O princípio da menor ação. Como começar a seguir a lei do menor esforço: três etapas a serem seguidas

Aikido é a personificação do princípio da menor ação. Nossa psicologia e tecnologia são em grande parte impulsionadas por um conceito muito próximo da ideia de menor ação. Estamos constantemente tentando tornar a vida mais fácil para nós mesmos. Os computadores de hoje não são rápidos o suficiente; Eles tem que

Quando eu estava na escola, nosso professor de física, chamado Bader, certa vez me chamou em sua casa após uma aula e disse: “Você parece terrivelmente cansado de tudo; ouvir algo interessante." E ele me disse algo que achei realmente fascinante. Mesmo agora, embora muito tempo tenha passado desde então, continua a me fascinar. E toda vez que me lembro do que foi dito, volto ao trabalho. E desta vez, preparando-me para a palestra, me vi novamente analisando as mesmas coisas. E, em vez de me preparar para a palestra, assumi uma nova tarefa. O assunto de que estou falando é princípio da menor ação.


- Foi o que meu professor Bader me disse então: “Vamos, por exemplo, você ter uma partícula no campo gravitacional; esta partícula, saindo de algum lugar, move-se livremente de algum lugar para outro ponto. Você a jogou, digamos, para cima, e ela decolou e depois caiu.

Do ponto de partida ao ponto final, demorou algum tempo. Tente algum outro movimento agora. Suponha que para se mover “daqui para cá”, ela não se moveu como antes, mas assim:

Mas ainda assim acabei no lugar certo no mesmo momento de antes.

“E assim”, continuou o professor, “se você calcular a energia cinética em cada momento ao longo do caminho da partícula, subtrair dela a energia potencial e integrar a diferença ao longo de todo o tempo em que o movimento ocorreu, você veja que o número que você obtém será mais, do que no movimento real da partícula.

Em outras palavras, as leis de Newton podem ser formuladas não como F = ma, mas como segue: a energia cinética média menos a energia potencial média atinge seu valor mais baixo na trajetória ao longo da qual o objeto realmente se move de um lugar para outro.

Vou tentar te explicar um pouco mais claramente.
Se tomarmos o campo gravitacional e designarmos a trajetória da partícula x(t), Onde xé a altura acima do solo (vamos administrar com uma medida por enquanto; deixe a trajetória correr apenas para cima e para baixo, e não para os lados), então a energia cinética será y 2 m(dx/ dt) 2 , um energia potencial em um momento arbitrário de tempo será igual a mgx.


Agora, para algum momento do movimento ao longo da trajetória, pego a diferença entre as energias cinética e potencial e integro ao longo do tempo do começo ao fim. Deixe no tempo inicial t x o movimento começou em uma certa altura e terminou em um momento t 2 em uma altura diferente.

Então a integral é ∫ t2 t1 dt

O movimento verdadeiro é feito ao longo de alguma curva (em função do tempo é uma parábola) e leva a algum valor definido da integral. Mas você pode antescolocar algum outro movimento: primeiro um aumento acentuado e depois algumas flutuações bizarras.

Você pode calcular a diferença entre as energias potencial e cinética ao longo deste caminho... ou qualquer outro. E o mais impressionante é que o caminho real é aquele ao longo do qual essa integral é menor.
Vamos dar uma olhada. Para começar, vamos analisar o seguinte caso: uma partícula livre não tem nenhuma energia potencial. Então a regra diz que ao passar de um ponto a outro em um determinado tempo, a integral da energia cinética deve ser a menor. E isso significa que a partícula deve se mover uniformemente. (E com razão, você e eu sabemos que a velocidade em tal movimento é constante.) E por que uniformemente? Vamos descobrir. Se fosse de outra forma, às vezes a velocidade da partícula excederia a média e às vezes ficaria abaixo dela, e a velocidade média seria a mesma, porque a partícula teria que ir "daqui para aqui" em o tempo acordado. Por exemplo, se você precisa ir de casa para a escola em seu carro em um determinado período de tempo, pode fazê-lo de maneiras diferentes: primeiro você pode dirigir como um louco e, no final, diminuir a velocidade ou dirigir na mesma velocidade, ou você pode até voltar, e só então virar para a escola, etc. Em todos os casos, a velocidade média, claro, deve ser a mesma - o quociente da distância de casa até a escola dividido pelo tempo. Mas mesmo nessa velocidade média, às vezes você se movia muito rápido e às vezes muito devagar. Uma média quadrado sabe-se que algo que se desvia da média é sempre maior que o quadrado da média; isso significa que a integral da energia cinética durante as flutuações na velocidade do movimento sempre será maior do que quando se move a uma velocidade constante. Você vê que a integral atingirá um mínimo quando a velocidade for constante (na ausência de forças). Esta é a maneira correta.

Um objeto lançado no campo de gravidade sobe rapidamente no início e depois cada vez mais lentamente. Isso acontece porque ele também tem energia potencial, e o menor valor deve atingir uma vezness entre as energias cinética e potencial. Como a energia potencial aumenta à medida que sobe, então quanto menor diferença acontecerá se você atingir essas alturas onde a energia potencial é alta o mais rápido possível. Então, subtraindo esse alto potencial da energia cinética, conseguimos uma diminuição na média. Portanto, é mais lucrativo subir e fornecer uma boa peça negativa às custas da energia potencial.

Isso é tudo que meu professor me disse porque ele era um professor muito bom e sabia quando parar. Infelizmente, eu não sou assim. É difícil para mim parar no tempo. E assim, em vez de simplesmente despertar seu interesse com minha história, quero intimidá-lo, quero que você se canse da complexidade da vida - tentarei provar o que disse. O problema matemático que vamos resolver é muito difícil e peculiar. existe algum valor S, chamado Ação.É igual à energia cinética menos a energia potencial integrada ao longo do tempo:

Mas, por outro lado, você não pode se mover muito rápido, nem subir muito alto, porque isso exigirá muita energia cinética. Você tem que se mover rápido o suficiente para subir e descer dentro do limite de tempo que você tem à sua disposição. Portanto, você não deve tentar voar muito alto, mas apenas atingir um nível razoável. Como resultado, verifica-se que a solução é uma espécie de equilíbrio entre o desejo de obter o máximo possível de energia potencial e o desejo de reduzir ao máximo a quantidade de energia cinética - esse é o desejo de obter a redução máxima na diferença entre as energias cinética e potencial.

