TRABALHO DE LABORATÓRIO MM-03

JOGAR ROVs DISCRETOS E CONTÍNUOS

Objetivo do trabalho: estudo e implementação em software de métodos para reprodução de RVs discretos e contínuos

PERGUNTAS PARA ESTUDAR DO RESUMO DA AULA:

1. Variáveis ​​aleatórias discretas e suas características.

2. Jogando um grupo completo de eventos aleatórios.

3. Jogando uma variável aleatória contínua pelo método da função inversa.

4. Escolha de uma direção aleatória no espaço.

5. Distribuição normal padrão e seu recálculo para determinados parâmetros.

6. O método das coordenadas polares para representar a distribuição normal.

UMA TAREFA 1. Formule (por escrito) uma regra para jogar os valores de um RV discreto, cuja lei de distribuição é dada na forma de uma tabela. Componha uma função de sub-rotina para reproduzir os valores de CV usando o BSV recebido da sub-rotina RNG. Jogue valores de 50 CB e exiba-os na tela.

Onde N é o número da variante.

TAREFA 2. A função densidade de distribuição f(x) de uma variável aleatória contínua X é dada.

No relatório, anote as fórmulas e o cálculo dos seguintes valores:

A) constante de normalização;

B) função de distribuição F(x);

C) esperança matemática M(X);

D) dispersão D(X);

E) uma fórmula para jogar os valores de CB usando o método da função inversa.

Componha uma sub-rotina de função para reproduzir o CV dado e obter 1000 valores deste CV.

Construa um histograma da distribuição dos números obtidos em 20 segmentos.

TAREFA 3. Escreva um procedimento que permita reproduzir os parâmetros de uma direção aleatória no espaço. Jogue 100 direções aleatórias no espaço.

Use o gerador de números pseudo-aleatórios embutido.

O relatório escrito sobre o trabalho de laboratório deve conter:

1) Nome e objetivo do trabalho, grupo, sobrenome e número de opção do aluno;

2) Para cada tarefa: -condição, -fórmulas e transformações matemáticas necessárias, -nome do arquivo de programa que implementa o algoritmo utilizado, -resultados do cálculo.

Os arquivos de programa depurados são entregues junto com o relatório escrito.

APÊNDICE

Variantes da densidade de distribuição de SW contínuo

Var-t	Densidade de distribuição SW	Var-t	Densidade de distribuição SW

Método de função inversa

Seja necessário jogar uma variável aleatória contínua X, ou seja, obter a sequência de seus valores possíveis x eu (eu= 1,2, ...), conhecendo a função de distribuição F(X).

Teorema. Se um r eu ,-número aleatório, então valor possívelx eu variável aleatória contínua X sendo jogada com uma dada função de distribuiçãoF(X)correspondenter eu , é a raiz da equação

F(X eu)= r eu . (»)

Prova. Seja escolhido um número aleatório r eu (0≤r eu <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений X função de distribuição F(X) aumenta monotonicamente de 0 a 1, então neste intervalo existe, e apenas um, tal valor do argumento X eu , em que a função de distribuição toma o valor r eu. Em outras palavras, a equação (*) tem uma solução única

X eu = F - 1 (r eu),

Onde F - 1 - função inversa y=F(X).

Vamos agora provar que a raiz X eu equação (*) é um valor possível de tal variável aleatória contínua (nós a denotaremos temporariamente por ξ e, em seguida, certifique-se de que ξ=X). Para isso, provamos que a probabilidade de acertar ξ em um intervalo, por exemplo ( Com,d), pertencente ao intervalo de todos os valores possíveis X, é igual ao incremento da função de distribuição F(X) neste intervalo:

R(Com< ξ < d)= F(d)- F(Com).

Com efeito, desde F(X)- função monotonicamente crescente no intervalo de todos os valores possíveis x, então, nesse intervalo, grandes valores do argumento correspondem a grandes valores da função e vice-versa. Portanto, se Com <X eu < d, então F(c)< r eu < F(d), e vice-versa [tendo em conta que devido a (*) F(X eu)=r eu ].

Destas desigualdades segue-se que se a variável aleatória ξ encerrado no intervalo

Com< ξ < d, ξ (**)

então a variável aleatória R encerrado no intervalo

F(Com)< R< F(d), (***)

e volta. Assim, as desigualdades (**) e (***) são equivalentes e, portanto, igualmente prováveis:

R(Com< ξ< d)=P[F(Com)< R< F(d)]. (****)

Já que o valor R distribuído uniformemente no intervalo (0,1), então a probabilidade de acertar R a algum intervalo pertencente ao intervalo (0,1) é igual ao seu comprimento (ver Cap. XI, § 6, observação). Em particular,

R[F(Com)< R< F(d) ] = F(d) - F(Com).

Portanto, a relação (****) pode ser escrita como

R(Com< ξ< d)= F(d) - F(Com).

Então a probabilidade de acertar ξ no intervalo ( Com,d) é igual ao incremento da função de distribuição F(X) neste intervalo, o que significa que ξ=X. Em outras palavras, os números X eu, definido pela fórmula (*), existem valores possíveis da quantidade Xs dada função de distribuição F(X), Q.E.D.

Regra 1X eu , variável aleatória contínua x, conhecendo sua função de distribuição F(X), você tem que escolher um número aleatório r eu equacione suas funções de distribuição e resolva para X eu , equação resultante

F(X eu)= r eu .

Observação 1. Se esta equação não puder ser resolvida explicitamente, então recorre-se a métodos gráficos ou numéricos.

Exemplo I Jogue 3 valores possíveis de uma variável aleatória contínua x, distribuído uniformemente no intervalo (2, 10).

Solução. Vamos escrever a função de distribuição da quantidade x, distribuído uniformemente no intervalo ( uma,b) (ver Cap. XI, § 3, exemplo):

F(X)= (Há)/ (b-uma).

Por condição, a = 2, b=10, portanto,

F(X)= (X- 2)/ 8.

Usando a regra desta seção, escrevemos uma equação para encontrar valores possíveis X eu , para o qual igualamos a função de distribuição a um número aleatório:

(X eu -2 )/8= r eu .

Daqui X eu =8 r eu + 2.

Vamos escolher 3 números aleatórios, por exemplo, r eu =0,11, r eu =0,17, r eu=0,66. Substitua esses números na equação, resolvidos em relação a X eu , como resultado, obtemos os valores possíveis correspondentes X: X 1 \u003d 8 0,11 + 2 \u003d\u003d 2,88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.

Exemplo 2 Variável aleatória contínua X distribuído de acordo com a lei exponencial dada pela função de distribuição (o parâmetro λ > 0 é conhecido)

F(X)= 1 - e - λ X (x>0).

É necessário encontrar uma fórmula explícita para reproduzir os valores possíveis x.

Solução. Usando a regra deste parágrafo, escrevemos a equação

1 - e - λ X eu

Vamos resolver esta equação para X eu :

e - λ X eu = 1 - r eu, ou - λ X eu = ln(1 - r eu).

X eu =1p(1– r eu)/λ .

Número aleatório r eu encerrado no intervalo (0,1); daí o número 1 - r eu, também aleatório e pertence ao intervalo (0,1). Em outras palavras, as quantidades R e 1- R distribuídos igualmente. Portanto, para encontrar X eu Você pode usar uma fórmula mais simples:

x eu =- ln r eu /λ.

Observação 2. Sabe-se que (ver Cap. XI, §3)

Em particular,

Segue-se que se a densidade de probabilidade é conhecida f(x), em seguida, para jogar X em vez das equações F(x eu)=r eu decidir sobre x eu a equação

Regra 2 Para encontrar um valor possível X eu (variável aleatória contínua x, conhecendo sua densidade de probabilidade f(x) escolha um número aleatório r eu e decidir sobre X eu , a equação

ou equação

Onde uma- menor valor final possível x.

Exemplo 3 Dada a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua Xf(X)=λ (1-λx/2) no intervalo (0; 2/λ); fora deste intervalo f(X)= 0. É necessário encontrar uma fórmula explícita para reproduzir os valores possíveis x.

Solução. Escrevemos de acordo com a regra 2 a equação

Depois de integrar e resolver a equação quadrática resultante para X eu, finalmente obtemos

INTRODUÇÃO

Costuma-se chamar de sistema um conjunto de elementos entre os quais existem conexões de qualquer natureza, e que possui uma função (finalidade) que seus elementos constituintes não possuem. Os sistemas de informação, via de regra, são sistemas complexos geograficamente distribuídos com um grande número de elementos constituintes que possuem uma extensa estrutura de rede.

O desenvolvimento de modelos matemáticos que permitam avaliar o desempenho de sistemas de informação é uma tarefa complexa e demorada. Para determinar as características de tais sistemas, pode-se aplicar o método de simulação com posterior processamento dos resultados experimentais.

