Ինչպես գնահատել թվի արմատը: Մեծ թվից արմատ հանելը

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկի հիմքում ընկած է այն, ինչ ձեզ շրջապատում է չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը: Սկզբում դրանք տարրական մաթեմատիկայի կտորներ էին, որոնք հնարավորություն էին տալիս թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական. մաթեմատիկան հասավ բարդության առաստաղին, երբ բոլոր թվերը »: «Քառակուսի արմատ» հասկացությունը ի հայտ եկավ այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր հաստատվել էմպիրիկ տվյալների միջոցով՝ դուրս գալով հաշվարկների հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումը, որը վրա այս պահիննշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների գրվածքներում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք մի փոքր նման էին ներկայիս ձևին. այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր: Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ ե. նրանք եկան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է վերցնել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարը ցույց է տալիս մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են ելքային գործընթացը √2, և այն այնքան ճիշտ է պարզվել, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատը օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս արմատը հանելուց փախուստ չկա։

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։

Այս տերմինի ծագումը կապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես radix (կարելի է հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ ունի «արմատ» իմաստային բեռ, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ՝ 15-րդ դարում նշելու համար, որ քառակուսի արմատը վերցված է կամայական ա թվից, գրել են Ռ 2 ա։ Ժամանակակից տեսքին ծանոթ «տիզը» հայտնվեց միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 =y-ը համարժեք է √y=z-ին: Այնուամենայնիվ այս սահմանումըտեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեք։ Այլ կերպ ասած, √y=z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Ընդհանուր առմամբ, որը վավեր է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական: Այսպիսով, շնորհիվ z 2 =y և (-z) 2 =y, մենք ունենք՝ √y=±z կամ √y=|z|:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրա հանդեպ սիրո տարբեր դրսևորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով: Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր իրադարձությունների հետ, ինչպիսին է Պի օրը, նշվում են նաև քառակուսի արմատի տոները։ Դրանք նշվում են հարյուր տարում ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով՝ այն թվերը, որոնք նշում են օրն ու ամիսը հերթականությամբ, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այսպիսով, հաջորդ անգամ այս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատի հատկությունները դաշտի վրա Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններն ունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսի կողմ:

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնված, սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, կենտ թվերը հերթով հանվում են, մինչև արդյունքի մնացորդը պակասի հանված մեկից կամ նույնիսկ հավասարվի զրոյի: Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա ցանկալի թիվը: Օրինակ, հաշվարկը քառակուսի արմատ 25-ից:

Հետևելով կենտ թիվ 11 է, ունենք հետևյալ մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, որտեղ n-ը արժեքներ է ընդունում 0-ից մինչև

+∞, և |y|≤1.

z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z=√y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Նրա աղյուսակն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման անցնում է կետը (1; 1):

R իրական թվերի դաշտում z=√y ֆունկցիայի հատկությունները

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z=√y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z=√y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z=√y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z=√y ֆունկցիան անընդհատ աճում է։

9. Z=√y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z=√y ֆունկցիան ցուցադրելու տարբերակներ

Մաթեմատիկայի մեջ բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար երբեմն օգտագործվում է քառակուսի արմատ գրելու ուժային ձևը՝ √y=y 1/2։ Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով։

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս տարածքում քառակուսի արմատը մեծ պահանջարկ ունի, քանի որ այն հաշվարկների համար անհրաժեշտ երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասի մաս է կազմում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատը բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի բացահայտումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ աստիճանի արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումները և բացասական դիսկրիմինանտով լուծում ստացան։ C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միակ բանն այն է, որ արմատական ​​արտահայտության սահմանափակումները հանվում են։

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի կուրսից տարբեր խնդիրներ լուծելիս աշակերտներին և ուսանողներին հաճախ բախվում է երկրորդ, երրորդ կամ n-րդ աստիճանի արմատներ հանելու անհրաժեշտությունը: Իհարկե, տեղեկատվական տեխնոլոգիաների դարաշրջանում հաշվիչով նման խնդիր լուծելը դժվար չի լինի։ Այնուամենայնիվ, կան իրավիճակներ, երբ անհնար է օգտագործել էլեկտրոնային օգնականը:

Օրինակ՝ արգելվում է բազմաթիվ քննությունների էլեկտրոնիկա բերել։ Բացի այդ, հաշվիչը կարող է ձեռքի տակ չլինել: Նման դեպքերում օգտակար է իմանալ ռադիկալների ձեռքով հաշվարկման առնվազն որոշ մեթոդներ:

Արմատները հաշվարկելու ամենապարզ եղանակներից մեկն այն է օգտագործելով հատուկ սեղան. Ի՞նչ է դա և ինչպես ճիշտ օգտագործել:

Աղյուսակի միջոցով կարող եք գտնել ցանկացած թվի քառակուսին 10-ից մինչև 99-ը: Միևնույն ժամանակ, աղյուսակի տողերը պարունակում են տասնյակ արժեքներ, իսկ սյունակները պարունակում են միավոր արժեքներ: Տողի և սյունակի հատման բջիջը պարունակում է երկնիշ թվի քառակուսի: 63-ի քառակուսին հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել 6 արժեքով տող և 3 արժեք ունեցող սյունակ: Խաչմերուկում մենք գտնում ենք 3969 թվով բջիջ:

Քանի որ արմատը հանելը քառակուսիների հակադարձ գործողությունն է, այս գործողությունը կատարելու համար պետք է հակառակն անել՝ նախ գտեք այն բջիջը, որի ռադիկալը ցանկանում եք հաշվարկել, այնուհետև որոշեք պատասխանը սյունակի և տողի արժեքներից: Որպես օրինակ դիտարկենք 169-ի քառակուսի արմատի հաշվարկը։

