Электрические сети как система массового обслуживания. Сеть массового обслуживания. Коэффициент использования СМО

4 – Основы теории массового обслуживания.

Определение 1. Пусть имеется некоторая физическая система S , которая с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом. Тогда мы будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс.

Под «физической системой» можно понимать что угодно: техническое устройство, предприятие, живой организм и т.д.

Пример. S – техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время от времени выходят из строя, заменяются или восстанавливаются. Процесс, протекающий в системе, – случайный. Вообще, если подумать, труднее привести пример «неслучайного» процесса, чем случайного. Даже процесс хода часов – классический пример точной, строго выверенной работы («работают как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка).

Определение 2. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t 0 система находится в определенном состоянии S 0 . Мы наблюдаем процесс со стороны и в момент t 0 знаем состояние системы S 0 и всю предысторию процесса, все, что было при t < t 0 . Нас, естественно. Интересует будущее: t > t 0 . Можем ли мы его предугадать? В точности – нет. Наш процесс случайный, следовательно – непредсказуемый. Но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем мы найти можем. Например, вероятность того, что через некоторое время t система S окажется в состоянии S 1 или сохранит состояние S 0 и т.д.

Если процесс марковский, то предсказывать можно, только учитывая настоящее состояние системы S 0 и забыв о его «предыстории» (поведение системы при t < t 0 ). Само состояние S 0 , разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. Т.е. в марковском процессе «будущее зависит от прошлого только через настоящее» .

Пример. Система S – счетчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы; состояние системы в момент времени t характеризуется показаниями счетчика – числом частиц, пришедших до данного момента. Пусть в момент t 0 счетчик показывает S 0 . Вероятность того, что в в момент t > t 0 счетчик покажет то или другое число частиц S 1 (или менее S 1 ) зависит от S 0 , но не зависит от того, в какие именно моменты приходили частицы до момента t 0 .

На практике часто встречаются процессы, которые если не в точности марковские, то могут быть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Например, S ­ – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Состояние системы характеризуется числом самолетов «красных» – x и «синих» – y , сохранившихся (не сбитых) к какому-то моменту. В момент t 0 нам известны численности сторон x 0 и y 0 . Нас интересует вероятность того, что в какой-то момент времени t 0 + t численный перевес будет на стороне «красных». От чего зависит эта вероятность? В первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент времени t 0 , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента времени t 0 самолеты.

В сущности любой процесс можно рассматривать как марковский, если все параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», перенести в «настоящее». Например, пусть речь идет о работе какого-то технического устройства; в какой-то момент времени t 0 оно ещё исправно, и нас интересует вероятность того, что оно проработает ещё время t . Если за настоящее время считать просто «система исправна», то процесс безусловно не марковский, потому что вероятность, что она не откажет за время t , зависит, в общем случае, от того, сколько времени она уже проработала и когда был последний ремонт. Если оба эти параметра (общее время работы и время после ремонта) включить в настоящее состояние системы. То процесс можно будет считать марковским.

Определение 3. Процесс называется с дискретными состояниями, если его возможные состояния S 1 , S 2 ,... можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Определение 4. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переход может осуществиться, в принципе, в любой момент.

Мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Пример. Техническое устройство S состоит из двух узлов. Каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Рис.4.1

Возможные состояния системы:

S 0 – оба узла исправны;

S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен;

S 2 – второй узел ремонтируется, первый исправен;

S 3 – оба узла ремонтируются.

Стрелка, направленная из S 0 в S 1 означает момент отказа первого узла и т. д. На рисунке нет стрелки из состояния S 0 в состояние S 3 , поскольку вероятность того, что два прибора откажут одновременно, стремится к нулю.

Определение 5. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток сбоев на ЭВМ, поток вызовов на телефонной станции).

Важнейшей характеристикой потока событий является его интенсивность l – среднее число событий, приходящееся на единицу времени. интенсивность потока может быть постоянной (l = const ), так и переменной, зависящей от времени. Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, а поток автомашин с 14-ти до 15-ти часов дня можно считать постоянным.

Определение 6. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени.

Определение 7. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность l стационарного потока должна быть постоянной. Это отнюдь не означает, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно, – нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины 1 может попасть больше, а на другой – меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Например, поток вызовов, поступающих на АТС между 13 и 14 часами. Практически стационарен, но тот же поток в течение суток уже не стационарен.

Определение 8. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t 1 и t 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.

Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А вот поток покупателей, отходящих от прилавка с купленными товарами, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Определение 9. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами сразу.

Например поток клиентов к зубному врачу – обычно ординарный. Поток поездов, подходящих к станции – ординарен, а поток вагонов – неординарен.

Определение 10. Поток событий называется простейшим (или стационарным Пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия, а сам входной поток распределен по закону Пуассона ().

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями S 1 , S 2 , ..., S n часто пользуются вероятностями состояний p 1 ( t ),..., p n ( t ) , где p k ( t ) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S k . Вероятности p k ( t ) удовлетворяют условию: .

Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем является марковским, то для вероятностей состояний p 1 ( t ), ..., p n ( t ) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений. При составлении этих уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по стрелке (рис.4.2):

Рис.4.2 l ij – интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния S i в состояние S j . Правило создания системы линейных дифференциальный уравнений для нахождения вероятностей состояний. Для каждого состояния выписывается собственное уравнение. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в данное состояние, то член имеет знак «+», иначе - знак «–». Каждый член равен интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого стрелка выходит. Т.о. система линейных дифференциальных уравнений в нашем случае имеет вид:

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент времени. Если, например, система при t =0 была в состоянии S k , то . Эти уравнения можно решать аналитически, но это удобно только тогда, когда число уравнений не превышает двух (иногда трех). В случае, когда уравнений оказывается больше, применяют численные методы.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли p 1 ( t ), ..., p n ( t ) стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний: . p i – среднее относительное время пребывания системы в i -ом состоянии.

Как найти финальные вероятности? Поскольку все p i = const , то производные, стоящие в левой части каждого уравнения равны нулю. Т.о. мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Поскольку ни одно уравнение в этой системе не имеет свободного члена, то система является вырожденной (т.е. все переменные будут выражены через одну). Чтобы этот избежать, необходимо воспользоваться нормировочным условием (), при этом любое уравнение можно отбросить.

Классификация систем массового обслуживания

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Многоканальные СМО состоят из нескольких приборов, и каждый них может обслуживать заявку.

Также СМО подразделяются на системы без ожидания и с ожиданием. В первых заявка покидает очередь, если к моменту её прихода отсутствует хотя бы один канал, способный немедленно приступить к обслуживанию данной заявки. Вторые, в свою очередь, делятся на системы без ограничения и с ограничениями по длине очереди.

Также СМО делятся на системы с приоритетами и без них. В свою очередь системы с приоритетом делятся на СМО с прерыванием и без.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.3

Найдем вероятности p k :

Для состояния S 0 : , отсюда ;

Для состояния S 1 n : , подставляем полученное значение для p 1 : . Аналогично, .

Вероятность p 0 найдем из нормировочного условия :

, – геометрическая прогрессия, при r <1 сходится. – вероятность того, что нет заявок.

– вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки. r = l / m – мера загрузки одноканальной СМО.

В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, ..., k , ... заявок с вероятностями p 0 , p 1 p 2 , ... Математическое ожидание количества заявок:

учитывая, что , получим:

Средняя длина очереди равна разности между средним числом заявок в системе и средним числом заявок, находящихся под обслуживанием: .

Формулы Литтла

Рис.4.4

Первая формула Литтла позволяет определить время реакции СМО (время пребывания заявки в системе).

Пусть X ( t ) – число заявок, поступивших в СМО до момента времени t , Y ( t ) – покинувших СМО до t . Обе функции случайны и увеличиваются скачком на единицу в моменты прихода и ухода заявок. Тогда число заявок в системе в момент времени t можно определить как: . Рассмотрим очень большой промежуток времени T и вычислим среднее число заявок в системе:

.

Интеграл равен площади ступенчатой фигуры, ограниченной функциями X ( t ) и Y ( t ) , эта сумма состоит из прямоугольников, ширина которых равна единице, а длина – времени пребывания i -ой заявки в системе. Сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время T . Правую часть домножим и разделим на l : . T l – среднее количество заявок, пришедших за время T . Поделив сумму всех времен t i на среднее число заявок, получим среднее время пребывания заявки в системе: .