Não se esqueça que p.e. e c.e. são funções do tempo. Para qualquer novo caminho concebível, esta ação assume seu significado definido. O problema matemático é determinar para qual curva esse número é menor do que para outras.

Você diz: “Oh, este é apenas um exemplo típico de altos e baixos. Devemos contar a ação, diferenciá-la e encontrar o mínimo.

Mas espere. Normalmente temos uma função de alguma variável e precisamos encontrar o valor variável, em que a função se torna a menor ou a maior. Digamos que haja uma vareta aquecida no meio. O calor se espalha ao longo dela e uma temperatura é definida em cada ponto da haste. Você precisa encontrar o ponto onde é mais alto. Mas estamos falando de algo completamente diferente - cada caminho no espaço responde o seu número, e é suposto descobrir que caminho, para o qual este número é mínimo. Esta é uma área completamente diferente da matemática. Este não é um cálculo comum, mas variacional(é assim que eles chamam).

Existem muitos problemas nesta área da matemática. Por exemplo, um círculo é geralmente definido como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a um determinado ponto são iguais, mas um círculo pode ser definido de outra maneira: é uma das curvas determinado comprimento, que é a maior área. Qualquer outra curva do mesmo perímetro abrange uma área menor que um círculo. Portanto, se definirmos a tarefa: encontrar uma curva de um determinado perímetro que limite a maior área, teremos uma tarefa do cálculo de variações, e não do cálculo ao qual você está acostumado.

Então, queremos fazer a integral ao longo do caminho percorrido pelo corpo. Vamos fazer desta forma. A questão toda é imaginar que existe um caminho verdadeiro e que qualquer outra curva que traçamos não é um caminho verdadeiro, de modo que, se calcularmos a ação para ela, obteremos um número maior do que o que obtemos para a ação correspondente ao verdadeiro caminho.

Portanto, a tarefa é encontrar o verdadeiro caminho. Onde ele corre? Uma maneira, é claro, seria calcular a ação para milhões e milhões de caminhos e então ver qual caminho tem a menor ação. É assim que a ação é mínima e será real.

Desta forma é bem possível. No entanto, pode ser facilitado. Se houver uma quantidade que tenha um mínimo (das funções usuais, digamos, temperatura), uma das propriedades do mínimo é que, ao se afastar dele a uma distância primeiro ordem de pequenez, a função se desvia de seu valor mínimo apenas pela quantidade segundo ordem. E em qualquer outro lugar da curva, um deslocamento de uma pequena distância muda o valor da função também por um valor de primeira ordem de pequenez. Mas, no mínimo, pequenos desvios para o lado na primeira aproximação não levam a uma mudança na função.

Esta é a propriedade que vamos usar para calcular o caminho real.

Se a trajetória estiver correta, então uma curva ligeiramente diferente dela não levará, em primeira aproximação, a uma mudança na magnitude da ação. Todas as mudanças, se realmente forem mínimas, ocorrerão apenas na segunda aproximação.

Isso é fácil de provar. Se para algum desvio da curva houver mudanças de primeira ordem, então essas mudanças na ação proporcional desvio. Eles são susceptíveis de aumentar a ação; caso contrário, não seria o mínimo. Mas os tempos mudam proporcional desvio, então mudar o sinal do desvio reduzirá a ação. Acontece que com um desvio para um lado, a ação aumenta e, com um desvio na direção oposta, diminui. A única possibilidade de que isso seja realmente um mínimo é que, como uma primeira aproximação, nenhuma mudança ocorra e a mudança seja proporcional ao quadrado do desvio do caminho verdadeiro.

Assim, seguiremos o seguinte caminho: denotar por x(t) (com uma linha abaixo) o verdadeiro caminho é aquele que queremos encontrar. Vamos fazer um teste x(t), diferindo do desejado por uma pequena quantidade, que denotamos η (t).

A ideia é que se contarmos a ação S a caminho x(t), então a diferença entre isso S e a ação que calculamos para o caminho x(t) (para simplificar, será denotado S), ou diferença entre S_ E S, deve estar na primeira aproximação η zero. Eles podem diferir na segunda ordem, mas na primeira ordem a diferença deve ser zero.

E isso deve ser observado para qualquer η . No entanto, não é bem para todos. O método requer levar em consideração apenas os caminhos que começam e terminam no mesmo par de pontos, ou seja, cada caminho deve começar em um determinado ponto no momento t 1 e terminar em outro ponto específico no momento t 2 . Esses pontos e momentos são fixos. Portanto, nossa função d) (desvio) deve ser zero em ambas as extremidades: η (t 1 )= 0 E η (t2)=0. Sob essa condição, nosso problema matemático fica completamente definido.

Se você não conhecesse o cálculo diferencial, poderia fazer a mesma coisa para encontrar o mínimo de uma função comum f(x). Você pensaria sobre o que aconteceria se você tomasse f(x) e adicionar a x Pequena quantidade h, e argumentaria que a emenda à f(x) em primeira ordem por h deve ser pelo menos zero. Você emolduraria x+h em vez de x e expanda j(x+h) até a primeira potência h. . ., em uma palavra, repetiria tudo o que pretendemos fazer com η .