Աղյուսակում գտնում ենք այս թվով բջիջ, հորիզոնական սահմանում տասնյակները՝ 1, ուղղահայաց՝ 3։ Պատասխան՝ √169 = 13։

Նմանապես, դուք կարող եք հաշվարկել խորանարդի և n-րդ աստիճանի արմատները՝ օգտագործելով համապատասխան աղյուսակները:

Մեթոդի առավելությունը նրա պարզությունն է և լրացուցիչ հաշվարկների բացակայությունը։ Թերությունները ակնհայտ են. մեթոդը կարող է օգտագործվել միայն թվերի սահմանափակ շրջանակի համար (թիվը, որի համար հայտնաբերված է արմատը, պետք է լինի 100-ից 9801-ի միջև): Բացի այդ, այն չի աշխատի, եթե տվյալ թիվը չկա աղյուսակում։

Հիմնական ֆակտորիզացիա

Եթե ​​քառակուսիների աղյուսակը ձեռքի տակ չէ կամ դրա օգնությամբ անհնար էր գտնել արմատը, կարող եք փորձել Արմատի տակ գտնվող թիվը տարրալուծել պարզ գործոնների. Հիմնական գործոնները նրանք են, որոնք կարող են ամբողջությամբ (առանց մնացորդի) բաժանվել միայն ինքն իրեն կամ մեկով: Օրինակները կլինեն 2, 3, 5, 7, 11, 13 և այլն:

Դիտարկենք արմատի հաշվարկը՝ օգտագործելով √576 օրինակը: Եկեք այն տարրալուծենք պարզ գործոնների. Մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը. Օգտագործելով √a² = a արմատների հիմնական հատկությունը՝ մենք ազատվում ենք արմատներից և քառակուսիներից, որից հետո հաշվում ենք պատասխանը՝ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24:

Ի՞նչ անել, եթե գործոններից որևէ մեկը չունի իր զույգը: Օրինակ, հաշվի առեք √54-ի հաշվարկը: Ֆակտորինգից հետո արդյունքը ստանում ենք հետևյալ ձևով. Չշարժվող հատվածը կարելի է թողնել արմատի տակ։ Երկրաչափության և հանրահաշվի խնդիրների մեծ մասի համար նման պատասխանը կհաշվվի որպես վերջնական: Բայց եթե մոտավոր արժեքներ հաշվարկելու անհրաժեշտություն կա, կարող եք օգտագործել այն մեթոդները, որոնք հետագայում կքննարկվեն:

Հերոնի մեթոդը

Ի՞նչ անել, երբ պետք է գոնե մոտավորապես իմանաք, թե որն է արդյունահանված արմատը (եթե անհնար է ստանալ ամբողջական արժեք): Հերոնի մեթոդի կիրառմամբ արագ և բավականին ճշգրիտ արդյունք է ստացվում։. Դրա էությունը կայանում է մոտավոր բանաձևի օգտագործման մեջ.

√R = √a + (R - a) / 2√a,

որտեղ R-ն այն թիվն է, որի արմատը պետք է հաշվարկվի, a-ն ամենամոտ թիվն է, որի արմատի արժեքը հայտնի է:

Տեսնենք, թե ինչպես է մեթոդը գործնականում աշխատում և գնահատենք, թե որքանով է այն ճշգրիտ: Հաշվենք, թե ինչի է հավասար √111-ը։ 111-ին ամենամոտ թիվը, որի արմատը հայտնի է, 121 է: Այսպիսով, R = 111, a = 121: Փոխարինեք արժեքները բանաձևում.

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Հիմա եկեք ստուգենք մեթոդի ճշգրտությունը:

10,55² = 111,3025:

Մեթոդի սխալը մոտավորապես 0,3 էր: Եթե ​​մեթոդի ճշգրտությունը պետք է բարելավվի, կարող եք կրկնել ավելի վաղ նկարագրված քայլերը.

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Եկեք ստուգենք հաշվարկի ճշգրտությունը.

10,536² = 111,0073:

Բանաձևի կրկնակի կիրառումից հետո սխալը դարձավ բավականին աննշան:

Արմատի հաշվարկը սյունակի բաժանմամբ

Քառակուսի արմատի արժեքը գտնելու այս մեթոդը մի փոքր ավելի բարդ է, քան նախորդները: Այնուամենայնիվ, այն ամենաճշգրիտն է առանց հաշվիչի հաշվարկման այլ մեթոդների մեջ:.

Ասենք, որ քառակուսի արմատը պետք է գտնել 4 տասնորդական թվի ճշգրտությամբ։ Եկեք վերլուծենք հաշվարկի ալգորիթմը կամայական 1308.1912 թվի օրինակով։