Совершенно аналогично можно получить среднее время пребывания заявки в очереди: .

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.5

Найдем вероятности p k :

Для состояния S 0 : ;

Для состояний S 1 – S n : ;

Для S n +1 : ; ...

Для S n+s-1 : ;

Для S n+s : .

Из первых n +1 уравнений получаем:

Из последнего уравнения выражаем: и подставляем в предпоследнее: , . Тогда .

Продолжая аналогию: .

Теперь найдем p 0 , подставив полученные выражения в нормировочное условие (): . Отсюда .

Показатели эффективности СМО

– Вероятность потери требования в СМО. Особенно часто ею пользуются при исследовании военных вопросов. Например, при оценке эффективности противовоздушной обороны объекта она характеризует вероятность прорыва воздушных целей к объекту. Применительно к СМО с потерями она равна вероятности занятости обслуживанием требований всех n приборов системы. Чаще всего эту вероятность обозначают p n или p отк .

– Вероятность того, что обслуживанием требований в системе занято k приборов, равна p k .

– Среднее число занятых приборов: характеризует степень загрузки обслуживающей системы.

– Среднее число свободных от обслуживания приборов:.

– Коэффициент простоя приборов: .

– Коэффициент занятости оборудования: .

– Средняя длина очереди: , p k - вероятность того, что в системе находится k требований.

– Среднее число заявок, находящихся в сфере обслуживания: .

– Вероятность того, что число заявок в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа m : . Этот показатель особенно необходим при оценке возможностей размещения требований при ограниченности времени для ожидания.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности СМО могут быть использованы стоимостные показатели:

q об – стоимость обслуживания каждого требования в системе;

q ож – стоимость потерь, связанных с простаиванием заявок в очереди в единицу времени;

q у – убытки, связанные с уходом из системы заявки;

q k – стоимость эксплуатации каждого прибора в единицу времени;

q k пр – стоимость простоя единицы времени k -го прибора системы.

При выборе оптимальных параметров СМО по экономическим показателям можно использовать функцию стоимости потерь в системе (для СМО с ожиданием): T – интервал времени.

Для СМО с отказами: .

Для смешанных: .

Критерий экономической эффективности СМО: , с – экономический эффект, получаемый при обслуживании каждой заявки.

СМО замкнутого типа

Пример. С1, С2, С3 – станки; НЦ – центральный накопитель; B – манипулятор. Транспортная тележка (манипулятор) транспортирует отработанную деталь от станка к накопителю и укладывает ее там, забирает новую деталь (заготовку), транспортирует ее к станку и устанавливает в рабочую позицию для зажима. Во время всего периода, необходимого для выгрузки–загрузки, станок простаивает. Время T з смены заготовки и есть время обслуживания.

Интенсивность обслуживания станков определяется как , – среднее время обслуживания станка, которое вычисляется как , где n – число заявок. Интенсивность подачи станком заявки на обслуживание определяется как (где – среднеее время обработки детали станком).

Станочная система с однозахватным манипулятором представляет собой СМО с ожиданием с внутренней организацией FIFO : каждая заявка станка на обслуживание удовлетворяется, в случае когда манипулятор занят, заявка становится в очередь и станок ожидает когда манипулятор освободится. Данный процесс марковский, т.е. случайная выдача заявки на обслуживание в определенный момент времени t 0 не зависит от предыдущих заявок, т.е. от течения процесса в предшествующий период. Продолжительность исполнения заявки может быть различной и является случайной величиной, не зависящей от числа поданных заявок. Весь процесс не зависит от того, что произошло ранее момента времени t 0 .

В станочной системе число заявок на обслуживание может быть равно 0, 1, 2, ... m , где m – общее число станков. Тогда возможны следующие состояния:

S 0 – все станки работают, манипулятор стоит.

S 1 – все станки, кроме одного, работают, манипулятор обслуживает станок, от которого поступила заявка на смену заготовок.

S 2 – работают m -2 станка, на одном станке идет смена заготовки, другой ожидает.

S 3 – работают m -2 станка, один станок обслуживается манипулятором, два станка ожидают в очереди.

S m – все станки стоят, один обслуживается манипулятором, остальные ожидают очереди исполнения заказа.

Рис.4.6.

Вероятность перехода в состояние S k из одного из возможных состояний S 1 , S 2 , ... S m зависит от случайного поступления заявок на обслуживание и вычисляется как:

p 0 – вероятность того, что все станки работают.

Манипулятор работает при состояниях системы от S 1 до S m ­ . Тогда вероятность его загрузки равна: .

Число станков, находящихся в очереди связано с состояниями S 2 , – S m , при этом один станок обслуживается, а (k -1) – ожидают. Тогда, среднее число станков в очереди: .

Коэффициент простоя одного станка (из-за ожидания при многостаночном обслуживании): .

Среднее использование одного станка:

Применение метода Монте-Карло для решения задач,

связанных с теорией массового обслуживания

Для того, чтобы описать поток однородных событий, достаточно знать закон распределения моментов времени t 1 , t 2 , ..., t k , ..., в которые поступают события.

Для удобства дальнейших рассмотрений целесообразно от величин t 1 , t 2 , ..., перейти к случайным величинам z 1 , z 2 , ..., z m , ... , таким образом, что:

Случайные величины z k являются длинами интервалов времени между последовательными моментами t k .

Совокупность случайных величин z i считается заданной, если определена совместная функция распределения: . Обычно рассматриваются только непрерывные случайные величины z k , поэтому часто пользуются соответствующей функцией плотности f ( z 1 , z 2 ,..., z k ) .

Обычно в теории СМО рассматриваются потоки однородных событий без последействия, для которых случайные величины z k независимы. Поэтому . Функции f i ( z i ) при i >1 представляют собой условные функции плотности при условии, что в начальный момент интервала z k ( i >1) поступила заявка. В отличие от этого функция f 1 ( z 1 ) является безусловной функцией плотности, т.к. относительно появления или непоявления заявки в начальный момент времени не делается никаких предположений.

Широкое применение имеют так называемые стационарные потоки, для которых вероятностный режим их во времени не изменяется (т.е. вероятность появления k заявок за промежуток времени (t 0 , t 0 + t ) не зависит от t 0 , а зависит только от t и k ). Для стационарных потоков без последействия имеют место соотношения:

где l – плотность стационарного потока.

Поступившая в систему заявка может занимать только свободные линии. Относительно порядка занятия линий могут быть сделаны различные предположения:

а) линии занимаются в порядке их номеров. Линия с большим номером не может быть привлечена к обслуживанию заявки, если имеется свободная линии с меньшим номером;

б) линии занимаются в порядке очереди. Освободившаяся линия поступает в очередь и не начинает обслуживания заявок до израсходования всех ранее освободившихся линий;

в) линии занимаются в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент поступления очередной заявки имеется n св свободных линий, то в простейшем случае вероятность занять некоторую определенную линию может быть принята равной . В более сложных случаях вероятности считаются зависящими от номеров линий, моментов их освобождения и других параметров.

Аналогичные предположения можно сделать и относительно порядка принятия заявок к обслуживанию в том случае, когда в системе образуется очередь заявок:

а) заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая ранее другой поступила в систему;

б) заявки принимаются к обслуживанию по минимальному времени получения отказа. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая в кратчайшее время может получить отказ;

в) заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент освобождения линии имеется m заявок в очереди, то в простейшем случае вероятность выбрать для обслуживания некоторую определенную заявку может быть принята равной q =1/ m . В более сложных случаях вероятности q 1 , q 2 ,..., q m считаются зависящими от времени пребывания заявки в системе, времени, остающегося до получения отказа и других параметров.

· Для решения ряда прикладных задач оказывается необходимым учитывать такой важный фактор, как надежность элементов обслуживающей системы. Будем предполагать, что с точки зрения надежности каждая линия в данный момент времени может быть либо исправной, либо неисправной. Надежность линии определяется вероятностью безотказной работы R = R ( t ) , задаваемой как функция времени. Будем также предполагать, что линия, вышедшая из строя по причине неполной надежности, может быть введена в строй (отремонтирована), для чего требуется затратить время t p . Величину t p будем считать случайной величиной с заданным законом распределения.

