивают числовую
прямую на три промежутка: \(x
Рассмотрим первый промежуток: \((-\infty; \; -3) \).
Если x
Рассмотрим второй промежуток: \([-3; \; 2) \).
Если \(-3 \leq x
Рассмотрим третий промежуток: \(}