1. Թղթի թերթիկը ուղղահայաց գծով բաժանեք 2 մասի, այնուհետև մեկ այլ գիծ քաշեք դրանից դեպի աջ՝ վերին եզրից մի փոքր ցածր։ Թիվը գրում ենք ձախ կողմում՝ այն բաժանելով 2 նիշանոց խմբերի, շարժվելով տասնորդական կետից աջ և ձախ։ Ձախ կողմում գտնվող առաջին թվանշանը կարող է լինել առանց զույգի: Եթե ​​թվի աջ կողմում բացակայում է նշանը, ապա պետք է ավելացնել 0, մեր դեպքում ստանում ենք 13 08.19 12:
2. Ընտրենք ամենամեծ թիվը, որի քառակուսին փոքր կամ հավասար կլինի առաջին խմբի թվանշաններին։ Մեր դեպքում սա 3 է: Գրենք այն վերևի աջ կողմում; 3-ը արդյունքի առաջին նիշն է: Ներքևի աջ մասում մենք նշում ենք 3 × 3 = 9; դա անհրաժեշտ կլինի հետագա հաշվարկների համար: Սյունակի 13-ից հանում ենք 9-ը, ստանում ենք մնացորդ 4-ը:
3. Մնացած 4-ին ավելացնենք թվերի հաջորդ զույգը; մենք ստանում ենք 408:
4. Վերևի աջ թիվը բազմապատկեք 2-ով և գրեք այն ներքևի աջում՝ դրան ավելացնելով _ x _ =: Մենք ստանում ենք 6_ x _ =:
5. Գծիկների փոխարեն պետք է փոխարինել նույն թիվը՝ փոքր կամ հավասար 408-ի: Մենք ստանում ենք 66 × 6 \u003d 396: Վերևի աջ կողմում գրենք 6, քանի որ սա արդյունքի երկրորդ նիշն է: 408-ից հանում ենք 396, ստանում ենք 12։
6. Կրկնենք 3-6 քայլերը: Քանի որ վերցված թվերը թվի կոտորակային մասում են, անհրաժեշտ է 6-ից անմիջապես հետո վերևում դնել տասնորդական կետ: Կրկնապատկված արդյունքը գրենք գծիկներով՝ 72_ x _ =: Հարմար թիվը կլինի 1-ը: 721 × 1 = 721: Եկեք այն գրենք որպես պատասխան: Եկեք հանենք 1219 - 721 = 498:
7. Նախորդ պարբերությունում տրված գործողությունների հաջորդականությունը կատարենք ևս երեք անգամ՝ տասնորդական թվերի անհրաժեշտ քանակությունը ստանալու համար։ Եթե ​​չկան բավարար նշաններ հետագա հաշվարկների համար, ապա ձախ կողմում գտնվող ընթացիկ թվին պետք է ավելացվի երկու զրո:

Արդյունքում ստանում ենք պատասխանը՝ √1308.1912 ≈ 36.1689։ Եթե ​​դուք ստուգեք գործողությունը հաշվիչով, կարող եք համոզվել, որ բոլոր նիշերը ճիշտ են որոշվել:

Քառակուսի արմատի արժեքի բիթային հաշվարկ

Մեթոդը շատ ճշգրիտ է. Բացի այդ, դա միանգամայն հասկանալի է և չի պահանջում անգիր բանաձևեր կամ գործողությունների բարդ ալգորիթմ, քանի որ մեթոդի էությունը ճիշտ արդյունք ընտրելն է:

Արմատը հանենք 781 թվից։ Մանրամասն դիտարկենք գործողությունների հաջորդականությունը։

1. Պարզեք, թե քառակուսի արմատի արժեքի որ թվանշանն է լինելու ամենաբարձրը: Դա անելու համար եկեք քառակուսի դարձնենք 0, 10, 100, 1000 և այլն և պարզենք, թե դրանցից որի միջև է գտնվում արմատային թիվը: Մենք ստանում ենք այդ 10²-ը< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Վերցնենք տասնյակների արժեքը։ Դա անելու համար մենք հերթով կբարձրացնենք 10, 20, ..., 90-ի հզորությունը, մինչև ստանանք 781-ից մեծ թիվ: Մեր դեպքում մենք ստանում ենք 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900: Արդյունքի n արժեքը կլինի 20-ի սահմաններում< n <30.
3. Նախորդ քայլի նման, ընտրված է միավորների թվանշանի արժեքը: Մենք հերթափոխով քառակուսի ենք դնում 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² Ստանում ենք = 724:< n < 28.
4. Յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշան (տասներորդներ, հարյուրերորդներ և այլն) հաշվարկվում է նույն կերպ, ինչպես ցույց է տրված վերևում: Հաշվարկներն իրականացվում են այնքան ժամանակ, մինչև ձեռք բերվի պահանջվող ճշգրտությունը:

Շրջանակի վրա նա ցույց տվեց, թե ինչպես կարելի է քառակուսի արմատներ հանել սյունակում: Դուք կարող եք հաշվարկել արմատը կամայական ճշգրտությամբ, գտնել այնքան թվանշան, որքան ցանկանում եք նրա տասնորդական նշումով, նույնիսկ եթե այն իռացիոնալ է: Ալգորիթմը հիշվեց, բայց հարցերը մնացին։ Պարզ չէր, թե որտեղից է եկել մեթոդը և ինչու է այն տալիս ճիշտ արդյունք։ Սա գրքերում չկար, կամ գուցե ես պարզապես սխալ գրքեր էի փնտրում: Արդյունքում, ինչպես շատ բաներ, ինչ ես գիտեմ և կարող եմ անել այսօր, ես ինքս դա բացահայտեցի: Ես կիսում եմ իմ գիտելիքները այստեղ: Ի դեպ, ես դեռ չգիտեմ, թե որտեղ է տրված ալգորիթմի հիմնավորումը)))

Այսպիսով, նախ, օրինակով, ես ձեզ ասում եմ «ինչպես է աշխատում համակարգը», ապա բացատրում եմ, թե ինչու է այն իրականում աշխատում:

Վերցնենք մի թիվ (թիվը վերցված է «առաստաղից», պարզապես մտքովս անցավ):

1. Նրա թվերը բաժանում ենք զույգերի՝ նրանք, որոնք գտնվում են տասնորդական կետից ձախ, խմբում ենք երկուսը աջից ձախ, իսկ աջից երկուսը ձախից աջ։ Մենք ստանում ենք.

2. Մենք քառակուսի արմատը հանում ենք ձախ կողմում գտնվող թվերի առաջին խմբից - մեր դեպքում դա այդպես է (պարզ է, որ ճշգրիտ արմատը կարող է չհանվել, մենք վերցնում ենք այն թիվը, որի քառակուսին հնարավորինս մոտ է մեր թվին, որը ձևավորվում է թվով. թվանշանների առաջին խումբ, բայց չի գերազանցում այն): Մեր դեպքում սա թիվ է լինելու։ Մենք ի պատասխան գրում ենք՝ սա արմատի ամենաբարձր թվանշանն է։

3. Մենք բարձրացնում ենք այն թիվը, որն արդեն կա պատասխանի մեջ՝ սա է՝ քառակուսի, և ձախ կողմում գտնվող թվերի առաջին խմբից հանում ենք թվից: Մեր դեպքում դա մնում է

4. Մենք վերագրում ենք հետևյալ երկու թվերի խումբը աջ կողմում. Արդեն պատասխանում նշված թիվը բազմապատկվում է , ստանում ենք .

