Novo obscurantismo e iluminismo russo. Conversa com um acadêmico sobre os problemas da educação

Colegas americanos me explicaram que o baixo nível de cultura geral e educação escolar em seu país é uma conquista consciente em prol dos objetivos econômicos. O fato é que depois de ler livros, uma pessoa educada torna-se um comprador pior: compra menos máquinas de lavar e carros, passa a preferir Mozart ou Van Gogh, Shakespeare ou teoremas a eles. A economia da sociedade de consumo sofre com isso e, sobretudo, os rendimentos dos donos da vida - por isso se esforçam para impedir a cultura e a educação (que, além disso, os impedem de manipular a população, como um rebanho desprovido de inteligência ).

Vladimir Igorevich Arnold

Novo obscurantismo
e iluminismo russo

Ao meu professor - Andrey Nikolaevich Kolmogorov dedico

"Não toque em meus círculos", disse Arquimedes ao soldado romano que o estava matando. Esta frase profética me veio à mente na Duma do Estado, quando o presidente da reunião da Comissão de Educação (22 de outubro de 2002) me interrompeu com as palavras: não a Academia de Ciências, onde se pode defender a verdade, mas a Duma do Estado, onde tudo se baseia no fato de que pessoas diferentes têm opiniões diferentes sobre questões diferentes”.

A opinião que defendi foi que três vezes sete é vinte e um, e que ensinar aos nossos filhos tanto a tabuada quanto a adição de um dígito e até frações é uma necessidade nacional. Mencionei a recente introdução no estado da Califórnia (por iniciativa do físico transurânico ganhador do Prêmio Nobel Glen Seaborg) de um novo requisito para que estudantes universitários sejam capazes de dividir independentemente o número 111 por 3 (sem um computador).

Os ouvintes da Duma, aparentemente, não conseguiam dividir e, portanto, não entendiam nem eu nem Seaborg: no Izvestia, com uma apresentação benevolente da minha frase, o número "cento e onze" foi substituído por "onze" (o que torna a questão muito mais difícil, pois onze não é divisível por três).

Deparei-me com o triunfo do obscurantismo quando li um artigo no Nezavisimaya Gazeta glorificando as pirâmides recém-construídas perto de Moscou, Retrógrados e Charlatães, onde

A Academia Russa de Ciências foi anunciada como uma coleção de retrógrados dificultando o desenvolvimento das ciências (tentando em vão explicar tudo com suas “leis da natureza”). Devo dizer que, aparentemente, também sou um retrógrado, pois ainda acredito nas leis da natureza e acredito que a Terra gira em torno de seu eixo e em torno do Sol, e que os alunos mais jovens precisam continuar a explicar por que é frio no inverno e quente no verão, não permitir que o nível de nossa educação escolar caia abaixo do alcançado nas escolas paroquiais antes da revolução (ou seja, nossos atuais reformadores estão lutando por tal diminuição no nível de educação, referindo-se ao nível realmente baixo da escola americana).

Os colegas americanos explicaram-me que o baixo nível de cultura geral e educação escolar em seu país é uma conquista consciente em prol dos objetivos econômicos. O fato é que depois de ler livros, uma pessoa educada torna-se um comprador pior: compra menos máquinas de lavar e carros, passa a preferir Mozart ou Van Gogh, Shakespeare ou teoremas a eles. A economia da sociedade de consumo sofre com isso e, sobretudo, os rendimentos dos donos da vida - por isso se esforçam prevenir cultura e educação(que, além disso, os impede de manipular a população, como um rebanho desprovido de inteligência).

Confrontado com a propaganda anticientífica também na Rússia, decidi olhar para a pirâmide recém-construída a cerca de vinte quilômetros de minha casa e lá fui de bicicleta pelas florestas de pinheiros centenários entre o Istra e o rio Moscou. Aqui encontrei uma dificuldade: embora Pedro, o Grande, proibisse o corte de florestas a menos de trezentos quilômetros de Moscou, no meu caminho eles recentemente cercaram e mutilaram vários dos melhores quilômetros quadrados de uma floresta de pinheiros (como os moradores locais me explicaram, isso foi feito por “conhecido [por todos, exceto eu! - V. A.] bandido Pashka”). Mas mesmo vinte anos atrás, quando eu estava pegando um balde nesta clareira agora construída

framboesas, fui contornado, fazendo um semicírculo de cerca de dez metros de raio, uma manada inteira de javalis caminhando pela clareira.

Edifícios como este estão acontecendo em todo o lugar. Não muito longe da minha casa, uma vez, a população não permitiu (mesmo usando protestos na televisão) o desenvolvimento da floresta por mongóis e outros funcionários. Mas desde então, a situação mudou: as antigas aldeias do partido do governo estão tomando novos quilômetros quadrados da floresta antiga diante dos olhos de todos, e ninguém mais protesta (na Inglaterra medieval, “cercos” causavam revoltas!).

É verdade que na aldeia de Soloslovo, que fica ao meu lado, um membro do conselho da aldeia tentou se opor ao desenvolvimento da floresta. E então, em plena luz do dia, chegou um carro com bandidos armados que bem na aldeia, em casa e morto a tiros. E a construção como resultado aconteceu.

Em outra vila vizinha, Darina, todo um campo passou por um novo desenvolvimento com mansões. A atitude das pessoas em relação a estes acontecimentos fica clara pelo nome que deram a este campo construído na aldeia (o nome, infelizmente, ainda não está reflectido nos mapas): “campo dos ladrões”.

Os novos habitantes motorizados deste campo transformaram a estrada que leva de nós à estação de Perkhushkovo em seu oposto. Nos últimos anos, os ônibus quase pararam de circular. No início, os novos moradores-motoristas coletavam dinheiro na estação terminal para que o motorista do ônibus declarasse o ônibus "fora de serviço" e os passageiros pagassem aos comerciantes privados. Os carros dos novos habitantes do “campo” estão agora correndo por esta estrada em grande velocidade (e por uma pista estranha, muitas vezes). E eu, indo a pé para a estação a cinco milhas de distância, corro o risco de ser atropelado, como meus numerosos antecessores pedestres, cujos locais de morte foram recentemente marcados nas estradas com coroas de flores. Os trens elétricos, no entanto, agora também às vezes não param nas estações previstas no horário.

Anteriormente, a polícia tentava medir a velocidade dos assassinos-motoristas e impedi-los, mas depois que o policial que mediu a velocidade com um radar foi morto a tiros por um guarda transeunte, ninguém mais se atreve a parar os carros. De vez em quando encontro cápsulas de balas gastas na estrada, mas quem foi baleado aqui não está claro. Quanto às coroas de flores sobre os locais de morte de pedestres, todas foram recentemente substituídas pelos anúncios "É proibido jogar lixo", pendurados nas mesmas árvores onde costumavam existir coroas com os nomes dos que foram despejados.

Ao longo do antigo caminho de Aksinin a Chesnokov, usando o gati colocado por Catarina II, cheguei à pirâmide e vi dentro dela "prateleiras para carregar garrafas e outros objetos com energia intelectual oculta". Instrução dentro alguns metros quadrados de tamanho listavam os benefícios de algumas horas de permanência de um objeto ou de um paciente com hepatite A ou B na pirâmide (li no jornal que alguém chegou a enviar uma carga de vários quilos de pedras “cobrada” pelo pirâmide para a estação espacial por dinheiro público).

Mas os compiladores desta instrução mostraram uma honestidade inesperada para mim: eles escreveram que não vale a pena ficar na fila dos racks dentro da pirâmide, já que<в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же». Isso, eu acho, é absolutamente verdade.

Então, como um verdadeiro "retrógrado", considero todo esse empreendimento piramidal uma propaganda anticientífica prejudicial para uma loja que vende "objetos de carregamento".

Mas o obscurantismo sempre seguiu as conquistas científicas, a partir da antiguidade. O aluno de Aristóteles, Alexander Filippovich da Macedônia, fez uma série de descobertas "científicas" (descritas por seu companheiro, Arian, em Anabasis). Por exemplo, ele descobriu a nascente do rio Nilo: segundo ele, este é o Indo. A evidência "científica" foi: " Estes são os únicos dois grandes rios que estão repletos de crocodilos.”(e confirmação: "Além disso, as margens de ambos os rios estavam cobertas de lótus").

No entanto, esta não é sua única descoberta: ele também "descobriu" que o rio Oxus (hoje chamado Amu Darya) "flui - do norte, virando perto dos Urais - no pântano Meotian de Pontus Euxinus, onde é chamado Tanais"(“Ta-nais” é o Don, e “Pântano Meotian” é o Mar de Azov). A influência das ideias obscurantistas sobre os acontecimentos nem sempre é desprezível:

Alexandre de Sogdiana (isto é, Samarcanda) não foi mais para o Oriente, para a China, como queria primeiro, mas para o sul, para a Índia, temendo uma barreira de água conectando, de acordo com sua terceira teoria, o Mar Cáspio ("Hircaniano") com o Oceano Índico(dentro área da Baía de Bengala). Pois ele acreditava que os mares, "por definição", são baías do oceano. Estas são as "ciências" para as quais somos levados.

Desejo expressar a esperança de que nossos militares não sejam submetidos a uma influência tão forte dos obscurantistas (eles até me ajudaram a salvar a geometria das tentativas dos "reformadores" de expulsá-la da escola). Mas mesmo as tentativas atuais de reduzir o nível de escolaridade na Rússia para os padrões americanos são extremamente perigosas tanto para o país quanto para o mundo.

Na França de hoje, 20% dos recrutas do exército são completamente analfabetos, não entendem as ordens escritas dos oficiais (e podem enviar seus mísseis com ogivas na direção errada). Que esta taça passe por nós! Os nossos ainda estão lendo, mas os “reformadores” querem parar: “Tanto Pushkin quanto Tolstoi são demais!” eles escrevem.

Como matemático, seria muito fácil para mim, como matemático, descrever como eles planejam eliminar nossa educação escolar matemática tradicionalmente de alta qualidade. Em vez disso, vou listar várias ideias obscurantistas semelhantes sobre o ensino de outras disciplinas: economia, direito, ciências sociais, literatura (as disciplinas, no entanto, propõem abolir tudo na escola).

O rascunho de dois volumes "Padrões para Educação Geral" publicado pelo Ministério da Educação da Rússia fornece uma grande lista de tópicos cujo conhecimento os formandos são convidados a deixar de exigir.É esta lista que dá a ideia mais vívida das ideias dos “reformadores” e de que tipo de conhecimento “excessivo” eles procuram “proteger” as próximas gerações.

Vou abster-me de comentários políticos, mas aqui estão exemplos típicos de informações supostamente "redundantes", extraídas do projeto Standards de quatrocentas páginas:

a Constituição da URSS;
"nova ordem" fascista nos territórios ocupados;
Trotsky e trotskismo;
principais partidos políticos;
Democracia Cristã;
inflação;
lucro;
moeda;
títulos;
sistema multipartidário;
garantias de direitos e liberdades;
agências de aplicação da lei;
dinheiro e outros títulos;
formas da estrutura estatal-territorial da Federação Russa;
Ermak e anexação da Sibéria;
política externa da Rússia (séculos XVII, XVIII, XIX e XX);
a questão polonesa;
Confúcio e Buda;
Cícero e César;
Joana d'Arc e Robin Hood;
Pessoas físicas e jurídicas;
o estatuto jurídico de uma pessoa num estado jurídico democrático;
separação de poderes;
sistema judicial;
autocracia, ortodoxia e nacionalidade (teoria de Uvarov);
os povos da Rússia;
mundo cristão e islâmico;
Luís XIV;
Lutero;
Loyola;
Bismarck;
A Duma do Estado;
desemprego;
soberania;
bolsa de valores (bolsa);
receitas estaduais;
renda familiar.

"Ciências sociais", "história", "economia" e "direito", desprovidos de discussão de todos esses conceitos, são apenas cultos formais, inúteis para os alunos. Na França, reconheço esse tipo de conversa teológica sobre temas abstratos por um conjunto de palavras-chave: "A França, como a filha mais velha da Igreja Católica... " (qualquer coisa pode seguir, por exemplo: "... não precisa gastar em ciência, pois já tivemos e ainda temos cientistas"), como ouvi em uma reunião do Comitê Nacional da República da França de Ciência e Pesquisa, membro do qual fui nomeado pelo Ministro de Ciência, Pesquisa e Tecnologia da República da França.

Para não ser unilateral, também darei uma lista de autores e obras "indesejáveis" (no mesmo sentido de "inadmissibilidade" de seu estudo sério) mencionados nessa qualidade pelo vergonhoso "Standard":

Glinka;
Chaikovsky;
Beethoven;
Mozart;
Grieg;
Rafael;
Leonardo da Vinci;
Rembrandt;
Van Togh;
Omar Khayyam;
"Tom Sawyer";
"Oliver Twist";
os sonetos de Shakespeare;
"Viagem de São Petersburgo a Moscou", de Radishchev;
"O Soldado de Lata Inabalável";
"Gobsek";
"Padre Goriot";
"Os Miseráveis";
"Caninos Brancos";
"Contos de Belkin";
"Boris Godunov";
"Potava";
"Dubrovsky";
"Ruslan e Ludmila";
"Porco sob o carvalho";
"Noites em uma fazenda perto de Dikanka";
"Sobrenome do cavalo";
"Despensa do sol";
"Lado Meshcherskaya";
"Quieto Don";
"Pigmaleão";
"Aldeia";
"Fausto";
"Adeus armas";
"Ninho Nobre";
"Dama com um cachorro";
"Saltador";
"Uma nuvem nas calças";
"Homem negro";
"Corre";
"Enfermaria do Câncer";
"Feira da Vaidade";
"Por quem os sinos dobram";
"Três camaradas";
"No primeiro círculo";
"Morte de Ivan Ilitch".

Em outras palavras, propõe-se que a Cultura Russa seja cancelada como tal. Eles tentam “proteger” os escolares da influência de “desnecessários”, segundo “Padrões”, centros culturais; eles estavam aqui indesejável, segundo os compiladores das "Normas", para menção por professores na escola:

Eremitério;
Museu Russo;
Galeria Tretyakov;
Museu Pushkin de Belas Artes em Moscou.

O sino está tocando para nós!

No entanto, é difícil deixar de mencionar o que exatamente se propõe tornar “opcional para o aprendizado” nas ciências exatas (em todo caso, “Padrões” recomendam “não exigir que os alunos dominem essas seções”):

a estrutura dos átomos;
o conceito de ação de longo alcance;
dispositivo do olho humano;
relação de incerteza da mecânica quântica;
interações fundamentais;
céu estrelado;
O sol é como uma das estrelas;
estrutura celular dos organismos;
reflexos;
genética;
a origem da vida na Terra;
evolução do mundo vivo;
teorias de Copérnico, Galileu e Giordano Bruno;
teorias de Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
méritos de Pasteur e Koch;
sódio, cálcio, carbono e nitrogênio (seu papel no metabolismo);
óleo;
polímeros.

Da matemática, a mesma discriminação foi feita nas "Normas" para tópicos que nenhum professor pode prescindir (e sem uma compreensão completa de quais alunos serão completamente desamparados tanto em física quanto em tecnologia, e em um grande número de outras aplicações de ciência, incluindo militar e humanitária):

necessidade e suficiência;
locus de pontos;
senos de ângulos em 30 o , 45 o , 60 o ;
construção da bissetriz do ângulo;
divisão de um segmento em partes iguais;
medição do ângulo;
o conceito de comprimento de um segmento;
soma dos membros de uma progressão aritmética;
área do setor;
funções trigonométricas inversas;
as desigualdades trigonométricas mais simples;
igualdade de polinômios e suas raízes;
a geometria dos números complexos (necessária tanto para a física da corrente alternada quanto para a engenharia de rádio e para a mecânica quântica);
tarefas de construção;
cantos planos de um ângulo triédrico;
derivada de uma função complexa;
converter frações simples em decimais.

A única esperança é que os milhares de professores bem formados que existem até agora continuarão a cumprir o seu dever e a ensinar tudo isto às novas gerações de alunos, apesar das ordens do Ministério. O bom senso é mais forte do que a disciplina burocrática. Só é necessário não esquecer nossos maravilhosos professores para pagar adequadamente por sua façanha.

Representantes da Duma explicaram-me que a situação poderia ser muito melhorada se fosse dada atenção à implementação das leis já adotadas sobre educação.

A seguinte descrição do estado das coisas foi apresentada pelo deputado I. I. Melnikov em seu relatório no Instituto de Matemática. V. A. Steklov da Academia Russa de Ciências em Moscou no outono de 2002.

Por exemplo, uma das leis prevê um aumento anual da contribuição orçamentária para a educação em cerca de 20% ao ano. Mas o ministro disse que “não vale a pena se preocupar com a implementação desta lei, já que ocorre quase um aumento anual de mais de 40%”. Logo após esse discurso do ministro, foi anunciado um aumento (por um percentual bem menor) que era praticamente realizável para o próximo ano (era 2002). E se levarmos em conta a inflação, verifica-se que Foi decidido reduzir a contribuição anual real para a educação.

Outra lei especifica a porcentagem das despesas orçamentárias que devem ser gastas em educação. Na realidade, gasta-se muito menos (quantas vezes exatamente, não consegui descobrir exatamente). Por outro lado, os gastos com "defesa contra o inimigo interno" aumentaram de um terço para a metade dos gastos com defesa contra o inimigo externo.

É natural parar de ensinar frações às crianças, caso contrário, Deus me livre, elas vão entender!

Aparentemente, foi em antecipação à reação dos professores que os compiladores do "Padrão" forneceram vários nomes de escritores em sua lista de leituras recomendadas (como os nomes de Pushkin, Krylov, Lermontov, Chekhov e outros) com o sinal de "asterisco", que eles decifram como: “Se desejar, o professor pode apresentar aos alunos mais uma ou duas obras do mesmo autor”(e não apenas com o "Monumento", recomendado por eles no caso de Pushkin).

O nível superior de nossa educação matemática tradicional em comparação com o exterior tornou-se óbvio para mim somente depois que pude comparar esse nível com os estrangeiros, tendo trabalhado por muitos semestres em universidades e faculdades em Paris e Nova York, Oxford e Cambridge, Pisa e Bolonha , Bonn e Berkeley, Stanford e Boston, Hong Kong e Kyoto, Madrid e Toronto, Marselha e Estrasburgo, Utrecht e Rio de Janeiro, Conacri e Estocolmo.

“Não há como seguir seu princípio de escolher candidatos de acordo com suas realizações científicas”, disseram-me meus colegas na comissão para convidar novos professores para uma das melhores universidades de Paris. - “Afinal, neste caso, teríamos que escolher apenas russos - tanto a superioridade científica deles sobre todos nós Claro!" (Falei ao mesmo tempo sobre a seleção entre os franceses).