Se olharmos agora de perto para isso, veremos que os dois primeiros termos escritos aqui correspondem a essa ação S, que eu escreveria para o verdadeiro caminho desejado X. Eu quero focar sua atenção na mudança S, ou seja, na diferença entre S e tópicos S_, que seria obtido para o caminho verdadeiro. Escreveremos essa diferença como bS e chamá-lo de variação S. Descartando as "segundas ordens e superiores", obtemos para σS

Agora a tarefa se parece com isso. Aqui está uma integral diante de mim. Ainda não sei como é, mas sei com certeza o que, o que η Não vou aceitar, essa integral deve ser igual a zero. “Bem”, você pode pensar, “a única possibilidade para isso é o multiplicador em η foi igual a zero. Mas e quanto ao primeiro termo, onde há d η / dt? Você diz: "Se η se transforma em nada, então sua derivada é o mesmo nada; então o coeficiente dv\/ dt também deve ser zero. Bem, isso não é inteiramente verdade. Isso não é inteiramente verdade porque entre o desvio η e sua derivada há uma conexão; eles não são completamente independentes porque η (t) deve ser zero e t1 e em t 2 .


Na resolução de todos os problemas do cálculo de variações, um único e mesmo princípio geral é sempre usado. Você muda ligeiramente o que deseja variar (assim como fizemos adicionando η ), relance os termos da primeira ordem, então organize tudo para obter uma integral nesta forma: “deslocar (η ), multiplicado pelo que resulta, "mas que não tem quaisquer derivados de η (não d η / dt). É absolutamente necessário transformar tudo de modo que “algo” permaneça, multiplicado por η . Agora você vai entender porque isso é tão importante. (Existem fórmulas que lhe dirão como, em alguns casos, você pode fazer isso sem nenhum cálculo; mas elas não são tão gerais que valha a pena aprendê-las; é melhor fazer os cálculos da maneira que fazemos.)

Como posso refazer um pau d η / dt, aparecer nele η ? Eu posso conseguir isso integrando por partes. Acontece que no cálculo de variações todo o truque é escrever a variação S e então integre por partes para que as derivadas de η desaparecido. Em todos os problemas em que aparecem derivadas, o mesmo truque é feito.

Lembre-se do princípio geral da integração por partes. Se você tiver uma função arbitrária f multiplicada por d η / dt e integrado sobre t, então você escreve a derivada de η /t

Os limites de integração devem ser substituídos no primeiro termo t1 E t 2 . Em seguida, colocarei sob a integral um termo da integração por partes e o último termo que permaneceu inalterado durante a transformação.
E agora o que acontece é o que sempre acontece - a parte integrada desaparece. (E se não desaparecer, então o princípio deve ser reformulado, acrescentando condições que garantam esse desaparecimento!) Já dissemos que η nas extremidades do caminho deve ser igual a zero. Afinal, qual é o nosso princípio? Em que a ação é mínima, desde que a curva variável comece e termine em pontos selecionados. Significa que η (t 1)=0 e η (t2)=0. Portanto, o termo integrado acaba sendo igual a zero. Reunimos o resto dos membros e escrevemos

Variação S agora adquiriu a forma que queríamos dar: algo está entre colchetes (vamos denotá-lo F), e tudo isso é multiplicado por η (t) e integrado de t t antes t 2 .
Descobriu-se que a integral de alguma expressão multiplicada por η (t), é sempre zero:

Alguma função vale t; multiplique por η (t) e integrá-lo do início ao fim. E o que quer que seja η, eu fico nulo. Isso significa que a função F(t) igual a zero. Em geral, isso é óbvio, mas, por precaução, mostrarei uma das maneiras de provar isso.

Deixe como η (t) Vou escolher algo que seja zero em todos os lugares, para todos t, exceto por um valor pré-selecionado t. Permanece zero até eu chegar lá. t, h então salta por um momento e imediatamente recua. Se você pegar a integral deste m) multiplicado por alguma função F, o único lugar onde você consegue algo diferente de zero é onde η (t) saltou; e você terá o valor F neste ponto na integral sobre o salto. Por si só, a integral do salto não é igual a zero, mas após a multiplicação por F deve dar zero. Isso significa que a função no local onde houve o salto deve ser zero. Mas o salto poderia ter sido feito em qualquer lugar; Significa, F deve ser zero em todos os lugares.

Vemos que se nossa integral é igual a zero para qualquer η , então o coeficiente em η deve ir para zero. A integral de ação atinge um mínimo no caminho que satisfará uma equação diferencial tão complexa:

Na verdade, não é tão difícil; você o conheceu antes. É apenas F=ma. O primeiro termo é massa vezes aceleração; a segunda é a derivada da energia potencial, ou seja, da força.

Assim, mostramos (pelo menos para um sistema conservador) que o princípio da menor ação leva à resposta correta; ele afirma que o caminho que tem um mínimo de ação é o caminho que satisfaz a lei de Newton.

Mais uma observação precisa ser feita. eu não provei isso mínimo. Talvez este seja o máximo. Na verdade, isso não precisa ser o mínimo. Aqui tudo é igual ao “princípio do menor tempo”, que discutimos enquanto estudamos a óptica. Lá também falamos pela primeira vez sobre o tempo "menor". No entanto, verificou-se que existem situações em que esse tempo não é necessariamente o "menor". O princípio fundamental é que para qualquer desvios de primeira ordem do caminho óptico mudanças no tempo seria igual a zero; mesma história aqui. Por "mínimo" realmente queremos dizer que na primeira ordem de pequenez da mudança na quantidade S para desvios do caminho deve ser igual a zero. E não precisa ser "mínimo".