Относительно судьбы заявки, при обслуживании которой линия выходит из строя, могут быть сделаны различные предположения: заявка получает отказ; заявка остается в системе (с общим временем пребывания в системе не более t n ) как претендент на обслуживание вне очереди; заявка поступает в очередь и обслуживается на общих основаниях и т.д.

Сущность метода статистических испытаний применительно к задачам массового обслуживания состоит в следующем. Строятся алгоритмы, при помощи которых можно вырабатывать случайные реализации заданных потоков однородных событий, а также «моделировать» процессы функционирования обслуживающих систем. Эти алгоритмы используются для многократного воспроизведения реализаций случайного процесса обслуживания при фиксированных условиях задачи. Получаемая при этом информация о состояниях процесса подвергается статистической обработке с целью оценки, являющихся показателями качества обслуживания.

Метод статистических испытаний позволяет более полно, по сравнению с асимптотическими формулами, исследовать зависимость качества обслуживания от характеристик потока заявок и параметров обслуживающей системы.

Это достигается благодаря двум обстоятельствам. Во-первых, при решении задач теории массового обслуживания методом статистических испытаний может быть использована более обширная информация о процессе, чем это обычно удается сделать, применяя аналитические методы.

С другой стороны, значения показателей качества обслуживания, получаемые из асимптотических формул, строго говоря, относятся к моментам времени, достаточно удаленным от начала процесса. Реально, для моментов времени, близких к началу процесса, когда еще не наступил стационарный режим, значения показателей качества обслуживания в общем случае существенно отличаются от асимптотических значений. Метод статистических испытаний позволяет достаточно обстоятельно изучать переходные режимы.

Для многих прикладных задач предположения, при которых справедливы аналитические формулы, оказываются слишком стеснительными. При решении задач методом статистических испытаний некоторые предположения могут быть существенно ослаблены.

В первую очередь это относится к многофазному обслуживанию (т.е. рассматриваются обслуживающие системы, состоящие из нескольких последовательно действующих в общем случае неоднотипных агрегатов).

Другим важным обобщением задачи является предположение о характере потока заявок, поступающих на обслуживание. Допускается рассмотрение потоков однородных событий с практически произвольным законом распределения. Последнее обстоятельство оказывается существенным по следующим двум причинам. Во-первых, реальные потоки заявок в некоторых случаях заметно отличаются от простейшего. Для пояснения второй причины предположим, что исходный поток заявок достаточно точно аппроксимируется простейшим потоком. При этом поток заявок, обслуженных на первой фазе, уже, строго говоря не будет простейшим. Поскольку поток, являющийся выходным для первой фазы, будет входным потоком для агрегата, обслуживающего заявки на второй фазе, мы снова приходим к задаче обслуживания потоков, не являющимися простейшими.

· Структура алгоритма, моделирующего

процесс обслуживания заявок

Рассмотрим однофазную СМО, имеющую n линий, на которые поступают заявки в случайные моменты времени t i . Если вмомент поступления заявки оказываются в наличии свободные линии (их число n св ), заявка занимает одну из них на время t p . В противном случае заявка находится в системе до момента t n , ожидая обслудивания. В т t чение времени ожидания некоторые линии могут освободиться (их число m ), и в этом случае будет возможность обслужить заявку. Если до момента времени t n ни одна из линий не освобождается (m =0 ), заявка получает отказ.

Будем считать, что в силу недостаточно высокой надежности системы, линии обслуживающие заявку, могут выходить из строя, тогда заявка получает отказ, а линия может быть отремонтирована и через промежуток времнеи t pem введена в строй.

Для исследования качества обслуживания заявок предусматривается N * кратное моделирование процесса функционирования системы в интервале (0, T ) . В процессе моделирования число обследованных реализаций обозначим через N .

Алгоритм:

1. Определяется момент t i поступления очередной заявки в систему.

2. Если t i < T , то переход на шаг 3, иначе – на шаг 11.

3. Проверка возможности обслужить поступившую заявку: если n св >0 , то переход на шаг 4, иначе – на шаг 12. (Значение времени поступления заявки t i сравнивается с t осв для всех линий, т.о. выявляются свободные линии.)

4.Если n св >1 , то переход на шаг 5, иначе – на шаг 6.

5. Выбирается номер свободной линии по специальным правилам.

6. Назначается выбранная линия.

7. Проверка: имеет ли место срыв обслуживания по причине недостаточной надежности? Если да, то переход на шаг 8, иначе – на шаг 10.

8. Определение времени t рем ремонта линии, вышедшей из строя (t рем имеет определенный закон распределения).

9. N отк = N отк +1 . Переход на шаг 1.

10. Определение времени занятости t з линии, которая назначена обслуживать заявку (некая случайная величина с определенным законом распределения) и времени освобождения линии: t осв = t i + t з . Переход к очередной заявке (шаг 1).

11. Проверка: если N < N * , то N = N +1 и переход на шаг 1, иначе – обработка результатов опыта и конец.

12. Определить:

А) времени t n пребывания заявки в системе;

Б) число освободившихся каналов m за время t n .

13. Если m >0 , то переход на шаг 14, иначе – на шаг 9.

14. Если m >1 , то переход на шаг 15, иначе – на шаг 6.

15. Выбирается определенная линия в соответствии с принятыми правилами и переход на шаг 6.

ЛЕКЦИЯ 2 (4 часа). МОДЕЛИРОВАНИЕ ВС НА ОСНОВЕ СИСТЕМ И СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

2.1 Определение систем и сетей массового обслуживания.

Система массового обслуживания (СМО) – это объект, в котором выполняется последовательность операций. Система может осуществлять конечное число операций различного типа. Элемент системы, в котором происходят операции, называется обслуживающим прибором. Физическая и алгоритмическая сущность операций игнорируется.

Операции выполняются на приборах по заявкам. Заявки могут быть внешними(входящими в систему извне) и внутренними (возникающими в момент окончания операции). В СМО могут возникать очереди заявок. Очередь – это совокупность заявок, ожидающих обслуживания в момент, когда прибор занят.

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные (рис. 2.1.).

DIV_ADBLOCK33">

Сеть массового обслуживания задается следующим набором параметров:

Параметрами источника заявок;

Структурой, определяющей конфигурацию связей и вероятности передачи заявок между узлами сети;

Параметрами узлов сети (систем массового обслуживания): дисциплиной обслуживания, числом одинаковых обслуживающих аппаратов (каналов) в каждом узле, распределением длительности обслуживания заявок в каждом узле сети.

Функционирование сети массового обслуживания определяется совокупностью узловых и сетевых характеристик. Узловые характеристики оценивают функционирование каждой СМО и включают в себя характеристики потока заявок, поступающего на вход узла, и весь набор характеристик, присущих СМО. Сетевые характеристики оценивают функционирование сети в целом и включают в себя:

Загрузку – среднее по времени число заявок, обслуживаемых сетью, и одновременно среднее число каналов, занятых обслуживанием;

Число заявок, ожидающих обслуживания в сети;

Число заявок, находящихся в сети (в состоянии ожидания и обслуживания);

Суммарное время ожидания заявки в сети;

Суммарное время пребывания заявки в сети.

Определение стохастических сетей

Сети массового обслуживания часто дополняют специальными узлами с элементами случайности, расширяющими возможности воспроизведения различных способов организации функционирования ВС. Например, в сетевые модели включают узлы памяти, моделирующие работу запоминающих устройств. Обслуживание заявки, поступившей на вход узла памяти, сводится к выделению затребованной емкости памяти. Если в памяти отсутствует область требуемого размера, заявка ставится в очередь и ожидает момента освобождения памяти, предоставленной ранее поступившим заявкам. Возможности сети могут расширяться за счет введения узлов, управляющих маршрутами заявок: направляющих заявку одновременно по нескольким маршрутам; синхронизирующих движение заявок; изменяющих атрибуты заявок. Сети массового обслуживания с такими дополнительными узлами получили название стохастических сетей.

Стохастические сети воспроизводят процессы многоэтапного обслуживания, когда обслуживание заявки производится за счет последовательного обращения к ресурсам, в том числе и многократного. Достоинством сети является ее структурное подобие реальной системе. Состав узлов и конфигурация связей между ними соответствует составу устройств и порядку их взаимодействия в реальной системе. За счет этого значительно упрощается процесс построения сетевых моделей и обеспечивается адекватность процессов функционирования сетей и моделируемых ими систем.