A modelagem de simulação é um dos tópicos centrais no estudo das disciplinas "Sistemas de modelagem" e "Modelagem matemática". O tema da modelagem de simulação é o estudo de processos e sistemas complexos, geralmente sujeitos à influência de fatores aleatórios, por meio da realização de experimentos com seus modelos de simulação.

A essência do método é simples - a “vida” do sistema é simulada com repetição repetida de testes. Nesse caso, as influências externas que mudam aleatoriamente no sistema são modeladas e registradas. Para cada situação, os indicadores do sistema são calculados de acordo com as equações do modelo. Os métodos modernos de estatística matemática existentes permitem responder à pergunta - é possível e com que confiança usar dados de simulação. Se esses indicadores de confiança forem suficientes para nós, podemos usar o modelo para estudar esse sistema.

Podemos falar sobre a universalidade da modelagem de simulação, pois ela é usada para resolver problemas teóricos e práticos de análise de grandes sistemas, incluindo os problemas de avaliação de opções para a estrutura de um sistema, avaliação da eficácia de vários algoritmos de controle do sistema e avaliação da impacto de alterar vários parâmetros do sistema em seu comportamento. A modelagem de simulação também pode ser usada como base para a síntese de grandes sistemas, quando é necessário criar um sistema com determinadas características sob certas restrições e que, ao mesmo tempo, seria ótimo de acordo com os critérios selecionados.

A modelagem de simulação é um dos meios mais eficazes de pesquisa e projeto de sistemas complexos e, muitas vezes, o único método prático para estudar o processo de seu funcionamento.

O objetivo do trabalho do curso é estudar pelos alunos os métodos de simulação e métodos de processamento de dados estatísticos em um computador usando software aplicativo. Aqui estão os tópicos possíveis para trabalhos de conclusão de curso que permitem explorar sistemas complexos com base em modelos de simulação.

· Modelagem de simulação em problemas de corte unidimensional ou plano. Comparação do plano de corte com o plano ótimo obtido por métodos de programação linear inteira.

· Modelos de transporte e suas variantes. Comparação do plano de transporte obtido pelo método de simulação com o plano ótimo obtido pelo método potencial.

· Aplicação do método de simulação à resolução de problemas de otimização em grafos.

· Determinação de volumes de produção como tarefa de otimização multicritério. Usando o método de simulação para encontrar o conjunto alcançável e o conjunto de Pareto.

· Método de modelagem de simulação em tarefas de escalonamento. Obtenha conselhos sobre como criar um cronograma racional.

· Estudo das características dos sistemas de informação e canais de comunicação como sistemas de filas por simulação.

· Construção de modelos de simulação na organização de consultas em bases de dados.

· Aplicação do método de simulação para resolução do problema de gestão de estoques com demanda constante, variável e aleatória.

· Investigação do funcionamento do picador por modelagem de simulação.

TAREFA PARA O TRABALHO DO CURSO

O sistema técnico S consiste em três elementos, cujo diagrama de conexão é mostrado na Fig.1. Os tempos de uptime X 1 , X 2 , X 3 elementos do sistema são variáveis ​​aleatórias contínuas com leis conhecidas de distribuição de probabilidade. O ambiente externo E afeta a operação do sistema na forma de uma variável aleatória V com uma distribuição de probabilidade discreta conhecida.

É necessário avaliar a confiabilidade do sistema S por simulação computacional com posterior processamento dos resultados experimentais. Segue abaixo a sequência do trabalho.

1. Desenvolvimento de algoritmos para reprodução de variáveis ​​aleatórias X 1 , X 2 , X 3 e V utilizando geradores de números aleatórios contidos em pacotes matemáticos, como Microsoft Excel ou StatGraphics.

2. Determinação do tempo de atividade do sistema Y dependendo dos elementos de tempo de atividade X 1 , X 2 , X 3 com base no diagrama de blocos do cálculo de confiabilidade.

3. Determinação do tempo de atividade do sistema, levando em consideração a influência do ambiente externo de acordo com a fórmula Z=Y/(1+0,1V).

4. Construção de um algoritmo de modelagem que simule o funcionamento do sistema S e leve em consideração a possibilidade de falha de elementos e efeitos aleatórios do ambiente externo E. Implementação do algoritmo obtido em um computador e criação de um arquivo com os valores ​​de variáveis ​​aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , V, Y e Z. Número Faça 100 experimentos para o experimento da máquina.

5. Processamento estatístico dos resultados obtidos. Para isso, é necessário

Divida os dados da variável aleatória Z em 10 grupos e forme uma série estatística contendo os limites e pontos médios dos intervalos parciais, as frequências correspondentes, frequências relativas, frequências acumuladas e frequências relativas acumuladas;

Para o valor Z, construa um polígono e cumule a frequência, construa um histograma com base nas densidades de frequência relativas;

Para os valores X 1 , X 2 , X 3 , V para estabelecer sua conformidade com as leis de distribuição dadas, usando o critério c 2 ;

Para uma variável aleatória Z, considere três distribuições contínuas (uniforme, normal, gama), plote a densidade dessas distribuições em um histograma para Z;

Utilizando o critério c 2, verifique a validade da hipótese sobre a correspondência dos dados estatísticos com as distribuições selecionadas, o nível de significância na seleção de uma distribuição adequada é tomado igual a 0,05.

6. Escreva a função densidade de distribuição do tempo de atividade Z do sistema, determine a expectativa matemática, variância e desvio padrão da variável aleatória Z. Determine as principais características da confiabilidade do sistema: o tempo médio para falha T 1 e a probabilidade de operação sem falhas P(t) durante o tempo t. Encontre a probabilidade de que o sistema não falhe no tempo T 1 .

As opções de tarefas são dadas na Tabela 1 individualmente para cada aluno. As designações das variáveis ​​aleatórias estão contidas no texto nos parágrafos 2 e 3. Os diagramas estruturais para o cálculo da confiabilidade de acordo com seus números são mostrados na Fig.1.

tabela 1

Opções de tarefa

Opção	x1	x2	x3	V	Número do esquema
	LN(1,5;2)	LN(1,5;2)	E(2;0,1)	B(5;0,7)
	U(18;30)	U(18;30)	N(30;5)	G(0,6)
	W(1,5;20)	W(1,5;20)	U(10;20)	P(2)
	Exp(0,1)	Exp(0,1)	W(2;13)	B(4;0,6)
	N(18;2)	N(18;2)	Exp(0,05)	G(0,7)
	E(3;0,2)	E(3;0,2)	LN(2;0,5)	P(0,8)
	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)
	Exp(0,03)	Exp(0,03)	N(30;0,4)	G(0,8)
	U(12;14)	U(12;14)	W(1,8;22)	P(3,1)
	N(13;3)	N(13;3)	W(2;18)	B(4;0,4)
	LN(2;1)	LN(2;1)	Exp(0,04)	G(0,9)
	E(2;0,1)	E(2;0,1)	LN(1;2)	P (4,8)
	W(1,4;20)	W(1,4;20)	U(30;50)	B(3;0,2)
	Exp(0,08)	Exp(0,08)	LN(2;1,5)	G(0,3)
	U(25;30)	U(25;30)	N(30;1,7)	P(2,8)
	N(17;4)	N(17;4)	E(2;0,04)	B(2;0,3)
	LN(3;0,4)	LN(3;0,4)	Exp(0,02)	G(0,4)
	E(2;0,15)	E(2;0,15)	W(2,3;24)	P(1,6)
	W(2,3;25)	W(2,3;25)	U(34;40)	B(4;0,9)
	Exp(0,02)	Exp(0,02)	LN(3,2;1)	G(0,7)
	U(15;22)	U(15;22)	N(19;2,2)	P(0,5)
	N(15;1)	N(15;1)	E(3;0,08)	B(4;0,6)
	LN(2;0,3)	LN(2;0,3)	Exp(0,02)	G(0,5)
	E(3;0,5)	E(3;0,5)	W(3;2)	P(3,6)
	W(1,7;19)	W(1,7;19)	U(15;20)	B(5;0,7)
	Exp(0,06)	Exp(0,06)	LN(2;1,6)	G(0,2)
	U(15;17)	U(15;17)	N(12;4)	P(4,5)
	N(29;2)	N(29;2)	E(2;0,07)	B(2;0,7)
	LN(1,5;1)	LN(1,5;1)	Exp(0,08)	G(0,7)
	E(2;0,09)	E(2;0,09)	W(2,4;25)	P(2,9)

Na Fig. 1, existem três tipos de conexão de elementos: serial, paralela (reserva permanente) e redundância de substituição.