Correndo o risco de ser incompreendido apenas pelos matemáticos, ainda darei exemplos das respostas dos melhores candidatos a uma cátedra de matemática em uma universidade em Paris na primavera de 2002 (200 pessoas se candidataram para cada cargo).

O candidato ensinou álgebra linear em várias universidades durante vários anos, defendeu sua dissertação e publicou cerca de uma dúzia de artigos nas melhores revistas matemáticas da França.

A seleção inclui uma entrevista, onde sempre são oferecidas ao candidato perguntas elementares, mas importantes (nível de pergunta "Nomeie a capital da Suécia" se a matéria fosse geografia).

Então eu perguntei: "Qual é a assinatura da forma quadrática xy?»

O candidato exigiu 15 minutos para reflexão, após o que disse: “No meu computador em Toulouse, tenho uma rotina (programa) que em uma ou duas horas poderia descobrir quantos pontos positivos e quantos negativos existem na forma normal. A diferença entre esses dois números será a assinatura - mas você só dá 15 minutos, e sem computador, então não posso responder, este formulário hué muito complicado."

Para não especialistas, explicarei que, se fosse sobre zoologia, essa resposta seria semelhante a esta: “Linnaeus listou todos os animais, mas se a bétula é um mamífero ou não, não posso responder sem um livro.”

O próximo candidato acabou sendo um especialista em “sistemas de equações elípticas em derivadas parciais” (uma década e meia depois de defender sua dissertação e mais de vinte trabalhos publicados).

Perguntei a este: “Qual é o Laplaciano da função 1/r no espaço euclidiano tridimensional?

A resposta (após os habituais 15 minutos) foi surpreendente para mim; "Se r estivesse no numerador, e não no denominador, e a primeira derivada seria necessária, e não a segunda, então eu poderia calculá-la em meia hora, caso contrário a questão é muito difícil.

Deixe-me explicar que a pergunta era da teoria das equações elípticas como a pergunta “Quem é o autor de Hamlet?” no exame de Literatura Inglesa. Na tentativa de ajudar, fiz uma série de perguntas principais (semelhantes às perguntas sobre Otelo e Ofélia): “Você sabe qual é a lei da gravitação universal? Lei de Coulomb? Como eles estão relacionados com o laplaciano? Qual é a solução fundamental da equação de Laplace?

Mas nada ajudava: nem Macbeth nem Rei Lear eram conhecidos do candidato se estivessem falando de literatura.

Por fim, o presidente da comissão examinadora me explicou qual era o problema: “Afinal, o candidato estudou não uma equação elíptica, mas seus sistemas, e você pergunta a ele sobre a equação de Laplace, que Total uma coisa - é claro que ele nunca o encontrou!

Numa analogia literária, essa “justificação” corresponderia à frase: “O candidato estudou poetas ingleses, como ele poderia conhecer Shakespeare, porque ele é dramaturgo!”

O terceiro candidato (e havia dezenas deles) lidava com "formas diferenciais holomórficas", e eu lhe perguntei: "Qual é a superfície de Riemann da tangente?" (Eu estava com medo de perguntar sobre o arco tangente).

Resposta: “A métrica Riemanniana é a forma quadrática das diferenciais de coordenadas, mas qual forma está associada à função “tangente” não é clara para mim.”

Deixe-me explicar novamente com um modelo de resposta semelhante, desta vez substituindo a matemática pela história (para a qual os metropolitanos estão mais inclinados). Aqui a pergunta seria: Quem é Júlio César? e a resposta é: “Os governantes de Bizâncio eram chamados de Césares, mas não conheço Júlio entre eles.”

Finalmente, um candidato probabilista apareceu, falando de forma interessante sobre sua dissertação. Ele provou nele que a afirmação "A e B são verdadeiras juntas" é falsa(as próprias declarações MAS e NO são longos, então não vou reproduzi-los aqui).

Pergunta: “Mas e a afirmação UMA por conta própria, sem NO: É verdade ou não?

Responda: “Afinal, eu disse que a afirmação “A e B” não é verdadeira. Isso significa que A também está errado." Aquilo é: “Como não é verdade que “Petya e Misha adoeceram de cólera”, então Petya não pegou cólera.”

Aqui minha perplexidade foi novamente dissipada pelo presidente da comissão: ele explicou que o candidato não era um probabilista, como eu pensava, mas um estatístico (na biografia, chamada CV, não há “proba”, mas “stat”) .

“Os probabilistas”, explicou-me nosso experiente presidente, “têm uma lógica normal, a mesma dos matemáticos, aristotélicos. Para os estatísticos é completamente diferente: não é à toa que dizem “há mentiras, mentiras descaradas e estatísticas”. Todo o seu raciocínio não é comprovado, todas as suas conclusões são errôneas. Mas, por outro lado, são sempre muito necessárias e úteis, essas conclusões. Definitivamente, precisamos aceitar essa estatística!”

Na Universidade de Moscou, tal ignorante não poderia completar o terceiro ano da Faculdade de Mecânica e Matemática. As superfícies de Riemann foram consideradas o auge da matemática pelo fundador da Sociedade Matemática de Moscou N. Bugaev (pai de Andrei Bely). É verdade que ele acreditava que na matemática contemporânea do final do século 19 começaram a aparecer objetos que não se encaixavam no mainstream dessa antiga teoria - funções não holomórficas de variáveis reais, que, em sua opinião, são a encarnação matemática da ideia de livre arbítrio na mesma medida em que superfícies de Riemann e funções holomórficas incorporam a ideia de fatalismo e predestinação.

Como resultado dessas reflexões, Bugaev enviou jovens moscovitas a Paris para aprender lá a nova "matemática do livre arbítrio" (de Borel e Lebesgue). Este programa foi brilhantemente realizado por N. N. Luzin, que, ao retornar a Moscou, criou uma escola brilhante que incluía todos os principais matemáticos de Moscou de muitas décadas: Kolmogorov e Petrovsky, Alexandrov e Pontryagin, Menshov e Keldysh, Novikov e Lavrentiev, Gelfand e Lyusternik.

Aliás, Kolmogorov me recomendou o hotel Parisiana, que Luzin mais tarde escolheu para si no Quartier Latin de Paris (na Rue Tournefort, não muito longe do Panteão). Durante o Primeiro Congresso Europeu de Matemática em Paris (1992) fiquei neste hotel barato (com instalações ao nível do século XIX, sem telefone, etc.). E a anfitriã idosa deste hotel, sabendo que eu tinha vindo de Moscou, imediatamente me perguntou: E como está meu antigo convidado, Luzin, por lá? É uma pena que ele não nos visite há muito tempo.

Alguns anos depois, o hotel foi fechado para reparos (a anfitriã provavelmente morreu) e eles começaram a ser reconstruídos de maneira americana, então agora você não verá mais esta ilha do século XIX em Paris.

Voltando à escolha dos professores em 2002, observo que todos os ignorantes listados acima receberam (de todos, menos de mim) as melhores notas. Pelo contrário, foi quase unanimemente rejeitado pelo único, na minha opinião, candidato digno. Ele descobriu (com a ajuda de “bases de Gröbner” e álgebra computacional) várias dezenas de novos sistemas completamente integráveis de equações hamiltonianas da física matemática (ao mesmo tempo, ele recebeu, mas não incluiu na lista de novos, as famosas equações de Korteweg-de Vries, Sayn-Gordon e similares).

Como projeto para o futuro, o candidato também propôs um novo método baseado em computador para modelar o tratamento do diabetes. À minha pergunta sobre a avaliação de seu método pelos médicos, ele respondeu com bastante razão: “O método está sendo testado agora em tais centros e hospitais, e em seis meses eles darão suas conclusões, comparando os resultados com outros métodos e com grupos de controle de pacientes, mas por enquanto esse exame não é realizado, e há apenas estimativas preliminares, no entanto, Bom.

Eles o rejeitaram com a seguinte explicação: “Em cada página de sua dissertação, são mencionados grupos de Lie ou álgebras de Lie, e ninguém aqui entende isso, então ele não se encaixará em nossa equipe.”É verdade que seria possível rejeitar a mim e a todos os meus alunos dessa maneira, mas alguns colegas acham que o motivo da rejeição foi diferente: ao contrário de todos os candidatos anteriores, este não era francês (ele era aluno de um famoso professor americano de Minnesota).

Todo o quadro descrito leva a pensamentos tristes sobre o futuro da ciência francesa, em particular da matemática. Embora o "Comitê Nacional da França para a Ciência" estivesse inclinado a não financiar novas pesquisas científicas, mas a gastar dinheiro (fornecido pelo Parlamento para o desenvolvimento da ciência) na compra de receitas americanas prontas, eu me opus fortemente a isso política suicida e, no entanto, conseguiu pelo menos algum subsídio para novas pesquisas. Dificuldade causou, no entanto, a divisão do dinheiro. Medicina, energia nuclear, química de polímeros, virologia, genética, ecologia, proteção ambiental, descarte de resíduos radioativos e muito mais foram consistentemente reconhecidos como indignos de subsídios por votação (durante uma reunião de cinco horas). No final, eles ainda escolheram três "ciências", supostamente merecedoras de financiamento para suas novas pesquisas. Essas três "ciências" são: 1) AIDS; 2) psicanálise; 3) um ramo complexo da química farmacêutica, cujo nome científico não posso reproduzir, mas que trata de o desenvolvimento de drogas psicotrópicas como o gás lacrimogênico, transformando a multidão rebelde em um rebanho obediente.

Então agora a França está salva!

De todos os alunos de Luzin, a contribuição mais notável para a ciência foi feita, na minha opinião, por Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Crescendo em uma aldeia com seu avô perto de Yaroslavl, Andrei Nikolaevich orgulhosamente atribuiu a si mesmo as palavras de Gogol "um camponês rápido de Roslavl".

Ele não pretendia se tornar um matemático, mesmo já tendo entrado na Universidade de Moscou, onde imediatamente começou a estudar história (no seminário do professor Bakhrushin) e, antes de completar vinte anos, escreveu seu primeiro trabalho científico.

Este trabalho foi dedicado ao estudo das relações econômicas da terra na Novgorod medieval. Documentos fiscais foram preservados aqui, e a análise de um grande número desses documentos por métodos estatísticos levou o jovem historiador a conclusões inesperadas, sobre as quais ele falou na reunião de Bakhrushin.

A reportagem foi muito bem sucedida, e o palestrante foi muito elogiado. Mas ele insistiu em outro endosso: ele queria que suas conclusões fossem reconhecidas como corretas.

No final, Bakhrushin lhe disse: “Este relatório deve ser publicado; ele é muito interessante. Mas no que diz respeito às conclusões, nós, historiadores, sempre não precisamos de uma prova, mas de pelo menos cinco para aceitar qualquer conclusão!«

No dia seguinte, Kolmogorov mudou a história para a matemática, onde uma prova é suficiente. Ele não publicou o relatório, e esse texto permaneceu em seu arquivo até que, após a morte de Andrei Nikolaevich, foi mostrado aos historiadores modernos, que o reconheceram não apenas como muito novo e interessante, mas também bastante conclusivo. Agora, este relatório de Kolmogorov foi publicado e é considerado pela comunidade de historiadores como uma excelente contribuição para sua ciência.

Tendo se tornado um matemático profissional, Kolmogorov permaneceu, ao contrário da maioria deles, principalmente um cientista natural e pensador, e não um multiplicador de números multivalorados (que aparece principalmente ao analisar as atividades dos matemáticos para pessoas não familiarizadas com matemática, incluindo até L. D. Landau, para quem a matemática é precisamente a continuação das habilidades de contagem: cinco cinco - vinte e cinco, seis seis - trinta e seis, sete sete - quarenta e sete, como li em uma paródia de Landau, compilada por seus alunos de Fiztekh; no entanto, no livro de Landau cartas para mim, que era então estudante, matemática não mais lógica do que nesta paródia).

Mayakovsky escreveu: “Afinal, ele pode extrair a raiz quadrada a cada segundo” (sobre um professor que “não está entediado que sob a janela os cozinheiros vão ativamente ao ginásio”).

Mas ele também descreveu perfeitamente o que é uma descoberta matemática, dizendo que " Quem descobriu que dois vezes dois é igual a quatro foi um grande matemático, mesmo que o tenha descoberto contando bitucas de cigarro. E quem hoje conta objetos muito maiores usando a mesma fórmula, como locomotivas, não é um matemático!”

Kolmogorov, ao contrário de muitos outros, nunca teve medo da matemática aplicada, "locomotiva", e aplicou alegremente as considerações matemáticas às mais diversas áreas da atividade humana: da hidrodinâmica à artilharia, da mecânica celeste à versificação, da miniaturização dos computadores à teoria do movimento browniano, da divergência das séries de Fourier à teoria da transmissão de informação e à lógica intuicionista. Ele riu do fato de os franceses escreverem "Mecânica Celestial" com uma letra maiúscula e "aplicados" - com uma pequena.

Quando cheguei a Paris em 1965, o idoso professor Fréchet me cumprimentou calorosamente com as seguintes palavras: “Afinal, você é um estudante de Kolmogorov, o jovem que construiu um exemplo de uma série de Fourier divergente em quase todos os lugares!”

O trabalho de Kolmogorov mencionado aqui foi concluído por ele aos dezenove anos, resolveu o problema clássico e imediatamente promoveu esse aluno ao posto de matemáticos de primeira classe de importância mundial. Quarenta anos depois, essa conquista foi ainda mais significativa para Fréchet do que todas as obras fundamentais subsequentes e muito mais importantes de Kolmogorov, que giraram em todo o mundo e a teoria das probabilidades, a teoria das funções, a hidrodinâmica, a mecânica celeste e a teoria das aproximações, e a teoria da complexidade algorítmica, e a teoria da cohomologia em topologia, e a teoria do controle de sistemas dinâmicos (onde As desigualdades de Kolmogorov entre derivadas de diferentes ordens continuam sendo uma das maiores conquistas hoje, embora especialistas em teoria de controle raramente entendam isso).

Mas o próprio Kolmogorov sempre foi um pouco cético em relação à sua amada matemática, percebendo-a como uma pequena parte da ciência natural e abandonando facilmente aquelas restrições lógicas que os grilhões do método axiomático-dedutivo impõem aos matemáticos ortodoxos.

“Seria em vão”, ele me disse, “procurar conteúdo matemático em meu trabalho sobre turbulência. Estou falando aqui como um físico e não me importo com provas matemáticas ou derivar minhas conclusões de suposições como as equações de Navier-Stokes. Que essas conclusões não sejam comprovadas - mas são verdadeiras e abertas, e isso é muito mais importante do que prová-las!

Muitas das descobertas de Kolmogorov não só não foram comprovadas (nem por ele nem por seus seguidores), mas nem sequer foram publicadas. Mas, no entanto, eles já tiveram e continuam a ter uma influência decisiva em vários departamentos da ciência (e não apenas matemática).

Darei apenas um exemplo famoso (da teoria da turbulência).

Um modelo matemático da hidrodinâmica é um sistema dinâmico no espaço dos campos de velocidade do fluido que descreve a evolução do campo de velocidade inicial das partículas do fluido sob a influência de sua interação: pressão e viscosidade (e também sob a possível influência de forças externas, por exemplo, exemplo, força de peso no caso de um rio ou pressão de água em uma tubulação de água).

Sob a influência desta evolução, o sistema dinâmico pode vir a estado de equilíbrio (estacionário), quando a velocidade do fluxo em cada ponto da área de fluxo não muda com o tempo(embora tudo flua e cada partícula se mova e mude sua velocidade ao longo do tempo).

Tais fluxos estacionários (por exemplo, fluxos laminares em termos de hidrodinâmica clássica) são pontos de atração do sistema dinâmico. Eles são chamados, portanto, (ponto) atratores (atratores).

Outros conjuntos que atraem vizinhos também são possíveis, por exemplo, curvas fechadas representando fluxos mudando periodicamente com o tempo no espaço funcional dos campos de velocidade. Tal curva é um atrator quando as condições iniciais vizinhas, representadas por pontos “perturbados” do espaço funcional de campos de velocidade que estão próximos da curva fechada especificada, iniciam, embora não mudando periodicamente com o tempo, um fluxo, mas se aproximam dele ( ou seja, o fluxo perturbado tende ao periódico descrito anteriormente ao longo do tempo).

Poincaré, que primeiro descobriu esse fenômeno, chamou essas curvas de atratores fechadas "ciclos de limite estável". Do ponto de vista físico, eles podem ser chamados de regimes periódicos de fluxo constante: a perturbação decai gradualmente durante o processo de transição causado pela perturbação da condição inicial, e depois de um tempo a diferença entre o movimento e o movimento periódico imperturbável torna-se quase imperceptível.

Depois de Poincaré, tais ciclos limites foram estudados extensivamente por A. A. Andronov, que baseou neste modelo matemático o estudo e cálculo de geradores de ondas de rádio, ou seja, transmissores de rádio.

É instrutivo aquele descoberto por Poincaré e desenvolvido por Andronov teoria do nascimento de ciclos limites a partir de posições de equilíbrio instáveis chama-se hoje normalmente (mesmo na Rússia) a bifurcação de Hopf. E. Hopf publicou parte dessa teoria algumas décadas após a publicação de Andronov e mais de meio século depois de Poincaré, mas ao contrário deles, ele morava na América, então o conhecido princípio homônimo funcionou: se algum objeto tem o nome de alguém, então este não é o nome do descobridor(por exemplo, a América não tem o nome de Colombo).

O físico inglês M. Berry chamou esse princípio epônimo de "princípio de Arnold", complementando-o com um segundo. Princípio de Berry: O princípio de Arnold se aplica a si mesmo(ou seja, era conhecido antes).

Concordo plenamente com Berry sobre isso. Eu disse a ele o princípio epônimo em resposta a uma pré-impressão sobre a “fase Berry”, cujos exemplos, em nada inferiores à teoria geral, foram publicados décadas antes de Berry por S. M. Rytov (sob o título “polarization direction inertia”) e A. Yu .Ishlinsky (sob o nome de "partida do giroscópio do submarino devido a uma incompatibilidade entre o caminho de retorno à base e o caminho de saída"),

Voltemos, porém, aos atratores. Um atrator, ou conjunto de atração, é um estado estável de movimento, que, no entanto, não precisam ser periódicos. Os matemáticos também exploraram movimentos muito mais complexos que também podem atrair movimentos vizinhos perturbados, mas que podem ser extremamente instáveis: pequenas causas às vezes causam grandes efeitos, disse Poincaré. O estado, ou “fase”, de tal regime limite (ou seja, um ponto na superfície do atrator) pode se mover ao longo da superfície do atrator de uma maneira bizarra e “caótica”, e um pequeno desvio do ponto inicial no atrator pode alterar muito o curso do movimento sem alterar o regime limite. As médias de longo prazo de todos os observáveis possíveis serão próximas nos movimentos inicial e perturbado, mas os detalhes em um ponto fixo no tempo serão, via de regra, completamente diferentes.