Agora quero passar para algumas generalizações. Em primeiro lugar, toda essa história poderia ser feita em três dimensões. Em vez de um simples x eu teria então x, y E z Como uma função t, e a ação pareceria mais complicada. No movimento 3D você tem que usar a energia cinética total): (t/2), multiplicado pelo quadrado da velocidade total. Em outras palavras

Além disso, a energia potencial é agora uma função x, y E z. O que pode ser dito sobre o caminho? Um caminho é uma certa curva geral no espaço; não é tão fácil de desenhar, mas a ideia continua a mesma. E quanto a η? Bem, η também tem três componentes. O caminho pode ser deslocado tanto em x quanto em sim, e por z, ou em todas as três direções ao mesmo tempo. Então η agora um vetor. Deste fortes complicações não são obtidas. Como apenas as variações devem ser iguais a zero primeira ordem, então é possível realizar o cálculo sequencialmente com três turnos. Primeiro você pode se mover c apenas na direção x e diga que o coeficiente deve ir a zero. Você obtém uma equação. Então vamos nos mover c na direção no e pegue o segundo. Então nos movemos na direção z e pegue o terceiro. Você pode fazer tudo, se quiser, em uma ordem diferente. Seja como for, surge um triplo de equações. Mas a lei de Newton também é três equações em três dimensões, uma para cada componente. Você é deixado para ver por si mesmo que tudo isso funciona em três dimensões (não há muito trabalho aqui). A propósito, você pode pegar qualquer sistema de coordenadas que desejar, polar, qualquer um, e obter imediatamente as leis de Newton em relação a esse sistema, considerando o que acontece quando ocorre um deslocamento η ao longo de um raio ou ao longo de um ângulo, etc.

O método também pode ser generalizado para um número arbitrário de partículas. Se, digamos, você tiver duas partículas e algumas forças agirem entre elas e houver uma energia potencial mútua, basta adicionar suas energias cinéticas e subtrair a energia potencial de interação da soma. O que você varia? Caminhos ambos partículas. Então, para duas partículas movendo-se em três dimensões, surgem seis equações. Você pode variar a posição da partícula 1 na direção X, na direção no e na direção z, e faça o mesmo com a partícula 2, então há seis equações. E assim deve ser. Três equações determinam a aceleração da partícula 1 em termos da força que atua sobre ela, e outras três determinam a aceleração da partícula 2 devido à força que atua sobre ela. Siga sempre as mesmas regras do jogo e obterá a lei de Newton para um número arbitrário de partículas.

Eu disse que obteríamos a lei de Newton. Isso não é inteiramente verdade, porque a lei de Newton também inclui forças não conservativas, como o atrito. Newton afirmou que queé igual a qualquer F. O princípio da menor ação é válido apenas para conservador sistemas, de modo que todas as forças possam ser derivadas de uma função potencial. Mas você sabe que no nível microscópico, ou seja, no nível físico mais profundo, não existem forças não conservativas. As forças não conservativas (como o atrito) vêm apenas do fato de que negligenciamos os efeitos complexos microscópicos: simplesmente existem muitas partículas para analisar. Fundamental mesmas leis poderia ser expresso como o princípio da menor ação.

Deixe-me passar para outras generalizações. Suponha que estejamos interessados ​​no que acontecerá quando a partícula se mover relativisticamente. Até obtermos a equação de movimento relativística correta; F=ma é verdadeiro apenas em movimentos não relativísticos. Surge a pergunta: existe um princípio correspondente de menor ação no caso relativístico? Sim existe. A fórmula no caso relativístico é:

A primeira parte da integral de ação é o produto da massa em repouso t 0 sobre desde 2 e na integral da função velocidade √ (1-v2/c 2 ). Então, ao invés de subtrair a energia potencial, temos as integrais do potencial escalar φ e o potencial vetorial A multiplicado por v. Claro, apenas as forças eletromagnéticas são levadas em consideração aqui. Todos os campos elétricos e magnéticos são expressos em termos de φ e A. Essa função de ação fornece uma teoria completa do movimento relativístico de uma única partícula em um campo eletromagnético.

Claro, você deve entender que em todos os lugares onde escrevi v, antes de fazer os cálculos, você deve substituir dx/ dt em vez de v x etc. Além disso, onde escrevi simplesmente x, y, z, você tem que imaginar os pontos no momento t: x(t), y(t), z(t). Na verdade, somente após tais substituições e substituições de v você obterá uma fórmula para a ação de uma partícula relativística. Deixe o mais habilidoso entre vocês tentar provar que esta fórmula para ação realmente fornece as equações de movimento corretas para a relatividade. Deixe-me apenas aconselhá-lo a descartar A primeiro, ou seja, ficar sem campos magnéticos por enquanto. Então você terá que obter os componentes da equação do movimento dp/dt=—qVφ, onde, como você provavelmente se lembra, p=mv√(1-v 2 /c 2).

É muito mais difícil incluir o potencial vetorial A em consideração. As variações tornam-se então incomparavelmente mais complexas. Mas no final a força acaba sendo igual ao seguinte: g(E+v × B). Mas divirta-se com você mesmo.

Gostaria de enfatizar que no caso geral (por exemplo, na fórmula relativística) a diferença entre as energias cinética e potencial não está mais sob a integral em ação. Isso só foi válido na aproximação não relativística. Por exemplo, um membro m o c 2√(1-v2/c2) não é o que se chama de energia cinética. A questão de qual deve ser a ação para um caso particular arbitrário pode ser decidida após algumas tentativas e erros. Este é um problema do mesmo tipo que determinar quais devem ser as equações de movimento. Você só precisa brincar com as equações que conhece e ver se elas podem ser escritas como o princípio da menor ação.

Mais uma nota sobre a terminologia. A função que é integrada ao longo do tempo para obter a ação S, chamado lagrangeanoΛ. Esta é uma função que depende apenas das velocidades e posições das partículas. Assim, o princípio da menor ação também pode ser escrito como

onde sob x eu E eu todos os componentes de coordenadas e velocidades estão implícitos. Se você já ouviu alguém falar sobre o "Lagrangiano", saiba que eles estão falando sobre uma função usada para obter S. Para movimento relativístico em um campo eletromagnético

Além disso, devo observar que as pessoas mais meticulosas e pedantes não nomeiam S Ação. Foi referido como "a primeira grande função de Hamilton". Mas dar palestras sobre o "princípio da função principal menor de Hamilton" estava além de meus poderes. Eu chamei de "ação". Além disso, cada vez mais pessoas chamam isso de "ação". Você vê, historicamente, a ação foi chamada de outra coisa, não tão útil para a ciência, mas acho que faz mais sentido mudar a definição. Agora você começará a chamar a nova função de ação e logo todos começarão a chamá-la por esse nome simples.