O tempo até a falha de um sistema que consiste em elementos conectados em série é igual ao menor dos tempos até a falha dos elementos. O tempo de falha de um sistema com uma reserva permanentemente ligada é igual ao maior dos tempos de falha dos elementos. O tempo de falha de um sistema com reserva de reposição é igual à soma dos tempos de falha dos elementos.

Esquema 1. Esquema 2.

Esquema 3. Esquema 4.

Esquema 5. Esquema 6.
Esquema 7. Esquema 8.

Definição 24.1.Números aleatórios nomear valores possíveis r variável aleatória contínua R, distribuído uniformemente no intervalo (0; 1).

1. Jogando uma variável aleatória discreta.

Seja necessário jogar uma variável aleatória discreta X, ou seja, obter uma sequência de seus valores possíveis, conhecendo a lei de distribuição X:

x x 1 X 2 … xn

p p 1 R 2 … rp .

Considere uma variável aleatória uniformemente distribuída em (0, 1) R e divida o intervalo (0, 1) por pontos com coordenadas R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +rp-1 ligado P intervalos parciais cujos comprimentos são iguais às probabilidades com os mesmos índices.

Teorema 24.1. Se cada número aleatório que cai no intervalo recebe um valor possível , então o valor jogado terá uma determinada lei de distribuição:

x x 1 X 2 … xn

p p 1 R 2 … rp .

Prova.

Os valores possíveis da variável aleatória obtida coincidem com o conjunto X 1 , X 2 ,… xn, pois o número de intervalos é P, e quando atingido rj no intervalo, uma variável aleatória pode assumir apenas um dos valores X 1 , X 2 ,… xn.

Porque Ré uniformemente distribuído, então a probabilidade de cair em cada intervalo é igual ao seu comprimento, o que implica que cada valor corresponde à probabilidade pi. Assim, a variável aleatória que está sendo jogada tem uma determinada lei de distribuição.

Exemplo. Jogue 10 valores de uma variável aleatória discreta X, cuja lei de distribuição tem a forma: X 2 3 6 8

R 0,1 0,3 0,5 0,1

Solução. Vamos quebrar o intervalo (0, 1) em intervalos parciais: D 1 - (0; 0,1), D 2 - (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 – (0,9; 1). Vamos escrever 10 números da tabela de números aleatórios: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. O primeiro e o sétimo números estão no intervalo D 1 , portanto, nesses casos, a variável aleatória que está sendo reproduzida assumiu o valor X 1 = 2; o terceiro, quarto, oitavo e décimo números caíram no intervalo D 2 , que corresponde a X 2 = 3; o segundo, quinto, sexto e nono números estavam no intervalo D 3 - enquanto X = x 3 = 6; nem um único número caiu no último intervalo. Então, os valores possíveis jogados X são: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Desempenhando eventos opostos.

Que seja obrigado a jogar provas, em cada uma das quais o evento MAS aparece com uma probabilidade conhecida R. Considere uma variável aleatória discreta X, que assume os valores 1 (se o evento MAS aconteceu) com uma probabilidade R e 0 (se MAS não aconteceu) com uma probabilidade q = 1 – p. Então jogamos esta variável aleatória como sugerido no parágrafo anterior.

Exemplo. Jogue 10 desafios, cada um com um evento MAS aparece com uma probabilidade de 0,3.

Solução. Para uma variável aleatória X com lei de distribuição X 1 0

R 0,3 0,7

obtemos os intervalos D 1 - (0; 0,3) e D 2 - (0,3; 1). Usamos a mesma amostra de números aleatórios do exemplo anterior, para os quais os números №№1,3 e 7 caem no intervalo D 1 e o resto - no intervalo D 2 . Portanto, podemos supor que o evento MAS aconteceu na primeira, terceira e sétima prova, mas não aconteceu nas demais.

3. Jogando um grupo completo de eventos.

Se os eventos MAS 1 , MAS 2 , …, A p, cujas probabilidades são iguais R 1 , R 2 ,… rp, formam um grupo completo, então para jogar fora (ou seja, modelar a sequência de suas aparições em uma série de testes), você pode jogar uma variável aleatória discreta X com lei de distribuição X 1 2 … P, fazendo isso da mesma maneira que no parágrafo 1. Ao mesmo tempo, assumimos que

p p 1 R 2 … rp

E se X assume o valor xi = eu, então neste julgamento ocorreu um evento Eu.

4. Jogando uma variável aleatória contínua.

a) Método das funções inversas.

Seja necessário jogar uma variável aleatória contínua X, ou seja, obter a sequência de seus valores possíveis XI (eu = 1, 2, …, n), conhecendo a função de distribuição F(x).

Teorema 24.2. Se um eué um número aleatório, então o valor possível XI jogou variável aleatória contínua X com uma dada função de distribuição F(x), correspondente eu, é a raiz da equação

F(XI) = eu. (24.1)

Prova.

Porque F(x) aumenta monotonicamente no intervalo de 0 a 1, então há um valor (e único) do argumento XI, em que a função de distribuição assume o valor eu. Portanto, a equação (24.1) tem uma única solução: XI= F -1 (eu), Onde F-1 - função inversa a F. Vamos provar que a raiz da equação (24.1) é um valor possível da variável aleatória considerada X. Suponha primeiro que XIé um valor possível de alguma variável aleatória x, e provamos que a probabilidade de x cair no intervalo ( cd) é igual a F(d) – F(c). De fato, devido à monotonicidade F(x) e essa F(XI) = eu. Então

Portanto, Portanto, a probabilidade de x cair no intervalo ( cd) é igual ao incremento da função de distribuição F(x) nesse intervalo, portanto x = X.

Jogue 3 valores possíveis de uma variável aleatória contínua X, distribuídos uniformemente no intervalo (5; 8).

F(x) = , ou seja, é necessário resolver a equação Vamos escolher 3 números aleatórios: 0,23; 0,09 e 0,56 e substitua-os nesta equação. Obtenha os valores possíveis correspondentes X:

b) Método de superposição.

Se a função de distribuição da variável aleatória que está sendo reproduzida pode ser representada como uma combinação linear de duas funções de distribuição:

então, porque em X®¥ F(x) ® 1.

Introduzimos uma variável aleatória discreta auxiliar Z com lei de distribuição

Z 12 . Vamos escolher 2 números aleatórios independentes r 1 e r 2 e jogue o possível

computador 1 C 2

significado Z por número r 1 (ver parágrafo 1). Se um Z= 1, então estamos procurando o valor possível desejado X da equação, e se Z= 2, então resolvemos a equação .

Pode-se provar que neste caso a função de distribuição da variável aleatória que está sendo jogada é igual à função de distribuição dada.

c) Simulação aproximada de uma variável aleatória normal.

Desde para R, uniformemente distribuído em (0, 1), , então para a soma P independente, uniformemente distribuído no intervalo (0,1) variáveis ​​aleatórias . Então, em virtude do teorema do limite central, a variável aleatória normalizada em P® ¥ terá uma distribuição próxima da normal, com parâmetros uma= 0 e s = 1. Em particular, uma boa aproximação é obtida para P = 12:

Então, para jogar o valor possível da variável aleatória normal normalizada X, você precisa adicionar 12 números aleatórios independentes e subtrair 6 da soma.

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ATIVIDADE 1

Simulação de eventos aleatórios com uma determinada lei de distribuição

Tocando uma variável aleatória discreta

Seja necessário jogar uma variável aleatória discreta, ou seja, obtenha a sequência de seus possíveis valores x i (i = 1,2,3,...n), conhecendo a lei de distribuição X:

Denote por R uma variável aleatória contínua. O valor de R é distribuído uniformemente no intervalo (0,1). Denote por r j (j = 1,2,...) os valores possíveis da variável aleatória R. Vamos dividir o intervalo 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Então obtemos:

Pode-se ver que o comprimento do intervalo parcial com índice i é igual à probabilidade Р com o mesmo índice. Comprimento

Assim, quando um número aleatório ri cai no intervalo, a variável aleatória X assume o valor x i com probabilidade Pi.

Existe o seguinte teorema:

Se a cada número aleatório que caiu no intervalo for atribuído um valor possível x i , então o valor jogado terá uma determinada lei de distribuição

Algoritmo para jogar uma variável aleatória discreta dada pela lei de distribuição

1. É necessário quebrar o intervalo (0,1) do eixo 0r em n intervalos parciais:

2. Selecione (por exemplo, em uma tabela de números aleatórios ou em um computador) um número aleatório r j .

Se r j cair no intervalo, então a variável aleatória discreta que está sendo reproduzida assume o valor possível x i .

Jogando uma variável aleatória contínua

Seja necessário jogar uma variável aleatória contínua X, i.e. obtenha a sequência de seus possíveis valores x i (i = 1,2,...). Neste caso, a função de distribuição F(X) é conhecida.