Для описания ВС используются разомкнутые и замкнутые стохастические сети. В разомкнутой (открытой) сети интенсивность входного потока заявок https://pandia.ru/text/78/299/images/image004_1.gif" width="614" height="134 src=">.gif" width="16" height="19 src=">

Разновидностью разомкнутой сети является последовательная цепочка одноканальных или многоканальных СМО. Такую систему, в которой заявки обслуживаются последовательно несколькими СМО, называют многофазной.

В замкнутой сети интенсивность поступления заявок зависит от состояния сети: очередная заявка поступает в сеть только после завершения полного обслуживания одной из предыдущих заявок. Поэтому в замкнутой сети количество заявок постоянно и равно тому числу, которое может одновременно обслуживаться сетью. В данном случае можно говорить о фиктивном источнике DIV_ADBLOCK34">

Если в стохастической сети есть СМО с двумя и более выходами, т. е. такие СМО, после обслуживания которыми поток заявок разветвляется, то задаются правила разветвления потока. В этом случае обычно указывают вероятности передачи заявки по тому или иному пути.

Рассмотрим ряд частных типов сетевых моделей, используемых для воспроизведения различных сторон функционирования ВС.

2.2. Детерминированные сети очередей.

Рассмотрим систему, которая характеризуется наличием каналов прямого доступа в память со стороны накопителей на лентах (НМЛ) и дисках (НМД), а также со стороны терминалов объекта управления. Схема системы представлена на рис. 2.3.(а)..gif" width="19" height="17 src=">, каналам, каждому из НМД и НМЛ. Современные мультипрограммные ОС поддерживают одновременную обработку заданий путем разделения между ними системных ресурсов. При этом достигается максимальное совмещение прикладных задач пользователей при чередовании обработки на центральном процессоре и периферийных средствах.

Для рассматриваемой мультипрограммной системы построим модель взаимодействия системных и прикладных программ при выполнении заданий. Система моделируется сетью обслуживающих узлов, каждый из которых соответствует определенной функции ресурсов системы. Процесс решения задачи можно представить маршрутом его прохождения через различные узлы сети. Если все задачи мультипрограммной смеси одинаковы и не взаимодействуют между собой, то таким процессам соответствуют одинаковые маршруты. Структура маршрута прикладной программы определяется составом выполняемых операций и используемых при этом ресурсов.

На рис. 2.3 (б) изображена схема действия процесса, рассматриваемая с позиций проблемного программиста. Операции прикладной программы расположены в порядке их выполнения и включают: 1 – работа прикладной программы (счет 1); 2 – печать данных; 3 – обмен с НМД; 4 – работа прикладной программы (счет 2); 5 – выдача информации на объект управления. Макрокоманды запроса к печати, обмена с НМД и объектом управления интерпретируются управляющими программами ОС и инициируют работу соответствующих каналов. Эти операции пронумерованы следующими цифрами: 6 – выполнение программы управления печатью; 7 – выполнение программы управления НМД; 8 – управляющие действия на терминале объекта. Из рис. 2.3.(б) видно, что выполнение операций прикладной программы и ОС чередуется и в очереди к процессору размещаются запросы на обслуживание различного типа.

https://pandia.ru/text/78/299/images/image009_1.gif" width="13" height="15 src=">.gif" width="12" height="15 src="> - НМД..gif" width="15" height="19 src=">, у которого очередь не возникает, так как число терминалов равно числу процессов в системе. Совокупность узлов и очередей соединена дугами, каждая из которых указывает возможные пути движения процессов. Процесс может занимать ресурс узла или находиться в очереди к нему..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="13" height="19 src=">, являющийся источником заявок. На дуге, соединяющей узлы и https://pandia.ru/text/78/299/images/image017_0.gif" width="40" height="19 src=">, которая указывает на формирование начального значения атрибута-операции, которая становится равной 1..gif" width="13" height="15 src=">.gif" width="41" height="19 src=">. Эта запись указывает как дальнейший путь процесса после операции 1, так и новое значение его атрибута-операции..gif" width="13" height="19 src=">..gif" width="13" height="15 src=">.gif" width="12" height="13 src=">.gif" width="13" height="15 src=">, 6.gif" width="13" height="15 src=">, 7.gif" width="13" height="15 src=">.gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="13" height="13 src=">.gif" width="57" height="27 src=">.gif" height="17 src=">-м узле.

2.3. Стохастические сети очередей

К таким моделям относятся сети с очередями, узлы в которых содержат элементы случайности. В естественном виде такие сети возникают, если только часть маршрута процесса предопределена, то есть когда элементы случайности присутствуют в алгоритмах управления или обработки либо, когда задается вероятность отказа какого-либо ресурса системы, вероятность некоторого состояния объекта управления или управляющей системы, определяющей порядок использования ресурса. Графическая часть модели строится также как и для детерминированного случая. Дополнительно указываются вектора времен обслуживания, типы обслуживающих приборов, а также матрица , описывающая вероятности межузловых переходов процесса.

Сетевая модель с элементами случайности представлена на рис. 2.4. Модель процессора представлена узлом Ввод данных" href="/text/category/vvod_dannih/" rel="bookmark">ввода-вывода данных с НМД описаны двумя последовательными этапами: подвод головки дисковода и поиск информации представлены узлами https://pandia.ru/text/78/299/images/image011_0.gif" width="12" height="15 src=">, а обмен через канал узлом.gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="15" height="17 src=">.gif" width="15 height=17 src=" height="17">.gif" width="19" height="17 src=">.gif" width="21" height="24 src="> создается процесс..gif" width="19" height="17 src=">. Если при выполнении программы (операция 1) возникает запрос к базе данных , то процесс переходит к операции 2 (переход 1https://pandia.ru/text/78/299/images/image007_1.gif" width="19" height="17 src="> может быть направлен к одному из накопителей информации..gif" width="13" height="19 src=">,.gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="13" height="19 src=">), он получит обслуживание, связанное с позиционированием головок чтения-записи на необходимые цилиндр и сектор..gif" width="13" height="15 src="> обеспечивает создание данных, передаваемых канальной программе..gif" width="19" height="17 src=">, где получает обслуживание, необходимое для выхода из прерывания по обращению к канальной программе и планирования возврата к проблемной программе..gif" width="20" height="15 src=">1). Таким образом, завершается цикл выполнения системных операций по организации обмена данными между основной памятью и диском.

https://pandia.ru/text/78/299/images/image027_0.gif" width="15" height="17 src=">.gif" width="20" height="15 src=">.gif" width="13" height="15 src=">.gif" width="20" height="15 src=">.gif" width="20" height="2 src=">Рассмотрим сети с активными ресурсами (узлами), трудоёмкость выполнения заявки в которых характеризуется временем vir, где r = 1,R - тип заявки и её цепь. Если r-заявки поступают в сеть из внешнего источника и после обслуживания покидают её, сеть называется открытой (разомкнутой) по отношению к цепи r. Сеть, не имеющая внешних источников, называется замкнутой. В смешанных сетях существуют как открытые, так и замкнутые цепи заявок.

В зависимости от области приложений сети с несколькими типами заявок называют либо многоцепными, либо многопродуктовыми. В замкнутых цепях назначают узел, возможно даже фиктивный, который принимают за начало и конец маршрута. Некоторые из узлов могут повторятся в маршрутной цепи несколько раз. Число αir, характеризующее число визитов в узел i заявок маршрута r, называют коэффициентом посещения (передачи).

Коэффициент посещения в стационарном режиме обслуживания можно определить из отношения:

αir = λir / λ0r, (2.1)

где λ0r - интенсивность потока r-заявок из начального узла маршрутной цепи заявок.

λir - интенсивность потока заявок в узел i.

Для разомкнутой цепи величину λ0r задают. Для замкнутой цепи величина λ0r определяется множеством параметров сети и характеризует её производительность (пропускную способность).

В стохастической сети движение r-заявок описывают маршрутной матрицей вероятностей переходов Pr = | pijr |, где pijr - вероятность того, что r-заявка после обслуживания в узле i переходит к узлу j.