Agora quero contar a vocês sobre nosso tópico algo semelhante ao raciocínio que levei sobre o princípio do menor tempo. Há uma diferença na própria essência da lei que diz que alguma integral tomada de um ponto a outro tem um mínimo - a lei que nos diz algo sobre todo o caminho de uma vez, e a lei que diz que quando você se move, então , Isso significa que existe uma força que leva à aceleração. A segunda abordagem fala sobre cada passo seu, ela traça seu caminho centímetro por centímetro, e a primeira fornece de imediato algum tipo de declaração geral sobre todo o caminho percorrido. Falando sobre luz, falamos sobre a conexão entre essas duas abordagens. Agora quero explicar a você por que deveria haver leis diferenciais, se é que existe tal princípio - o princípio da menor ação. A razão é esta: considere o caminho realmente percorrido no espaço e no tempo. Como antes, vamos administrar com uma dimensão, para que seja possível desenhar um gráfico de dependência x de t. Ao longo do verdadeiro caminho S atinge um mínimo. Suponha que temos esse caminho e que ele passa por algum ponto A espaço e tempo e através de outro ponto vizinho b.

Agora, se toda a integral de t1 antes t 2 atinge um mínimo, é necessário que a integral ao longo de uma pequena área de a até b também foi mínimo. Não pode fazer parte A antes b pelo menos um pouco acima do mínimo. Caso contrário, você pode mover a curva para frente e para trás nesta seção e reduzir um pouco o valor de toda a integral.

Isso significa que qualquer parte do caminho também deve fornecer um mínimo. E isso é verdade para quaisquer pequenos segmentos do caminho. Portanto, o princípio de que todo o caminho deve dar um mínimo pode ser formulado dizendo que um segmento infinitamente pequeno do caminho também é uma curva na qual a ação é mínima. E se tomarmos um segmento curto o suficiente do caminho - entre pontos muito próximos um do outro A E b,- não importa como o potencial muda de ponto a ponto fora deste local, porque, passando por todo o seu segmento curto, você quase nunca sai do local. A única coisa que você precisa considerar é a mudança na primeira ordem de pequenez no potencial. A resposta pode depender apenas da derivada do potencial, e não do potencial em outro lugar. Assim, uma declaração sobre a propriedade de todo o caminho torna-se uma declaração sobre o que acontece em um pequeno trecho do caminho, ou seja, uma declaração diferencial. E esta formulação diferencial inclui as derivadas do potencial, ou seja, a força em um dado ponto. Esta é uma explicação qualitativa da conexão entre a lei em geral e a lei diferencial.

Quando falamos de luz, também discutimos a questão: afinal, como uma partícula encontra o caminho certo? Do ponto de vista diferencial, isso é fácil de entender. A cada momento, a partícula experimenta aceleração e sabe apenas o que deve fazer naquele momento. Mas todos os seus instintos de causa e efeito entram em ação quando você ouve a partícula "decidir" qual caminho seguir, tendendo ao mínimo de ação. Já está “farejando” os caminhos vizinhos, imaginando onde eles vão levar - para mais ou menos ação? Quando colocamos uma tela no caminho da luz para que os fótons não pudessem tentar todos os caminhos, descobrimos que eles não conseguiam decidir qual caminho seguir e obtemos o fenômeno da difração.

Mas isso também é verdade para a mecânica? É verdade que a partícula não apenas “segue o caminho certo”, mas reconsidera todas as outras trajetórias concebíveis? E se, colocando obstáculos em seu caminho, não permitirmos que ele olhe para frente, obteremos algum análogo do fenômeno da difração? O maravilhoso de tudo isso é que realmente é. Isso é o que dizem as leis da mecânica quântica. Portanto, nosso princípio de menor ação não está totalmente formulado. Não consiste no fato de a partícula escolher o caminho de menor ação, mas no fato de "cheirar" todos os caminhos vizinhos e escolher aquele ao longo do qual a ação é mínima, e o método dessa escolha é semelhante ao aquele pelo qual a luz seleciona o tempo mais curto. Você se lembra que a maneira pela qual a luz leva menos tempo é esta: se a luz seguir um caminho que exige um tempo diferente, ela virá com uma fase diferente. E a amplitude total em algum ponto é a soma das contribuições das amplitudes para todos os caminhos que a luz pode percorrer para alcançá-lo. Todos os caminhos nos quais as fases diferem acentuadamente não dão nada após a adição. Mas se você conseguir encontrar toda a sequência de caminhos, cujas fases são quase as mesmas, as pequenas contribuições se somarão e, no ponto de chegada, a amplitude total terá um valor perceptível. O caminho mais importante se torna aquele próximo ao qual existem muitos caminhos próximos que dão a mesma fase.

Exatamente a mesma coisa acontece na mecânica quântica. A mecânica quântica completa (não relativística e negligenciando o spin de um elétron) funciona assim: a probabilidade de uma partícula, saindo de um ponto 1 no momento t1, atinge o ponto 2 no momento t 2 , é igual ao quadrado da amplitude de probabilidade. A amplitude total pode ser escrita como a soma das amplitudes para todos os caminhos possíveis - para qualquer caminho de chegada. Para qualquer um x(t), que poderia ocorrer para qualquer trajetória imaginária concebível, deve-se calcular a amplitude. Então todos eles precisam ser dobrados. O que devemos tomar como a amplitude da probabilidade de um certo caminho? Nossa integral de ação nos diz qual deve ser a amplitude de um caminho individual. Amplitude proporcional a etS/h, Onde S - ação ao longo do caminho. Isso significa que, se representarmos a fase da amplitude como um número complexo, o ângulo de fase será igual a S/ h. Ação S tem a dimensão da energia ao longo do tempo, e a constante de Planck tem a mesma dimensão. É uma constante que determina quando a mecânica quântica é necessária.

