Como encontrar 3 raízes de 8. Extraindo a raiz quadrada

raiz nª potência de um número natural a o número é chamado n cuja enésima potência é igual a a. A raiz é indicada da seguinte forma: . O símbolo √ é chamado sinal de raiz ou sinal do radical, número a - número raiz, n - expoente raiz.

A ação pela qual a raiz de um determinado grau é encontrada é chamada extração de raiz.

Uma vez que, de acordo com a definição do conceito de raiz n grau

Que extração de raiz- a ação, o oposto da exponenciação, com a ajuda da qual, de acordo com o grau dado e de acordo com o expoente dado, é encontrada a base do grau.

Raiz quadrada

A raiz quadrada de um número aé o número cujo quadrado é a.

A operação pela qual a raiz quadrada é calculada é chamada de tirar a raiz quadrada.

Extraindo a raiz quadrada- a ação oposta de elevar ao quadrado (ou elevar um número à segunda potência). Ao elevar um número ao quadrado, você precisa encontrar seu quadrado. Ao extrair a raiz quadrada, o quadrado do número é conhecido, é necessário encontrar o próprio número a partir dele.

Portanto, para verificar a exatidão da ação realizada, você pode elevar a raiz encontrada ao segundo grau e, se o grau for igual ao número da raiz, a raiz foi encontrada corretamente.

Considere extrair a raiz quadrada e sua verificação com um exemplo. Calculamos ou (o expoente da raiz com o valor 2 geralmente não é escrito, pois 2 é o menor expoente e deve ser lembrado que se não houver expoente acima do sinal da raiz, o expoente 2 está implícito), para isso precisamos para encontrar o número, quando elevado ao segundo o grau será 49. Obviamente, esse número é 7, pois

7 7 = 7 2 = 49.

Calculando a raiz quadrada

Se o número fornecido for 100 ou menos, a raiz quadrada dele pode ser calculada usando a tabuada de multiplicação. Por exemplo, a raiz quadrada de 25 é 5 porque 5 x 5 = 25.

Agora considere uma maneira de encontrar a raiz quadrada de qualquer número sem usar uma calculadora. Por exemplo, vamos pegar o número 4489 e começar a calcular passo a passo.

Vamos determinar em quais dígitos a raiz desejada deve consistir. Como 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 e 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, fica claro que a raiz desejada deve ser maior que 10 e menor que 100, ou seja, consistem em dezenas e unidades.
Encontre o número de dezenas da raiz. Multiplicando dezenas produz centenas, nosso número é 44, então a raiz deve conter tantas dezenas que o quadrado das dezenas dá aproximadamente 44 centenas. Portanto, deve haver 6 dezenas na raiz, porque 60 2 \u003d 3600 e 70 2 \u003d 4900 (isso é demais). Assim, descobrimos que nossa raiz contém 6 dezenas e várias unidades, pois está na faixa de 60 a 70.
A tabela de multiplicação ajudará a determinar o número de unidades na raiz. Olhando para o número 4489, vemos que o último dígito nele é 9. Agora olhamos para a tabuada e vemos que 9 unidades só podem ser obtidas elevando os números 3 e 7 ao quadrado. Portanto, a raiz do número será 63 ou 67.
Verificamos os números que obtivemos 63 e 67 elevando-os ao quadrado: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

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Vamos considerar este algoritmo com um exemplo. Vamos encontrar

1º passo. Dividimos o número sob a raiz em dois dígitos (da direita para a esquerda):

2º passo. Extraímos a raiz quadrada da primeira face, ou seja, do número 65, obtemos o número 8. Sob a primeira face, escrevemos o quadrado do número 8 e subtraímos. Atribuímos a segunda face (59) ao restante:

(o número 159 é o primeiro resto).