В стационарном режиме обслуживания для каждого из узлов записывают следующее условие баланса потоков:

λir = ∑λjir (2.2)

Здесь https://pandia.ru/text/78/299/images/image035_0.gif" width="308" height="138 src=">.gif" width="25" height="2 src=">λir = ∑ pjir λjr, i =0,N. (2.4)

Поскольку для разомкнутой цепи задают поток из внешнего источника λ0r и маршрутную матрицу Pr, то из уравнений (2.1) и (2.4) можно найти λir и αir.

Для замкнутой цепи уравнение балансов потоков (2.4) представляется однородной системой с бесконечным множеством решений. Поэтому для расчёта процессов в замкнутых цепях в качестве исходных данных берут величины λir. Поскольку за полный цикл заявка посещает начальный узел трассы один раз, коэффициент посещения нулевого узла равен единице. Учитывая, что λ0r=1 и подставляя λir = αir λ0r (из (2.1)) в левую и правую части системы уравнений (2.4), получаем уравнения для расчёта коэффициентов посещения замкнутой цепи:

https://pandia.ru/text/78/299/images/image039_0.gif" width="132" height="49 src="> i =0,N, т. е. имеем систему уравнение аналогичную (2.4) для расчёта αir,

https://pandia.ru/text/78/299/images/image041_0.gif" width="90" height="45 src="> i =0,N.

Для спецификации (описания) маршрута процесса в сетевой модели необходимо задать либо вектор коэффициентов посещения, либо матрицу вероятностей перехода. Если маршрут заявки детерминирован, он сразу описывается коэффициентами посещения, поскольку число визитов в каждый из узлов определено. Стохастический маршрут представляется матрицей Р.

Мультиклассовая сеть

https://pandia.ru/text/78/299/images/image042_0.gif" width="29" height="26 src="> |. Элементы DIV_ADBLOCK37">

Состояние заявки внутри каждой цепи характеризуется парой (i, q), что позволяет с помощью отражать сложные траектории движения заявок и строить модели реальных систем, которые обладают большей достоверностью по сравнению с одноклассовыми.

Интенсивность потока заявок в классе s системы i из других систем сети обозначим λis. Уравнения баланса потоков стационарного режима сети имеют вид:

https://pandia.ru/text/78/299/images/image044_0.gif" width="144" height="49 src="> (2.6)

Разработаны эффективные способы расчёта сетей, реализующих в узлах следующие дисциплины обслуживания:

· обслуживание в порядке поступления (FiFo);

· разделение времени (PS), предполагающее, что если в узле находится n запросов, то в единицу времени каждому из них будет представлен квант обслуживания длиною 1/n;

· прерывание на основе абсолютных приоритетов с дообслуживанием в обратном порядке(P);

· обслуживание без ожидания (Д)

Первые три способа представляют узлы, обслуживающие с ожиданием (узлы первого типа). Узлы второго типа, представляют индивидуальные ресурсы, закреплённые за процессом.

Введём обозначения:

niq - среднее число заявок класса q в узле i;

ni = ∑q niq - среднее число заявок в узле i;

Kr = ∑i ni - среднее число заявок цепи r;

K = ∑r Kr - число заявок в сети.

Gif" width="14" height="2 src=">.gif" width="14" height="2 src=">.gif" width="14" height="2 src=">Состояние сети описывается вектором n = (n1 ,n2 ,…,ni,…,nN), где ni - состояние узла i .

Gif" width="14" height="2 src=">.gif" width="10" height="2 src=">.gif" width="19" height="26 src="> ,…,SN) = (P1(S1), P2(S2),…,Декомпозиция" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">декомпозиции (структурирования). Основой классических алгоритмов вычисления G(K) является операция свертки нескольких векторов, которая представима в виде рекуррентных выражений по многомерной схеме Горнера.

При расчёте замкнутых сетей используют также рекуррентные процедуры над такими характеристиками как средняя длина очереди, среднее время ожидания. Этот подход называют методом анализа средних (МАС). Алгоритмы свертки плохо интерпретируют содержательный (прикладной) смысл. МАС основан на ясных содержательных трактовках и разработан для решения численных проблем, возникающих в алгоритмах свертки.

Разомкнутые сети. Представим математическое обеспечение для расчёта однородных экспоненциальных сетей с несколькими потоками заявок. Математические модели названного класса описывают следующими исходными данными:

· интенсивность внешних источников пуассоновских потоков – λ0r;

· экспоненциально распределённой трудоёмкостью обслуживания в i-ом узле– vi = 1/μ, где μ - интенсивность обслуживания;

· коэффициентами посещения в i –e узлы - αir.

Доказано, что в этих условиях сеть математически декомпозируется на множество несвязанных узлов.

Характеристики сети рассчитывают следующим образом. Загрузка узла i со стороны потока заявок типа r:

https://pandia.ru/text/78/299/images/image052.gif" width="20" height="26 src="> = λi/μi , vi = 1/μi, https://pandia.ru/text/78/299/images/image052.gif" width="20 height=26 src=" height="26"> =https://pandia.ru/text/78/299/images/image052.gif" width="20" height="26 src="> vi/(1-https://pandia.ru/text/78/299/images/image052.gif" width="20" height="26 src="> ).

Воспользовавшись формулой Литла (ni = λiVi), найдём число заявок каждого типа в узле i:

nir = λir Vir = https://pandia.ru/text/78/299/images/image055.gif" width="67" height="39 src="> .

Замкнутые сети. Алгоритм расчёта сети через вероятности состояний.

Для замкнутых марковских сетей вероятности состояний определяются из решений, представимых в форме произведения (2.7). Если сеть состоит из FiFo-узлов, то вероятности состояний:

P(n1 n2…nN) =1/G(K) * Π https://pandia.ru/text/78/299/images/image052.gif" width="20" height="26 src="> = λi/μi - загрузка i-ой системы, равная отношению интенсивности потока к интенсивности обслуживания в i-й системе: m =1,K1; n = 1,K2; i = 1,N.Vi2(K1,K2) = vi2. (2.13)

Приведённые зависимости верны, если в FIFO-узлах время обслуживания не зависит от цепи, т. е. vi1 =vi2. В PS-узлах оно может различаться. При необходимости через G можно найти вероятности состояний и другие характеристики.

Основной недостаток алгоритма – большой диапазон изменения величины G, приводящий к переполнению, потери значности, погрешностям округления.

Метод анализа средних (МАС)

МАС может быть легко получен из алгоритма свертки и формул (ni = λiVi) Литла для цепи и узлов сети. Так, в случае одноцепной сети при K1 = K из выражения (2.13) имеем:

Vi(K) = vi. (2.14)

tпреб. tобсл. tожид. vi

Исходя из формулы Литла для цепи и учитывая, что время полного цикла заявки в сети,

C(K) = ∑i αiVi(K), (2.15)

получаем:

λ0(K) = K/C, (2.16)

а из формулы Литла для узла находим:

ni(K) = αiλ0(K)Vi(K). (2.17)

Заметим, что ni(0) =0. Рекуррентные вычисления по формулам (2.13) – (2.16) сразу дают искомые характеристики процессов и узлов сети. Загрузку находят из соотношения:

https://pandia.ru/text/78/299/images/image067.gif" width="88" height="39 src="> (2.15)

Рассмотрим более общий случай обслуживания в узлах. Введём величину bi(j), характеризующую ёмкость узла i, когда в нём находится j заявок. Для одноканальных обслуживающих приборов с постоянной скоростью обслуживания bi(j) =1. Для Д-узлов bi(j) =j. Для узлов, скорость обслуживания в которых зависит от нагрузки, имеем 0 < bi(j)<∞. Обычно bi(j) - монотонная неубывающая функция j, т. е.

bi(j) > bi(j-1) и bi(j+1) - bi(j) ≤ bi(j) - bi(j-1).

Например, если в узле находится двухканальный обслуживающий прибор, то bi(1) =1, bi(j) =2 для всех j ≥2.

Ёмкость узла (нагрузочная способность) определяется отношением:

bi(j) = μi(j)/μi(1), (2.19)

где μi(j) - интенсивность обслуживания в узле i, если в нём находится j заявок, а μi(1) - если одна заявка.

Если скорость обслуживания в узле зависит от нагрузки, как это описано формулой (2.19), то время пребывания можно вычислить по формуле:

Vi(K) = vi , (2.20)

где bm - максимальная нагрузочная способность узла i, bm≤K.

https://pandia.ru/text/78/299/images/image069.gif" width="614" height="87 src=">

https://pandia.ru/text/78/299/images/image071.gif" width="26" height="62 src="> Vir(K) = vir,

1 – для FIFO-, PS-узлов;

0 – для Д-узлов.