Existe próximo teorema.

Se ri é um número aleatório, então o valor possível x i da variável aleatória contínua reproduzida X com uma função de distribuição conhecida F(X) correspondente a ri é a raiz da equação

Algoritmo para jogar uma variável aleatória contínua:

1. É necessário escolher um número aleatório r i .

2. Equacione o número aleatório selecionado da função de distribuição conhecida F(X) e obtenha a equação.

3. Resolva esta equação para x i . O valor resultante x i corresponderá simultaneamente a um número aleatório ri. e dada a lei de distribuição F(X).

Exemplo. Jogue 3 valores possíveis de uma variável aleatória contínua X distribuída uniformemente no intervalo (2; 10).

A função de distribuição de X tem a seguinte forma:

Por condição, a = 2, b = 10, portanto,

De acordo com o algoritmo para jogar uma variável aleatória contínua, igualamos F(X) ao número aleatório escolhido r i .. Obtemos disso:

Substitua esses números na equação (5.3). Obtemos os valores possíveis correspondentes de x:

Problemas para modelar eventos aleatórios com uma determinada lei de distribuição

1. É necessário jogar 10 valores de uma variável aleatória discreta, ou seja, obtenha uma sequência de seus possíveis valores x i (i=1,2,3,…n), conhecendo a lei de distribuição Х

Vamos escolher na tabela de números aleatórios um número aleatório r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. A frequência de recebimento de pedidos de serviço está sujeita à lei de distribuição exponencial () , x, o parâmetro l é conhecido (doravante l = 1/t é a intensidade de recebimento de pedidos)

l=0,5 aplicações/hora. Determine a sequência de valores para a duração dos intervalos entre os recebimentos dos aplicativos. O número de realizações é igual a 5. Número r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

ATIVIDADE 2

Sistema de filas

Os sistemas em que, por um lado, há solicitações massivas para a execução de qualquer tipo de serviço e, por outro, essas solicitações são atendidas, são chamados de sistemas de filas. Qualquer QS serve para atender o fluxo de solicitações.

QS incluem: uma fonte de requisitos, um fluxo de entrada, uma fila, um dispositivo de serviço, um fluxo de saída de solicitações.

Os SMOs são divididos em:

QS com perdas (falhas)

CMO com espera (comprimento de fila ilimitado)

QS com comprimento de fila limitado

CMO com tempo de espera limitado.

De acordo com o número de canais ou dispositivos de serviço, os QS são de canal único e multicanal.

De acordo com a localização da fonte de requisitos: aberto e fechado.

Pelo número de elementos de serviço por requisito: monofásico e multifásico.

Uma das formas de classificação é a classificação de D. Kendall - A/B/X/Y/Z

A - determina a distribuição do tempo entre as chegadas;

B - determina a distribuição do tempo de serviço;

X - determina o número de canais de atendimento;

Y - determina o rendimento do sistema (comprimento da fila);

Z - determina a ordem de serviço.

Quando a capacidade do sistema é infinita e a ordem de serviço é por ordem de chegada, as partes Y/Z são omitidas. O primeiro dígito (A) usa os seguintes caracteres:

A distribuição M tem uma lei exponencial,

G - a ausência de quaisquer suposições sobre o processo de atendimento, ou seja identificado com o símbolo GI, significando um processo de atendimento recorrente,

D- determinístico (o tempo de serviço é fixo),

Е n - Erlangiano de n-ésima ordem,

NM n - hiper-Erlangiano de ordem n.

O segundo dígito (B) usa os mesmos caracteres.

O quarto dígito (Y) mostra a capacidade do buffer, ou seja, o número máximo de lugares na fila.

O quinto dígito (Z) indica o método de escolha da fila em um sistema de espera: SP-equiprovável, FF-primeiro a entrar, primeiro a sair, LF-último a entrar, primeiro a sair, prioridade PR.

Para tarefas:

l - o número médio de pedidos que chegam por unidade de tempo

µ é o número médio de solicitações atendidas por unidade de tempo

Fator de carga do canal 1 ou porcentagem de tempo em que um canal está ocupado.

Características principais:

1) P ref - probabilidade de falha - a probabilidade de o sistema recusar o serviço e o requisito ser perdido. Isso acontece quando o canal ou todos os canais estão ocupados (PSTN).

Para um QS multicanal R otk = R n , onde n é o número de canais de serviço.

Para um QS com um comprimento de fila limitado Р otk =Р n + l , onde l é o comprimento de fila permitido.

2) Taxa de transferência relativa q e absoluta A do sistema

q \u003d 1-P otk A \u003d ql

3) O número total de requisitos no sistema

L sys = n - para QS com falhas, n é o número de canais ocupados pelo serviço.

Para QS com espera e comprimento de fila limitado

L sys \u003d n + L legal

onde L exp é o número médio de solicitações aguardando o início do serviço, etc.

As restantes características serão consideradas no decurso da resolução de problemas.

Sistemas de filas de canal único e multicanal. Sistemas de falha.

O modelo de canal único mais simples com um fluxo de entrada probabilístico e um procedimento de atendimento é um modelo caracterizado por uma distribuição exponencial tanto das durações dos intervalos entre as chegadas das reclamações quanto das durações dos atendimentos. Neste caso, a densidade de distribuição das durações dos intervalos entre chegadas de sinistros tem a forma

Densidade de distribuição da duração do serviço:

Os fluxos de solicitações e serviços são os mais simples. Deixe o sistema trabalhar com falhas. Este tipo de QS pode ser utilizado na modelagem de canais de transmissão em redes locais. É necessário determinar a taxa de transferência absoluta e relativa do sistema. Vamos representar esse sistema de filas como um gráfico (Figura 2), que possui dois estados:

S 0 - o canal está livre (em espera);

S 1 - o canal está ocupado (a solicitação está sendo atendida).

Figura 2. Gráfico de estados de um QS de canal único com falhas

Vamos designar as probabilidades dos estados: P 0 (t) - a probabilidade do estado "canal está livre"; P 1 (t) - a probabilidade do estado "canal ocupado". Com base no gráfico de estado rotulado, compomos um sistema de equações diferenciais de Kolmogorov para probabilidades de estado:

O sistema de equações diferenciais lineares tem solução sujeita à condição de normalização P 0 (t) + P 1 (t) = 1 . A solução deste sistema é chamada não estacionária, pois depende diretamente de t e se parece com isso:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

É fácil ver que para um QS de canal único com falhas, a probabilidade P 0 (t) nada mais é do que a capacidade relativa do sistema q. De fato, P 0 é a probabilidade de que no instante t o canal esteja livre e o sinistro que chegou no instante t seja atendido e, portanto, para um dado tempo t, a razão média do número de sinistros atendidos pelo número de atendimentos. reivindicações recebidas também é igual a P 0 (t), ou seja, q = P 0 (t).

Após um longo intervalo de tempo (at), um modo estacionário (estado estacionário) é alcançado:

Conhecendo a taxa de transferência relativa, é fácil encontrar a absoluta. Taxa de transferência absoluta (A) - o número médio de aplicativos que o sistema de filas pode atender por unidade de tempo:

A probabilidade de recusa em atender a solicitação será igual à probabilidade do estado "canal ocupado":

Esse valor P otk pode ser interpretado como a participação média de solicitações não atendidas entre as enviadas.

Na grande maioria dos casos, na prática, os sistemas de filas são multicanais e, portanto, modelos com n canais de atendimento (onde n>1) são de indiscutível interesse. O processo de enfileiramento descrito por este modelo é caracterizado pela intensidade do fluxo de entrada l, enquanto não mais que n clientes (solicitações) podem ser atendidos em paralelo. O tempo médio de atendimento para uma solicitação é de 1/m. Os fluxos de entrada e saída são Poisson. O modo de funcionamento de um ou outro canal de atendimento não afeta o modo de funcionamento dos demais canais de atendimento do sistema, e a duração do procedimento de atendimento para cada um dos canais é uma variável aleatória sujeita a uma lei de distribuição exponencial. O objetivo final de usar n canais de atendimento conectados em paralelo é aumentar (comparado a um sistema de canal único) a velocidade de atendimento de solicitações atendendo n clientes simultaneamente. O gráfico de estado de um sistema de filas multicanal com falhas tem a forma mostrada na Figura 4.

Figura 4. Gráfico de estados de um QS multicanal com falhas

S 0 - todos os canais são gratuitos;

S 1 - um canal está ocupado, os demais estão livres;

S k - exatamente k canais estão ocupados, o restante está livre;

S n - todos os n canais estão ocupados, o restante está livre.

As equações de Kolmogorov para as probabilidades dos estados do sistema P 0 , ... ,P k , ... P n terão a seguinte forma:

As condições iniciais para resolver o sistema são as seguintes:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0 .