3º passo. Dobramos a raiz encontrada e escrevemos o resultado à esquerda:

4º passo. Separamos no restante (159) um dígito à direita, à esquerda obtemos o número de dezenas (é igual a 15). A seguir dividimos 15 pelo primeiro dígito dobrado da raiz, ou seja, por 16, já que 15 não é divisível por 16, então no quociente obtemos zero, que escrevemos como o segundo dígito da raiz. Então, no quociente temos o número 80, que dobramos novamente e demolimos a próxima face

(o número 15901 é o segundo resto).

5º passo. Separamos um dígito da direita no segundo restante e dividimos o número resultante 1590 por 160. O resultado (número 9) é escrito como o terceiro dígito da raiz e atribuído ao número 160. O número resultante 1609 é multiplicado por 9 e encontramos o seguinte resto (1420):

Outras ações são executadas na sequência indicada no algoritmo (a raiz pode ser extraída com o grau de precisão necessário).

Comente. Se a expressão raiz for uma fração decimal, sua parte inteira será dividida em dois dígitos da direita para a esquerda, a parte fracionária será dividida em dois dígitos da esquerda para a direita e a raiz será extraída de acordo com o algoritmo especificado.

MATERIAL DIDÁTICO

1. Tire a raiz quadrada do número: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

De preferência engenharia - aquela em que há um botão com um sinal de raiz: "√". Normalmente, para extrair a raiz, basta digitar o próprio número e, em seguida, pressionar o botão: “√”.

No mais moderno celulares existe um aplicativo "calculadora" com uma função de extração de raiz. O procedimento para encontrar a raiz de um número usando uma calculadora de telefone é semelhante ao descrito acima.
Exemplo.
Encontre a partir de 2.
Ligamos a calculadora (se estiver desligada) e pressionamos sucessivamente os botões com a imagem de dois e a raiz (“2”, “√”). Pressionar a tecla "=" geralmente não é necessário. Como resultado, obtemos um número como 1,4142 (o número de caracteres e "arredondamento" depende da profundidade de bits e das configurações da calculadora).
Nota: ao tentar encontrar a raiz, a calculadora geralmente dá um erro.

Se você tiver acesso a um computador, encontrar a raiz de um número é muito simples.
1. Você pode usar o aplicativo Calculadora disponível em praticamente qualquer computador. Para o Windows XP, este programa pode ser executado da seguinte forma:
"Iniciar" - "Todos os Programas" - "Acessórios" - "Calculadora".
É melhor definir a exibição como "normal". A propósito, ao contrário de uma calculadora real, o botão para extrair a raiz é marcado como "sqrt", não como "√".

Se você não acessar a calculadora da maneira especificada, poderá iniciar a calculadora padrão “manualmente”:
"Iniciar" - "Executar" - "calc".
2. Para encontrar a raiz de um número, você também pode usar alguns programas instalados em seu computador. Além disso, o programa possui sua própria calculadora embutida.

Por exemplo, para o aplicativo MS Excel, você pode executar a seguinte sequência de ações:
Iniciamos o MS Excel.

Escrevemos em qualquer célula o número do qual você deseja extrair a raiz.

Mova o ponteiro da célula para um local diferente

Pressione o botão de seleção de função (fx)

Selecione a função "RAIZ"

Como argumento de função, especifique uma célula com um número

Pressione "OK" ou "Enter"
vantagem este métodoé que agora basta inserir qualquer valor na célula com o número, pois em com a função aparece imediatamente.
Observação.
Existem várias outras maneiras mais exóticas de encontrar a raiz de um número. Por exemplo, um "canto", usando uma régua de cálculo ou tabelas Bradis. No entanto, esses métodos não são considerados neste artigo devido à sua complexidade e inutilidade prática.

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Fontes:

como encontrar a raiz de um número

Às vezes, há situações em que você precisa realizar cálculos matemáticos, incluindo extrair raízes quadradas e raízes de grau superior de um número. A raiz "n" de "a" é o número enésima potência que é o número "a".

Instrução

Para encontrar a raiz "n" de , faça o seguinte.