5. Այժմ ուշադիր դիտեք: Մենք պետք է մեկ թվանշան ավելացնենք աջ կողմում գտնվող թվին և թիվը բազմապատկենք ով, այսինքն՝ նույն նշանակված թվանշանով: Արդյունքը պետք է լինի հնարավորինս մոտ, բայց կրկին ոչ ավելի, քան այս թիվը: Մեր դեպքում սա կլինի թիվ, ի պատասխան գրում ենք կողքին, աջ կողմում։ Սա մեր քառակուսի արմատի տասնորդական նշման հաջորդ թվանշանն է:

6. Արտադրյալը հանելով՝ ստանում ենք.

7. Այնուհետև մենք կրկնում ենք ծանոթ գործողությունները. թվանշանների հաջորդ խումբը վերագրում ենք դեպի աջ, բազմապատկում ենք ստացված թվին, վերագրում ենք մեկ թվանշան աջ, այնպես, որ դրանով բազմապատկելիս մենք ստանում ենք ավելի փոքր, բայց ամենամոտ թիվ: դա - սա թիվն է, հաջորդ նիշը արմատի տասնորդական նշումով:

Հաշվարկները գրվելու են հետևյալ կերպ.

Իսկ հիմա խոստացված բացատրությունը. Ալգորիթմը հիմնված է բանաձևի վրա

Մեկնաբանություններ: 50

1. 2 Անտոն.

   Չափազանց խառնաշփոթ և շփոթեցնող: Կտրեք ամեն ինչ և համարակալեք դրանք: Գումարած. բացատրեք, թե որտեղ ենք յուրաքանչյուր գործողության մեջ փոխարինում անհրաժեշտ արժեքները: Ես երբեք չեմ հաշվարկել արմատը սյունակում, ես դժվարությամբ եմ դա պարզել:

2. 5 Ջուլիա.

3. 6 :

   Ջուլիա, 23 այս պահին գրված է աջ կողմում, սրանք արմատի առաջին երկու (ձախ) արդեն ստացված թվանշաններն են, որոնք պատասխանում են։ Ըստ ալգորիթմի բազմապատկում ենք 2-ով։ Մենք կրկնում ենք 4-րդ կետում նկարագրված քայլերը:

4. 7zzz:

   սխալ «6. 167-ից հանում ենք 43 * 3 = 123 (129 նադա) արտադրյալը, ստանում ենք 38»։
   պարզ չէ, թե ստորակետից հետո ինչպես է ստացվել 08 ...

5. 9 Ֆեդոտով Ալեքսանդր.

   Եվ նույնիսկ նախահաշվիչի դարաշրջանում մեզ դպրոցում սովորեցնում էին ոչ միայն քառակուսի, այլև խորանարդի արմատը սյունակի մեջ հանելու համար, բայց սա ավելի հոգնեցուցիչ և տքնաջան աշխատանք է: Ավելի հեշտ էր օգտագործել Bradis աղյուսակները կամ սլայդի կանոնը, որը մենք արդեն սովորել էինք ավագ դպրոցում:

6. 10 :

   Ալեքսանդր, դու ճիշտ ես, կարող ես հանել մեծ աստիճանի սյունակի և արմատների մեջ: Ես պատրաստվում եմ գրել հենց այն մասին, թե ինչպես գտնել խորանարդի արմատը:

7. 12 Սերգեյ Վալենտինովիչ.

   Հարգելի Էլիզաբեթ Ալեքսանդրովնա: 70-ականների վերջին ես մշակեցի քառակուսիների ավտոմատ (այսինքն՝ ոչ ընտրությամբ) հաշվարկի սխեմա։ արմատը Ֆելիքս ավելացնող մեքենայի վրա: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք, ես կարող եմ ուղարկել նկարագրությունը:

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   ((Քառակուսի արմատը հանելով սյունակի մեջ)))
   Ալգորիթմը պարզեցվում է, եթե օգտագործում եք 2-րդ թվային համակարգը, որն ուսումնասիրվում է համակարգչային գիտության մեջ, բայց այն նաև օգտակար է մաթեմատիկայի մեջ։ Ա.Ն. Կոլմոգորովը մեջբերել է այս ալգորիթմը դպրոցականների համար հանրաճանաչ դասախոսություններում։ Նրա հոդվածը կարելի է գտնել «Չեբիշևի հավաքածուում» (Մաթեմատիկական ամսագիր, փնտրեք դրա հղումը ինտերնետում)
   Առիթով ասեք.
   Գ. Լայբնիցը ժամանակին շտապում էր 10-րդ համարային համակարգից երկուականի անցնելու գաղափարի մասին, քանի որ դրա պարզությունն ու մատչելիությունը սկսնակների համար (կրտսեր դպրոցականներ): Բայց հաստատված ավանդույթները խախտելը նույնն է, ինչ ճակատով ջարդես բերդի դարպասները՝ հնարավոր է, բայց անօգուտ։ Այսպիսով, ստացվում է, ինչպես հին ժամանակներում ամենաշատ մեջբերված մորուքավոր փիլիսոփայի խոսքերով. բոլոր մահացած սերունդների ավանդույթները ճնշում են ողջերի գիտակցությունը:

   Կտեսնվենք հաջորդ անգամ.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Սերգեյ Վալենտինովիչ, այո, ինձ հետաքրքրում է ... ((

   Ես գրազ եմ գալիս, որ սա քառակուսի ձիու արդյունահանման բաբելոնյան մեթոդի Ֆելիքսի տարբերակն է հաջորդական մոտարկումներով: Այս ալգորիթմը վերացվել է Նյուտոնի մեթոդով (տանգենտի մեթոդ)

   Հետաքրքիր է, արդյոք ես սխալվել եմ կանխատեսման մեջ:

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Այո, երկուականի ալգորիթմը պետք է ավելի պարզ լինի, դա բավականին ակնհայտ է:

    Նյուտոնի մեթոդի մասին. Գուցե այդպես է, բայց դեռ հետաքրքիր է

11. 20 Կիրիլ:

    Շատ շնորհակալություն. Բայց ալգորիթմը դեռ չկա, հայտնի չէ, թե որտեղից է եկել, բայց արդյունքը ճիշտ է։ ՇԱՏ ՇՆՈՐՀԱԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆ! Սա երկար ժամանակ է փնտրում

12. 21 Ալեքսանդր.