E aqui está como tudo funciona. Deixe para todos os caminhos a ação S será muito grande em comparação com o número h. Deixe algum caminho levar a alguma magnitude da amplitude. A fase do próximo caminho traçado será completamente diferente, pois com uma enorme S mesmo pequenas mudanças S mudar de fase abruptamente h extremamente poucos). Isso significa que os caminhos adjacentes geralmente extinguem suas contribuições quando adicionados. E apenas em uma área isso não ocorre - naquela em que tanto o caminho quanto seu vizinho - ambos, na primeira aproximação, têm a mesma fase (ou, mais precisamente, quase a mesma ação, mudando dentro h). Apenas esses caminhos são levados em consideração. E no caso limite, quando a constante de Planck h tende a zero, as leis corretas da mecânica quântica podem ser resumidas dizendo: “Esqueça todas essas amplitudes de probabilidade. A partícula realmente se move ao longo de um caminho especial - precisamente ao longo daquele ao longo do qual S não muda na primeira aproximação. Esta é a conexão entre o princípio da menor ação e a mecânica quântica. O fato de que a mecânica quântica pode ser formulada dessa maneira foi descoberto em 1942 por um aluno do mesmo professor, o Sr. Bader, de quem já falei. [A mecânica quântica foi originalmente formulada usando uma equação diferencial para amplitude (Schrödinger) e também usando alguma matemática matricial (Heisenberg).]

Agora quero falar sobre outros princípios do mínimo em física. Existem muitos princípios interessantes desse tipo. Não vou listar todos, mas vou citar apenas mais um. Mais tarde, quando chegarmos a um fenômeno físico para o qual existe um excelente princípio mínimo, falarei sobre ele. E agora quero mostrar que não é necessário descrever a eletrostática por meio de uma equação diferencial para o campo; pode-se, em vez disso, exigir que alguma integral tenha um máximo ou um mínimo. Para começar, vamos considerar o caso em que a densidade de carga é conhecida em todos os lugares, mas precisamos encontrar o potencial φ em qualquer ponto do espaço. Você já sabe que a resposta deveria ser:

Outra forma de dizer a mesma coisa é a seguinte: deve-se calcular a integral você*

é a integral de volume. É levado por todo o espaço. Com a distribuição correta do potencial φ (x, e,z) esta expressão atinge um mínimo.

Podemos mostrar que ambas as afirmações sobre eletrostática são equivalentes. Suponha que escolhemos uma função arbitrária φ. Queremos mostrar que quando tomamos o valor correto do potencial _φ mais um pequeno desvio f como φ, então na primeira ordem de pequenez a mudança em você* será nulo. Então nós escrevemos

aqui φ é o que estamos procurando; mas vamos variar φ para ver o que deve ser para a variação você* acabou por ser da primeira ordem de pequenez. No primeiro membro você* precisamos escrever

Isso precisa ser integrado ao longo x, y e por z. E aqui o mesmo truque se sugere: livrar-se df/ dx, vamos integrar sobre x em partes. Isso levará a uma diferenciação adicional de φ em relação a X. Esta é a mesma ideia básica com a qual nos livramos das derivadas em relação a t. Nós usamos a igualdade

O termo integrado é zero, pois consideramos que f é zero no infinito. (Isto corresponde ao desaparecimento de η quando t 1 E t 2 . Portanto, nosso princípio é mais precisamente declarado da seguinte forma: você* para a direita φ menos do que para qualquer outro φ(x, y,z), tendo os mesmos valores no infinito.) Então faremos o mesmo com no e com z. Nossa integral ΔU* torna-se

Para que esta variação seja zero para qualquer f arbitrário, o coeficiente em f deve ser zero. Significa,

Voltamos à nossa velha equação. Portanto, nossa proposição "mínima" está correta. Pode ser generalizado alterando ligeiramente os cálculos. Vamos voltar e integrar por partes sem descrever tudo componente por componente. Vamos começar escrevendo a seguinte equação:

Diferenciando o lado esquerdo, posso mostrar que é exatamente igual ao lado direito. Esta equação é adequada para integração por partes. Em nossa integral ΔU* nós substituímos Vφ*Vf n e fV 2 φ+V*(fVφ) e então integre isso sobre o volume. O termo de divergência após a integração de volume é substituído pela integral de superfície:

E como estamos integrando sobre todo o espaço, a superfície dessa integral é infinita. Portanto, f=0, e obtemos o resultado anterior.

Só agora estamos começando a entender como resolver problemas nos quais nós não sabemos onde todas as cargas estão localizadas. Suponha que temos condutores nos quais as cargas são de alguma forma distribuídas. Se os potenciais em todos os condutores forem fixos, nosso princípio mínimo ainda poderá ser aplicado. Integração em você* vamos desenhar apenas na área fora de todos os condutores. Mas como não podemos mudar (φ) em condutores, então f = 0 em sua superfície e a integral de superfície

precisa ser feito apenas nos espaços entre os condutores. E é claro que obtemos a equação de Poisson novamente

Portanto, mostramos que nossa integral inicial você* atinge um mínimo mesmo quando é calculado no espaço entre os condutores, cada um dos quais está em um potencial fixo [isso significa que cada função de teste φ(x, sim,z) deve ser igual ao potencial dado do condutor quando (x, y,z) - pontos da superfície do condutor]. Existe um caso especial interessante quando as cargas estão localizadas apenas nos condutores. Então

e nosso princípio mínimo nos diz que, no caso em que cada condutor tem seu próprio potencial predeterminado, os potenciais entre eles se ajustam de modo que a integral você* acaba sendo o menor possível. O que é essa integral? O termo Vφ é o campo elétrico. Então a integral é a energia eletrostática. O campo correto é o único que, de todos os campos obtidos como gradiente de potencial, possui a menor energia total.