Em termos meteorológicos, o "regime limite" (atrator) pode ser comparado a clima, e a fase tempo. Uma pequena mudança nas condições iniciais pode afetar muito o clima de amanhã (e ainda mais fortemente - o clima em uma semana e um mês). Mas a partir de tal mudança, a tundra ainda não se tornará uma floresta tropical: apenas uma tempestade em vez de terça-feira pode irromper na sexta-feira, o que pode não alterar a média do ano (e nem mesmo do mês).

Em hidrodinâmica, o grau de amortecimento das perturbações iniciais é geralmente caracterizado por viscosidade (por assim dizer, o atrito mútuo das partículas de um líquido à medida que se movem uma em relação à outra), ou a viscosidade inversa, um valor chamado "número de Reynolds". Grandes valores do número de Reynolds correspondem a um fraco amortecimento de distúrbios, e grandes valores de viscosidade (ou seja, pequenos números de Reynolds), pelo contrário, regularizam o fluxo, evitando distúrbios e seu desenvolvimento. Subornos e corrupção muitas vezes desempenham o papel de "viscosidade" na economia 1 .

1 A gestão da produção em vários estágios é instável se o número de estágios (trabalhador, capataz, gerente de oficina, diretor de fábrica, matriz etc.) são encorajados não apenas de cima (para seguir ordens), mas também de baixo (para o bem da causa, para decisões favoráveis à produção). Para o último incentivo, a corrupção é usada. Para detalhes, veja o artigo: V. I. Arnold. Matemática e educação matemática no mundo moderno. In: Matemática na educação e educação. - M.: FAZIS, 2000, p. 195-205.

Devido à alta viscosidade, em baixos números de Reynolds, geralmente é estabelecido um fluxo estacionário (laminar) estável, que é representado no espaço de campos de velocidade por um atrator de ponto.

A questão principal é como a natureza do fluxo mudará com o aumento do número de Reynolds. Em um sistema de abastecimento de água, isso corresponde, por exemplo, a um aumento na pressão da água, o que torna instável uma corrente de torneira suave (laminar), mas matematicamente, para aumentar o número de Reynolds, é mais conveniente reduzir o atrito das partículas coeficiente que expressa a viscosidade (que no experimento exigiria uma substituição tecnicamente complexa do líquido). No entanto, às vezes, para alterar o número de Reynolds, basta alterar a temperatura no laboratório. Eu vi tal instalação em Novosibirsk no Institute of Precise Measurements, onde o número de Reynolds mudou (no quarto dígito) quando aproximei minha mão do cilindro onde ocorreu o fluxo (precisamente devido a mudanças de temperatura) e na tela do computador processando o experimento, essa mudança no número de Reynolds imediatamente indicada pela automação eletrônica.

Pensando nesses fenômenos de transição de um fluxo laminar (estacionário estável) para um turbulento violento, Kolmogorov há muito expressou uma série de hipóteses (que permanecem não comprovadas até hoje). Acho que essas hipóteses remontam à época (1943) de sua disputa com Landau sobre a natureza da turbulência. De qualquer forma, ele as formulou explicitamente em seu seminário (sobre hidrodinâmica e teoria dos sistemas dinâmicos) na Universidade de Moscou em 1959, onde até fizeram parte do anúncio sobre o seminário que ele então postou. Mas não conheço nenhuma publicação formal dessas hipóteses pelos Kolmogorovs, e no Ocidente geralmente são atribuídas aos seus epígonos Kolmogorov, que as conheceram e as publicaram décadas depois.

A essência dessas hipóteses de Kolmogorov é que, à medida que o número de Reynolds aumenta, o atrator correspondente ao regime de fluxo permanente se torna cada vez mais complexo, ou seja, que sua dimensão aumenta.

Primeiro é um ponto (um atrator de dimensão zero), depois um círculo (ciclo limite de Poincaré, um atrator unidimensional). E a hipótese de Kolmogorov sobre atratores em hidrodinâmica consiste em duas afirmações: medida que o número de Reynolds aumenta 1) atratores de dimensões cada vez maiores aparecem; 2) todos os atratores de baixa dimensão desaparecem.

De 1 e 2 juntos segue que quando o número de Reynolds é grande o suficiente, o estado estacionário certamente tem muitos graus de liberdade, então muitos parâmetros devem ser especificados para descrever sua fase (um ponto no atrator), que então, ao se mover ao longo do atrator, mudará de maneira "caótica" caprichosa e não periódica, e uma pequena mudança no ponto inicial do atrator, como regra, leva a uma grande (depois de muito tempo) mudança no "tempo" (o ponto atual no atrator), embora não mude o próprio atrator (ou seja, , não causará uma mudança no "clima").

A afirmação 1 por si só não é suficiente aqui, pois diferentes atratores podem coexistir, incluindo atratores de diferentes dimensões em um sistema (que, portanto, pode realizar um movimento “laminar” calmo em algumas condições iniciais e um “turbulento” violento em outras, dependendo do seu estado inicial).

Observação experimental de tais efeitos "retardando a flambagem" surpreendeu os físicos por muito tempo, mas Kolmogorov acrescentou que mesmo que um atrator de baixa dimensão não desapareça, ele pode não alterar a turbulência observada no caso em que o tamanho de sua zona de atração diminui fortemente com o aumento do número de Reynolds. Nesse caso, o regime laminar, embora possível em princípio (e até estável), praticamente não é observado devido à área extremamente pequena de sua atração: já pequenas, mas sempre presentes no experimento, as perturbações podem tirar o sistema da zona de atração desse atrator para a zona de atração de outro estado estacionário, já turbulento, que será observado.

Essa discussão também pode explicar essa estranha observação: alguns experimentos hidrodinâmicos famosos do século XIX não puderam ser repetidos na segunda metade do século XX, embora tenham tentado usar o mesmo equipamento no mesmo laboratório. Descobriu-se, no entanto, que o antigo experimento (com o atraso da perda de estabilidade) pode ser repetido se não for feito no antigo laboratório, mas em uma mina subterrânea profunda.

O fato é que o tráfego rodoviário moderno aumentou muito a magnitude das perturbações "imperceptíveis", que começaram a afetar (devido à pequenez da zona de atração do atrator "laminar" restante).

Inúmeras tentativas de muitos matemáticos para confirmar as conjecturas 1 e 2 de Kolmogorov (ou pelo menos a primeira) com provas até agora só levaram a estimativas das dimensões do atrator em termos de números de Reynolds de cima: esta dimensão não pode se tornar muito grande enquanto a viscosidade o impedir.

A dimensão é estimada nesses trabalhos por uma função de potência do número de Reynolds (ou seja, um grau negativo de viscosidade), e o expoente depende da dimensão do espaço onde ocorre o escoamento (em um escoamento tridimensional, a turbulência é mais forte do que em problemas de avião).

Quanto à parte mais interessante do problema, ou seja, a estimativa de menor dimensão (pelo menos para alguns atratores, como na Conjectura 1, ou mesmo para todos, como na Conjectura 2, sobre a qual Kolmogorov expressou mais dúvidas), aqui os matemáticos não estavam em altura, porque, por hábito, substituiu o problema real da ciência natural com sua formulação formal axiomática abstrata com suas definições precisas, mas traiçoeiras.

O fato é que o conceito axiomático do atrator foi formulado pelos matemáticos com a perda de algumas propriedades do modo físico limitante do movimento, cujo conceito (não estritamente definido) da matemática tentou ser axiomatizado pela introdução do termo "atrator".

Considere, por exemplo, um atrator que é um círculo (para o qual todas as trajetórias próximas da dinâmica se aproximam em espiral).

No próprio círculo, que atrai vizinhos, deixe a dinâmica ser organizada da seguinte forma: dois pontos opostos (nas extremidades do mesmo diâmetro) são imóveis, mas um deles é um atrator (atrai vizinhos) e o outro é um repulsor (repeli-los).

Por exemplo, pode-se imaginar um círculo verticalmente em pé, cuja dinâmica se desloca para baixo ao longo do círculo em qualquer ponto, exceto os restantes pólos fixos:

atrator na parte inferior e repulsor na parte superior.

Nesse caso, apesar da existência de um círculo atrator unidimensional no sistema, apenas uma posição estacionária estável será fisicamente estável(o atrator inferior no modelo "vertical" acima).

Para uma pequena perturbação arbitrária, o movimento evoluirá primeiro para um círculo atrator. Mas então a dinâmica interna desse atrator terá um papel, e estado do sistema, vai ser eventualmente se aproximam de um atrator “laminar” de dimensão zero, enquanto um atrator unidimensional, embora exista matematicamente, não é adequado para o papel de um “estado estacionário”.

Uma maneira de evitar tais problemas é consideram como atratores apenas atratores mínimos, ou seja, atratores que não contêm atratores menores. As conjecturas de Kolmogorov referem-se precisamente a tais atratores, se quisermos dar-lhes uma formulação precisa.

Mas nada foi provado sobre limites inferiores para dimensões, apesar das inúmeras publicações assim chamadas.

O perigo da abordagem dedutiva-axiomática da matemática muitos pensadores antes de Kolmogorov entenderam claramente. O primeiro matemático americano J. Sylvester escreveu que as ideias matemáticas não devem de forma alguma ser petrificadas, pois perdem sua força e aplicação ao tentar axiomatizar as propriedades desejadas. Ele disse que as ideias devem ser tomadas como a água de um rio: nunca entramos exatamente na mesma água, embora o vau seja o mesmo. Da mesma forma, uma ideia pode dar origem a muitas axiomáticas diferentes e não equivalentes, cada uma das quais não reflete totalmente a ideia.

Sylvester chegou a todas essas conclusões pensando, em suas palavras, "um estranho fenômeno intelectual, que consiste no fato de que a prova de uma afirmação mais geral muitas vezes acaba sendo mais simples do que as provas dos casos particulares nela contidos. Como exemplo, ele comparou a geometria de um espaço vetorial com a análise funcional (ainda não estabelecida).

Essa ideia de Sylvester foi muito usada depois. Por exemplo, é precisamente isso que explica o desejo de Bourbaki de tornar todos os conceitos tão gerais quanto possível. Eles até usam dentro Na França, a palavra “mais” no sentido de que em outros países (chamados desdenhosamente por eles como “anglo-saxões”) é expressa pelas palavras “maior que ou igual a”, já que na França o conceito mais geral “> =" foi considerado primário, e o exemplo mais específico ">" - " sem importância". Por causa disso, eles ensinam aos alunos que zero é um número positivo (assim como um número negativo, não positivo, não negativo e natural), que não é reconhecido em nenhum outro lugar.

Mas aparentemente eles não chegaram à conclusão de Sylvester sobre a inadmissibilidade da petrificação das teorias (pelo menos em Paris, na biblioteca da Ecole Normale Supérieure, essas páginas de suas Obras Completas estavam intactas quando cheguei a elas recentemente).

Eu não consigo convencer os "especialistas" matemáticos a interpretar corretamente as hipóteses sobre o crescimento das dimensões dos atratores, uma vez que eles, como advogados, se opõem a mim com referências formais aos códigos dogmáticos de leis existentes contendo uma "definição formal exata" de atratores de o ignorante.

Kolmogorov, ao contrário, nunca se importou com a letra da definição de alguém, mas pensou na essência da questão 2 .

2 Tendo resolvido em 1960 o problema de Birkhoff sobre a estabilidade dos pontos fixos de sistemas não ressonantes, publiquei em 1961 a solução justamente para esse problema. Um ano depois, J. Moser generalizou meu resultado, provando estabilidade também para ressonâncias de ordem maiores que quatro. Foi só então que percebi que minha prova estabeleceu esse fato mais geral, mas, hipnotizado pela definição de não-ressonância de Birkhoff, não escrevi que provei mais do que Birkhoff exigia.

Uma vez ele me explicou que ele veio com sua teoria de cohomologia topológica não combinatória e não algebricamente, como parece, mas pensando em fluxos de fluidos em hidrodinâmica, depois em campos magnéticos: ele queria modelar essa física na situação combinatória de um complexo abstrato e fez isso.

Naqueles anos, ingenuamente tentei explicar a Kolmogorov o que aconteceu na topologia ao longo das décadas em que ele extraiu todo o seu conhecimento sobre isso apenas de PS Aleksandrov. Por causa desse isolamento, Kolmogorov não sabia nada sobre topologia de homotopia; ele me convenceu de que “sequências espectrais estavam contidas no trabalho Kazan de Pavel Sergeevich 1942 Do ano", e as tentativas de explicar a ele o que é uma sequência exata não foram mais bem sucedidas do que minhas tentativas ingênuas de colocá-lo em esquis aquáticos ou colocá-lo em uma bicicleta, esse grande viajante e esquiador.

Surpreendente para mim, no entanto, foi a alta avaliação das palavras de Kolmogorov sobre cohomologia dada por um especialista rigoroso, Vladimir Abramovich Rokhlin. Ele me explicou, de forma nada crítica, que essas palavras de Kolmogorov contêm, em primeiro lugar, uma avaliação profundamente correta da relação entre suas duas realizações (especialmente difícil quando, como aqui, ambas as realizações são notáveis), e, em segundo lugar, uma -antevisão de um enorme valor de operações cohomológicas.

De todas as realizações da topologia moderna, Kolmogorov valorizou mais as esferas de Milnor, sobre as quais este último falou em 1961 no Congresso de Matemática da União em Leningrado. Kolmogorov até me convenceu (na época, um estudante de pós-graduação novato) a incluir essas esferas no meu plano de pós-graduação, o que me fez começar a estudar topologia diferencial com Rokhlin, Fuchs e Novikov (como resultado, eu fui logo um oponente do último tese de doutorado sobre estruturas diferenciáveis em produtos de esferas).

A ideia de Kolmogorov era usar as esferas de Milnor para provar a não representabilidade de uma função de muitas variáveis por superposições no 13º problema de Hilbert (provavelmente para funções algébricas), mas não conheço nenhuma de suas publicações sobre este tema, ou a formulação de seu conjecturas.

Outro círculo pouco conhecido das ideias de Kolmogorov relaciona-se com controle ótimo de sistemas dinâmicos.

A tarefa mais simples deste círculo é maximizar em algum ponto a primeira derivada de uma função definida em um segmento ou em um círculo, conhecendo os limites superiores para os módulos da própria função e sua segunda derivada. A segunda derivada evita que a primeira se extinga rapidamente e, se a primeira for muito grande, a função ultrapassa o limite dado.

Provavelmente Hadamard foi o primeiro a publicar uma solução para este problema sobre a segunda derivada, e mais tarde foi redescoberta por Littlewood enquanto trabalhava em trajetórias de artilharia. Kolmogorov, ao que parece, não conhecia as publicações de um nem de outro, e decidiu o problema de estimar de cima qualquer derivada intermediária em termos dos valores máximos dos módulos de uma função diferenciável e sua derivada de ordem alta (fixa).

A brilhante ideia de Kolmogorov foi explicitamente indicam funções extremas, como polinômios de Chebyshev (nos quais a desigualdade que está sendo provada se torna uma igualdade). E para que a função fosse extrema, ele naturalmente adivinhou que o valor da maior derivada deve sempre ser escolhido como o módulo máximo, mudando apenas o seu sinal.

Isso o levou a uma notável série de recursos especiais. A função zero desta série é o sinal do seno do argumento (todos os lugares com o módulo máximo). A próxima, primeira, função é a primitiva de zero (ou seja, já contínua "saw" cuja derivada em todos os lugares tem o módulo máximo). Outras funções são obtidas cada uma da anterior pela mesma integração (aumentando o número de derivadas em um). Só é necessário escolher a constante de integração para que a integral da função antiderivada resultante no período seja igual a zero a cada vez (então todas as funções construídas serão periódicas).

As fórmulas explícitas para as funções polinomiais por partes resultantes são bastante complicadas (as integrações introduzem constantes racionais relacionadas até mesmo aos números de Bernoulli).

Os valores das funções construídas e suas derivadas fornecem constantes nas estimativas de potência de Kolmogorov (estimando o módulo da derivada intermediária de cima através do produto das potências racionais dos máximos do módulo da função e a derivada mais alta). Esses expoentes racionais são fáceis de adivinhar a partir da consideração da similaridade, que remonta às leis de similaridade de Leonardo da Vinci e a teoria da turbulência de Kolmogorov, que a combinação deveria ser adimensional, pois é claro (pelo menos pela notação de Leibniz ) como as derivadas de ordens diferentes se comportam quando as unidades mudam as medidas de argumentos e funções. Por exemplo, para o problema de Hadamard, ambos os expoentes racionais são iguais à metade, então o quadrado da primeira derivada é estimado de cima pelo produto dos máximos do módulo da própria função e sua segunda derivada (com um coeficiente dependendo de o comprimento do segmento ou círculo onde a função é considerada).

Provar todas essas estimativas é mais fácil do que inventar as funções extremas descritas acima (e entregar, entre outras coisas, o teorema de Gauss: a probabilidade de irredutibilidade de uma fração p/q com numerador e denominador inteiros é 6/p 2 , ou seja, cerca de 2/3).

Em termos da teoria de gestão de hoje, A estratégia escolhida por Kolmogorov é chamada de "big bang": o parâmetro de controle deve sempre ser escolhido para ter um valor extremo, qualquer moderação só prejudica.

Quanto à equação diferencial de Hamilton para mudar ao longo do tempo a escolha desse valor extremo entre muitos possíveis, Kolmogorov a conhecia muito bem, chamando-a, no entanto, de princípio de Huygens (que é realmente equivalente a essa equação e da qual Hamilton obteve sua equação por passando de envelopes para diferenciais). Kolmogorov até apontou para mim, então estudante, que a melhor descrição desta geometria do princípio de Huygens está no livro de mecânica de Whittaker, onde eu aprendi, e que em uma forma algébrica mais intrincada está na teoria da "transformação berurung" de Sophus Lie (em vez da qual eu aprendi a teoria das transformações canônicas dos "Sistemas Dinâmicos" de Birkhoff e que hoje é chamada de geometria de contato).

Buscar as origens da matemática moderna nos escritos clássicos geralmente não é fácil, especialmente devido à mudança de terminologia tomada para uma nova ciência. Por exemplo, quase ninguém percebe que a chamada teoria das variedades de Poisson já foi desenvolvida por Jacobi. O fato é que Jacobi seguiu o caminho das variedades algébricas - variedades, e não variedades lisas - variedades. Ou seja, ele estava interessado na variedade de órbitas do sistema dinâmico hamiltoniano. Como objeto topológico ou liso, possui singularidades e patologias ainda mais desagradáveis (“não-Hausdorffness” e similares) com órbitas emaranhadas (curvas de fase de um sistema dinâmico complexo).

Mas a álgebra de funções nesta (possivelmente ruim) "variedade" está perfeitamente definida: é simplesmente a álgebra das primeiras integrais do sistema original. Pelo teorema de Poisson, o colchete de Poisson das duas primeiras integrais é novamente a primeira integral. Portanto, na álgebra das integrais, além da multiplicação, há mais uma operação bilinear - o colchete de Poisson.