3. λ0r(K) = Kr/ ∑i αir left">

Рис. 2.5. Порядок обхода узлов при расчёте двухцепной сети с популяцией К = (2,2). ↓ - направление движения линии фронта.

Изображённый на рисунке граф – это не диаграмма состояний сети, а диаграмма возможных объёмов заявок в сети, содержащая несравнимо меньшее число вершин, чем диаграмма состояний. Число вершин в графе не зависит от числа узлов в сети.

Вычислительная сложность алгоритмов свертки, МАС и алгоритмов локального баланса имеет один и тот же порядок. Однако в зависимости от особенностей исходных данных тот или иной из алгоритмов может давать меньше погрешности, которых невозможно избежать в силу рекуррентного характера счёта. По существу здесь реализуются различные схемы вычислительных процессов, но предпочесть какую-либо по соображениям численной устойчивости трудно. При инженерных исследованиях и расчётах предпочтительнее содержательно ясные алгоритмы МАС. Для численного контроля результатов можно использовать одновременные расчёты по нескольким различным алгоритмам.

Применение различных математических методов к формализации. Акцент на сложную систему - непредсказуемую. Носитель неопределенности является человек.

Характерным примером стохастических (случайные, вероятностные) задач являются модели систем массового обслуживания.

СМО имеют повсеместное распространение. Это телефонные сети, автозаправочные станции, предприятия бытового обслуживания, билетные кассы, торговые мероприятия и т.д.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования СМО подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами СМО могут служить:

посты технического обслуживания автомобилей;

посты ремонта автомобилей;

аудиторские фирмы и т.д.

Основоположником теории массового обслуживания, в частности, теории очередей, является известный датский ученый А.К.Эрланг (1878-1929), который исследовал процессы обслуживания на телефонных станциях.

Системы, в которых имеют место процессы обслуживания, называют системами массового обслуживания (СМО).

Чтобы описать систему массового обслуживания, необходимо задать:

- входной поток заявок;

- дисциплину обслуживания;

- время обслуживания

- количество каналов обслуживания.

Входной поток требований (заявок) описывается путем выявления как вероятностного закона распределения моментов поступления требований в систему, так и количества требований в каждом поступлении.

При задании дисциплины обслуживания (ДО) необходимо описать правила постановки требований в очередь и обслуживания их в системе. При этом длина очереди может быть как ограниченной, так и неограниченной. В случае ограничений на длину очереди поступившая на вход СМО заявка получает отказ. Чаще всего используются ДО, определяемые следующими правилами:

первым пришел – первым обслуживаешься;

пришел последним - обслуживаешься первым; (коробочка для теннисных шариков, стек в технике)

случайный отбор заявок;

отбор заявок по критерию приоритетности.

Время обслуживания заявки в СМО является случайной величиной. Наиболее распространенным законом распределения является экспоненциальный закон.  - скорость обслуживания. =количество заявок обслуживания/ед. времени.

Каналы обслуживания , могут быть расположены параллельно и последовательно. При последовательном расположении каналов каждая заявка проходит обслуживание на всех каналах последовательно. При параллельном расположении каналов обслуживание производится на всех каналах одновременно по мере их освобождения.

Обобщенная структура СМО представлена на рис.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности СМО, и эффективностью ее функционирования.

Проблемы проектирования СМО.

К задачам определения характеристик структуры СМО относятся задача выбора количества каналов обслуживания (базовых элементов {Ф i }), задача определения способа соединения каналов (множества элементов связей {Hj}), а также задача определения пропускной способности каналов.

1). Выбор структуры . Если каналы работают параллельно, то проблема выбора Str сводится к определению количества каналов в обслуживающей части исходя из условия обеспечения работоспособности СМО. (Если очередь не является бесконечно растущей).

Отметим, что при определении количества каналов системы, в случае их параллельного расположения, необходимо соблюдать условие работоспособности системы . Обозначим:  - среднее число заявок, поступающих в единицу времени, т.е. интенсивность входного потока;  - среднее число заявок, удовлетворяемых в единицу времени, т.е. интенсивность обслуживания; S - количество каналов обслуживания. Тогда условие работоспособности СМО запишется

или
. Выполнение этого условия позволяет вычислить нижнюю границу количества каналов.

В случае, если
, система не справляется с очередью. Очередь при этом растет безгранично.

2). Необходимо определить критерий эффективности функционирования СМО с учетом затрат на потери времени как со стороны заявок, так и со стороны обслуживающей части.

В качестве показателей эффективности функционирования СМО рассматриваются следующие три основные группы показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО.

Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это время.

Средняя продолжительность периода занятости СМО.

Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок.

Среднее время ожидания заявки в очереди.

Среднее время пребывания заявки в СМО.

Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

Среднее число заявок, находящихся в очереди.

Среднее число заявок, находящихся в СМО.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО - потребитель».

При выборе критерия эффективности функционирования СМО необходимо учесть двойственный подход к рассмотрению систем массового обслуживания. Например, работу универсама, как СМО, можно рассматривать с противоположных сторон. С одной, традиционно принятой, стороны покупатель, ожидающий свою очередь у кассы, представляет собой заявку на обслуживание, а кассир - канал обслуживания. С другой стороны, кассир, который ожидает покупателей, может быть рассмотрен в качестве заявки на обслуживание, а покупатель - обслуживающее устройство, способное удовлетворить заявку, т.е. подойти к кассе и прекратить вынужденный простой кассира. (традиционно – покупателей > чем кассиров, если кассиров > чем покупателей, они ждут покупателей).

С
учетом этого целесообразно минимизировать обе части СМО одновременно.

Применение такого двойственного подхода предполагает необходимость учета при формировании критерия эффективности не только перечисленных выше показателей в отдельности, но и одновременно нескольких показателей, отражающих интересы как обслуживающей, так и обслуживаемой подсистем СМО. Например, показано, что наиболее важным критерием эффективности в задачах массового обслуживания является суммарное время нахождения клиента в очереди, с одной стороны, и простоя каналов обслуживания - с другой.

Классификация систем массового обслуживания

1. По характеру обслуживания выделяют следующие виды СМО:

1.1. Системы с ожиданием или системы с очередью . Требования, поступившие в систему и не принятые немедленно к обслуживанию, накапливаются в очереди. Если каналы свободны, то заявка обслуживается. Если же все каналы заняты в момент поступления заявки, то очередная заявка будет обслужена после завершения обслуживания предыдущей. Такая система называется полнодоступной (с неограниченной очередью).

Существуют системы с автономным обслуживанием, когда обслуживание начинается в определенные моменты времени;

Системы с ограниченной очередью . (ремонт в гараже)

Системы с отказами . Все заявки, прибывшие в момент обслуживания заявки, получают отказ. (ГТС)

Системы с групповым входным потоком и групповым обслуживанием . В таких системах заявки поступают группами в моменты времени, обслуживание также происходит группами.

2. По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на следующие группы.

Одноканальные СМО.

Многоканальные СМО . Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

3. По кругу обслуживаемых объектов различают два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания - это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО.

4. По количеству этапов обслуживания различают однофазные и многофазные СМО.

Однофазные СМО - это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО - это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы массо-вого обслуживания (СМО), т.е. такие системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов.

В качествепримеров СМО в финансово-экономи-ческой сфере можно привести системы, представляющие собой: банки различных типов, страховые организа-ции, налоговые инспекции, ау-диторские службы, различные системы связи (в том числе те-лефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, предприятия массового питания, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы).

Такие сис-темы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обра-ботки информации, транспортные системы, автоматизирован-ные производственные участки, поточные линии также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

В торговле выполняется множество операций в процессе движе-ния товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются: погрузка и выгрузка товаров, пере-возка, упаковка, фасовка, хранение, выкладка, продажа и т. д. Для торговой деятельности характерны массовое поступление товаров, денег, массовое обслу-живание покупателей и т. п., а также выполнение соответствующих операций, которые носят случайный характер. Все это создает не-равномерность в работе торговых организаций и предприятий, порождает недогрузки, простои и перегрузки. Много времени отни-мают очереди, например, у покупателей в магазинах, водителей ав-томашин на товарных базах, ожидающих разгрузки или погрузки.