A solução estacionária do sistema tem a forma:

As fórmulas para calcular as probabilidades P k (3.5.1) são chamadas de fórmulas Erlang.

Vamos determinar as características probabilísticas do funcionamento de um QS multicanal com falhas em modo estacionário:

1) probabilidade de falha:

uma vez que o pedido é rejeitado se chegar no momento em que todos os n canais estiverem ocupados. O valor de P otk caracteriza a integridade do serviço do fluxo de entrada;

2) a probabilidade de que o pedido seja aceito para serviço (é também a taxa de transferência relativa do sistema q) complementa P otk à unidade:

3) largura de banda absoluta

4) o número médio de canais ocupados pelo serviço () é o seguinte:

O valor caracteriza o grau de carregamento do QS.

Tarefaspara a lição 2

1. O ramo de comunicação, que possui um canal, recebe o fluxo mais simples de mensagens com intensidade de n = 0,08 mensagens por segundo. O tempo de transmissão é distribuído de acordo com a lei exp. O atendimento de uma mensagem ocorre com a intensidade µ=0,1. As mensagens que chegam em momentos em que o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente recebem uma falha de transmissão.

Coef. Carga relativa do canal (probabilidade do canal estar ocupado)

P

Q é a capacidade relativa do ramo internodal

E a largura de banda absoluta do ramo de comunicação.

2. O ramo de comunicação possui um canal e recebe mensagens a cada 10 segundos. O tempo de serviço para uma mensagem é de 5 segundos. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído exponencialmente. As mensagens que chegam em momentos em que o canal está ocupado têm o serviço negado.

Definir

Р zan - a probabilidade de ocupação do canal de comunicação (fator de carga relativa)

Q- largura de banda relativa

A é a largura de banda absoluta do ramo de comunicação

4. O ramo internodal da rede de comunicação secundária tem n = 4 canais. O fluxo de mensagens que chegam para transmissão pelos canais do ramo de comunicação tem uma taxa de = 8 mensagens por segundo. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t = 0,1 segundos.Uma mensagem que chega no momento em que todos os n canais estão ocupados recebe uma falha de transmissão ao longo do ramo de comunicação. Encontre as características do CMO:

ATIVIDADE 3

Sistema de canal único com espera

Considere agora um QS de canal único com expectativa. O sistema de filas tem um canal. O fluxo de entrada de solicitações de serviço é o fluxo mais simples com intensidade. A intensidade do fluxo de serviço é igual (ou seja, em média, um canal continuamente ocupado emitirá solicitações atendidas). A duração do serviço é uma variável aleatória sujeita a uma lei de distribuição exponencial. O fluxo de serviço é o fluxo de eventos de Poisson mais simples. Uma solicitação que chega em um momento em que o canal está ocupado é enfileirada e aguarda atendimento. Este QS é o mais comum em modelagem. Com um ou outro grau de aproximação, ele pode ser usado para simular praticamente qualquer nó de uma rede local (LAN).

Suponha que não importa quantas solicitações entrem na entrada do sistema de atendimento, este sistema (fila + clientes atendidos) não pode atender mais do que N-requisitos (pedidos), ou seja, clientes que não se enquadram no período de espera são obrigados a serem atendidos em outro local. Sistema M/M/1/N. Por fim, a fonte que gera as solicitações de serviço tem capacidade ilimitada (infinitamente grande). O gráfico de estado QS neste caso tem a forma mostrada na Figura 3

Figura 3. Gráfico de estados de um QS de canal único com espera (esquema de morte e reprodução)

Os estados QS têm a seguinte interpretação:

S 0 - "canal está livre";

S 1 - "canal está ocupado" (não há fila);

S 2 - "canal está ocupado" (um aplicativo está na fila);

S n - "o canal está ocupado" (n -1 aplicativos estão na fila);

S N - "o canal está ocupado" (N - 1 aplicativos estão na fila).

O processo estacionário neste sistema será descrito pelo seguinte sistema de equações algébricas:

onde p = fator de carga

n - número do estado.

A solução do sistema de equações acima para o nosso modelo QS tem a forma:

O valor inicial da probabilidade para um QS com um comprimento de fila limitado

Para um QS com uma fila infinita H =? :

P 0 \u003d 1- s (3.4.7)

Note-se que não é necessário o cumprimento da condição de estacionaridade para este QS, uma vez que o número de pedidos admitidos ao sistema de atendimento é controlado através da introdução de uma restrição ao comprimento da fila, que não pode exceder (N - 1), e não pela razão entre as intensidades do fluxo de entrada, ou seja, não a razão c=l/m.

Ao contrário do sistema de canal único, que foi considerado acima e com fila ilimitada, neste caso, a distribuição estacionária do número de solicitações existe para quaisquer valores finitos do fator de carga c.

Vamos determinar as características de um QS de canal único com espera e um comprimento de fila limitado igual a (N - 1) (M/M/1/N), bem como para um QS de canal único com um buffer de capacidade ilimitada ( M/M/1/?). Para um QS com fila infinita, a condição com<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) a probabilidade de recusa em atender o pedido:

Uma das características mais importantes dos sistemas em que as solicitações podem ser perdidas é a probabilidade P de perda de uma solicitação arbitrária ser perdida. Nesse caso, a probabilidade de perder um pedido arbitrário coincide com a probabilidade de que em um momento arbitrário todos os lugares de espera estejam ocupados, ou seja, a fórmula P de k \u003d PH é válida

2) rendimento relativo do sistema:

Para CMO com ilimitadoª fila q=1, Porque todos os pedidos serão atendidos

3) largura de banda absoluta:

4) o número médio de aplicações no sistema:

L S com fila ilimitada

5) tempo médio de permanência de uma aplicação no sistema:

Para fila ilimitada

6) a duração média de permanência do cliente (aplicativo) na fila:

Com fila ilimitada

7) o número médio de aplicativos (clientes) na fila (comprimento da fila):

com fila ilimitada

Comparando as expressões para o tempo médio de espera na fila T pt e a fórmula para o comprimento médio da fila L pt, bem como o tempo médio de permanência das requisições no sistema T S e ​​o número médio de requisições no sistema L S , vemos este

L och \u003d l * T och L s \u003d l * T s

Observe que essas fórmulas também são válidas para muitos sistemas de filas mais gerais do que o sistema M/M/1 em consideração e são chamadas de fórmulas de Little. O significado prático dessas fórmulas reside no fato de que eliminam a necessidade de calcular diretamente os valores de T och e Ts com um valor conhecido dos valores de L och e Ls e vice-versa.

Tarefas para canal único CMOcom expectativa, Comantecipação ecomprimento limitado da fila

1. Dado um QS de linha única com um acumulador de filas ilimitado. As aplicações chegam a cada t = 14 segundos. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t=10 segundos. As mensagens que chegam quando o canal de atendimento está ocupado são recebidas na fila sem sair dela até o início do serviço.

Determine os seguintes indicadores de desempenho:

2. A ramificação de comunicação internodal, que possui um canal e uma unidade de fila para m=3 mensagens em espera (N-1=m), recebe o fluxo de mensagens mais simples com a taxa de n=5 mensagens. em seg.. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído de acordo com a lei exponencial. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é de 0,1 segundos. As mensagens que chegam quando o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente e não há espaço livre no drive são rejeitadas.

Р otk - a probabilidade de falha ao receber uma mensagem

L syst - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramo de comunicação

T och - o tempo médio que a mensagem permanece na fila antes do início da transmissão

T syst - o tempo total médio gasto por uma mensagem no sistema, a soma do tempo médio de espera na fila e o tempo médio de transmissão

Q- largura de banda relativa

A é o rendimento absoluto

3. A ramificação internodal da rede de comunicação secundária, que possui um canal e um armazenamento de filas para m = 4 (N-1=4) mensagens em espera, recebe o fluxo de mensagens mais simples com uma taxa de = 8 mensagens por segundo. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído exponencialmente. O tempo médio de transmissão para uma mensagem é t = 0,1 segundo. As mensagens que chegam quando o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente e não há espaço livre na unidade são negadas na fila.

P otk - a probabilidade de falha no recebimento de uma mensagem para transmissão pelo canal de comunicação do ramo internodal;

L och - o número médio de mensagens na fila para o ramo de comunicação da rede secundária da fila;

L syst - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas através do ramo de comunicação da rede secundária;

T och - o tempo médio que a mensagem permanece na fila antes do início da transmissão;

Р zan - a probabilidade de ocupação do canal de comunicação (coeficiente de carga relativa do canal);

Q é a capacidade relativa do ramo internodal;

A é a capacidade absoluta do ramo internodal;

4. A ramificação internodal de comunicação, que possui um canal e uma unidade de fila para m=2 mensagens em espera, recebe o fluxo de mensagens mais simples com uma intensidade de n=4 mensagens. em seg.. O tempo de transmissão da mensagem é distribuído de acordo com a lei exponencial. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é de 0,1 segundos. As mensagens que chegam quando o canal de serviço está ocupado transmitindo uma mensagem recebida anteriormente e não há espaço livre no drive são rejeitadas.