A interação dessas operações (multiplicações e colchetes) no espaço de funções em uma dada variedade suave a torna uma variedade de Poisson. Ignoro os detalhes formais de sua definição (não são difíceis), especialmente porque nem todos se cumprem no exemplo que interessou a Jacobi, onde a variedade de Poisson não é nem suave nem Hausdorff.

Nesse caminho, A teoria de Jacobi contém um estudo de variedades mais gerais com singularidades do que as modernas variedades suaves de Poisson e, além disso, essa teoria é construída por ele no estilo da geometria algébrica de anéis e ideais, em vez da geometria diferencial de subvariedades.

Seguindo o conselho de Sylvester, os especialistas em variedades de Poisson deveriam, sem se limitar à sua axiomática, retornar a um caso mais geral e mais interessante, já considerado por Jacobi. Mas Sylvester não fez isso (atrasado, segundo ele, para o vapor que partia para Baltimore), e os matemáticos dos tempos mais recentes estão completamente sujeitos aos ditames dos axiomistas.

O próprio Kolmogorov, tendo resolvido o problema de estimativas superiores de derivadas intermediárias, entendeu que poderia resolver muitos outros problemas de otimização usando os mesmos métodos de Huygens e Hamilton, mas não o fez, especialmente quando Pontryagin, a quem sempre tentou ajudar, publicou seu “princípio máximo”, que é, em essência, um caso especial do mesmo princípio de Huygens de geometria de contato esquecida, aplicado, porém, a um problema não muito geral.

Kolmogorov pensou corretamente que Pontryagin não entendia nem essas conexões com o princípio de Huygens, nem a conexão de sua teoria com o trabalho de Kolmogorov sobre estimativas de derivadas, que o precedeu fortemente. E, portanto, não querendo interferir com Pontryagin, ele não escreveu em nenhum lugar sobre essa conexão, bem conhecida dele.

Mas agora, eu acho, isso já pode ser dito, na esperança de que alguém possa usar essas conexões para descobrir novos resultados.

É instrutivo que as desigualdades de Kolmogorov entre derivadas serviram de base para as notáveis realizações de Yu. Moser na chamada teoria KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser), que lhe permitiu transferir os resultados de Kolmogorov de 1954 sobre toros invariantes de sistemas hamiltonianos analíticos a apenas trezentos e trinta e três sistemas diferenciáveis. Este foi o caso em 1962, quando Moser inventou sua notável combinação de suavização de Nash com o método de convergência acelerada de Kolmogorov.

Agora, o número de derivadas necessárias para a prova foi significativamente reduzido (principalmente por J. Mather), de modo que as trezentas e trinta e três derivadas necessárias no problema de mapeamento de anel bidimensional foram reduzidas para três (enquanto os contra-exemplos foram encontrado para duas derivadas).

Curiosamente, após o aparecimento do trabalho de Moser, os "matemáticos" americanos tentaram publicar sua "generalização do teorema de Moser para sistemas analíticos" (que era apenas o teorema de Kolmogorov publicado dez anos antes, que Moser conseguiu generalizar). Moser, no entanto, pôs um fim decisivo a essas tentativas de atribuir o resultado clássico de Kolmogorov a outros (ele observou corretamente, no entanto, que Kolmogorov nunca publicou uma exposição detalhada de sua prova).

Pareceu-me então que a prova publicada por Kolmogorov na nota da DAN era bastante clara (embora ele escrevesse mais para Poincaré do que para Hilbert), em contraste com a prova de Moser, onde não entendi um lugar. Eu até refiz em minha revisão da maravilhosa teoria de Moser em 1963. Posteriormente, Moser me explicou o que ele quis dizer com essa passagem obscura, mas mesmo agora não tenho certeza se essas explicações foram devidamente publicadas (na minha reformulação, tenho que escolher s < e /3, а не e /2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Também é instrutivo que "Método de convergência acelerada de Kolmogorov"(corretamente atribuído por Kolmogorov a Newton) foi usado para um propósito semelhante de resolver a equação não linear por A. Cartan dez anos antes de Kolmogorov, para provar o que hoje é chamado de teorema MAS teoria do feixe. Kolmogorov não sabia nada sobre isso, e Cartan apontou isso para mim em 1965, e garantiu que Kolmogorov também pudesse se referir a Cartan (embora a situação na teoria das vigas fosse um pouco mais simples, pois ao resolver um problema linearizado não havia a principal dificuldade em mecânica celeste de ressonâncias e pequenos denominadores, que estava presente em Kolmogorov e Poincaré). A abordagem mais ampla do que matemática de Kolmogorov em sua pesquisa foi claramente manifestada em dois de seus artigos com coautores: em um artigo com ondas de M.A.

Em ambos os casos, o trabalho contém tanto uma declaração física clara do problema da ciência natural quanto uma técnica matemática complexa e não trivial para resolvê-lo.

E em ambos os casos Kolmogorov completou não a matemática, mas a parte física do trabalho, ligados, em primeiro lugar, à formulação do problema e à derivação das equações necessárias, cabendo aos coautores o estudo e a demonstração dos teoremas correspondentes.

No caso da assintótica browniana, essa difícil técnica matemática envolve o estudo de integrais ao longo de caminhos deformáveis em superfícies de Riemann, levando em consideração as complexas deformações dos contornos de integração necessárias para isso ao mudar os parâmetros, ou seja, o que hoje é chamado de “ teoria de Picard-Lefschetz” ou a “teoria da conexão Gauss-Manina”.

E todo esse estudo das assintóticas das integrais pertence a M. A. Leontovich, um físico notável (a propósito, que, junto com seu professor L. I. Mandelstam, apresentou uma teoria que forneceu uma explicação do decaimento radioativo usando o efeito de tunelamento quântico de passagem sob a barreira, e o trabalho que publicaram foi posteriormente resumido por seu aluno G. Gamov 3 que partiu para os EUA, sob cujo nome agora é mais conhecido).

3 Meu conterrâneo G. Gamov de Odessa é mais famoso por suas três descobertas a seguir: a teoria do decaimento alfa, a solução para a codificação de três letras de aminoácidos por bases no DNA e a teoria do “big bang” durante a formação do Universo. Agora seus maravilhosos livros também estão disponíveis para o leitor russo (que por muito tempo não teve essa oportunidade devido ao não retorno de Gamow do Congresso Solvay).

O trabalho sobre a trajetória browniana mencionado acima foi publicado nas obras coletadas de Leontovich e Kolmogorov. E ambas as edições dizem que a parte física do trabalho pertence ao matemático, e a parte matemática pertence ao físico. Isso explica muitas características da cultura matemática russa.

A mesma situação está no trabalho do "KPP" sobre a velocidade de propagação das ondas ambientais. Kolmogorov me disse que possui nele a formulação de um problema matemático (inventado por ele enquanto pensava em situação ecológica do movimento da frente de propagação de uma espécie ou gene na presença de migração e difusão).

Métodos matemáticos de solução (tão não convencionais quanto o próprio problema) foram desenvolvidos por I.G. Petrovsky (para quem esse trabalho não linear também é uma exceção). O artigo foi escrito principalmente por Piskunov, sem o qual também não existiria. Embora este notável trabalho sobre “assintóticos intermediários”, como Ya. B. Zel'dovich o chamou, seja amplamente conhecido pelos cientistas aplicados e seja constantemente usado, é pouco conhecido pelos matemáticos, apesar das ideias completamente originais e brilhantes contidas nele sobre a competição de ondas movendo-se em diferentes velocidades.

Há muito tempo espero que um matemático sério continue esses estudos, mas até agora só vi pessoas “aplicadas” aplicando resultados prontos e não acrescentando novas ideias e métodos.

O grande Pasteur aplicado dizia que não há "ciências aplicadas", mas há apenas ciências fundamentais ordinárias, onde se descobrem novas verdades, e há suas aplicações, onde essas verdades são usadas.

Para a real continuação do trabalho do "KPP" é necessário avançar na ciência fundamental.

Marat escreveu que "de todos os matemáticos, os melhores são Laplace, Monge e Cousin, que calculam tudo de acordo com fórmulas pré-preparadas". Esta frase é um sinal de um completo mal-entendido da matemática pelos revolucionários, a principal coisa em que é o pensamento livre fora da estrutura de quaisquer esquemas pré-preparados.

Um pouco mais tarde, Marat Abel escreveu de Paris, onde passou cerca de um ano, que “é impossível falar de qualquer coisa com os matemáticos locais, pois cada um deles quer ensinar a todos e não quer aprender nada sozinho. Como resultado, ele escreveu profeticamente, cada um deles entende apenas uma área estreita e não entende nada fora dela. Há um especialista em teoria do calor [Fourier], há um especialista em teoria da elasticidade [Poisson], há um especialista em mecânica celeste [Laplace], e só Cauchy [Lagrange morava em Berlim] podia entender alguma coisa, mas ele está interessado apenas em sua própria prioridade.” [por exemplo, na aplicação de números complexos à solução proposta por Lame para o problema de Fermat expandindo o binômio xn+yn a fatores complexos].

Tanto Abel quanto (dez anos depois) Galois foram muito além do escopo dos “esquemas prontos” (tendo desenvolvido, no caso de Abel, a topologia das superfícies de Riemann e dela deduzido tanto a impossibilidade de resolver equações do quinto grau em radicais e a inexprimibilidade na forma de funções elementares de “integrais elípticas”, como a integral da raiz quadrada de um polinômio de terceiro ou quarto grau, expressando o comprimento do arco de uma elipse, e suas “funções elípticas” inversas ).

Portanto, Cauchy "perdeu" os manuscritos tanto de Abel quanto de Galois, de modo que o trabalho de Abel sobre a insolvência foi publicado (por Liouville) apenas décadas depois, segundo um jornal parisiense da época, "este pobre homem voltou para sua parte da Sibéria, chamado Noruega , a pé - sem dinheiro para uma passagem para o navio - no gelo do Oceano Atlântico.

Já no século 20, o famoso excêntrico inglês Hardy escreveu que "Abel, Riemann e Poincaré viveram suas vidas em vão, não trazendo nada para a humanidade".

A maior parte da matemática moderna (e principalmente a matemática usada pelos físicos) é uma repetição ou desenvolvimento das maravilhosas ideias geométricas de Abel, Riemann, Poincaré, que permeiam toda a matemática moderna como um todo, onde, segundo Jacobi, “um e o mesma função resolve e a questão de representar números como uma soma de quadrados, e a questão da lei das grandes oscilações de um pêndulo, resolvendo também a questão do comprimento de uma elipse, que elipse descreve tanto o movimento dos planetas, quanto a queda de satélites e seções cônicas. MAS Riemannianas, superfícies, integrais abelianas e equações diferenciais de Poincaré são as principais chaves para o incrível mundo da matemática.

Kolmogorov percebeu como um todo não apenas toda a matemática, mas também todas as ciências naturais. Aqui está um exemplo de suas reflexões sobre a miniaturização de um computador, como o modelo mais simples do qual ele considerou um gráfico (diagrama, diagrama) de P vértices (bolas (de raio fixo), cada uma conectada a não mais que k outros (com a ajuda de conexões: "fios" de espessura fixa). O maior número de conexões k cada vértice que ele fixou, e o número de vértices P considerado muito grande (existem cerca de 10 10 neurônios no cérebro humano). A questão da miniaturização é Qual é a menor bola que pode caber sem autointerseções em um determinado grafo com as seguintes propriedades: como o raio dessa bola mínima cresce com o número de vértices n?

Uma limitação é óbvia: o volume da bola não deve crescer mais devagar que isso, já que o volume total das bolas de vértices cresce a tal velocidade, e todas elas precisam se encaixar.

Mas será possível encaixar todo o gráfico em uma bola de raio proporcional à raiz cúbica de n. Afinal, além dos picos, as conexões também devem caber! E embora seu número também seja da ordem de ta, o volume pode ser muito maior, pois para ta grande, também podem ser necessárias ligações longas.

Além disso, Kolmogorov raciocinou, imaginando o gráfico como um cérebro. Um cérebro muito estúpido (“verme”) consiste em uma única cadeia de vértices conectados em série. É fácil colocar tal cérebro em uma “cobra” em um “crânio” com um raio da ordem da raiz cúbica de n.

Ao mesmo tempo, a evolução dos animais deveria ter tentado empilhar o cérebro economicamente, reduzindo ao máximo o tamanho do crânio. Como é com os animais?

Sabe-se que o cérebro é composto de substância cinzenta (o corpo dos neurônios-vértices) e substância branca (conexões: axônios, dendritos). A matéria cinzenta está localizada ao longo da superfície do cérebro, enquanto a matéria branca está localizada no interior. Com tal arranjo na superfície, o raio do crânio deve crescer não como um cubo, mas mais rápido que a raiz quadrada do número de vértices (o raio é muito maior do que o volume das bolas dos vértices dita).

Então Kolmogorov chegou à hipótese matemática de que o raio mínimo deve ser da ordem da raiz quadrada do número de vértices(baseado no fato de que a localização das células cerebrais reais foi trazida para um estado que minimiza o raio do crânio pela evolução). Em suas publicações, Kolmogorov evitou deliberadamente escrever sobre essas considerações biológicas e sobre o cérebro em geral, embora a princípio não tivesse argumentos a favor da raiz quadrada, exceto os biológicos.

Prove que todo gráfico de n vértices podem caber (com a restrição k pelo número de links de vértices) em uma bola de raio na ordem da raiz quadrada de ta, bem-sucedida (embora não facilmente). Isso já é matemática pura de provas rigorosas.

Mas a questão de por que o gráfico não pode ser colocado em um “crânio” de raio menor acabou sendo mais complicado (mesmo porque “é impossível” nem sempre: O cérebro "muito estúpido" de um verme se encaixa em um crânio com um raio da ordem da raiz cúbica de n, que é muito menor que a raiz quadrada).

No final, Kolmogorov também conseguiu lidar completamente com esse problema. Primeiro, ele provou que aninhar em um "crânio" menor que a raiz quadrada de n raio não permite a maioria dos "cérebros" de n "neurônios": incorporáveis (como um cérebro "unidimensional" na forma de uma cadeia de vértices sequencialmente conectados) constituem uma minoria insignificante do enorme número total n- gráficos de vértices (com constante dada limitada k

Em segundo lugar, ele estabeleceu um critério notável para a complexidade impedindo a incorporação em um "crânio" menor: a marca registrada da complexidade era a versatilidade. Ou seja, o grafo com esses vértices é chamado universal, se contiver como subgrafos (com um número um pouco menor de vértices) todos os grafos desse número menor de vértices (com uma limitação, é claro, que mesmo permanente k o número de ligações de cada vértice).

As palavras "um pouco menos vértices" podem ser entendidas aqui de diferentes maneiras: como um ou como n / D, Onde uma menos de 1. Com esta compreensão correta da universalidade, os dois fatos seguintes são provados: primeiro, para alguns c = const qualquer grafo universal com n vértices acaba sendo não incorporável em uma bola de raio menor que a raiz quadrada de n e, em segundo lugar, grafos não universais são uma minoria insignificante(em um grande número de todos n-grafos de vértice com a restrição acima k em contato).

Em outras palavras, embora cérebros estúpidos possam ser pequenos, nenhum cérebro (ou computador) suficientemente inteligente pode caber em um pequeno volume e, além disso, a complexidade do sistema por si só é extremamente provável para garantir que ele possa ter um bom desempenho ("universal"), isto é, sua capacidade de substituir ("simular") todos os outros sistemas (quase tão complexos quanto ele próprio).

Essas conquistas constituíram um dos últimos trabalhos de Andrei Nikolaevich (as desigualdades finais foram obtidas por ele junto com seu aluno Bardzin, nas desigualdades iniciais de Kolmogorov havia logaritmos extras, que Bardzin conseguiu remover).

A atitude de Kolmogorov para logaritmos em assintóticos era muito específica. Explicou aos alunos que os números são divididos nas seguintes quatro categorias:

números pequenos: 1, 2, ..., 10, 100;
números médios: 1.000, 1.000.000;
números grandes: 10 100 , 10 1000 ;
números praticamente infinitos: 10 1010 .

O logaritmo move o número para a categoria anterior. É por isso logaritmos em assintóticos como n 3 ln n - são apenas constantes: n 3 log n no n= 10 é praticamente 2p 3, e o crescimento do logaritmo é tão lento que pode ser desprezado na primeira aproximação, considerando o logaritmo "limitado".

É claro, tudo isso está completamente errado do ponto de vista da matemática axiomática formal. Mas isso é muito mais útil para o trabalho prático do que “raciocínios rigorosos” refinados e estimativas que começam com as palavras “considere a seguinte função auxiliar de dezoito argumentos” (seguida por uma fórmula de página e meia que vem do nada).

A abordagem de Kolmogorov aos logaritmos me lembrou o ponto de vista de Ya.B. Zel'dovich sobre análise matemática. Em seu livro de análise "para físicos e técnicos iniciantes", Zel'dovich definiu a derivada como a razão dos incrementos da função e do argumento, supondo que o último incremento não seja muito grande.

Às objeções dos matemáticos ortodoxos de que é necessário um limite, Zel'dovich respondeu que o "limite de relacionamento" não é adequado aqui, pois incrementos muito pequenos (digamos, menos de 10 -10 metros ou segundos) do argumento não podem ser tomados, simplesmente porque em tal escala, as propriedades do espaço e do tempo tornam-se quânticas, de modo que sua descrição usando um continuum matemático unidimensional R torna-se um excesso da precisão do modelo.

"Derivados matemáticos" Zel'dovich percebido como conveniente fórmulas assintóticas aproximadas calcular a razão de incrementos finitos que realmente nos interessa, dada por uma fórmula mais complexa que as derivadas dos matemáticos.

Quanto ao “rigor” dos matemáticos, Kolmogorov nunca superestimou sua importância (embora tenha tentado introduzir uma definição de várias páginas do conceito de ângulo no curso de geometria escolar para, em suas palavras, dar um significado estrito a “um ângulo de 721 graus”).

Suas palestras para estudantes e escolares eram difíceis de entender, não apenas porque nem uma única frase terminava, e metade não tinha sujeito nem predicado. Pior ainda é o fato de que (como Andrei Nikolaevich me explicou quando comecei a dar aulas aos alunos), de acordo com sua profunda convicção, “Os alunos não se importam com o que lhes é dito nas aulas: eles apenas aprendem de cor as respostas para várias das perguntas mais comuns do exame, sem entender nada.”