    Իսկ ինչպե՞ս կընթանա արմատի հանումը թվից, որտեղ ձախից աջ երկրորդ խումբը շատ փոքր է։ օրինակ, բոլորի սիրելի համարը 4 398 046 511 104 է: առաջին հանումից հետո անհնար է ամեն ինչ շարունակել ըստ ալգորիթմի։ Կարող եք բացատրել խնդրում եմ:

13. 22 Ալեքսեյ.

    Այո, ես գիտեմ այսպես. Հիշում եմ, որ կարդացել էի ինչ-որ հին հրատարակության «Հանրահաշիվ» գրքում։ Այնուհետև, անալոգիայով, նա ինքն է եզրակացրել, թե ինչպես կարելի է նույն սյունակում հանել խորանարդի արմատը: Բայց այնտեղ արդեն ավելի բարդ է. յուրաքանչյուր թվանշան այլևս որոշվում է ոչ թե մեկով (ինչպես քառակուսի), այլ երկու հանումներով, և նույնիսկ այնտեղ ամեն անգամ, երբ անհրաժեշտ է բազմապատկել երկար թվերը:

14. 23 Արտեմ:

    56789.321 քառակուսի արմատ վերցնելու օրինակում տառասխալներ կան։ 32 թվերի խումբը երկու անգամ վերագրվում է 145 և 243 թվերին, 2388025 թվի մեջ երկրորդ 8-ը պետք է փոխարինվի 3-ով, այնուհետև վերջին հանումը պետք է գրել հետևյալ կերպ՝ 2431000 - 2383025 = 47975։
    Բացի այդ, մնացորդը պատասխանի կրկնապատկված արժեքի վրա բաժանելիս (չհաշված ստորակետը) ստանում ենք նշանակալի թվանշանների լրացուցիչ քանակ (47975/(2*238305) = 0.100658819…), որը պետք է ավելացվի պատասխանին (√56789.321): = 238.305… = 238.305100659):

15. 24 Սերգեյ:

    Ըստ երևույթին, ալգորիթմը եկել է Իսահակ Նյուտոնի «Ընդհանուր թվաբանություն կամ թվաբանական սինթեզի և վերլուծության մասին» գրքից։ Ահա մի հատված դրանից.

    ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

    Քառակուսի արմատը թվից հանելու համար նախ պետք է մեկ կետ դնել նրա թվերի վրա՝ սկսած միավորներից։ Այնուհետև անհրաժեշտ է քանորդով կամ արմատով գրել այն թիվը, որի քառակուսին հավասար է կամ թերությամբ մոտ է առաջին կետին նախորդող թվերին կամ թվին։ Այս քառակուսին հանելուց հետո արմատի մնացած թվանշանները հաջորդաբար կգտնվեն՝ մնացորդը բաժանելով արմատի արդեն արդյունահանված մասի արժեքի կրկնապատիկի վրա և ամեն անգամ քառակուսու մնացորդից հանելով վերջին թվանշանը և դրա տասնապատիկ արտադրյալը. անվանված բաժանարարը.

16. 25 Սերգեյ:

    «Ընդհանուր թվաբանություն կամ գիրք թվաբանական սինթեզի և վերլուծության մասին» գրքի վերնագիրը:

17. 26 Ալեքսանդր.

    Շնորհակալություն հետաքրքիր բովանդակության համար: Բայց այս մեթոդն ինձ մի փոքր ավելի բարդ է թվում, քան անհրաժեշտ է, օրինակ, դպրոցականի համար։ Ես օգտագործում եմ ավելի պարզ մեթոդ, որը հիմնված է քառակուսի ֆունկցիայի ընդլայնման վրա՝ օգտագործելով առաջին երկու ածանցյալները: Դրա բանաձեւն է.
    sqrt(x)=A1+A2-A3 որտեղ
    A1-ը ամբողջ թիվ է, որի քառակուսին ամենամոտ է x-ին;
    A2-ը կոտորակ է, x-A1 համարիչում, հայտարարում՝ 2*A1:
    Դպրոցական դասընթացում հանդիպող թվերի մեծ մասի համար սա բավական է հարյուրերորդական ճշգրիտ արդյունք ստանալու համար:
    Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ավելի ճշգրիտ արդյունք, վերցրեք
    A3-ը կոտորակ է, A2 համարիչում քառակուսի, հայտարարում 2 * A1 + 1:
    Իհարկե, կիրառելու համար անհրաժեշտ է ամբողջ թվերի քառակուսիների աղյուսակ, բայց դա դպրոցում խնդիր չէ։ Այս բանաձևը հիշելը բավականին պարզ է.
    Այնուամենայնիվ, ինձ շփոթեցնում է, որ ես A3-ը ստացել եմ էմպիրիկորեն աղյուսակի հետ փորձերի արդյունքում և այնքան էլ չեմ հասկանում, թե ինչու է այս տերմինը նման ձև: Գուցե դուք կարող եք խորհուրդ տալ.

18. 27 Ալեքսանդր.