Determine os seguintes indicadores de desempenho do ramo de comunicação:

Р otk - a probabilidade de falha ao receber uma mensagem

L och - o número médio de mensagens na fila para o ramo de comunicação

L syst - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramo de comunicação

T och - o tempo médio que a mensagem permanece na fila antes do início da transmissão

T syst - o tempo total médio gasto por uma mensagem no sistema, a soma do tempo médio de espera na fila e o tempo médio de transmissão

Р zan - a probabilidade de ocupação do canal de comunicação (coeficiente de carga relativa do canal c)

Q- largura de banda relativa

A é o rendimento absoluto

5. O ramo internodal da rede de comunicação secundária, que possui um canal e uma fila de armazenamento ilimitada de mensagens em espera, recebe o fluxo mais simples de mensagens com intensidade de n = 0,06 mensagens por segundo. Tempo médio de transmissão de uma mensagem t = 10 segundos. As mensagens que chegam em momentos em que o canal de comunicação está ocupado são recebidas na fila e não saem até o início do serviço.

Determine os seguintes indicadores de desempenho do ramo de comunicação da rede secundária:

L och - o número médio de mensagens na fila para o ramo de comunicação;

L syst - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramo de comunicação;

T och - o tempo médio gasto por uma mensagem na fila;

T syst é o tempo médio total gasto por uma mensagem no sistema, que é a soma do tempo médio de espera na fila e o tempo médio de transmissão;

Р zan - a probabilidade de ocupação do canal de comunicação (o coeficiente da carga relativa do canal);

Q é a capacidade relativa do ramo internodal;

A - rendimento absoluto do ramo internodal

6. Dado um QS de uma linha com um acumulador de filas ilimitado. As aplicações chegam a cada t = 13 segundos. Tempo médio de transmissão por mensagem

t=10 segundos. As mensagens que chegam quando o canal de atendimento está ocupado são recebidas na fila sem sair dela até o início do serviço.

Determine os seguintes indicadores de desempenho:

L och - o número médio de mensagens na fila

L syst - o número total médio de mensagens na fila e transmitidas ao longo do ramo de comunicação

T och - o tempo médio que a mensagem permanece na fila antes do início da transmissão

T syst - o tempo total médio gasto por uma mensagem no sistema, a soma do tempo médio de espera na fila e o tempo médio de transmissão

Р zan - probabilidade de ocupação (coeficiente de carga relativa do canal c)

Q- largura de banda relativa

A é o rendimento absoluto

7. Um posto de diagnóstico especializado é um QS de canal único. O número de estacionamentos para carros aguardando diagnóstico é limitado e igual a 3 [(N - 1) = 3]. Se todos os estacionamentos estiverem ocupados, ou seja, já houver três carros na fila, o próximo carro que chegar para diagnóstico não entrará na fila de atendimento. O fluxo de carros que chegam para diagnóstico é distribuído de acordo com a lei de Poisson e tem intensidade = 0,85 (carros por hora). O tempo de diagnóstico do carro é distribuído de acordo com a lei exponencial e equivale a 1,05 horas em média.

É necessário determinar as características probabilísticas do posto de diagnóstico operando em modo estacionário: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P aberto, q, A, L och, L sys, Toch, T si

ATIVIDADE 4

QS multicanal com espera, com espera e comprimento de fila limitado

Considere um sistema de filas multicanal com espera. Este tipo de QS é frequentemente usado ao modelar grupos de terminais de assinante LAN operando em modo on-line. O processo de enfileiramento é caracterizado pelo seguinte: os fluxos de entrada e saída são Poisson com intensidades e respectivamente; não mais do que n clientes podem ser atendidos em paralelo. O sistema possui n canais de atendimento. O tempo médio de atendimento por cliente é de 1/m para cada canal. Este sistema também se refere ao processo de morte e reprodução.

c=l/nm - a razão entre a intensidade do fluxo de entrada e a intensidade total de serviço, é o fator de carga do sistema

(Com<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

onde Р 0 é a probabilidade de um estado livre de todos os canais com fila ilimitada, k é o número de aplicações.

se aceitarmos c=l/m, então P 0 pode ser determinado para uma fila ilimitada:

Para fila limitada:

onde m é o comprimento da fila

Com fila ilimitada:

Taxa de transferência relativa q=1,

Largura de banda absoluta A \u003d l,

Número médio de canais ocupados Z=A/m

Com fila limitada

1 O ramo internodal da rede de comunicação secundária tem n = 4 canais. O fluxo de mensagens que chegam para transmissão pelos canais do ramo de comunicação tem uma taxa de = 8 mensagens por segundo. O tempo médio t = 0,1 para a transmissão de uma mensagem por cada canal de comunicação é t/n = 0,025 segundos. O tempo de espera das mensagens na fila é ilimitado. Encontre as características do CMO:

R otk - a probabilidade de falha na transmissão de mensagens;

Q é a taxa de transferência relativa do ramo de comunicação;

A é a largura de banda absoluta do ramo de comunicação;

Z é o número médio de canais ocupados;

L och - o número médio de mensagens na fila;

T exp - tempo médio de espera;

T syst - o tempo total médio gasto por mensagens na fila e transmissão ao longo do ramo de comunicação.

2. A oficina mecânica da usina com três postes (canais) realiza reparos de mecanização em pequena escala. O fluxo de mecanismos defeituosos que chegam à oficina é Poisson e tem uma intensidade de = 2,5 mecanismos por dia, o tempo médio de reparo de um mecanismo é distribuído de acordo com a lei exponencial e é igual a = 0,5 dias. Suponha que não haja outra oficina na fábrica e, portanto, a fila de mecanismos em frente à oficina possa crescer quase indefinidamente. É necessário calcular os seguintes valores limite das características probabilísticas do sistema:

Probabilidades de estados do sistema;

O número médio de aplicativos na fila de serviço;

O número médio de aplicativos no sistema;

A duração média do aplicativo na fila;

A duração média da permanência de um aplicativo no sistema.

3. O ramo internodal da rede de comunicação secundária possui n=3 canais. O fluxo de mensagens que chegam para transmissão pelos canais do ramo de comunicação tem uma intensidade de n=5 mensagens por segundo. O tempo médio de transmissão de uma mensagem é t=0,1 , t/n=0,033 seg. Até m= 2 mensagens podem ser armazenadas na unidade de fila de mensagens pendentes. Uma mensagem que chega no momento em que todos os lugares da fila estão ocupados recebe uma rejeição de transmissão no ramo de comunicação. Encontre as características do QS: P ref - probabilidade de falha na transmissão de mensagens, Q - throughput relativo, A - throughput absoluto, Z - número médio de canais ocupados, L och - número médio de mensagens na fila, T exp - espera média tempo, sistema T - o tempo total médio gasto por uma mensagem na fila e sua transmissão ao longo do ramo de comunicação.

ATIVIDADE 5

QS Fechado

Vamos considerar o modelo de atendimento ao parque de máquinas, que é um modelo de sistema de filas fechado. Até agora, consideramos apenas os sistemas de filas para os quais a intensidade do fluxo de entrada de solicitações não depende do estado do sistema. Neste caso, a origem das reclamações é externa ao QS e gera um fluxo ilimitado de reclamações. Considere sistemas de enfileiramento para os quais depende do estado do sistema, onde a origem dos requisitos é interna e gera um fluxo limitado de solicitações. Por exemplo, um parque de máquinas composto por N máquinas é atendido por uma equipe de R mecânicos (N > R), e cada máquina pode ser atendida por apenas um mecânico. Aqui as máquinas são fontes de requisitos (pedidos de serviço) e os mecânicos são canais de serviço. Uma máquina com falha após o serviço é usada para o propósito pretendido e se torna uma fonte potencial de requisitos de serviço. Obviamente, a intensidade depende de quantos carros estão atualmente em operação (N - k) e quantos carros estão sendo atendidos ou na fila aguardando atendimento (k). No modelo considerado, a capacidade da fonte de requisitos deve ser considerada limitada. O fluxo de entrada de requisitos vem de um número limitado de máquinas em operação (N - k), que em momentos aleatórios falham e requerem manutenção. Além disso, cada máquina de (N - k) está em operação. Gera um fluxo de demanda Poisson com intensidade X independente de outros objetos, o fluxo total de entrada tem intensidade. Uma solicitação que entra no sistema no momento em que pelo menos um canal está livre é enviada imediatamente para atendimento. Se um requisito encontrar todos os canais ocupados atendendo a outros requisitos, ele não sairá do sistema, mas entrará na fila e aguardará até que um dos canais fique livre. Assim, em um sistema de filas fechado, o fluxo de entrada de requisitos é formado a partir do fluxo de saída. O estado S k do sistema é caracterizado pelo número total de requisições sendo atendidas e na fila, igual a k. Para o sistema fechado em consideração, obviamente, k = 0, 1, 2, ... , N. Além disso, se o sistema está no estado S k , então o número de objetos em operação é (N - k). Se - a intensidade do fluxo de requisitos por máquina, então:

O sistema de equações algébricas que descrevem o funcionamento de um QS fechado em modo estacionário é o seguinte:

Resolvendo este sistema, encontramos a probabilidade do k-ésimo estado:

O valor de P 0 é determinado a partir da condição de normalização dos resultados obtidos pelas fórmulas para P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Vamos definir as seguintes características probabilísticas do sistema:

Número médio de solicitações na fila de serviço:

Número médio de solicitações no sistema (em serviço e em fila)

número médio de mecânicos (canais) "ociosos" por falta de trabalho

A taxa de tempo de inatividade do objeto atendido (máquina) na fila

Taxa de utilização de objetos (máquinas)

Relação de tempo de inatividade dos canais de atendimento (mecânica)

Tempo médio de espera para atendimento (tempo de espera para atendimento na fila)

Problema de QS fechado

1. Deixe que dois engenheiros com a mesma produtividade sejam alocados para atender dez computadores pessoais (PCs). O fluxo de falhas (mau funcionamento) de um computador é Poisson com intensidade = 0,2. O tempo de serviço de um PC obedece a uma lei exponencial. O tempo médio de manutenção de um PC por um engenheiro é: = 1,25 horas. As seguintes opções de organização de serviços estão disponíveis:

Ambos os engenheiros atendem a todos os dez computadores, portanto, se o PC falhar, um dos engenheiros livres o atende, neste caso R = 2, N = 10;

Cada um dos dois engenheiros mantém cinco PCs atribuídos a ele. Neste caso, R = 1, N = 5.

É necessário escolher a melhor opção para organizar a manutenção do PC.

É necessário definir todas as probabilidades dos estados P k: P 1 - P 10, dado que e usando os resultados do cálculo de P k, calculamos P 0

ATIVIDADE 6

Cálculo de tráfego.

A teoria do teletráfego é uma seção da teoria das filas. As bases da teoria do teletráfego foram lançadas pelo cientista dinamarquês A.K. Erlang. Suas obras foram publicadas em 1909-1928. Vamos dar definições importantes usadas na teoria do teletráfego (TT). O termo "tráfego" (inglês, tráfego) corresponde ao termo "carga de telefone". Implica a carga criada pelo fluxo de chamadas, solicitações, mensagens que chegam às entradas do QS. O volume de tráfego é chamado de valor do intervalo de tempo total integral perdido por um ou outro recurso, durante o qual esse recurso foi ocupado pelo período de tempo analisado. Uma unidade de trabalho pode ser considerada como uma segunda ocupação de um recurso. Às vezes você pode ler sobre horas, e às vezes apenas segundos ou horas. No entanto, as recomendações da ITU dão a dimensão do volume de tráfego em erlango horas. Para entender o significado de tal unidade de medida, mais um parâmetro de tráfego deve ser considerado - intensidade de tráfego. Nesse caso, eles geralmente falam sobre a intensidade média de tráfego (carga) em um determinado conjunto (conjunto) de recursos. Se a cada instante t de um dado intervalo (t 1 ,t 2) o número de recursos ocupados para atender o tráfego desse conjunto for igual a A(t), então a intensidade média do tráfego será

O valor da intensidade de tráfego é caracterizado como o número médio de recursos ocupados pelo tráfego em um determinado intervalo de tempo. A unidade de medida da intensidade da carga é um Erlang (1 Erl, 1 E), ou seja, 1 erlang é a quantidade de tráfego que requer o pleno emprego de um recurso, ou seja, em que o trabalho de um segundo é realizado pelo recurso - ocupação pelo tempo de um segundo. Na literatura americana, às vezes você pode encontrar outra unidade de medida chamada CCS- Centrum (ou cem) Calls Second (ocupações de hectosegundos). O número CCS reflete o tempo que os servidores estão ocupados em intervalos de 100 segundos em 1 hora. A intensidade medida em CCS pode ser convertida em Erlangs usando a fórmula 36CCS=1 Erl.

O tráfego gerado por uma fonte e expresso em horas-sessões é igual ao produto do número de tentativas de chamada c para um determinado intervalo de tempo T e a duração média de uma tentativa t: y = c t (h-h). O tráfego pode ser calculado de três maneiras diferentes:

1) seja o número de chamadas c por hora de 1800 e a duração média da aula t = 3 minutos, então Y = 1800 chamadas. /h 0,05 h = 90 Erl;

2) sejam fixas as durações t i de todas as n ocupações das saídas de um determinado pacote durante o tempo T, então o tráfego é determinado da seguinte forma:

3) deixe que durante o tempo T, a observação seja realizada em intervalos regulares sobre o número de saídas ocupadas simultaneamente de um determinado feixe, de acordo com os resultados das observações, uma função degrau do tempo x(t) é construída (Figura 8).

Figura 8. Contagens de saídas de feixe ocupadas simultaneamente

O tráfego durante o tempo T pode ser estimado como o valor médio de x(t) ao longo deste tempo:

onde n é o número de amostras de saídas ocupadas simultaneamente. O valor de Y é o número médio de saídas de feixe simultaneamente ocupadas durante o tempo T.

Flutuações de tráfego. O tráfego das redes telefônicas secundárias flutua significativamente ao longo do tempo. Durante a jornada de trabalho, a curva de tráfego apresenta dois ou até três picos (Figura 9).

Figura 9. Flutuações no trânsito durante o dia

A hora do dia em que o tráfego, observado por um longo tempo, tem o maior valor, é chamada de hora mais movimentada (HHH). O conhecimento do tráfego na CNN é de fundamental importância, pois determina o número de canais (linhas), a quantidade de equipamentos de estações e nós. O tráfego do mesmo dia da semana tem flutuações sazonais. Se o dia da semana for um dia pré-feriado, então o VPL deste dia é maior do que o dia seguinte ao feriado. Se o número de serviços suportados pela rede aumentar, o tráfego também aumentará. Portanto, é problemático prever com certeza suficiente a ocorrência de picos de tráfego. O tráfego é monitorado de perto pela administração da rede e pelas organizações de design. As regras de medição de tráfego são desenvolvidas pela ITU-T e são usadas pelas administrações de rede nacionais para atender aos requisitos de qualidade de serviço tanto para assinantes de sua própria rede quanto para assinantes de outras redes conectadas a ela. A teoria do teletráfego pode ser utilizada para cálculos práticos de perdas ou volume de equipamentos de uma estação (nó) somente se o tráfego for estacionário (estatisticamente estável). Esta condição é aproximadamente satisfeita pelo tráfego na CNN. A quantidade de carga recebida por dia no PABX afeta a prevenção e reparo dos equipamentos. A irregularidade da carga na estação durante o dia é determinada pelo coeficiente de concentração

Uma definição mais rigorosa de NNN é a seguinte. A recomendação ITU E.500 prescreve analisar dados de intensidade por 12 meses, selecionar os 30 dias mais movimentados deles, encontrar as horas mais movimentadas nesses dias e calcular a média dos resultados da medição de intensidade nesses intervalos. Este cálculo da intensidade de tráfego (carga) é chamado de estimativa normal da intensidade de tráfego na hora de maior movimento ou nível A. Uma estimativa mais rigorosa pode ser calculada sobre os 5 dias mais movimentados do período de 30 dias selecionado. Tal avaliação é chamada de aumento ou avaliação do nível de B.

O processo de criação de tráfego. Como todos os usuários da rede telefônica sabem, nem todas as tentativas de estabelecer uma conexão com o assinante chamado terminam com sucesso. Às vezes, você precisa fazer várias tentativas malsucedidas antes que a conexão desejada seja estabelecida.

Figura 10. Diagrama de eventos quando uma conexão é estabelecida entre assinantes

Considere possíveis eventos ao simular o estabelecimento de uma conexão entre os assinantes A e B (Figura 10). Os dados estatísticos sobre chamadas em redes telefônicas são os seguintes: a parcela de chamadas concluídas é de 70 a 50%, a parcela de chamadas com falha é de 30 a 50%. Qualquer tentativa do assinante ocupa a entrada do QS. Com tentativas bem-sucedidas (quando a conversa ocorreu), o tempo de ocupação dos dispositivos de comutação que estabelecem conexões entre entradas e saídas é maior do que com tentativas malsucedidas. O assinante pode interromper as tentativas de conexão a qualquer momento. As tentativas podem ser causadas pelos seguintes motivos:

Número discado incorretamente;

Assunção de um erro na rede;

O grau de urgência da conversa;

Tentativas anteriores sem sucesso;

Conhecer os hábitos do assinante B;

Dúvida sobre a discagem correta.