Essas palavras testemunham a compreensão bastante correta de Kolmogorov da situação: com suas palestras, para a maioria dos alunos, aconteceu exatamente o que ele descreveu. Mas aqueles que quisessem entender a essência da questão poderiam, se quisessem, aprender muito mais com eles do que com deduções padrão como "X mais sim, então y é menor que X". Foram as ideias principais e as fontes secretas escondidas por trás das "funções auxiliares de dezoito variáveis" que ele tentou tornar compreensíveis, e de boa vontade deixou a derivação das consequências formais dessas ideias principais para os ouvintes. O que fez Kolmogorov pensar durante suas palestras foi especialmente difícil, e isso foi perceptível para o público.

Sempre me surpreendi em Andrei Nikolayevich por seu nobre desejo de ver em cada interlocutor pelo menos um intelecto igual (por isso era tão difícil entendê-lo). Ao mesmo tempo, ele sabia perfeitamente que, na realidade, o nível da maioria dos interlocutores era completamente diferente. Andrei Nikolayevich certa vez me nomeou apenas dois matemáticos, durante uma conversa com quem ele "sentiu a presença de uma mente superior" (um deles ele chamou de seu aluno I.M. Gel'fand).

No aniversário de Andrei Nikolaevich, Gelfand disse do pódio que não apenas aprendeu muito com o professor, mas também o visitou em Komarovka, uma vila às margens do Klyazma, perto de Bolshevo, onde Kolmogorov viveu a maior parte do tempo ( vindo a Moscou apenas por um ou dois dias na semana).

Pavel Sergeevich Aleksandrov, que estava presente neste discurso de Gelfand, e que, junto com Kolmogorov, comprou a casa Komarovsky (da família Alekseev, isto é, Stanislavskys) no final da década de 1920, confirmou de bom grado: “Sim, Israel Moiseevich realmente visitou Komarovka e foi muito útil, pois salvou um gato de ser queimado no fogão.”

Um dos ouvintes me disse que Gelfand, que já estava sentado na sala do jubileu, comentou essas palavras com seu vizinho da seguinte maneira: “Este gato está miando lá no forno há meia hora, e eu ouço isso há muito tempo, mas interpretei mal esse miado, não sabendo sobre o gato e atribuindo os sons a outra fonte.”

A dicção de Andrey Nikolaevich, de fato, não era fácil de entender; Eu, no entanto, mais frequentemente adivinhava o que ele queria dizer do que analisava as meias palavras que ele pronunciava, de modo que essa dicção não me incomodava.

No entanto, os alunos do internato matemático N18 organizado por Andrei Nikolaevich em Moscou em 1963 aprenderam muito com ele. É claro que não eram alunos comuns, mas os vencedores das olimpíadas de matemática se reuniram de toda a Rússia e concluíram uma escola de verão em Krasnovidovo, no mar de Mozhaisk, e não apenas o próprio Andrei Nikolaevich trabalhou com eles, mas também muitos professores excelentes, por exemplo , o matemático Vladimir Mikhailovich Alekseev, um dos melhores professores da escola em Moscou Alexander Abramovich Shershevsky e assim por diante.

Esforços especiais foram feitos para se alimentar bem e ensinar de maneira interessante não apenas matemática, mas também física, literatura, história, inglês: Andrey Nikolayevich percebeu o internato de muitas maneiras como sua família. Dos primeiros graduados, a maioria entrou nas melhores universidades de matemática e física (com admissão mais bem-sucedida no Instituto de Física e Tecnologia de Moscou do que no departamento de física da Universidade de Moscou, famosa, como disse Kolmogorov, "por sua hostilidade" nos exames) .

Agora, muitos desses graduados já se tornaram professores, chefes de departamentos, diretores de institutos; Não tenho dúvidas de que alguns deles são dignos de seleção para a Academia Russa de Ciências e prêmios como a Medalha Fields ou a Medalha Abel.

O teorema de Nekhoroshev, muito à frente de Littlewood, tem sido um resultado clássico da mecânica celeste e da teoria da evolução hamiltoniana de sistemas dinâmicos. Yu. Matiyasevich, que mais tarde se mudou para Leningrado, também começou, junto com os primeiros matemáticos do internato de Moscou, na escola de verão organizada por Kolmogorov em Krasnovidovo, no mar de Mozhaisk. A. Abramov por muito tempo dirigiu um instituto que se dedicava a melhorar a educação matemática de crianças em idade escolar (mas sua luta contra as tentativas do Ministério da Educação de destruir um sistema em perfeito funcionamento o tornou indesejável para os “reformadores”, cujas idéias obscurantistas descrevi acima, no início deste artigo).

Um dos alunos da primeira formatura do internato, V. B. Alekseev, publicou em 1976 suas notas de minhas palestras no internato em 1963: "Teorema de Abel em Problemas". Nessas palestras, prova topológica do teorema de Abel sobre a insolubilidade em radicais (combinações de raízes) de equações algébricas de quinto grau (e graus superiores). Na escola, eles ensinam o caso do grau 2, mas as equações dos graus 3 e 4 em radicais também são resolvidas.

O objetivo dessas palestras era apresentar um importante (e difícil) resultado matemático, que conecta muitas áreas da física e da matemática modernas, a alunos completamente despreparados (mas não estúpidos) na forma de uma longa série de problemas que eles pudessem entender e entender por si mesmos, mas que os levaria, ao final do semestre, ao teorema de Abel.

Para fazer isso, os alunos rapidamente se familiarizaram com a teoria geométrica dos números complexos, incluindo as fórmulas de De Moivre (que os atuais "reformadores" estão tentando excluir de novos programas), passando para superfícies e topologia de Riemann, incluindo o grupo fundamental de curvas na superfície e os grupos de monodromia (multidões) de coberturas e coberturas ramificadas.

Esses conceitos geométricos fundamentais (que podem ser comparados com a teoria atômica da estrutura da matéria em física e química, ou com a estrutura celular de plantas e animais em biologia em sua natureza fundamental) levam então a objetos algébricos de igual importância: grupos de transformação , seus subgrupos, divisores normais, sequências exatas.

Em particular, existem simetria e ornamentos, e cristais, e poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro, incluindo as construções usadas por Kepler (para descrever os raios das órbitas planetárias), as construções de seus encaixes uns nos outros (oito vértices de um cubo podem ser divididos em dois quatro vértices de dois tetraedros "inscritos" em um cubo, e cinco cubos pode ser "inscrito" em um dodecaedro, os vértices de cada um dos quais fazem parte dos vértices do dodecaedro (no qual existem vinte), e as bordas do cubo acabam sendo diagonais das faces pentagonais do dodecaedro , um em cada uma das doze faces). "Dodeca" é apenas "doze" em grego, e o cubo tem doze arestas.

Esta notável construção geométrica de Kepler relaciona o grupo de simetria do dodecaedro ao grupo de todas as cento e vinte permutações de cinco objetos (ou seja, cubos). Estabelece, em termos algébricos, também a indecidibilidade de ambos os grupos (isto é, sua irredutibilidade a grupos comutativos, cuja redutibilidade ocorre, por exemplo, para os grupos de simetria do tetraedro, cubo e octaedro, e para a permutação grupos de três ou quatro objetos, como o cubo das quatro grandes diagonais e as três diagonais do octaedro). Grupos comutativos (onde o produto - sucessão - de transformações não depende de sua ordem) são chamados abelianos em álgebra devido à importância para sua teoria da não-comutatividade de permutações de cubos.

MAS da insolubilidade do grupo de monodromia de uma equação de quinto grau, deduz-se topologicamente que não há fórmula expressando suas raízes em termos de radicais. O ponto é que o grupo de monodromia, que mede a multivaloração de cada radical, é comutativo, e o grupo de monodromia de uma combinação de radicais é composto de seus grupos de monodromia da mesma forma que um grupo solúvel é composto de comutativos. De modo a todas essas considerações topológicas da teoria das superfícies de Riemann levam à prova do teorema algébrico de Abel(que lançou as bases da teoria de Galois, em homenagem ao jovem matemático francês que transferiu a teoria de Abel da geometria complexa para a teoria dos números e morreu, sem publicar sua teoria, em um duelo).

Unidade profunda de toda a matemática manifestado muito claramente neste exemplo da interação da topologia, lógica, álgebra, análise e teoria dos números, que criou um novo método frutífero, com a ajuda do qual a física da teoria quântica e a teoria da relatividade foi desenvolvida mais tarde, e em matemática a insolubilidade de muitos outros problemas de análise também foi provada: por exemplo, problemas de integração usando funções elementares e problemas de solução explícita de equações diferenciais usando a operação de integração.

O fato de todas essas questões serem topológicas é uma conquista matemática absolutamente incrível, que, na minha opinião, pode ser comparada com as descobertas da conexão entre eletricidade e magnetismo na física, ou entre grafite e diamante na química.

Talvez o resultado de impossibilidade mais famoso na matemática tenha sido a descoberta geometria de Lobachevsky, cujo resultado central é a impossibilidade de derivar o "axioma das paralelas" do resto dos axiomas da geometria de Euclides, sua improbabilidade.

É instrutivo que Lobachevsky não tenha estabelecido esse resultado sobre a improbabilidade, mas apenas o proclamou como sua própria hipótese, confirmada por tentativas de muitas páginas (fracassadas) de provar o axioma das paralelas, isto é, chegar a uma contradição, com base em a afirmação oposta ao axioma das paralelas: Por um ponto fora de uma linha existem várias (muitas) linhas que não se cruzam com ela.

Prova que em não há mais contradições na geometria decorrente desse axioma de Lobachevsky do que na euclidiana (postulando a unicidade da linha paralela), foi encontrado apenas depois de Lobachevsky (aparentemente, independentemente um do outro por vários autores, incluindo Beltrami, Bogliai, Klein e Poincaré, ou mesmo Gauss, que apreciava muito as idéias de Lobachevsky).

Esta prova da consistência da geometria de Lobachevsky não é simples; é realizado apresentando um modelo da geometria de Lobachevsky em que exatamente seus axiomas se sustentam. Um desses modelos ("modelo de Klein") descreve o plano de Lobachevsky como o interior de um círculo e as linhas de Lobachevsky como suas cordas. Não é difícil desenhar muitas cordas através de um ponto de um círculo que não intersectam com nenhuma corda que não passe por este ponto. Verificar os outros axiomas da geometria neste modelo também não é muito difícil, mas demorado, pois existem muitos desses axiomas. Por exemplo, "quaisquer dois pontos dentro do círculo podem ser conectados por uma linha de Lobachevsky (acorde), e apenas um", e assim por diante. Tudo isso é feito claramente em livros didáticos e ocupa muitas páginas (chatas).

A continuação do modelo de Klein do plano de Lobachevsky além do círculo, que representou o plano de Lobachevsky neste modelo, entrega o mundo relativista de de Sitter, mas, infelizmente, poucas pessoas entendem esse fato (tanto entre matemáticos quanto entre relativistas).

Os "reformadores" modernos do curso de matemática escolar anunciaram seu desejo de introduzir ali a geometria de Lobachevsky (o que Kolmogorov não se atreveu a fazer). Mas eles nem mesmo mencionam seu principal resultado (muito provavelmente, não sabendo disso) e não planejam provar a tese de Lobachevsky (sem a qual todo o empreendimento se torna apenas um golpe publicitário, no entanto, uma conotação patriótica).

Ao contrário desses "reformadores", Kolmogorov tentou ensinar matemática às crianças de verdade. Na opinião dele, Isso é mais adequado para resolver problemas por exemplo, olimpíadas, e ele repetidamente organizou olimpíadas matemáticas para crianças em idade escolar, especialmente insistindo que esse empreendimento não deveria ser apenas em Moscou, mas também cobrir todas as cidades e até aldeias do país (hoje as olimpíadas se espalharam por todo o mundo, e o sucesso de nossos alunos em uma delas é uma evidência indiscutível do ainda alto nível das escolas).

Ele me contou com prazer o quão feliz o professor, que estava no júri de uma das Olimpíadas de Moscou com ele, entregou um conjunto de livros de matemática para o aluno da décima série que recebeu o primeiro prêmio na premiação solene dos vencedores em Moscou Universidade Estadual: "Tão feliz, - ela disse, que o prêmio foi dado a um simples estudante da aldeia de Khotkovo!”

Essa senhora da pedagogia não sabia que o “simples estudante da aldeia” era filho de um acadêmico que morava na vila acadêmica de Abramtsevo, e Kolmogorov, embora risse, não começou a explicar isso a ela.

Agora, esse “aluno da aldeia” (que já era meu aluno na escola) é um matemático independente estabelecido que publicou muitos trabalhos e se formou na Faculdade de Mecânica e Matemática da Universidade Estadual de Moscou há muito tempo. A propósito, ele escreveu um comentário interessante sobre o problema matemático de A.D. Sakharov sobre cortar repolho. Sakharov estudou matemática na Universidade com meu pai (sobre o qual A.D. escreve calorosamente em suas memórias), e após a morte de Andrei Dmitrievich, seus colegas me pediram para comentar sobre seus manuscritos matemáticos (contendo várias dúzias de problemas puramente matemáticos interessantes inventados e pensados por ele).

Problema de corte de repolho surgiu de Andrei Dmitrievich como resultado do pedido de sua esposa para cortá-lo, que começa com a divisão da cabeça do repolho com uma faca em camadas circulares. Cada camada é então dividida por cortes de faca aleatórios em muitos "polígonos" convexos.

Ao fazer este trabalho, Sakharov colocou a questão: quantos lados tem esses polígonos? Alguns deles são triângulos, alguns têm muitos lados. A questão, portanto, foi colocada matematicamente da seguinte forma: Qual é o número médio de lados de uma peça?

Sakharov veio de alguma forma (possivelmente experimental?) para a resposta (correta): quatro.

Ao comentar seu manuscrito para sua publicação, meu aluno italiano F. Aicardi chegou à seguinte generalização desta afirmação de Sakharov: quando um corpo n-dimensional é cortado por um grande número de hiperplanos aleatórios (planos de dimensão n- 1) em poliedros n-dimensionais convexos, nas peças resultantes o número médio de faces de qualquer dimensão será o mesmo de um cubo n-dimensional. Por exemplo, em nosso espaço tridimensional usual o número médio de vértices de uma peça é 8, o número médio de arestas é 12, e o número médio de faces de uma peça é 6.

De qualquer forma, mesmo que às vezes fosse difícil para os alunos de um internato, os benefícios do internato foram e continuam sendo enormes, imensamente, na minha opinião, maiores do que as tentativas de Kolmogorov de modernizar os cursos de ciências matemáticas com a substituição das aulas clássicas. livros-texto de A. Kiselev com novos livros-texto do tipo bourbakista (com sua terminologia moderna, que substituiu os clássicos "testes de igualdade de triângulos" euclidianos por "testes de congruência" obscuros, embora logicamente preferíveis).

Essa reforma minou a autoridade das escolas, professores e livros didáticos, criando uma ilusão científica de pseudo-conhecimento que encobre um completo mal-entendido dos fatos mais simples, como o fato de que 5 + 8 = 13. Lobachevsky" em vez de frações decimais excluídas de treinamento e "problemas de aritmética de texto" sobre tripulações seguindo do ponto A ao ponto NO, ou sobre comerciantes que vendem tecidos para machados, ou sobre escavadeiras e canos enchendo reservatórios - tarefas sobre as quais as gerações anteriores aprenderam a pensar.

O resultado da “reforma” será a pseudo-educação, levando os ignorantes a declarações como a crítica de um político atribuída a Stalin: "Não é apenas um valor negativo, é um valor negativo ao quadrado!"

Em uma das discussões do projeto de reforma escolar do Conselho Acadêmico do Instituto de Matemática. Instituto Steklov da Academia Russa de Ciências, mencionei que seria bom retornar aos excelentes livros didáticos e livros de problemas de Kiselev.

Em resposta, o chefe de algum departamento educacional, que estava nesta reunião, me elogiou por isso: "Como estou feliz que as atividades de Kiselyov tenham recebido o apoio de especialistas tão qualificados!"

Mais tarde, foi-me explicado que Kiselyov era o nome de um dos jovens subordinados desse líder, que administra matemática escolar, nunca tendo ouvido falar dos maravilhosos livros didáticos do excelente professor de ginásio Kiselyov, reimpressos dezenas de vezes. Os livros didáticos de Kiselyov, a propósito, não eram tão bons desde o início. As primeiras edições tiveram muitas deficiências, mas a experiência de dezenas e centenas de professores de ginásio permitiu corrigir e complementar estes livros, que se tornaram (após cerca de dez primeiras edições) exemplos monumentais de manuais escolares.

Andrey Nikolaevich Kolmogorov desde a juventude também era professor de escola (em uma escola em Potylikh) e tão bem-sucedido que esperava que os alunos o elegessem (então era comum elegê-lo) como professor de classe. Mas o professor de educação física ganhou a eleição - isso está mais próximo das crianças em idade escolar.

É interessante que outro grande matemático, K. Weierstrass, começou sua carreira como professor de educação física na escola. Ele, de acordo com Poincaré, foi especialmente bem sucedido em ensinar seus alunos do ensino médio a trabalhar em barras paralelas. Mas as regras prussianas exigiam que o professor do ginásio apresentasse no final do ano um trabalho escrito comprovando sua idoneidade profissional. E Weierstrass apresentou um ensaio sobre funções elípticas e integrais.

Ninguém conseguiu entender este ensaio no ginásio, então ele foi enviado à universidade para avaliação. E muito em breve o autor foi transferido para onde rapidamente se tornou um dos matemáticos mais destacados e famosos do século, tanto na Alemanha quanto no mundo. Dos matemáticos russos, sua aluna direta foi Sofia Kovalevskaya, cuja principal conquista, no entanto, não foi uma confirmação, mas uma refutação do ponto de vista da professora (que sugeriu que ela provasse a ausência de novas primeiras integrais no problema de rotação de um corpo rígido em torno de um ponto fixo, e ela encontrou essas integrais, analisando os motivos do fracasso de suas tentativas de provar a suposição de sua amada professora).

A preferência dos alunos por um professor de educação física influenciou Kolmogorov da seguinte maneira: ele começou a praticar esportes muito mais, correu muito em esquis, velou barcos em rios distantes, tornou-se um viajante inveterado (e obteve a aprovação, embora não de seus alunos Potylikhin, mas de muitas gerações de primeiros alunos da Universidade Estadual de Moscou, e depois dos alunos do internato que ele criou).

As viagens de esqui diárias habituais de Kolmogorov tinham cerca de quarenta quilômetros de extensão, ao longo das margens do Vori, de cerca de Radonej ao mosteiro em Berlyuki, e às vezes ao Bryusovskie Glinka na confluência do Vori e do Klyazma. As rotas de caiaque e barco incluíam, por exemplo, Zaonezhie com seu maravilhoso Svyatukha, Lago Seremo com os rios Granichnaya, Shlina, conectando esta área ao reservatório de Vyshnevolotsk, de onde tanto Meta (para Ilmen, Volkhov, Svir) quanto Tvertsa (deságua no Volga), com mais navegação para o Mar de Moscou e Dubna.