Clique no seu computador "Iniciar" - "Todos os Programas" - "Acessórios". Em seguida, entre na subseção "Utilitários" e selecione "Calculadora". Você pode fazer isso manualmente: clique em "Iniciar", digite "calk" na linha "executar" e pressione "Enter". vai abrir. Para extrair a raiz quadrada de qualquer número, digite-o na linha da calculadora e pressione o botão "sqrt". A calculadora extrairá a raiz do segundo grau, chamada de quadrado, do número digitado.

Para extrair a raiz, cujo grau é maior que o segundo, você precisa usar um tipo diferente de calculadora. Para fazer isso, clique no botão "Exibir" na interface da calculadora e selecione a linha "Engenharia" ou "Científica" no menu. Este tipo de calculadora tem o necessário para calcular a raiz enésimo grau função.

Para extrair a raiz do terceiro grau (), na calculadora "engenharia", digite o número desejado e pressione o botão "3√". Para obter uma raiz maior que 3ª, digite o número desejado, pressione o botão com o ícone "y√x" e depois digite o número - o expoente. Depois disso, pressione o sinal de igual ("=" botão) e você obterá a raiz que está procurando.

Se a sua calculadora não tiver a função "y√x", faça o seguinte.

Para extrair a raiz cúbica, insira a expressão radical e marque a caixa ao lado da inscrição "Inv". Com esta ação, você inverterá as funções dos botões da calculadora, ou seja, ao clicar no botão ao cubo, você extrairá a raiz cúbica. No botão que você

E você tem dependência da calculadora? Ou você acha que, exceto com uma calculadora ou usando uma tabela de quadrados, é muito difícil calcular, por exemplo.

Acontece que os alunos estão amarrados a uma calculadora e até multiplicam 0,7 por 0,5 pressionando os botões queridos. Eles falam, bom, eu ainda sei calcular, mas agora vou economizar tempo ... Vai ter exame ... aí vou ficar tenso ...

Então, o fato é que haverá muitos "momentos tensos" no exame de qualquer maneira ... Como se costuma dizer, a água desgasta uma pedra. Então no exame, coisinhas, se forem muitas, podem te derrubar...

Vamos minimizar o número de possíveis problemas.

Tirando a raiz quadrada de um número grande

Agora falaremos apenas sobre o caso em que o resultado da extração da raiz quadrada é um número inteiro.

Caso 1

Então, vamos por todos os meios (por exemplo, ao calcular o discriminante) precisamos calcular a raiz quadrada de 86436.

Vamos decompor o número 86436 em fatores primos. Dividimos por 2, obtemos 43218; novamente dividimos por 2, - obtemos 21609. O número não é divisível por mais 2. Mas como a soma dos dígitos é divisível por 3, então o próprio número é divisível por 3 (em geral, pode-se ver que também é divisível por 9). . Mais uma vez dividimos por 3, obtemos 2401. 2401 não é completamente divisível por 3. Não divisível por cinco (não termina em 0 ou 5).

Suspeitamos de divisibilidade por 7. De fato, a ,

Então, pedido completo!

Caso 2

Precisamos calcular. É inconveniente agir da mesma forma descrita acima. Tentando fatorar...

O número 1849 não é totalmente divisível por 2 (não é par)...

Não é totalmente divisível por 3 (a soma dos algarismos não é um múltiplo de 3)...

Não é totalmente divisível por 5 (o último dígito não é 5 ou 0)...

Não é totalmente divisível por 7, não é divisível por 11, não é divisível por 13 ... Bem, quanto tempo vamos demorar para passar por todos os números primos assim?

Vamos argumentar um pouco diferente.

nós entendemos que

Reduzimos a busca. Agora classificamos os números de 41 a 49. Além disso, é claro que, como o último dígito do número é 9, vale a pena parar nas opções 43 ou 47 - apenas esses números, quando elevados ao quadrado, darão o último dígito 9.

Bem, aqui já, é claro, paramos em 43. De fato,

PS Como diabos multiplicamos 0,7 por 0,5?

Você deve multiplicar 5 por 7, ignorando os zeros e sinais, e depois separar, indo da direita para a esquerda, duas casas decimais. Obtemos 0,35.