В связи с этим возникают задачи анализа работы, например тор-гового отдела, торгового предприятия или секции, для оценки их деятельности, выявления недостатков, резервов и принятия в конеч-ном итоге мер, направленных на увеличение ее эффективности. Кроме того, возникают задачи, связанные с созданием и внедре-нием более экономичных способов выполнения операций в пределах секции, отдела, торгового предприятия, овощной базы, управления торговли и т. п. Следовательно, в организа-ции торговли методы теории массового обслуживания позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность про-давцов, частоту завоза товаров и другие параметры.

Другим ха-рактерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организа-ций, и задача теории массового обслуживания сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом по-ступающих на базу требований на обслуживание и числом об-служивающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы мини-мальными. Теория массового обслуживания может найти при-менение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку - как требование.

Основные характеристики СМО

СМО включаетследующие элементы : источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (канал обслуживания), выходящий поток требований (обслуженных заявок).

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы, в основном, не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных причин. После обслуживания заявки канал освобожден и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к не-равномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же дру-гие интервалы времени при свободных каналах на входе CMО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к про-стаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь, либо по какой-то причине невоз-можности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Схема СМО изображена на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 - Схема системы массового обслуживания

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами обслуживания . Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы), линии связи, автомашины и т.д.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производи-тельности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

СМО явля-ется предметом изучения теории массового обслуживания .

Цель теории массового обслуживания — выработка рекомен-даций по рациональному построению СМО, рациональной ор-ганизации их работы и регулированию потока заявок для обес-печения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффек-тивности функционирования СМО от ее организации (пара-метров).

В качестве характеристик эффективности функционирова-ния СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная способность СМО - от-ношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу посту-пивших заявок за это же время.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслужи-ванием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок :

2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожи-дания.

2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедлен-но будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары "СМО — потребитель" , где под "потребителем" понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, при-носимый СМО в единицу времени, и т.п.).

Случайный характер потока заявок и длительности их об-служивания порождает в СМО случайный процесс . Поскольку моменты времени T i и интервалы времени поступле-ния заявок T , продолжительность операций обслуживания Т обс , про-стоя в очереди T оч , длина очереди l оч — случайные величины, то характеристики состояния систем массового обслуживания носят вероятностный характер. Поэтому для решения задач теории массового обслужива-ния необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. постро-ить и проанализировать его математическую модель.

Математическое изучение функционирования СМО значи-тельно упрощается, если протекающий в ней случайный про-цесс является марковским . Чтобы случайный процесс был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воз-действием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были (простейшими) пуассоновскими .

Простейший поток обладает тремя основными свойствами : ординарности, стационарности и отсутствия последействия.

Ординарность потока означает практическую невозмож-ность одновременного поступления 2-х и более требований. На-пример, достаточно малой является вероятность того, что в магазине самообслуживания одно-временно выйдут из строя несколько кассовых аппаратов.

Стационарным называется поток, для которого математиче-ское ожидание числа требований, поступающих в систему в едини-цу времени (обозначим λ ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества тре-бований в течение заданного промежутка времени ?T зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требова-ний, поступивших в систему до момента T , не определяет того, сколько требований поступит в систему за время (T + ?T) . Например, если в кассовом аппарате в данный момент произо-шел обрыв кассовой ленты и он устранен кассиром, то это не влияет на воз-можность нового обрыва на данной кассе в следующий момент и тем более на вероятность возникновения обрыва на других кассовых аппаратах.

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона , т. е. вероятность по-ступления за время T ровно k требований задается формулой

где λ — интенсивность потока заявок , т. е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени,

где τ — среднее значение интервала времени между двумя со-седними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заяв-ками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания то-же можно считать распределенным экспоненциально:

где ν — интенсивность движения очереди , т. е. среднее число зая-вок, приходящих на обслуживание в единицу времени,

где Т оч - среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в кана-ле, где длительность обслуживания Т обс является случайной величи-ной и подчиняется во многих случаях показательному закону рас-пределения с плотностью

где μ — интенсивность потока обслуживания , т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели λ и μ , является интенсивность нагрузки, которая показывает степень согласования указанных потоков зая-вок:

Перечисленные показатели k, τ, λ, l оч, Т оч, ν, Т обс, μ, ρ, Р k являются наиболее общими для СМО.

При аналитическом моделировании исследование процессов или объектов заменяется построением их математических моделей и исследованием этих моделей. В основу метода положены идентичность формы уравнений и однозначность соотношений между переменными в уравнениях, описывающих оригинал и модель. Поскольку события, происходящие в локальных вычислительных сетях, носят случайный характер, то для их изучения наиболее подходящими являются вероятностные математические модели теории массового обслуживания .

Аналитическая модель сети представляет собой совокупность математических соотношений, связывающих между собой входные и выходные характеристики сети. При выводе таких соотношений приходится пренебрегать какими-то малосущественными деталями или обстоятельствами .

Телекоммуникационная сеть при некотором упрощении может быть представлена в виде совокупности процессоров (узлов), соединенных каналами связи. Сообщение, пришедшее в узел, ждет некоторое время до того, как оно будет обработано. При этом может образоваться очередь таких сообщений, ожидающих обработки. Время передачи или полное время задержки сообщения:

где – время распространения, время обслуживания и время ожидания соответственно. Одной из задач аналитического моделирования является определение среднего значения D. При больших загрузках основной вклад дает ожидание обслуживания IV. Для описания очередей в дальнейшем будет использована нотация Д. Дж. Кенделла:

где А – процесс прибытия; В – процесс обслуживания; С – число серверов (узлов); К – максимальный размер очереди (по умолчанию – ∞);

in – число клиентов (по умолчанию – да); z – схема работы буфера (по умолчанию FIFO).

Буквы А и В представляют процессы прихода и обслуживания и обычно заменяются следующими буквами, характеризующими закон, соответствующий распределению событий:

Наиболее распространенными схемами работы буферов являются

FIFO (First-In-First-Out), LIFO (Last-In-First-Out) и FIRO (First-In- Random-Out). Например, запись M/M/2 означает очередь, для которой времена прихода и обслуживания имеют экспоненциальное распределение, имеется два сервера, длина очереди и число клиентов могут быть сколь угодно большими, а буфер работает по схеме FIFO .

Среднее значение длины очереди Q при заданной средней входной частоте сообщений λ и среднем времени ожидания W определяется на основе теоремы Литла (1961) :

Для варианта очереди M/G/ 1 входной процесс характеризуется распределением Пуассона со скоростью поступления сообщений λ. Вероятность поступления к сообщений на вход за время t равно:

(3.3)

Пусть N – число клиентов в системе, Q – число клиентов в очереди и пусть вероятность того, что входящий клиент обнаружит j других клиентов, равна:

Тогда среднее время ожидания:

где σ – среднеквадратичное отклонение для распределения времени обслуживания.

Для варианта очереди(Η – функция

распределения времени обслуживания). Откуда следует.

Для варианта очереди M/D/ 1 время обслуживания постоянно, а среднее время ожидания составляет:

Рассмотрим вариант сети Ethernet на основе концентратора- переключателя с числом каналов N. При этом будет предполагаться, что сообщения на входе всех узлов имеют пуассоновское распределение со средней интенсивностью, распределение сообщений по длине произвольно. Сообщения отправляются в том же порядке, в котором они прибыли. Трафик в сети предполагается симметричным. Очередь имеет модель. Среднее время ожидания в этом случае равно:

где

(3.9)

где, аравно вероятности того, что сообщение отправителя /" направлено получателю. Требование стабильности требует, чтобы. Для бо́льших n это приводит к

Работа сети Ethernet характеризуется рядом параметров, к числу которых относятся вероятность захвата канала и эффективность . Первый параметр определяется по выражению

где Ρ – вероятность того, что ровно одна станция попытается передать кадр в течение такта и захватить канал; Q – число станций, пытающихся захватить канал для передачи кадра данных.

Эффективность LAN Ethernet определяется следующим образом. Общее время работы сети Ethernet делится между интервалами передачи и интервалами конкуренции. Для передачи кадра данных требуется L/C секунд, где L – длина кадра в битах, С – скорость передачи данных в бит/сек. Среднее время Τ , необходимое на захват канала, равно:

где W – среднее число тактов, прошедших в интервале конкуренции, пока станция не захватит канал для передачи кадра данных; В – длительность такта или время до обнаружения конфликта после начала передачи кадра.