Lembro-me das histórias de Andrei Nikolaevich sobre uma carroça que o assustou no meio de Ilmen, atravessando uma baía de muitos quilômetros de extensão que dificultava o caiaque com suas ondas tempestuosas. Muito provavelmente, sua maior jornada começou no norte de Kuloi, continuando ao longo do Pechora e Shugor até a passagem pelos Urais, descendo até o Ob e subindo por ele até o Altai, onde o final desse caminho de muitos milhares de quilômetros era seja a cavalo ou a pé "descalço pelos caminhos da montanha.

Andrey Nikolayevich me impressionou com sua capacidade de instalar rapidamente uma vela oblíqua caseira de materiais improvisados em um caiaque: essa tecnologia, pouco conhecida hoje, provavelmente remonta aos ladrões do Volga que precederam Stepan Razin.

O conhecimento geográfico de Andrei Nikolaevich era diverso e incomum. Poucos moscovitas sabem por que Rogozhskaya Zastava e a rua Stromynka são chamadas assim, por que a estação de Tsaritsyno se chamava (mas não é mais chamada) Lenino, onde estão localizados os rios Rachka e Khapilovka de Moscou, mas ele sabia. Para os interessados, seguem algumas respostas:

O Rogozhskaya Zastava fica no início da estrada para a cidade de Rogozha, que Catarina II renomeou Bogorodsk (em 1781) para eufonia (mas que ainda não foi renomeado Kitai-Gorod novamente, embora tenham se livrado do nome "Bogorodsk" na revolução).

A estrada Stromynskaya agora é chamada de rodovia Shchelkovsky, mas levava à antiga cidade de Stromyn (um subúrbio da qual agora é chamado Chernogolovka), no caminho de Moscou a Kirzhach, Suzdal e Vladimir. Tsaritsyno foi construído por causa das ruínas, que faltavam a Catarina na Rússia e nas quais os alpinistas agora treinam.

No rio Rachka, formou-se um Chisty Pond. Quanto a Khapilovka, é mais cheio que o Yauza no primeiro plano topográfico de Moscou (1739), fluindo para o Yauza logo acima da ponte Elektrozavodsky. Agora Cherkizovsky Pond é perceptível nele, mas eu não conseguia entender como ele flui para ele através de Golyanovo de sua fonte entre Balashikha e Reutov.

O nome “Lenino” vem do nome da filha de Kantemir, de quem Catarina comprou a “Lama Negra”, que agora se tornou Tsaritsyn: ele nomeou várias das aldeias vizinhas doadas a ele pelos nomes de suas filhas.

Andrei Nikolaevich Kolmogorov foi caracterizado por uma atitude de boa índole em relação a adversários obviamente sem escrúpulos. Por exemplo, ele alegou que T.D. Lysenko - um ignorante conscientemente equivocado, e sentou-se à sua mesa na sala de jantar da Academia de Ciências (de onde outros, a partir da infame sessão de VASKhNIL em 1948, tentaram passar para outras mesas).

O fato é que Andrei Nikolaevich de alguma forma analisou o trabalho experimental de um aluno de Lysenko sobre a refutação das leis da divisão de características de Mendel [N.I. Ermolaeva, Vernalização, 1939, 2(23)]. Nesse experimento, acho que 4.000 sementes de ervilha foram semeadas e, de acordo com as leis de Mendel, esperava-se que 1.000 ervilhas de uma cor (recessiva) e 3.000 de outra (dominante) crescessem. No experimento, em vez de 1000, resultou apenas, se minha memória não me falha, 970 amanheceres de cores recessivas e 3030 dominantes.

A conclusão que Kolmogorov tirou deste artigo é a seguinte:

o experimento foi realizado honestamente, o desvio observado da proporção teórica é exatamente da ordem de grandeza que deveria ser esperada com tal volume de estatísticas. Se a concordância com a teoria fosse a melhor, então isso, de fato, indicaria a desonestidade do experimento e a manipulação dos resultados.

Andrei Nikolaevich me disse que não publicou suas conclusões na íntegra porque as objeções dos geneticistas clássicos tiveram tempo de aparecer, que alegaram ter repetido o experimento e obtido acordo exato com teoria. Então Kolmogorov, para não prejudicá-los, limitou-se a uma mensagem (DAN URSS, 1940, 27(1), 38-42) que o experimento conduzido pelo aluno de Lysenko é não uma refutação, mas uma excelente confirmação das leis de Mendel.

Isso, no entanto, não impediu T.D. Lysenko, que se declarou "um lutador contra a aleatoriedade na ciência" e, portanto, com toda a teoria e estatística de probabilidade e, portanto, com seu patriarca A. N. Kolmogorov. Andrei Nikolaevich, no entanto, não perdeu tempo discutindo com Lysenko (aparentemente seguindo o conselho de Pushkin sobre o uso de "pensamentos comuns" e "maneiras sangrentas", que defende claramente todos os obscurantistas - tanto Lysenko quanto os atuais "reformadores" da escola russa) .

A influência de Kolmogorov em todo o desenvolvimento da matemática na Rússia permanece absolutamente excepcional hoje. Estou falando não apenas de seus teoremas, às vezes resolvendo milhares de anos de problemas, mas também de sua criação de um culto maravilhoso da ciência e do esclarecimento, que lembra Leonardo e Galileu. Andrey Nikolayevich abriu a muitas pessoas grandes oportunidades de usar seus esforços intelectuais para descobertas fundamentais de novas leis da natureza e da sociedade, e não apenas no campo da matemática, mas em todas as áreas da atividade humana: de voos espaciais a reações termonucleares controladas, de da hidrodinâmica à ecologia, da teoria da dispersão dos projéteis de artilharia à teoria da transmissão de informações e à teoria dos algoritmos, da poesia à história de Novgorod, das leis de semelhança de Galileu ao problema dos três corpos de Newton.

Newton, Euler, Gauss, Poincaré, Kolmogorov -
apenas cinco vidas nos separam das origens de nossa ciência.

Pushkin disse uma vez que tinha mais influência sobre a juventude e a literatura russa do que todo o Ministério da Educação Pública, apesar da completa desigualdade de fundos. Tal foi a influência de Kolmogorov na matemática.

Conheci Andrey Nikolaevich em meus anos de estudante. Então ele foi o reitor da Faculdade de Mecânica e Matemática da Universidade de Moscou. Estes foram o apogeu da faculdade, o apogeu da matemática. O nível alcançado então pela faculdade, graças principalmente a Andrey Nikolaevich Kolmogorov e Ivan Georgievich Petrovsky, nunca foi alcançado novamente e é improvável que seja.

Andrey Nikolayevich foi um reitor maravilhoso. Ele disse que as pessoas talentosas deveriam ser perdoadas por seu talento, e eu poderia citar matemáticos muito famosos agora, a quem ele salvou de ser expulso da universidade.

A última década da vida de Andrei Nikolayevich foi ofuscada por uma doença grave. No início, ele começou a reclamar da visão, e as rotas de esqui de quarenta quilômetros tiveram que ser reduzidas para vinte quilômetros.

Mais tarde, tornou-se difícil para Andrei Nikolayevich lutar contra as ondas do mar, mas ele ainda correu por cima da cerca do sanatório de Uzkoye sob a estrita supervisão de Anna Dmitrievna e médicos para nadar na lagoa.

Nos últimos anos, a vida de Andrei Nikolaevich foi muito difícil, às vezes ele teve que literalmente ser carregado em seus braços. Estamos todos profundamente gratos a Anna Dmitrievna, Asya Alexandrovna Bukanova, alunos de Andrei Nikolaevich e graduados do internato de física e matemática N18 que ele criou para trabalhar 24 horas por dia por vários anos.

Às vezes, Andrei Nikolaevich só conseguia pronunciar algumas palavras por hora. Mas, mesmo assim, sempre foi interessante com ele - lembro como há alguns meses Andrey Nikolayevich contou como os projéteis traçantes voaram lentamente sobre Komarovka, como aos 70 anos ele não conseguiu sair do congelante rio Moskva, como em Calcutá ele primeiro banhou no Oceano Índico seus alunos lá.

Ao meu professor, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, dedico

"Não toque em meus círculos", disse Arquimedes ao soldado romano que o matou. Esta frase profética me veio à mente na Duma do Estado, quando o presidente da reunião da Comissão de Educação (22 de outubro de 2002) me interrompeu com as palavras: “Nós não temos uma Academia de Ciências, onde você pode defender a verdade, mas a Duma do Estado, onde tudo é baseado no que diferentes pessoas têm opiniões diferentes sobre questões diferentes.
A opinião que defendi foi que três vezes sete é vinte e um, e que ensinar aos nossos filhos tanto a tabuada quanto a adição de um dígito e até frações é uma necessidade nacional. Mencionei a recente introdução no estado da Califórnia (por iniciativa do físico transurânico ganhador do Prêmio Nobel Glen Seaborg) de um novo requisito para que estudantes universitários sejam capazes de dividir independentemente o número 111 por 3 (sem um computador).
Os ouvintes da Duma, aparentemente, não conseguiam dividir e, portanto, não entendiam nem eu nem Seaborg: no Izvestia, com uma apresentação benevolente da minha frase, o número "cento e onze" foi substituído por "onze" (o que torna a questão muito mais difícil, pois onze não é divisível por três).
Encontrei o triunfo do obscurantismo quando li no Nezavisimaya Gazeta um artigo glorificando as pirâmides recém-construídas perto de Moscou chamado “Retrógrados e charlatães”, onde a Academia Russa de Ciências foi declarada uma coleção de retrógrados impedindo o desenvolvimento das ciências (em vão tentando explicam tudo com suas “leis da natureza”). Devo dizer que, aparentemente, também sou um retrógrado, porque ainda acredito nas leis da natureza e acredito que a Terra gira em torno de seu eixo e em torno do Sol, e que os alunos mais novos precisam continuar explicando por que é frio em inverno e quente no verão, sem permitir que o nível de nossa educação escolar caia abaixo do alcançado nas escolas paroquiais antes da revolução (ou seja, nossos atuais reformadores estão lutando por tal diminuição no nível de educação, referindo-se ao nível realmente baixo da escola americana nível).
Colegas americanos me explicaram que o baixo nível de cultura geral e educação escolar em seu país é uma conquista consciente em prol dos objetivos econômicos. O fato é que depois de ler livros, uma pessoa educada torna-se um comprador pior: compra menos máquinas de lavar e carros, passa a preferir Mozart ou Van Gogh, Shakespeare ou teoremas a eles. A economia da sociedade de consumo sofre com isso e, sobretudo, os rendimentos dos donos da vida - por isso se esforçam para impedir a cultura e a educação (que, além disso, os impedem de manipular a população, como um rebanho desprovido de inteligência ).
Confrontado com a propaganda anticientífica também na Rússia, decidi olhar para a pirâmide recém-construída a cerca de vinte quilômetros de minha casa e lá fui de bicicleta pelas florestas de pinheiros centenários entre o Istra e o rio Moscou. Aqui encontrei uma dificuldade: embora Pedro, o Grande, proibisse o corte de florestas a menos de trezentos quilômetros de Moscou, no meu caminho eles recentemente cercaram e mutilaram vários dos melhores quilômetros quadrados de uma floresta de pinheiros (como os moradores locais me explicaram, isso foi feito por “conhecido [por todos, exceto por mim! — V.A.] bandido Pashka”). Mas mesmo cerca de vinte anos atrás, quando eu estava pegando um balde de framboesas nesta clareira agora construída, fui contornado, fazendo um semicírculo de cerca de dez metros de raio, uma manada inteira de javalis andando pela clareira.
Edifícios como este estão acontecendo em todo o lugar. Não muito longe da minha casa, uma vez, a população não permitiu (mesmo usando protestos na televisão) o desenvolvimento da floresta por mongóis e outros funcionários. Mas desde então, a situação mudou: as antigas aldeias do partido do governo estão tomando novos quilômetros quadrados da floresta antiga diante dos olhos de todos, e ninguém mais protesta (na Inglaterra medieval, “cercos” causavam revoltas!).
É verdade que na aldeia de Soloslovo, que fica ao meu lado, um membro do conselho da aldeia tentou se opor ao desenvolvimento da floresta. E então, em plena luz do dia, chegou um carro com bandidos armados, que atiraram nele mesmo na aldeia, em casa. E a construção como resultado aconteceu.
Em outra vila vizinha, Darina, todo um campo passou por um novo desenvolvimento com mansões. A atitude das pessoas em relação a estes acontecimentos fica clara pelo nome que deram a este campo construído na aldeia (o nome, infelizmente, ainda não está reflectido nos mapas): “campo dos ladrões”.
Os novos habitantes motorizados deste campo transformaram a estrada que leva de nós à estação de Perkhushkovo em seu oposto. Nos últimos anos, os ônibus quase pararam de circular. No início, os novos moradores-motoristas coletavam dinheiro na estação terminal para que o motorista do ônibus declarasse o ônibus "fora de serviço" e os passageiros pagassem aos comerciantes privados. Os carros dos novos habitantes do “campo” estão agora correndo por esta estrada em grande velocidade (e por uma pista estranha, muitas vezes). E eu, indo a pé para a estação a cinco milhas de distância, corro o risco de ser atropelado, como meus numerosos antecessores pedestres, cujos locais de morte foram recentemente marcados nas estradas com coroas de flores. Os trens elétricos, no entanto, agora também às vezes não param nas estações previstas no horário.
Anteriormente, a polícia tentava medir a velocidade dos assassinos-motoristas e impedi-los, mas depois que o policial que mediu a velocidade com um radar foi morto a tiros por um guarda transeunte, ninguém mais se atreve a parar os carros. De vez em quando encontro cápsulas de balas gastas na estrada, mas quem foi baleado aqui não está claro. Quanto às coroas de flores sobre os locais de morte de pedestres, todas foram recentemente substituídas pelos anúncios "É proibido jogar lixo", pendurados nas mesmas árvores onde costumavam existir coroas com os nomes dos que foram despejados.
Ao longo do antigo caminho de Aksinin a Chesnokov, usando o gati colocado por Catarina II, cheguei à pirâmide e vi dentro dela "prateleiras para carregar garrafas e outros objetos com energia intelectual oculta". Uma instrução de vários metros quadrados listava os benefícios de algumas horas de permanência de um objeto ou paciente com hepatite A ou B na pirâmide (li no jornal que alguém chegou a enviar uma carga de vários quilos de pedras “carregadas” por a pirâmide para a estação espacial por dinheiro público).
Mas os compiladores desta instrução também mostraram uma honestidade inesperada para mim: escreveram que não valia a pena se aglomerar em fila para racks dentro da pirâmide, pois “a dezenas de metros da pirâmide, do lado de fora, o efeito será o mesmo”. Isso, eu acho, é absolutamente verdade.
Então, como um verdadeiro "retrógrado", considero todo esse empreendimento piramidal uma propaganda anticientífica prejudicial para uma loja que vende "objetos de carregamento".
Mas o obscurantismo sempre seguiu as conquistas científicas, a partir da antiguidade. O aluno de Aristóteles, Alexander Filippovich da Macedônia, fez uma série de descobertas "científicas" (descritas por seu companheiro, Arian, em Anabasis). Por exemplo, ele descobriu a nascente do rio Nilo: segundo ele, este é o Indo. A evidência "científica" foi: "Estes são os únicos dois grandes rios que estão repletos de crocodilos" (e confirmação: "Além disso, as margens de ambos os rios estavam cobertas de lótus").
No entanto, esta não é sua única descoberta: ele "descobriu" também que o rio Oxus (hoje chamado de Amu Darya) "deságua - do norte, virando perto dos Urais - no pântano meociano de Pontus Euxinus, onde é chamado Tanais " ("Tanais "é o Don, e o" pântano Meotian "é o Mar de Azov). A influência das ideias obscurantistas sobre os acontecimentos nem sempre é desprezível:
Alexandre de Sogdiana (isto é, Samarcanda) não foi mais para o leste, para a China, como ele queria primeiro, mas para o sul, para a Índia, temendo uma barreira de água ligando, segundo sua terceira teoria, o Cáspio ("Hircanian ") Mar com o Oceano Índico (na área da Baía de Bengala). Pois ele acreditava que os mares, "por definição", são as baías do oceano. Estas são as "ciências" para as quais somos levados.
Desejo expressar a esperança de que nossos militares não sejam submetidos a uma influência tão forte dos obscurantistas (eles até me ajudaram a salvar a geometria das tentativas dos "reformadores" de expulsá-la da escola). Mas mesmo as tentativas atuais de reduzir o nível de escolaridade na Rússia para os padrões americanos são extremamente perigosas tanto para o país quanto para o mundo.
Na França de hoje, 20% dos recrutas do exército são completamente analfabetos, não entendem as ordens escritas dos oficiais (e podem enviar seus mísseis com ogivas na direção errada). Que esta taça passe por nós! Os nossos ainda estão lendo, mas os “reformadores” querem parar: “Tanto Pushkin quanto Tolstoi são demais!” eles escrevem.
Como matemático, seria muito fácil para mim, como matemático, descrever como eles planejam eliminar nossa educação escolar matemática tradicionalmente de alta qualidade. Em vez disso, vou listar várias ideias obscurantistas semelhantes sobre o ensino de outras disciplinas: economia, direito, ciências sociais, literatura (as disciplinas, no entanto, propõem abolir tudo na escola).
O projeto de dois volumes "Padrões de Educação Geral" publicado pelo Ministério da Educação da Rússia contém uma grande lista de tópicos, cujo conhecimento se propõe a deixar de ser exigido dos alunos. É esta lista que dá a ideia mais vívida das ideias dos “reformadores” e de que tipo de conhecimento “excessivo” eles procuram “proteger” as próximas gerações.
Vou abster-me de comentários políticos, mas aqui estão exemplos típicos de informações supostamente "redundantes", extraídas do projeto Standards de quatrocentas páginas:
a Constituição da URSS;
· "nova ordem" fascista nos territórios ocupados;
· Trotsky e trotskismo;
os principais partidos políticos;
· Democracia cristã;
· inflação;
· lucro;
· moeda;
· títulos;
sistema multipartidário;
garantias de direitos e liberdades;
agências de aplicação da lei;
dinheiro e outros títulos;
Formas da estrutura estatal-territorial da Federação Russa;
· Yermak e anexação da Sibéria;
política externa russa (séculos XVII, XVIII, XIX e XX);
· a questão polonesa;
· Confúcio e Buda;
· Cícero e César;
Joana d'Arc e Robin Hood
· Pessoas físicas e jurídicas;
· o estatuto jurídico de uma pessoa num estado de direito democrático;
· separação de poderes;
o sistema judiciário;
Autocracia, Ortodoxia e nacionalidade (teoria de Uvarov);
Os povos da Rússia
· Mundo cristão e islâmico;
· Luís XIV;
· Lutero;
· Loyola;
· Bismarck;
· A Duma do Estado;
· desemprego;
soberania;
bolsa de valores (bolsa);
receitas estaduais;
renda familiar.
"Ciências sociais", "história", "economia" e "direito", desprovidos de discussão de todos esses conceitos, são apenas cultos formais, inúteis para os alunos. Na França, reconheço esse tipo de conversa teológica sobre temas abstratos pelo conjunto de palavras-chave: "França, como a filha mais velha da Igreja Católica..." cientistas que já tivemos e ainda temos"), como ouvi em uma reunião do Comitê Nacional da República da França para a Ciência e a Pesquisa, da qual fui nomeado pelo Ministro da Ciência, Pesquisa e Tecnologia da República da França.
Para não ser unilateral, também darei uma lista de autores e obras "indesejáveis" (no mesmo sentido de "inadmissibilidade" de seu estudo sério) mencionados nessa qualidade pelo vergonhoso "Standard":
· Glinka;
· Chaikovsky;
· Beethoven;
· Mozart;
Grieg;
· Rafael;
· Leonardo da Vinci;
· Rembrandt;
· Van Gogh;
· Omar Khayyam;
· "Tom Sawyer";
· "Oliver Twist";
· Os sonetos de Shakespeare;
· “Viagem de São Petersburgo a Moscou” de Radishchev;
· "O Soldado de Lata Inabalável";
· "Gobsek";
"Padre Goriot";
"Os Exilados"
· "Caninos Brancos";
"Contos de Belkin";
· "Boris Godunov";
· "Potava";
"Dubrovsky";
· "Ruslan e Ludmila";
"Porco sob o carvalho";
· "Noites em uma Fazenda Perto de Dikanka";
"Sobrenome do cavalo";
"Despensa do sol";
· "Lado Meshcherskaya";
«Quiet Don»;
"Pigmaleão"
"Aldeia"
· "Fausto";
· "Adeus armas";
· "Ninho Nobre";
· "Dama com cachorro";
· "Saltador";
· "Uma nuvem nas calças";
· "Homem negro";
· "Corre";
· "Caso de câncer";
· “Feira da Vaidade”;
· "Por quem os sinos dobram";
"Três camaradas";
"No primeiro círculo";
A Morte de Ivan Ilitch.
Em outras palavras, propõe-se que a Cultura Russa seja cancelada como tal. Eles tentam “proteger” os escolares da influência de “desnecessários”, segundo “Padrões”, centros culturais; aqueles aqui se mostraram indesejáveis, segundo os compiladores das "Normas", para menção dos professores na escola:
· Ermida;
· Museu Russo;
· Galeria Tretyakov;
· Museu Pushkin de Belas Artes em Moscou.
O sino está tocando para nós!
Ainda assim, é difícil deixar de mencionar o que exatamente se propõe a tornar “opcional para o aprendizado” nas ciências exatas (de qualquer forma, as “Normas” recomendam “não exigir que os alunos dominem essas seções”):
a estrutura dos átomos;
· o conceito de ação de longo alcance;
dispositivo do olho humano;
· a relação de incerteza da mecânica quântica;
interações fundamentais;
o céu estrelado
O sol como uma das estrelas;
a estrutura celular dos organismos;
· reflexos;
· genética;
A origem da vida na terra
a evolução do mundo vivo;
· teorias de Copérnico, Galileu e Giordano Bruno;
Teorias de Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
méritos de Pasteur e Koch;
sódio, cálcio, carbono e nitrogênio (seu papel no metabolismo);
· óleo;
polímeros.
Da matemática, a mesma discriminação foi feita nas "Normas" para tópicos que nenhum professor pode prescindir (e sem uma compreensão completa de quais alunos serão completamente desamparados tanto em física quanto em tecnologia, e em um grande número de outras aplicações de ciência, incluindo militar e humanitária):
necessidade e suficiência;
O lugar dos pontos
senos de ângulos de 30o, 45o, 60o;
construção da bissetriz do ângulo;
divisão de um segmento em partes iguais;
medição do ângulo;
o conceito de comprimento de um segmento;
a soma dos membros de uma progressão aritmética;
área do setor;
funções trigonométricas inversas;
as desigualdades trigonométricas mais simples;
· igualdades de polinômios e suas raízes;
A geometria dos números complexos (necessária para a física
corrente alternada e para engenharia de rádio e para mecânica quântica);
tarefas de construção;
cantos planos de um ângulo triédrico;
derivada de uma função complexa;
Convertendo frações simples em decimais.
A única esperança é que os milhares de professores bem formados que existem até agora continuem a cumprir o seu dever e ensinem tudo isto às novas gerações de alunos, apesar das ordens do Ministério. O bom senso é mais forte do que a disciplina burocrática. Só é necessário não esquecer nossos maravilhosos professores para pagar adequadamente por sua façanha.