Uma nova tentativa pode ser tentada dependendo das seguintes circunstâncias:

Graus de urgência;

Estimativas dos motivos da falha;

Estimativas da conveniência de repetir tentativas,

Estimativas do intervalo aceitável entre tentativas.

A recusa em tentar novamente pode estar associada a um baixo grau de urgência. Existem vários tipos de tráfego gerado pelas chamadas: entrada (oferecida) Y p e perdida Y p. Tráfego Y p inclui todas as tentativas bem-sucedidas e malsucedidas, o tráfego Y p, que faz parte de Y p, inclui tentativas bem-sucedidas e parte de tentativas malsucedidas:

Y pr \u003d Y p + Y np,

onde Y p - tráfego conversacional (útil) e Y np - tráfego criado por tentativas malsucedidas. Igualdade Y p = Y p só é possível no caso ideal, se não houver perdas, erros dos chamadores e nenhuma resposta dos assinantes chamados.

A diferença entre as cargas recebidas e perdidas por um determinado período de tempo será a carga perdida.

Previsão de tráfego. Recursos limitados levam à necessidade de uma expansão faseada da estação e da rede. A administração da rede faz uma previsão de aumento de tráfego durante a fase de desenvolvimento, considerando que:

A receita é determinada pela parte do tráfego passado Y p, - os custos são determinados pela qualidade de serviço no tráfego mais alto;

Uma grande proporção de perdas (baixa qualidade) ocorre em casos raros e é típico para o final do período de desenvolvimento;

O maior volume de tráfego perdido cai em períodos em que praticamente não há perdas - se as perdas forem inferiores a 10%, os assinantes não responderão a elas. Ao planejar o desenvolvimento de estações e uma rede, o projetista deve responder à pergunta, quais são os requisitos para a qualidade da prestação do serviço (para perdas). Para isso, é necessário mensurar as perdas de tráfego de acordo com as regras adotadas no país.

Um exemplo de medição de tráfego.

Primeiro, considere como você pode exibir a operação de um QS que possui vários recursos que atendem a algum tráfego ao mesmo tempo. Falaremos mais sobre recursos como servidores que atendem ao fluxo de aplicativos ou requisitos. Uma das formas mais visuais e frequentemente usadas de representar o processo de atendimento de solicitações por um pool de servidores é o gráfico de Gantt. Este diagrama é um sistema de coordenadas retangulares, cuja abscissa representa o tempo e a ordenada representa pontos discretos correspondentes aos servidores do pool. A Figura 11 mostra um gráfico de Gantt para um sistema com três servidores.

Nos três primeiros intervalos de tempo (consideramos um segundo), o primeiro e o terceiro servidores estão ocupados, os próximos dois segundos - apenas o terceiro, depois o segundo funciona por um segundo, depois o segundo e o primeiro por dois segundos e os últimos dois segundos - apenas o primeiro.

O diagrama construído permite calcular o volume de tráfego e sua intensidade. O diagrama mostra apenas o tráfego atendido ou perdido, pois não informa se as solicitações entraram no sistema que não puderam ser atendidas pelos servidores.

O volume do tráfego passado é calculado como o comprimento total de todos os segmentos do gráfico de Gantt. Volume em 10 segundos:

Associe a cada intervalo de tempo plotado ao longo da abscissa, um número inteiro igual ao número de servidores ocupados nesse único intervalo. Este valor A(t) é a intensidade instantânea. Para o nosso exemplo

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Vamos agora encontrar a intensidade média de tráfego em um período de 10 segundos

Assim, a intensidade média do tráfego passado pelo sistema considerado de três servidores é igual a 1,5 Erl.

Parâmetros de carga principais

A comunicação telefónica é utilizada por várias categorias de assinantes, que se caracterizam por:

o número de fontes de carga - N,

o número médio de chamadas de uma fonte em um determinado tempo (HNN geralmente) - s,

a duração média de uma ocupação do sistema de comutação ao atender uma chamada é t.

A intensidade da carga será

Vamos definir diferentes origens de chamadas. Por exemplo,

Número médio de chamadas por telefone do escritório por telefone do escritório;

O número médio de chamadas de um dispositivo individual de apartamento; enfileiramento de eventos aleatórios teletráfego

com uma contagem - a mesma do aparelho para uso coletivo;

com ma - o mesmo de uma máquina de moedas;

com sl - o mesmo de uma linha de conexão.

Então o número médio de chamadas de uma fonte é:

Existem dados aproximados para o número médio de chamadas de uma fonte da categoria correspondente:

3,5 - 5, \u003d 0,5 - 1, com contagem \u003d 1,5 - 2, com ma \u003d 15 - 30, com sl \u003d 10 - 30.

Existem os seguintes tipos de conexões, que, dependendo do resultado da conexão, criam uma carga telefônica diferente na estação:

k p - coeficiente que mostra a proporção de conexões que terminaram em uma conversa;

k c - conexões que não terminaram com uma conversa devido à ocupação do assinante chamado;

k mas - coeficiente que expressa a proporção de ligações que não terminaram com uma conversa devido à não resposta do assinante chamado;

k osh - conexões que não terminaram com uma conversa devido a erros do chamador;

k dessas - chamadas que não terminaram com uma conversa por motivos técnicos.

Durante a operação normal da rede, os valores desses coeficientes são iguais a:

kp=0,60-0,75; kc=0,12-0,15; k mas =0,08-0,12; k osh = 0,02-0,05; k aqueles = 0,005-0,01.

A duração média de uma aula depende dos tipos de conexões. Por exemplo, se a conexão terminou com uma conversa, a duração média da ocupação do estado dos dispositivos t será igual a

onde é a duração do estabelecimento da conexão;

t cond. - a conversa que ocorreu;

t in - a duração do envio de uma chamada para o telefone do assinante chamado;

t p - duração da conversa

onde t - sinal de resposta da co-estação;

1,5n - tempo de discagem do assinante chamado (n - número de caracteres no número);

t s - o tempo necessário para estabelecer uma conexão por mecanismos de comutação e desconectar a conexão após o término da conversa. Valores aproximados das quantidades consideradas:

t co \u003d 3 seg., t c \u003d 1-2,5 seg., t em \u003d 8-10 seg., t p \u003d 90-130 seg.

As chamadas que não terminam com uma conversa também criam uma carga telefônica.

O tempo médio de ocupação dos dispositivos quando o assinante chamado está ocupado é igual a

onde t é definido. determinado por (4.2.3)

t buzzer - tempo de escuta do buzzer de ocupado, t buzzer =6seg.

A duração média da ocupação dos dispositivos quando o assinante chamado não atende é igual a

onde t pv é o tempo de escuta do sinal de controle de retorno de chamada, t pv = 20 seg.

Se não houve conversa devido a erros do assinante, então, em média, t osh = 30 seg.

A duração das sessões que não terminaram com uma conversa por motivos técnicos não está definida, pois a porcentagem dessas sessões é pequena.

De todos os itens acima, segue-se que a carga total criada por um grupo de fontes para NTT é igual à soma das cargas dos tipos individuais de ocupações.

onde é um coeficiente que leva em conta os termos como ações

Numa rede telefónica com numeração de sete dígitos, foi concebida uma central telefónica automática, cuja composição estrutural de assinantes é a seguinte:

N chr \u003d 4000, N ind \u003d 1000, N contagem \u003d 2000, N ma \u003d 400, N sl \u003d 400.

O número médio de chamadas provenientes de uma fonte em um horário de pico é

Pelas fórmulas (4.2.3) e (4.2.6) encontramos a carga

1,10,62826767 seg. = 785,2 hz.

Duração média da aula t da fórmula Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 seg.

Carregar tarefa

1. Em uma rede telefônica com numeração de sete dígitos, foi projetada uma central telefônica automática, cuja composição estrutural de assinantes é a seguinte:

N uchr \u003d 5000, N ind \u003d 1500, N contagem \u003d 3000, N ma \u003d 500, N sl \u003d 500.

Determine a carga que chega à estação - Y, a duração média da ocupação t, se for conhecido que

com chr \u003d 4, com ind \u003d 1, com contagem \u003d 2, com ma \u003d 10, com sl \u003d 12, t p \u003d 120 seg., t em \u003d 10 seg., k p \u003d 0,6, t com \u003d 1 seg., \u003d 1.1.

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