Среднее число тактов W рассчитывается следующим образом:

С учетом введенных показателей эффективность Ε работы локальной сети Ethernet определяется следующим образом:

Для моделирования ЛВС наиболее часто используются следующие типы СМО:

• 1. Одноканальные СМО с ожиданием. Представляют собой один обслуживающий прибор с бесконечной очередью. Данная СМО является наиболее распространенной при моделировании. С той или иной долей приближения с ее помощью можно моделировать практически любой узел ЛВС.
• 2. Одноканальные СМО с потерями. Представляют собой один обслуживающий прибор с конечным числом мест в очереди. Если число заявок превышает число мест в очереди, то лишние заявки теряются. Этот тип СМО может быть использован при моделировании каналов передачи в ЛВС.
• 3. Многоканальные СМО с ожиданием. Представляют собой несколько параллельно работающих обслуживающих приборов с общей бесконечной очередью. Данный тип СМО часто используется при моделировании групп абонентских терминалов ЛВС, работающих в диалоговом режиме.
• 4. Многоканальные СМО с потерями. Представляют собой несколько параллельно работающих обслуживающих приборов с общей очередью, число мест в которой ограничено. Эти СМО, как и одноканальные с потерями, часто используются для моделирования каналов связи в ЛВС.
• 5. Одноканальные СМО с групповым поступлением заявок. Представляют собой один обслуживающий прибор с бесконечной очередью. Перед обслуживанием заявки группируются в пакеты по определенному правилу.
• 6. Одноканальные СМО с групповым обслуживанием заявок. Представляют собой один обслуживающий прибор с бесконечной очередью. Заявки обслуживаются пакетами, составляемыми по определенному правилу. Последние два типа СМО могут использоваться для моделирования таких узлов ЛВС, как центры (узлы) коммутации.

Локальная вычислительная сеть в целом может быть представлена в виде сети массового обслуживания. Различают открытые , замкнутые и смешанные сети.

Открытой называется есть массового обслуживания, состоящая из Μ узлов, причем хотя бы в один из узлов сети поступает извне входящий поток заявок и имеется сток заявок из сети. Для открытых сетей характерно то, что интенсивность поступления заявок в сеть не зависит от состояния сети, т. е. от числа заявок, уже поступивших в сеть. Открытые сети используются для моделирования ЛВС, работающих в неоперативном режиме. Каждая заявка поступает на вход соответствующего узла коммутации, где определяется место ее обработки. Затем заявка передается на "свой" сервер или по каналу связи – на "соседний", где обрабатывается, после чего возвращается к источнику и покидает сеть .

Замкнутой называется сеть массового обслуживания с множеством узлов Μ без источника и стока, в которой циркулирует постоянное число заявок. Замкнутые СМО используются для моделирования таких ЛВС, источниками информации для которых служат абонентские терминалы, работающие в диалоговом режиме. В этом случае каждая группа абонентских терминалов представляется в виде многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием и включается в состав устройств сети .

Различают простой и сложный режимы работы диалоговых абонентов. В простом режиме абоненты не производят никаких действий, кроме посылки заданий в ЛВС и обдумывания полученного ответа .

Абоненты с терминалов посылают запросы, которые по каналам связи поступают на узлы коммутации, а оттуда – на обработку на "свой" или "соседний" сервер. Дальнейшая обработка осуществляется так же, как в открытой сети .

При сложном режиме диалога работа абонентов представляется в виде совокупности операций некоего процесса, называемого технологическим. Каждая операция технологического процесса моделируется соответствующей СМО. Часть операций предусматривает обращение к ЛВС, а часть операций может такого обращения не предусматривать . Алгоритм работы самой ЛВС такой же, как для замкнутой сети.

Смешанной называется сеть массового обслуживания, в которой циркулирует несколько различных типов заявок (графика), причем относительно одних типов заявок сеть замкнута, а относительно других – открыта. С помощью смешанных СМО моделируются такие ЛВС, часть абонентов которых работает в диалоговом, а часть – в неоперативном режиме. Для диалоговых абонентов также различают простой и сложный режим работы. Часто смешанные СМО моделируют ЛВС, в которых сервер дополнительно загружается задачами, решаемыми на фоне работы самой сети .

Алгоритм работы сети для диалоговых абонентов аналогичен алгоритму работы замкнутой сети, а алгоритм работы сети для неоперативных абонентов – алгоритму работы открытой сети.

Различают экспоненциальные и неэкспоненциальные модели ЛВС. Экспоненциальные модели основаны на предположении о том, что потоки заявок, поступающие в ЛВС, являются пуассоновскими, а время обслуживания в узлах ЛВС имеет экспоненциальное распределение.

Для таких сетей получены точные методы для определения их характеристик; трудоемкость получения решения зависит в основном от размерности сети .

Однако в большинстве сетей (и локальных сетей в частности) потоки не являются пуассоновскими. Модели таких сетей называются неэкпоненциальными . При анализе неэкспоненциальных сетей в общем случае отсутствуют точные решения, поэтому наибольшее применение здесь находят приближенные методы.

Одним из таких методов является метод диффузионной аппроксимации . Использование диффузионной аппроксимации позволило к настоящему времени получить приближенные аналитические зависимости для определения характеристик всех типов СМО, рассмотренных выше.

При этом не требуется точного знания функций распределения случайных величин, связанных с данной СМО (интервалов между поступлениями заявок временем обслуживания в приборах), а достаточно только знание первого (математического ожидания) и второго (дисперсии или квадрата коэффициента вариации – ΚΚΒ) моментов этих величин .

Применение диффузионной аппроксимации при анализе ЛВС основано на следующем:

• по каждому типу заявок вычисляется интенсивность поступления заявок данного типа в узлы сети так, как если бы данный поток заявок циркулировал в сети только один;
• по определенному правилу, зависящему от типа СМО и дисциплины обслуживания, складываются потоки заявок от всех источников;
• по определенному правилу определяется среднее время обслуживания в каждом узле ЛВС;
• полученные значения подставляются в соответствующую диффузионную формулу и определяются характеристики узлов ЛВС;
• определяются характеристики ЛВС в целом.

Постановка задачи анализа ЛВС при этом примет следующий вид. Дано:

• число узлов ЛВС;
• тип каждого узла ЛВС (тип СМО, моделирующей данный узел);
• дисциплина обслуживания в каждом узле ЛВС;
• общее число типов источников заявок, работающих в диалоговом режиме;
• общее число типов источников заявок, работающих в неоперативном режиме;
• для диалоговых источников в случае сложного режима работы число технологических процессов каждого типа, число операций в каждом технологическом процессе, среднее и ΚΚΒ времени выполнения каждой операции, матрица вероятностей передач между операциями, а также наличие или отсутствие на каждой операции обращения к ЛВС;
• для диалоговых источников в случае простого режима работы число источников (терминалов) каждого типа, среднее и ΚΚΒ времени реакции абонента на ответ сети;
• для неоперативных абонентов – средняя интенсивность поступления заявок и ΚΚΒ времени между поступлениями заявок; по каждому типу заявок (диалоговому и неоперативному) средняя интенсивность обслуживания в каждом узле ЛВС, ΚΚΒ времени обслуживания в узлах ЛВС и матрица вероятностей передач между узлами. Требуется найти:
• среднее значение и дисперсию (или стандартное отклонение) времени задержки заявки каждого типа в ЛВС в целом;
• среднее значение и дисперсию (или стандартное отклонение) времени задержки в узлах ЛВС;
• загрузку узлов ЛВС;
• вероятность потери заявки в узле ЛВС (для узлов, моделируемых СМО с потерями).

Ограничения могут быть следующими:

вероятность потери заявки не должна превышать 1;

все характеристики должны быть положительны.

Иногда представляет интерес определение такого показателя, как максимальное время задержки заявки каждого типа в ЛВС. Максимальное время – это такое время, превышение которого допустимо лишь для некоторого, наперед заданного процента заявок каждого типа. Для определения максимального времени используется методика, основанная на аппроксимации функции распределения времени задержки в сети эрланговским или гипсрэкспонснциальным распределением, при этом необходимо задавать долю (процент) заявок, для которых рассчитывается максимальное время.