Ao meu professor - Andrey Nikolaevich Kolmogorov dedico

Encontrei o triunfo do obscurantismo quando li no Nezavisimaya Gazeta um artigo glorificando as pirâmides recém-construídas perto de Moscou, Retrógrados e Charlatães, onde

A Academia Russa de Ciências foi anunciada como uma coleção de retrógrados dificultando o desenvolvimento das ciências (tentando em vão explicar tudo com suas "leis da natureza"). Devo dizer que, aparentemente, também sou um retrógrado, pois ainda acredito nas leis da natureza e acredito que a Terra gira em torno de seu eixo e em torno do Sol, e que os alunos mais jovens precisam continuar a explicar por que é frio no inverno e quente no verão, não permitir que o nível de nossa educação escolar caia abaixo do alcançado nas escolas paroquiais antes da revolução (ou seja, nossos atuais reformadores estão lutando por tal diminuição no nível de educação, referindo-se ao nível realmente baixo da escola americana).

Confrontado com a propaganda anticientífica também na Rússia, decidi olhar para a pirâmide recém-construída a cerca de vinte quilômetros de minha casa e lá fui de bicicleta pelas florestas de pinheiros centenários entre o Istra e o rio Moscou. Aqui encontrei uma dificuldade: embora Pedro, o Grande, proibisse o corte de florestas a menos de trezentos quilômetros de Moscou, no meu caminho eles recentemente cercaram e mutilaram vários dos melhores quilômetros quadrados de uma floresta de pinheiros (como os moradores locais me explicaram, isso foi feito por "conhecido [por todos, exceto eu! - V. A.] bandido Pashka"). Mas mesmo vinte anos atrás, quando eu estava pegando um balde nesta clareira agora construída

framboesas, fui contornado, fazendo um semicírculo de cerca de dez metros de raio, uma manada inteira de javalis caminhando pela clareira.

Vladimir Igorevich Arnold

Ao meu professor - Andrey Nikolaevich Kolmogorov dedico

Encontrei o triunfo do obscurantismo quando li no Nezavisimaya Gazeta um artigo glorificando as pirâmides recém-construídas perto de Moscou, Retrógrados e Charlatães, onde

Confrontado com a propaganda anticientífica também na Rússia, decidi olhar para a pirâmide recém-construída a cerca de vinte quilômetros de minha casa e lá fui de bicicleta pelas florestas de pinheiros centenários entre o Istra e o rio Moscou. Aqui encontrei uma dificuldade: embora Pedro, o Grande, proibisse o corte de florestas a menos de trezentos quilômetros de Moscou, no meu caminho eles recentemente cercaram e mutilaram vários dos melhores quilômetros quadrados de uma floresta de pinheiros (como os moradores locais me explicaram, isso foi feito por "conhecido [por todos, exceto eu! - V. A.] bandido Pashka"). Mas mesmo vinte anos atrás, quando eu estava pegando um balde nesta clareira agora construída

framboesas, fui contornado, fazendo um semicírculo de cerca de dez metros de raio, uma manada inteira de javalis caminhando pela clareira.

Em outra vila vizinha, Darina, todo um campo passou por um novo desenvolvimento com mansões. A atitude das pessoas em relação a esses eventos fica clara pelo nome que deram a esse campo construído na aldeia (o nome, infelizmente, ainda não está refletido nos mapas): "campo de ladrões".

Os novos habitantes motorizados deste campo transformaram a estrada que leva de nós à estação de Perkhushkovo em seu oposto. Nos últimos anos, os ônibus quase pararam de circular. No início, os novos moradores-motoristas coletavam dinheiro na estação terminal para que o motorista do ônibus declarasse o ônibus "fora de serviço" e os passageiros pagassem aos comerciantes privados. Os carros dos novos habitantes do "campo" agora correm por essa estrada em grande velocidade (e por uma pista estranha, muitas vezes). E eu, indo a pé para a estação a cinco milhas de distância, corro o risco de ser atropelado, como meus numerosos antecessores pedestres, cujos locais de morte foram recentemente marcados nas estradas com coroas de flores. Os trens elétricos, no entanto, agora também às vezes não param nas estações previstas no horário.

Anteriormente, a polícia tentava medir a velocidade dos assassinos-motoristas e impedi-los, mas depois que o policial que mediu a velocidade com um radar foi morto a tiros por um guarda transeunte, ninguém mais se atreve a parar os carros. De vez em quando encontro cápsulas de balas gastas na estrada, mas quem foi baleado aqui não está claro. Quanto às coroas de flores sobre os locais de morte de pedestres, todas foram recentemente substituídas por placas “Proibido jogar lixo”, penduradas nas mesmas árvores onde costumavam existir coroas com os nomes dos que foram despejados.

Ao longo do antigo caminho de Aksinin a Chesnokov, usando o gati colocado por Catarina II, cheguei à pirâmide e vi dentro dela "prateleiras para carregar garrafas e outros objetos com energia intelectual oculta". Instrução dentro vários metros quadrados de tamanho listavam os benefícios de várias horas de permanência de um objeto ou de um paciente com hepatite A ou B na pirâmide (li no jornal que alguém até enviou uma carga de vários quilos de pedras "carregadas" pela pirâmide à estação espacial por dinheiro público).

Então, como um verdadeiro "retrógrado", considero todo esse empreendimento piramidal uma propaganda anticientífica prejudicial para uma loja que vende "objetos de carregamento".

Mas o obscurantismo sempre seguiu as conquistas científicas, a partir da antiguidade. O aluno de Aristóteles, Alexander Filippovich da Macedônia, fez uma série de descobertas "científicas" (descritas por seu companheiro, Arian, em "Anabasis"). Por exemplo, ele descobriu a nascente do rio Nilo: segundo ele, este é o Indo. A evidência "científica" foi: Estes são os únicos dois grandes rios que estão repletos de crocodilos."(e confirmação: "Além disso, as margens de ambos os rios estavam cobertas de lótus").

No entanto, esta não é sua única descoberta: ele também "descobriu" que o rio Oxus (hoje chamado Amu Darya) "flui - do norte, virando perto dos Urais - no pântano Meotian de Pontus Euxinus, onde é chamado Tanais"("Ta-nais" é o Don, e o "pântano Meotian" é o Mar de Azov). A influência das ideias obscurantistas sobre os acontecimentos nem sempre é desprezível:

Alexandre de Sogdiana (isto é, Samarcanda) não foi mais para o Oriente, para a China, como queria primeiro, mas para o sul, para a Índia, temendo uma barreira de água conectando, de acordo com sua terceira teoria, o Mar Cáspio ("Hircaniano") com o Oceano Índico(dentro área da Baía de Bengala). Pois ele acreditava que os mares, "por definição", são as baías do oceano. Estas são as "ciências" para as quais somos levados.

Gostaria de expressar a esperança de que nossos militares não sejam submetidos a uma influência tão forte de obscurantistas (eles até me ajudaram a salvar a geometria das tentativas dos "reformadores" de expulsá-la da escola). Mas mesmo as tentativas atuais de reduzir o nível de escolaridade na Rússia para os padrões americanos são extremamente perigosas tanto para o país quanto para o mundo.

Na França de hoje, 20% dos recrutas do exército são completamente analfabetos, não entendem as ordens escritas dos oficiais (e podem enviar seus mísseis com ogivas na direção errada). Que esta taça passe por nós! Os nossos ainda estão lendo, mas os "reformadores" querem parar com isso: "Tanto Pushkin quanto Tolstoi são demais!" eles escrevem.

Vou me abster de comentários políticos, mas aqui estão exemplos típicos de informações supostamente "redundantes", extraídas do rascunho de quatrocentas páginas de "Padrões":

a Constituição da URSS;
a "nova ordem" fascista nos territórios ocupados;
Trotsky e trotskismo;
principais partidos políticos;
Democracia Cristã;
inflação;
lucro;
moeda;
títulos;
sistema multipartidário;
garantias de direitos e liberdades;
agências de aplicação da lei;
dinheiro e outros títulos;
formas da estrutura estatal-territorial da Federação Russa;
Ermak e anexação da Sibéria;
política externa da Rússia (séculos XVII, XVIII, XIX e XX);
a questão polonesa;
Confúcio e Buda;
Cícero e César;
Joana d'Arc e Robin Hood;
Pessoas físicas e jurídicas;
o estatuto jurídico de uma pessoa num estado jurídico democrático;
separação de poderes;
sistema judicial;
autocracia, ortodoxia e nacionalidade (teoria de Uvarov);
os povos da Rússia;
mundo cristão e islâmico;
Luís XIV;
Lutero;
Loyola;
Bismarck;
A Duma do Estado;
desemprego;
soberania;
bolsa de valores (bolsa);
receitas estaduais;
renda familiar.

"Ciências sociais", "história", "economia" e "direito", desprovidos de discussão de todos esses conceitos, são apenas cultos formais, inúteis para os alunos. Na França, reconheço esse tipo de conversa teológica sobre temas abstratos por um conjunto de palavras-chave: "A França, como a filha mais velha da Igreja Católica..." (qualquer coisa pode seguir, por exemplo: "... não precisa gastar em ciência, pois já tivemos e ainda temos cientistas"), como ouvi em uma reunião do Comitê Nacional da República da França de Ciência e Pesquisa, do qual fui nomeado pelo Ministro de Ciência, Pesquisa e Tecnologia da República da França.

Glinka;
Chaikovsky;
Beethoven;
Mozart;
Grieg;
Rafael;
Leonardo da Vinci;
Rembrandt;
Van Togh;
Omar Khayyam;
"Tom Sawyer";
"Oliver Twist";
os sonetos de Shakespeare;
"Viagem de São Petersburgo a Moscou", de Radishchev;
"O Soldado de Lata Inabalável";
"Gobsek";
"Padre Goriot";
"Os Miseráveis";
"Caninos Brancos";
"Contos de Belkin";
"Boris Godunov";
"Potava";
"Dubrovsky";
"Ruslan e Ludmila";
"Porco sob o carvalho";
"Noites em uma fazenda perto de Dikanka";
"Sobrenome do cavalo";
"Despensa do sol";
"Lado Meshcherskaya";
"Quieto Don";
"Pigmaleão";
"Aldeia";
"Fausto";
"Adeus armas";
"Ninho Nobre";
"Dama com um cachorro";
"Saltador";
"Uma nuvem nas calças";
"Homem negro";
"Corre";
"Enfermaria do Câncer";
"Feira da Vaidade";
"Por quem os sinos dobram";
"Três camaradas";
"No primeiro círculo";
"Morte de Ivan Ilitch".

Em outras palavras, propõe-se que a Cultura Russa seja cancelada como tal. Eles tentam "proteger" os escolares da influência dos "excessivos", segundo os "Padrões", centros de cultura; eles estavam aqui indesejável, segundo os compiladores das "Normas", para menção por professores na escola:

Eremitério;
Museu Russo;
Galeria Tretyakov;
Museu Pushkin de Belas Artes em Moscou.

O sino está tocando para nós!

No entanto, é difícil deixar de mencionar o que exatamente se propõe tornar “opcional para o aprendizado” nas ciências exatas (em todo caso, "Padrões" recomendam "não exigem que os alunos dominem essas seções"):

a estrutura dos átomos;
o conceito de ação de longo alcance;
dispositivo do olho humano;
relação de incerteza da mecânica quântica;
interações fundamentais;
céu estrelado;
O sol é como uma das estrelas;
estrutura celular dos organismos;
reflexos;
genética;
a origem da vida na Terra;
evolução do mundo vivo;
teorias de Copérnico, Galileu e Giordano Bruno;
teorias de Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
méritos de Pasteur e Koch;
sódio, cálcio, carbono e nitrogênio (seu papel no metabolismo);
óleo;
polímeros.

necessidade e suficiência;
locus de pontos;
senos de ângulos em 30 o , 45 o , 60 o ;
construção da bissetriz do ângulo;
divisão de um segmento em partes iguais;
medição do ângulo;
o conceito de comprimento de um segmento;
soma dos membros de uma progressão aritmética;
área do setor;
funções trigonométricas inversas;
as desigualdades trigonométricas mais simples;
igualdade de polinômios e suas raízes;
a geometria dos números complexos (necessária tanto para a física da corrente alternada quanto para a engenharia de rádio e para a mecânica quântica);
tarefas de construção;
cantos planos de um ângulo triédrico;
derivada de uma função complexa;
converter frações simples em decimais.

Representantes da Duma explicaram-me que a situação poderia ser muito melhorada se fosse dada atenção à implementação das leis já adotadas sobre educação.

Por exemplo, uma das leis prevê um aumento anual da contribuição orçamentária para a educação em cerca de 20% ao ano. Mas o ministro disse que “não vale a pena se preocupar com a implementação desta lei, já que praticamente o aumento anual é superior a 40%”. Logo após esse discurso do ministro, foi anunciado um aumento (por um percentual bem menor) que era praticamente realizável para o próximo ano (era 2002). E se levarmos em conta a inflação, verifica-se que Foi decidido reduzir a contribuição anual real para a educação.

Outra lei especifica a porcentagem das despesas orçamentárias que devem ser gastas em educação. Na realidade, gasta-se muito menos (quantas vezes exatamente, não consegui descobrir exatamente). Por outro lado, os gastos com "defesa contra o inimigo interno" aumentaram de um terço para metade dos gastos com defesa contra o inimigo externo.

É natural parar de ensinar frações às crianças, caso contrário, Deus me livre, elas vão entender!

Aparentemente, foi antecipando a reação dos professores que os compiladores do "Padrão" forneceram vários nomes de escritores em sua lista de leitura recomendada (como os nomes de Pushkin, Krylov, Lermontov, Chekhov e outros) com o "asterisco", que eles decifram como: "Se desejar, o professor pode apresentar aos alunos mais uma ou duas obras do mesmo autor"(e não apenas com o "Monumento", recomendado por eles no caso de Pushkin).

“Não há como seguir seu princípio de escolher candidatos de acordo com suas realizações científicas”, disseram-me colegas da comissão para convidar novos professores para uma das melhores universidades de Paris. - "Afinal, neste caso, teríamos que escolher apenas russos - tanto a superioridade científica deles sobre todos nós claro!" (Eu estava falando sobre a seleção entre os franceses).

O candidato ensinou álgebra linear em várias universidades durante vários anos, defendeu sua dissertação e publicou cerca de uma dúzia de artigos nas melhores revistas matemáticas da França.