    Այո, ես այս նկատառումներն էլ եմ դիտարկել, բայց սատանան մանրուքների մեջ է։ Դուք գրում եք.
    «քանի որ a2-ը և b-ն արդեն բավականին տարբերվում են»: Հարցն այն է, թե որքան քիչ:
    Այս բանաձևը լավ է աշխատում երկրորդ տասնյակի և շատ ավելի վատ (ոչ մինչև հարյուրերորդական, միայն մինչև տասներորդական) առաջին տասնյակի թվերի վրա: Թե ինչու է դա տեղի ունենում, արդեն դժվար է հասկանալ առանց ածանցյալների ներգրավման:

19. 28 Ալեքսանդր.

    Կհստակեցնեմ, թե որտեղ եմ տեսնում իմ առաջարկած բանաձեւի առավելությունը. Այն չի պահանջում թվերի ոչ այնքան բնական բաժանումը զույգ թվանշանների, ինչը, ինչպես ցույց է տալիս փորձը, հաճախ կատարվում է սխալներով։ Դրա իմաստն ակնհայտ է, բայց վերլուծությանը ծանոթ մարդու համար դա տրիվիալ է։ Լավ է աշխատում 100-ից 1000 թվերի վրա, որոնք ամենատարածվածն են դպրոցում:

20. 29 Ալեքսանդր:

    Ի դեպ, ես մի փոքր փորփրեցի և գտա A3-ի ճշգրիտ արտահայտությունը իմ բանաձևում.
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Մեր ժամանակներում համակարգչային տեխնիկայի համատարած կիրառումը, թվից քառակուսի ձի հանելու հարցը գործնական տեսանկյունից չարժե։ Բայց մաթեմատիկայի սիրահարների համար, իհարկե, այս խնդիրը լուծելու տարբեր տարբերակներ են հետաքրքրում։ Դպրոցական ուսումնական ծրագրում առանց լրացուցիչ միջոցներ ներգրավելու այս հաշվարկի մեթոդը պետք է տեղի ունենա սյունակում բազմապատկման և բաժանման հետ հավասար: Հաշվարկման ալգորիթմը պետք է լինի ոչ միայն անգիր, այլև հասկանալի: Էության բացահայտման հետ քննարկման համար այս նյութում տրված դասական մեթոդը լիովին համապատասխանում է վերը նշված չափանիշներին։
    Ալեքսանդրի առաջարկած մեթոդի էական թերությունը ամբողջ թվերի քառակուսիների աղյուսակի օգտագործումն է։ Դպրոցական դասընթացում հանդիպած թվերի մեծամասնությամբ այն սահմանափակ է, հեղինակը լռում է։ Ինչ վերաբերում է բանաձևին, ապա ընդհանուր առմամբ այն տպավորում է ինձ՝ հաշվի առնելով հաշվարկի համեմատաբար բարձր ճշգրտությունը։

22. 31 Ալեքսանդր:

    համար 30 vasil stryzhak
    Ես ոչինչ բաց չեմ թողել։ Ենթադրվում է, որ քառակուսիների աղյուսակը մինչև 1000 է։ Իմ ժամանակ դպրոցում նրանք պարզապես անգիր էին անում այն ​​դպրոցում և դա մաթեմատիկայի բոլոր դասագրքերում էր։ Ես հստակ անվանել եմ այս միջակայքը:
    Ինչ վերաբերում է համակարգչային տեխնիկային, ապա այն չի օգտագործվում հիմնականում մաթեմատիկայի դասերին, եթե չկա հատուկ թեմա՝ օգտագործելով հաշվիչը։ Հաշվիչները այժմ ներկառուցված են սարքերի մեջ, որոնք արգելված են օգտագործել քննության ժամանակ:

23. 32 vasil stryzhak:

    Ալեքսանդր, շնորհակալություն պարզաբանման համար: Ես մտածեցի, որ առաջարկվող մեթոդի համար տեսականորեն անհրաժեշտ է հիշել կամ օգտագործել բոլոր երկնիշ թվերի քառակուսիների աղյուսակը: Այնուհետև 100-ից 10000 միջակայքում չներառված արմատական ​​թվերի համար կարող եք օգտագործել ստորակետը տեղափոխելու միջոցով դրանք պահանջվող քանակով պատվերներով մեծացնելու կամ փոքրացնելու եղանակը.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ԱԼԵՔՍԱՆԴՐ:

    ԻՄ ԱՌԱՋԻՆ ԾՐԱԳԻՐԸ ԼԵԶՎՈՎ «ՅԱՄԲ» ՍՈՎԵՏԱԿԱՆ «ԻՍԿՐԱ 555» ՄԵՔԵՆԱՅԻ ՎՐԱ ԳՐՎԵԼ Է ՔԱՌԱԿՈՒՆԱԿԱՆ ԱՐՄԱՏԸ ԹԻՎԻՑ ՀԱՆՁՆԵԼՈՒ ՀԱՄԱՐ, ԸՍՏ ՍՅՈՒՆԱՅԻՆ ԱԼԳՈՐԻԹՄԻ ՀԱՆՁՄԱՆԸ: և հիմա ես մոռացել էի, թե ինչպես այն ձեռքով հանել:

Մաթեմատիկայի մեջ համեմատաբար հեշտ է համարվում այն ​​հարցը, թե ինչպես արմատավորել: Եթե ​​բնական շարքից թվեր քառակուսի տանք՝ 1, 2, 3, 4, 5 ... n, ապա կստանանք քառակուսիների հետևյալ շարքը՝ 1, 4, 9, 16 ... n 2։ Քառակուսիների շարքը անսահման է, և եթե ուշադիր նայեք դրան, ապա կտեսնեք, որ դրանում շատ ամբողջ թվեր չկան: Թե ինչու է դա այդպես, կբացատրվի մի փոքր ուշ:

Թվի արմատը՝ հաշվարկի կանոններ և օրինակներ

Այսպիսով, մենք քառակուսի դրեցինք 2 թիվը, այսինքն՝ բազմապատկեցինք ինքն իրեն և ստացանք 4։ Բայց ինչպե՞ս վերցնել 4 թվի արմատը։ Միանգամից ասենք, որ արմատները կարող են լինել քառակուսի, խորանարդ և ցանկացած աստիճան մինչև անսահմանություն:

Արմատի աստիճանը միշտ բնական թիվ է, այսինքն՝ անհնար է լուծել նման հավասարումը.