Eu gostaria de usar esse resultado para resolver algum problema específico e mostrar a você que todas essas coisas são de real importância prática. Suponha que eu tomei dois condutores na forma de um capacitor cilíndrico.

O potencial do condutor interno é, digamos, V, e o externo é zero. Seja o raio do condutor interno igual a A, e externo - b. Agora podemos assumir que a distribuição de potenciais entre eles é qualquer. Mas se pegarmos correto valor de φ e calcule
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV então a energia do sistema deve ser 1/2CV 2 .

Assim, com a ajuda do nosso princípio, também podemos calcular a capacitância COM. Se tomarmos uma distribuição de potencial incorreta e tentarmos estimar a capacitância de um capacitor por esse método, chegaremos a um valor excessivamente grande de capacitância em um valor fixo. V. Qualquer potencial φ assumido que não corresponda exatamente ao seu valor verdadeiro também levará a um valor incorreto de C, maior que o necessário. Mas se o potencial cp escolhido incorretamente ainda for uma aproximação grosseira, então a capacitância COM já resultará com boa precisão, porque o erro em C é um valor de segunda ordem em comparação com o erro em φ.

Suponha que eu não conheça a capacitância de um capacitor cilíndrico. Então, para conhecê-la, posso usar este princípio. Vou simplesmente tentar diferentes funções de φ como um potencial até chegar ao valor mais baixo COM. Suponha, por exemplo, que eu tenha escolhido um potencial correspondente a um campo constante. (Claro, você sabe que o campo não é realmente constante aqui; ele muda como 1/r) Se o campo é constante, isso significa que o potencial depende linearmente da distância. Para que a tensão nos condutores seja a necessária, a função φ deve ter a forma

Esta função é igual a V no r=a, zero para r =b, e entre eles há uma inclinação constante igual a - V/(b—A). Então, para definir a integral você*, basta multiplicar o quadrado desse gradiente por ε o /2 e integrar sobre todo o volume. Façamos este cálculo para um cilindro de comprimento unitário. Elemento de volume com raio ré igual a 2prdr. Ao integrar, descobri que minha primeira tentativa produz a seguinte capacidade:

Assim, obtenho a fórmula da capacitância, que, embora incorreta, é uma espécie de aproximação:

Claro, é diferente da resposta correta. C \u003d 2πε 0 / ln (b / a), mas no geral não é tão ruim. Vamos tentar compará-lo com a resposta correta para vários valores. BA. Os números que calculei são mostrados na tabela a seguir.

Mesmo quando b/a=2(e isso já leva a diferenças bastante grandes entre campos constantes e lineares), ainda obtenho uma aproximação bastante tolerável. A resposta é, claro, como esperado, um pouco exagerada. Mas se um fio fino for colocado dentro de um cilindro grande, tudo parecerá muito pior. Então o campo muda muito fortemente e substituí-lo por um campo constante não leva a nada de bom. Com b/a=100, quase dobramos a resposta. para pequenos BA a posição parece muito melhor. No limite oposto, quando o espaço entre os condutores não é muito grande (digamos, em b/a=1,1), o campo constante é uma aproximação muito boa, dá o valor COM precisão de décimos de um por cento.

E agora vou te contar como melhorar esse cálculo. (A resposta para o cilindro para você, é claro, famoso, mas o mesmo método funciona para algumas outras formas incomuns de capacitores, para os quais você pode não saber a resposta correta.) O próximo passo é encontrar uma aproximação melhor para o verdadeiro potencial φ, que não sabemos. Digamos que você possa testar uma constante mais um expoente de φ, e assim por diante. Mas como você sabe que obteve a melhor aproximação se não conhece o φ verdadeiro? Responder: conte COM; quanto mais baixo, mais perto está da verdade. Vamos testar esta ideia. Deixe o potencial não ser linear, mas, digamos, quadrático em r, e o campo elétrico não constante, mas linear. A maioria em geral forma quadrática que se torna φ=O quando r=b e em φ=F em r=a,é:

onde α é um número constante. Esta fórmula é um pouco mais complicada que a anterior. Inclui um termo quadrático e um termo linear. É muito fácil obter um campo dele. É igual a simples

Agora isso precisa ser elevado ao quadrado e integrado sobre o volume. Mas espere um minuto. O que devo levar para α? Para f posso tomar uma parábola, mas o quê? Aqui está o que vou fazer: calcular a capacitância em α arbitrário. eu vou conseguir

Parece um pouco confuso, mas é assim que fica depois de integrar o quadrado do campo. Agora posso escolher por mim mesmo. Eu sei que a verdade está mais abaixo do que qualquer coisa que estou prestes a descobrir. O que quer que eu coloque no lugar de a, a resposta ainda é muito grande. Mas se eu continuar meu jogo com α e tentar obter o menor valor possível COM, então este valor mais baixo estará mais próximo da verdade do que qualquer outro valor. Portanto, agora preciso escolher α para que o valor COM atingiu seu mínimo. Voltando ao cálculo diferencial usual, vejo que o mínimo COM será quando α =— 2 b/(b+a). Substituindo esse valor na fórmula, obtenho a menor capacidade

Eu descobri o que esta fórmula dá para COM em valores diferentes BA. Esses números que eu liguei COM(quadrático). Aqui está uma tabela que compara COM(quadrática) com COM(verdadeiro).

Por exemplo, quando a proporção do raio é 2:1, obtenho 1,444. Esta é uma aproximação muito boa para a resposta correta, 1,4423. Mesmo com grandes sim a aproximação continua muito boa - é muito melhor do que a primeira aproximação. Permanece tolerável (apenas 10% superestimado) mesmo em b/a=10:1. A grande discrepância ocorre apenas em uma proporção de 100:1. Eu obtenho COM igual a 0,346 em vez de 0,267. Por outro lado, para uma razão de raio de 1,5, a concordância é excelente, mas para b/a=1,1 a resposta é 10,492065 em vez de 10,492070. Onde uma boa resposta deveria ser esperada, acaba sendo muito, muito boa.