A seleção inclui uma entrevista, onde sempre são oferecidas ao candidato perguntas elementares, mas importantes (nível de pergunta "Nomeie a capital da Suécia", se a matéria fosse geografia).

Então eu perguntei "Qual é a assinatura da forma quadrática xy?"

O candidato exigiu os 15 minutos em que deveria pensar, após o que disse: “No meu computador em Toulouse, tenho uma rotina (programa) que em uma ou duas horas poderia descobrir quantos pontos positivos e quantos negativos existem. na forma normal. A diferença desses dois números e será uma assinatura - mas você só dá 15 minutos, e sem computador, então não posso responder, este formulário hu muito complicado."

Para não especialistas, explicarei que, se fosse sobre zoologia, essa resposta seria semelhante a esta: "Linnaeus listou todos os animais, mas se a bétula é um mamífero ou não, não posso responder sem um livro."

O próximo candidato acabou sendo um especialista em "sistemas de equações elípticas em derivadas parciais" (uma década e meia depois de defender sua dissertação e mais de vinte trabalhos publicados).

Perguntei a este: "Qual é o Laplaciano da função 1/r no espaço euclidiano tridimensional?

Deixe-me explicar que a pergunta era da teoria das equações elípticas como a pergunta "Quem é o autor de Hamlet?" no exame de Literatura Inglesa. Na tentativa de ajudar, fiz uma série de perguntas principais (semelhantes às perguntas sobre Otelo e Ofélia): "Você sabe o que é a lei da gravitação universal? A lei de Coulomb? solução da equação de Laplace?"

Mas nada ajudava: nem Macbeth nem Rei Lear eram conhecidos do candidato se estivessem falando de literatura.

Por fim, o presidente da comissão examinadora me explicou qual era o problema: "Afinal, o candidato não estudou uma equação elíptica, mas seus sistemas, e você pergunta a ele sobre a equação de Laplace, queTotal uma coisa - é claro que ele nunca o encontrou!"

Numa analogia literária, essa “justificação” corresponderia à frase: "O candidato estudou poetas ingleses, como ele poderia conhecer Shakespeare, porque ele é um dramaturgo!"

O terceiro candidato (e dezenas deles foram entrevistados) tratava de "formas diferenciais holomórficas", e eu lhe perguntei: "Qual é a superfície Riemann da tangente?" (Eu estava com medo de perguntar sobre o arco tangente).

Resposta: "A forma quadrática dos diferenciais de coordenadas é chamada de métrica Riemanniana, mas qual forma está associada à função" tangente ", não está claro para mim."

Deixe-me explicar novamente com um modelo de resposta semelhante, desta vez substituindo a matemática pela história (para a qual os metropolitanos estão mais inclinados). Aqui a pergunta seria: Quem é Júlio César? e a resposta é: "Os governantes de Bizâncio eram chamados de Césares, mas não conheço Júlio entre eles."

Pergunta: "No entanto, e quanto à afirmação UMA por conta própria, sem NO: É verdade ou não?

Responda: "Afinal, eu disse que a afirmação "A e B" é falsa. Isso significa que A também é falsa." Aquilo é: "Como não é verdade que "Petya e Misha adoeceram de cólera", Petya não pegou cólera."

"Probabilistas", explicou-me nosso experiente presidente, "têm uma lógica normal, igual à dos matemáticos, aristotélicos. Para os estatísticos, é completamente diferente: não é à toa que dizem "há mentiras, mentiras descaradas e estatísticas. ” Todo o seu raciocínio não é comprovado, todas as suas conclusões são errôneas. Mas, por outro lado, são sempre muito necessárias e úteis, essas conclusões. Nós definitivamente precisamos aceitar essa estatística!

Como resultado dessas reflexões, Bugaev enviou jovens moscovitas a Paris para aprender a nova "matemática do livre arbítrio" lá (de Borel e Lebesgue). Este programa foi brilhantemente realizado por N. N. Luzin, que, ao retornar a Moscou, criou uma escola brilhante que incluía todos os principais matemáticos de Moscou de muitas décadas: Kolmogorov e Petrovsky, Alexandrov e Pontryagin, Menshov e Keldysh, Novikov e Lavrentiev, Gelfand e Lyusternik.

Aliás, Kolmogorov me recomendou a escolha posterior de Luzin pelo Parisian Hotel no Quartier Latin de Paris (na Rue Tournefort, não muito longe do Panteão). Durante o Primeiro Congresso Europeu de Matemática em Paris (1992) fiquei neste hotel barato (com instalações ao nível do século XIX, sem telefone, etc.). E a anfitriã idosa deste hotel, sabendo que eu tinha vindo de Moscou, imediatamente me perguntou: E como está meu antigo convidado, Luzin, por lá? É uma pena que ele não nos visite há muito tempo."

Voltando à escolha dos professores em 2002, observo que todos os ignorantes listados acima receberam (de todos, menos de mim) as melhores notas. Pelo contrário, foi quase unanimemente rejeitado pelo único, na minha opinião, candidato digno. Ele descobriu (com a ajuda de "bases de Gröbner" e álgebra computacional) várias dezenas de novos sistemas completamente integráveis de equações hamiltonianas da física matemática (ao mesmo tempo, ele recebeu, mas não incluiu na lista de novos, as famosas equações de Korteweg-de Vries, Sayn-Gordon e similares).

Como projeto para o futuro, o candidato também propôs um novo método baseado em computador para modelar o tratamento do diabetes. À minha pergunta sobre a avaliação de seu método pelos médicos, ele respondeu com bastante razão: “O método está sendo testado agora em tais centros e hospitais, e em seis meses eles darão suas conclusões, comparando os resultados com outros métodos e com grupos controle de pacientes, mas por enquanto esse exame não é realizado, havendo apenas estimativas preliminares, porém, Boas".

Eles o rejeitaram com a seguinte explicação: "Em cada página de sua dissertação, são mencionados grupos de Lie ou álgebras de Lie, e ninguém aqui entende isso, então ele não se encaixará em nossa equipe."É verdade que seria possível rejeitar a mim e a todos os meus alunos dessa maneira, mas alguns colegas acham que o motivo da rejeição foi diferente: ao contrário de todos os candidatos anteriores, este não era francês (ele era aluno de um famoso professor americano de Minnesota).

Então agora a França está salva!

De todos os alunos de Luzin, a contribuição mais notável para a ciência foi feita, na minha opinião, por Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Crescendo em uma aldeia com seu avô perto de Yaroslavl, Andrei Nikolayevich orgulhosamente se referiu às palavras de Gogol "um camponês eficiente de Roslavl".

A reportagem foi muito bem sucedida, e o palestrante foi muito elogiado. Mas ele insistiu em outro endosso: ele queria que suas conclusões fossem reconhecidas como corretas.

No final, Bakhrushin lhe disse: "Este relatório deve ser publicado, é muito interessante. Mas quanto às conclusões, então nós, historiadores, sempre não precisamos de uma prova, mas de pelo menos cinco para aceitar qualquer conclusão!"

Mayakovsky escreveu: "Afinal, ele pode extrair a raiz quadrada a cada segundo" (sobre um professor que "não fica entediado que sob a janela os cozinheiros estão indo ativamente ao ginásio").

Quando cheguei a Paris em 1965, o idoso professor Fréchet me cumprimentou calorosamente com as seguintes palavras: "Afinal, você é um estudante de Kolmogorov, o jovem que construiu um exemplo de uma série de Fourier divergente em quase todos os lugares!"

"Seria em vão", ele me disse, "procurar conteúdo matemático em meu trabalho sobre turbulência. Estou aqui como físico e não me importo com provas matemáticas ou derivar minhas conclusões de premissas iniciais, como o Navier -Equações de Stokes. Que essas conclusões não sejam comprovadas - mas são verdadeiras e abertas, e isso é muito mais importante do que prová-las!"

Darei apenas um exemplo famoso (da teoria da turbulência).

Outros conjuntos que atraem vizinhos também são possíveis, por exemplo, curvas fechadas representando fluxos mudando periodicamente com o tempo no espaço funcional dos campos de velocidade. Tal curva é um atrator quando as condições iniciais vizinhas, representadas pelos pontos "perturbados" do espaço funcional dos campos de velocidade que estão próximos da curva fechada indicada, iniciam, embora não mudando periodicamente com o tempo, um escoamento, mas se aproximam dele. (ou seja, o fluxo perturbado tende ao periódico descrito anteriormente ao longo do tempo).

Concordo plenamente com Berry sobre isso. Eu disse a ele o princípio epônimo em resposta a uma pré-impressão sobre a "fase Berry", cujos exemplos, em nada inferiores à teoria geral, foram publicados décadas antes de Berry por S. M. Rytov (sob o título "polarization direction inertia") e A. Yu .Ishlinsky (sob o nome de "saída do giroscópio submarino devido à incompatibilidade entre o caminho de retorno à base e o caminho para longe dela"),

Voltemos, porém, aos atratores. Um atrator, ou conjunto de atração, é um estado estável de movimento, que, no entanto, não precisam ser periódicos. Os matemáticos também exploraram movimentos muito mais complexos que também podem atrair movimentos vizinhos perturbados, mas que podem ser extremamente instáveis: pequenas causas às vezes causam grandes efeitos, disse Poincaré. O estado, ou "fase", de tal regime limite (ou seja, um ponto na superfície do atrator) pode se mover ao longo da superfície do atrator de uma maneira "caótica" bizarra e um ligeiro desvio do ponto de partida no atrator pode alterar muito o curso do movimento sem alterar o regime limite. As médias de longo prazo de todos os observáveis possíveis serão próximas nos movimentos inicial e perturbado, mas os detalhes em um ponto fixo no tempo serão, via de regra, completamente diferentes.

Em hidrodinâmica, o grau de amortecimento das perturbações iniciais é geralmente caracterizado por viscosidade (por assim dizer, o atrito mútuo de partículas de fluido à medida que se movem uma em relação à outra), ou a viscosidade inversa de uma quantidade chamada "número de Reynolds". Grandes valores do número de Reynolds correspondem a um fraco amortecimento de distúrbios, e grandes valores de viscosidade (ou seja, pequenos números de Reynolds), pelo contrário, regularizam o fluxo, evitando distúrbios e seu desenvolvimento. Subornos e corrupção muitas vezes desempenham o papel de "viscosidade" na economia 1 .

1 A gestão da produção em vários estágios é instável se o número de estágios (trabalhador, capataz, gerente de oficina, diretor de fábrica, matriz etc.) são encorajados não apenas de cima (para seguir ordens), mas também de baixo (para o bem da causa, para decisões favoráveis à produção). Para o último incentivo, a corrupção é usada. Para detalhes, veja o artigo: V. I. Arnold. Matemática e educação matemática no mundo moderno. In: Matemática na educação e educação. - M.: FAZIS, 2000, p. 195-205.

De 1 e 2 juntos segue que quando o número de Reynolds é grande o suficiente, o estado estacionário certamente tem muitos graus de liberdade, então muitos parâmetros devem ser especificados para descrever sua fase (um ponto no atrator), que então, ao se mover ao longo do atrator, mudará de maneira "caótica" caprichosa e não periódica, e uma pequena mudança no ponto de partida no atrator, como regra, leva a uma grande (depois de muito tempo) mudança no "tempo" (o ponto atual no atrator), embora não mude o próprio atrator (ou seja, , não causará uma mudança no "clima").

A afirmação 1 por si só não é suficiente aqui, pois diferentes atratores podem coexistir, incluindo atratores de diferentes dimensões em um sistema (que, portanto, pode realizar um movimento "laminar" calmo em algumas condições iniciais e um movimento "turbulento" violento em outras, dependendo do seu estado inicial).

Observação experimental de tais efeitos "flambagem retardada" surpreendeu os físicos por muito tempo, mas Kolmogorov acrescentou que mesmo que um atrator de baixa dimensão não desapareça, ele pode não alterar a turbulência observada no caso em que o tamanho de sua zona de atração diminui fortemente com o aumento do número de Reynolds. Nesse caso, o regime laminar, embora possível em princípio (e até estável), praticamente não é observado devido à área extremamente pequena de sua atração: já pequenas, mas sempre presentes no experimento, as perturbações podem tirar o sistema da zona de atração desse atrator para a zona de atração de outro estado estacionário, já turbulento, que será observado.

O fato é que o conceito axiomático de atrator foi formulado pelos matemáticos com a perda de algumas propriedades do modo físico limitante do movimento, cujo conceito (não estritamente definido) da matemática tentou ser axiomatizado pela introdução do termo "atrator".

Considere, por exemplo, um atrator que é um círculo (para o qual todas as trajetórias próximas da dinâmica se aproximam em espiral).

Por exemplo, pode-se imaginar um círculo verticalmente em pé, cuja dinâmica se desloca para baixo ao longo do círculo em qualquer ponto, exceto os restantes pólos fixos:

atrator na parte inferior e repulsor na parte superior.

Mas nada foi provado sobre limites inferiores para dimensões, apesar das inúmeras publicações assim chamadas.

A todas essas conclusões chegou Sylvester, refletindo, em suas palavras, "um estranho fenômeno intelectual, que consiste no fato de que a prova de uma asserção mais geral muitas vezes acaba sendo mais simples do que as provas dos casos especiais nela contidos. Como exemplo, ele comparou a geometria de um espaço vetorial com a análise funcional (ainda não estabelecida).

Essa ideia de Sylvester foi muito usada depois. Por exemplo, é precisamente isso que explica o desejo de Bourbaki de tornar todos os conceitos tão gerais quanto possível. Eles até usam dentro Na França, a palavra "mais" no sentido de que em outros países (referida desdenhosamente como "anglo-saxão") é expressa pelas palavras "maior que ou igual", já que na França o conceito mais geral ">=" era considerado primário, e o exemplo mais específico ">" - "sem importância". Por causa disso, eles ensinam aos alunos que zero é um número positivo (assim como um número negativo, não positivo, não negativo e natural), que não é reconhecido em nenhum outro lugar.

Kolmogorov, ao contrário, nunca se importou com a letra da definição de alguém, mas pensou na essência da questão 2 .

2 Tendo resolvido em 1960 o problema de Birkhoff sobre a estabilidade dos pontos fixos de sistemas não ressonantes, publiquei em 1961 a solução justamente para esse problema. Um ano depois, J. Moser generalizou meu resultado, provando estabilidade também para ressonâncias de ordem maiores que quatro. Foi só então que percebi que minha prova estabeleceu esse fato mais geral, mas, hipnotizado pela definição de não-ressonância de Birkhoff, não escrevi que provei mais do que Birkhoff exigia.

Naqueles anos, ingenuamente tentei explicar a Kolmogorov o que aconteceu na topologia ao longo das décadas em que ele extraiu todo o seu conhecimento sobre isso apenas de PS Aleksandrov. Por causa desse isolamento, Kolmogorov não sabia nada sobre topologia de homotopia; ele me convenceu de que "sequências espectrais estavam contidas no trabalho Kazan de Pavel Sergeevich 1942 Do ano", e as tentativas de explicar a ele o que é uma sequência exata não foram mais bem sucedidas do que minhas tentativas ingênuas de colocá-lo em esquis aquáticos ou colocá-lo em uma bicicleta, esse grande viajante e esquiador.

Outro círculo pouco conhecido das ideias de Kolmogorov relaciona-se com controle ótimo de sistemas dinâmicos.

Quanto à equação diferencial de Hamilton para mudar ao longo do tempo a escolha desse valor extremo entre muitos possíveis, Kolmogorov a conhecia muito bem, chamando-a, no entanto, de princípio de Huygens (que é realmente equivalente a essa equação e da qual Hamilton obteve sua equação por passando de envelopes para diferenciais). Kolmogorov até apontou para mim, então estudante, que a melhor descrição desta geometria do princípio de Huygens está no livro de mecânica de Whittaker, onde eu aprendi, e que em uma forma algébrica mais intrincada está na teoria da "transformação beryurung" de Sophus Lie (em vez da qual eu aprendi a teoria das transformações canônicas dos "Sistemas Dinâmicos" de Birkhoff e que hoje é chamada de geometria de contato).

Buscar as origens da matemática moderna nos escritos clássicos geralmente não é fácil, especialmente devido à mudança de terminologia tomada para uma nova ciência. Por exemplo, quase ninguém percebe que a chamada teoria das variedades de Poisson já foi desenvolvida por Jacobi. O fato é que Jacobi seguiu o caminho das variedades algébricas - variedades, e não variedades lisas - variedades. Ou seja, ele estava interessado na variedade de órbitas do sistema dinâmico hamiltoniano. Como objeto topológico ou liso, possui singularidades e patologias ainda mais desagradáveis ("não-Hausdorffness" e similares) com órbitas emaranhadas (curvas de fase de um sistema dinâmico complexo).

O próprio Kolmogorov, tendo resolvido o problema de estimativas superiores de derivadas intermediárias, entendeu que poderia resolver muitos outros problemas de otimização usando os mesmos métodos de Huygens e Hamilton, mas não o fez, especialmente quando Pontryagin, a quem sempre tentou ajudar, publicou seu "princípio máximo", que é, em essência, um caso especial do mesmo princípio de Huygens de geometria de contato esquecida, aplicado, porém, a um problema não muito geral.

Mas agora, eu acho, isso já pode ser dito, na esperança de que alguém possa usar essas conexões para descobrir novos resultados.

Curiosamente, após o aparecimento do trabalho de Moser, os "matemáticos" americanos tentaram publicar sua "generalização do teorema de Moser para sistemas analíticos" (que era simplesmente o teorema de Kolmogorov publicado dez anos antes, que Moser conseguiu generalizar). Moser, no entanto, pôs um fim decisivo a essas tentativas de atribuir o resultado clássico de Kolmogorov a outros (ele observou corretamente, no entanto, que Kolmogorov nunca publicou uma exposição detalhada de sua prova).

Pareceu-me então que a prova publicada por Kolmogorov na nota da DAN era bastante clara (embora ele escrevesse mais para Poincaré do que para Hilbert), em contraste com a prova de Moser, onde não entendi um lugar. Eu até refiz em minha revisão da maravilhosa teoria de Moser em 1963. Posteriormente, Moser me explicou o que ele quis dizer com essa passagem obscura, mas mesmo agora não tenho certeza se essas explicações foram devidamente publicadas (na minha reformulação, tenho que escolher s < e/3, а не e/2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Em ambos os casos, o trabalho contém tanto uma declaração física clara do problema da ciência natural quanto uma técnica matemática complexa e não trivial para resolvê-lo.

No caso da assintótica browniana, essa difícil técnica matemática envolve o estudo de integrais ao longo de caminhos deformáveis em superfícies de Riemann, levando em consideração as complexas deformações dos contornos de integração necessárias para isso ao mudar os parâmetros, ou seja, o que hoje é chamado de " teoria de Picard-Lefschetz" ou a "teoria da conexão" Gauss-Manina".