Քառակուսի արմատ

Վերադառնանք այն հարցին, թե ինչպես կարելի է հանել 4-ի քառակուսի արմատը։ Քանի որ մենք քառակուսիացրել ենք 2 թիվը, կհանենք նաև քառակուսի արմատը։ 4-ի արմատը ճիշտ վերցնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել ճիշտ թիվը, որը քառակուսի դնելով կտա 4 թիվը: Եվ սա, իհարկե, 2 է: Նայեք օրինակին.

• 2 2 =4
• Արմատ 4 = 2

Այս օրինակը բավականին պարզ է. Փորձենք հանել 64-ի քառակուսի արմատը։ Ո՞ր թիվն ինքն իրենով բազմապատկելիս տալիս է 64։ Ակնհայտ է, որ դա 8 է:

• 8 2 =64
• 64=8-ի արմատ

խորանարդի արմատ

Ինչպես նշվեց վերևում, արմատները ոչ միայն քառակուսի են, օրինակի միջոցով մենք կփորձենք ավելի պարզ բացատրել, թե ինչպես կարելի է հանել խորանարդի արմատ կամ երրորդ աստիճանի արմատ: Խորանարդային արմատ հանելու սկզբունքը նույնն է, ինչ քառակուսի արմատինը, միակ տարբերությունն այն է, որ ցանկալի թիվը սկզբում ինքն իրեն բազմապատկել է ոչ թե մեկ, այլ երկու անգամ։ Այսպիսով, եկեք վերցնենք հետևյալ օրինակը.

• 3x3x3=27
• Բնականաբար, 27 թվի խորանարդային արմատը կլինի երեքը.
• Արմատ 3-ը 27 = 3-ից

Ենթադրենք՝ պետք է գտնել 64-ի խորանարդի արմատը։ Այս հավասարումը լուծելու համար բավական է գտնել մի թիվ, որը երրորդ աստիճանի բարձրացնելու դեպքում կտա 64։

• 4 3 =64
• Արմատ 3-ը 64-ից = 4

Հաշվիչի վրա հանիր թվի արմատը

Իհարկե, ավելի լավ է սովորել քառակուսի, խորանարդ և այլ ուժեր հանել պրակտիկայի միջոցով՝ լուծելով բազմաթիվ օրինակներ և մտապահելով փոքր թվերի քառակուսիների և խորանարդների աղյուսակը: Ապագայում դա մեծապես կհեշտացնի և կնվազեցնի հավասարումների լուծման ժամանակը: Չնայած, հարկ է նշել, որ երբեմն պահանջվում է այնպիսի մեծ թվի արմատ հանել, որ ճիշտ քառակուսի թիվը գտնելու համար մեծ աշխատանք կարժենա, եթե ընդհանրապես չկա: Քառակուսի արմատ հանելիս օգնության կգա սովորական հաշվիչը։ Ինչպե՞ս արմատավորվել հաշվիչի վրա: Շատ պարզ է մուտքագրել այն թիվը, որից ցանկանում եք գտնել արդյունքը: Այժմ ուշադիր նայեք հաշվիչի կոճակներին: Նույնիսկ դրանցից ամենապարզների վրա կա արմատային պատկերակով բանալի: Սեղմելով դրա վրա՝ դուք անմիջապես կստանաք պատրաստի արդյունքը։

Ամեն թիվը չէ, որ կարող է ընդունվել որպես ամբողջական արմատ, հաշվի առեք հետևյալ օրինակը.

1859-ի արմատ = 43.116122…

Դուք կարող եք փորձել զուգահեռաբար լուծել այս օրինակը հաշվիչի վրա: Ինչպես տեսնում եք, ստացված թիվը ամբողջ թիվ չէ, ավելին, տասնորդական կետից հետո թվանշանների բազմությունը վերջնական չէ: Ավելի ճշգրիտ արդյունք կարող են տալ հատուկ ինժեներական հաշվիչներ, բայց ամբողջական արդյունքը պարզապես չի տեղավորվում սովորականների ցուցադրման վրա: Եվ եթե շարունակեք ավելի վաղ սկսած քառակուսիների շարքը, ապա դրանում չեք գտնի 1859 թիվը, հենց այն պատճառով, որ այն թիվը, որը քառակուսիացրել եք այն ստանալու համար, ամբողջ թիվ չէ։

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է պարզ հաշվիչի վրա հանել երրորդ աստիճանի արմատը, ապա պետք է կրկնակի սեղմել արմատային նշանով կոճակի վրա: Օրինակ՝ վերցնենք վերևում օգտագործված 1859 թիվը և դրանից հանենք խորանարդի արմատը.

1859-ի արմատ 3 = 6.5662867…

Այսինքն, եթե 6.5662867 թիվը բարձրացվի երրորդ աստիճանի, ապա մենք կստանանք մոտավորապես 1859: Այսպիսով, թվերից արմատներ հանելը դժվար չէ, պարզապես հիշեք վերը նշված ալգորիթմները:

Մեծ թվից արմատ հանելը: Սիրելի բարեկամներ!Այս հոդվածում մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է մեծ թվի արմատ վերցնել առանց հաշվիչի: Սա անհրաժեշտ է ոչ միայն որոշակի տեսակի USE խնդիրների լուծման համար (կան շարժման համար նման խնդիրներ), այլ նաև ցանկալի է իմանալ այս վերլուծական տեխնիկան ընդհանուր մաթեմատիկական զարգացման համար։

Թվում է, թե ամեն ինչ պարզ է՝ ֆակտորիզացնել և հանել: Խնդիր չկա. Օրինակ՝ 291600 թիվը, երբ ընդլայնվի, արդյունքը կտա.