Dei todos esses exemplos, em primeiro lugar, para demonstrar o valor teórico do princípio da ação mínima e de todos os princípios do mínimo em geral e, em segundo lugar, para mostrar sua utilidade prática, e não para calcular a capacidade, que já conhecemos muito bem. Para qualquer outra forma, você pode tentar um campo aproximado com alguns parâmetros desconhecidos (como α) e ajustá-los ao mínimo. Você obterá excelentes resultados numéricos em problemas que não podem ser resolvidos de outra forma.

O princípio da menor ação, declarado explicitamente pela primeira vez por Jacobi, é semelhante ao princípio de Hamilton, mas menos geral e mais difícil de provar. Este princípio é aplicável apenas ao caso em que as conexões e a função da força não dependem do tempo e quando, portanto, existe uma integral da força viva.

Essa integral fica assim:

O princípio de Hamilton declarado acima afirma que a variação da integral

é igual a zero quando o movimento real passa para qualquer outro movimento infinitamente próximo que leva o sistema da mesma posição inicial para a mesma posição final no mesmo intervalo de tempo.

O princípio de Jacobi, ao contrário, expressa uma propriedade, o movimento, que não depende do tempo. Jacobi considera a integral

ação definidora. O princípio que ele estabeleceu afirma que a variação dessa integral é zero quando comparamos o movimento real do sistema com qualquer outro movimento infinitamente próximo que leve o sistema da mesma posição inicial para a mesma posição final. Nesse caso, não prestamos atenção ao intervalo de tempo gasto, mas observamos a equação (1), ou seja, a equação da mão de obra com o mesmo valor da constante h do movimento real.

Essa condição de extremo necessário conduz, de modo geral, ao mínimo da integral (2), daí o nome de princípio da menor ação. A condição de mínimo parece ser a mais natural, pois o valor de T é essencialmente positivo e, portanto, a integral (2) deve necessariamente ter um mínimo. A existência de um mínimo pode ser rigorosamente provada apenas se o intervalo de tempo for suficientemente pequeno. A prova desta proposição pode ser encontrada no conhecido curso de Darboux sobre a teoria das superfícies. Entretanto, não a apresentaremos aqui e nos limitaremos a derivar a condição

432. Prova do princípio da menor ação.

Na computação real, encontramos uma dificuldade que não está presente na prova do teorema de Hamilton. A variável t não permanece mais independente da variação; então as variações de q i e q. estão relacionados com a variação de t por uma relação complexa que segue da Eq. (1). A maneira mais fácil de contornar essa dificuldade é mudar a variável independente para uma cujos valores estejam entre limites constantes independentes do tempo. Seja k uma nova variável independente cujos limites são considerados independentes de t. Ao mover o sistema, os parâmetros et serão funções desta variável

Deixe as letras iniciadas q denotam as derivadas dos parâmetros q em relação ao tempo.

Como os links são considerados independentes do tempo, as coordenadas cartesianas x, y, z são funções de q que não contêm tempo. Portanto suas derivadas serão funções homogêneas lineares de q e 7 serão uma forma quadrática homogênea de q cujos coeficientes são funções de q. Nós temos

Para distinguir as derivadas temporais de q, denotamos com parênteses, (q), as derivadas de q, tomadas em relação a e colocadas de acordo com este

então teremos

e a integral (2), expressa pela nova variável independente A, assumirá a forma;

A derivada pode ser eliminada usando o teorema da força viva. De fato, a integral da força viva será

Substituindo esta expressão na fórmula para , trazemos a integral (2) para a forma

A integral definindo a ação assim assumiu a forma final (3). O integrando é a raiz quadrada da forma quadrática das quantidades

Vamos mostrar que as equações diferenciais dos extremos da integral (3) são exatamente as equações de Lagrange. As equações extremas, baseadas nas fórmulas gerais do cálculo das variações, serão:

Multiplicamos as equações por 2 e realizamos diferenciações parciais, levando em conta que não contém então obtemos, se não escrevermos o índice ,

Estas são as equações extremas expressas em termos da variável independente. A tarefa agora é retornar à variável independente

Como Г é uma função homogênea de segundo grau de e é uma função homogênea de primeiro grau, temos

Por outro lado, aos fatores das derivadas nas equações dos extremais, pode-se aplicar o teorema da força viva, que leva, como vimos acima, à substituição

Como resultado de todas as substituições, as equações extremas são reduzidas à forma

Chegamos assim às equações de Lagrange.

433. O caso quando não há forças motrizes.

No caso em que não há forças motrizes, existe uma equação para mão de obra e temos

A condição de que a integral seja mínima é, neste caso, que o valor correspondente de -10 seja o menor. Assim, quando não há forças motrizes, então, entre todos os movimentos em que a força viva retém o mesmo valor dado, o movimento real é aquele que leva o sistema de sua posição inicial à sua posição final no menor tempo.

Se o sistema for reduzido a um único ponto movendo-se ao longo de uma superfície fixa, então o movimento real, entre todos os movimentos ao longo da superfície, executados na mesma velocidade, é um movimento no qual o ponto passa de sua posição inicial para a posição final para o mais curto

intervalo de tempo. Em outras palavras, um ponto descreve na superfície a linha mais curta entre suas duas posições, ou seja, uma linha geodésica.

434. Observação.

O princípio da menor ação assume que o sistema possui vários graus de liberdade, pois se houvesse apenas um grau de liberdade, então uma equação seria suficiente para determinar o movimento. Uma vez que o movimento pode, neste caso, ser completamente determinado pela equação da força viva, o movimento real será o único que satisfaz esta equação e, portanto, não pode ser comparado com nenhum outro movimento.