Մենք հաշվարկում ենք.

Կա մեկ ԲԱՅՑ! Մեթոդը լավ է, եթե 2, 3, 4 և այլն բաժանարարները հեշտությամբ որոշվում են: Բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն թիվը, որից մենք արմատ ենք հանում, պարզ թվերի արտադրյալ է: Օրինակ, 152881-ը 17, 17, 23, 23 թվերի արտադրյալն է: Փորձեք անմիջապես գտնել այս բաժանարարները:

Մեթոդի էությունը, որը մենք դիտարկում ենք- սա մաքուր վերլուծություն է: Կուտակված հմտությամբ արմատը հայտնաբերվում է արագ։ Եթե ​​հմտությունը մշակված չէ, բայց մոտեցումը պարզապես հասկացվում է, ապա այն մի փոքր դանդաղ է, բայց դեռ վճռական է։

Արմատ վերցնենք 190969 թ.

Նախ, եկեք որոշենք, թե ինչ թվերի միջև է (հարյուրի բազմապատիկները) մեր արդյունքը:

Ակնհայտ է, որ տվյալ թվի արմատի արդյունքը գտնվում է 400-ից 500 միջակայքում,որովհետեւ

400 2 =160000 և 500 2 =250000

Իրոք.

մեջտեղում, ավելի մոտ 160000, թե 250000?

190969 թիվը ինչ-որ տեղ մեջտեղում է, բայց դեռ ավելի մոտ է 160000-ին: Կարող ենք եզրակացնել, որ մեր արմատի արդյունքը կլինի 450-ից փոքր: Եկեք ստուգենք.

Իսկապես, այն 450-ից պակաս է, քանի որ 190969 թ< 202 500.

Այժմ ստուգենք 440 թիվը.

Այսպիսով, մեր արդյունքը 440-ից քիչ է, քանի որ 190 969 < 193 600.

430 համարի ստուգում.

Մենք պարզել ենք, որ այս արմատի արդյունքը գտնվում է 430-ից 440 միջակայքում:

1-ով կամ 9-ով վերջացող թվերի արտադրյալը տալիս է 1-ով վերջացող թիվ: Օրինակ՝ 21 անգամ 21-ը հավասար է 441-ի:

2-ով կամ 8-ով վերջացող թվերի արտադրյալը տալիս է 4-ով վերջացող թիվ: Օրինակ, 18 անգամ 18-ը հավասար է 324-ի:

5-ով վերջացող թվերի արտադրյալը տալիս է 5-ով վերջացող թիվ: Օրինակ՝ 25 անգամ 25-ը հավասար է 625-ի:

4-ով կամ 6-ով վերջացող թվերի արտադրյալը տալիս է 6-ով վերջացող թիվ: Օրինակ՝ 26 անգամ 26-ը հավասար է 676-ի:

3 կամ 7-ով վերջացող թվերի արտադրյալը տալիս է 9-ով վերջացող թիվ։ Օրինակ՝ 17 անգամ 17-ը հավասար է 289-ի:

Քանի որ 190969 թիվը ավարտվում է 9 թվով, ուրեմն այս արտադրյալը կա՛մ 433 է, կա՛մ 437։

*Միայն նրանք, երբ քառակուսի են, կարող են վերջում տալ 9:

Մենք ստուգում ենք.

Այսպիսով, արմատի արդյունքը կլինի 437:

Այսինքն՝ մի տեսակ «զգացինք» ճիշտ պատասխանը։

Ինչպես տեսնում եք, առավելագույնը, որ պահանջվում է, սյունակում 5 գործողություն կատարելն է: Միգուցե դուք անմիջապես հասնեք կետին, կամ կանեք ընդամենը երեք գործողություն: Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե որքան ճշգրիտ եք կազմում թվի նախնական գնահատականը:

Քաղեք ձեր սեփական արմատը 148996-ից

Խնդիրում ստացվում է այսպիսի խտրականություն.

Մոտորանավն անցնում է գետի երկայնքով մինչև նպատակակետ 336 կմ և կայանելուց հետո վերադառնում է մեկնման կետ: Գտե՛ք նավի արագությունը անշարժ ջրում, եթե հոսանքի արագությունը 5 կմ/ժ է, ապա կայանումը տևում է 10 ժամ, իսկ նավը վերադառնում է մեկնման կետ այն թողնելուց 48 ժամ հետո։ Պատասխանեք կմ/ժ-ով:

Դիտել լուծումը

Արմատի արդյունքը գտնվում է 300 և 400 թվերի միջև.

300 2 =90000 400 2 =160000

Իրոք, 90000<148996<160000.

Հետագա պատճառաբանության էությունը կայանում է նրանում, որ որոշելը, թե ինչպես է 148996 թիվը գտնվում (հեռավոր) այս թվերի համեմատ:

Հաշվիր տարբերությունները 148996 - 90000=58996 և 160000 - 148996=11004:

Ստացվում է, որ 148996-ը մոտ է (շատ ավելի մոտ) 160000-ին։ Հետևաբար, արմատի արդյունքը հաստատ ավելի մեծ կլինի 350-ից և նույնիսկ 360-ից։

Կարող ենք եզրակացնել, որ մեր արդյունքը 370-ից մեծ է: Ավելին, պարզ է. քանի որ 148996 թվականն ավարտվում է 6 թվով, սա նշանակում է, որ պետք է քառակուսի դնել 4-ով կամ 6-ով ավարտվող թիվը: վերջ 6.

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

P.S. Ես երախտապարտ կլինեմ, եթե ինձ պատմեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում.