Декартовы прямоугольные системы координат. Прямоугольная система координат Расположение x и y

Для решения большинства задач в прикладных науках необходимо знать местоположение объекта или точки, которое определяется с помощью применения одной из принятых систем координат. Кроме того, имеются системы высот, которые также определяют высотное местонахождение точки на

Что такое координаты

Координаты - числовые или буквенные значения, с помощью которых можно определить место, где расположена точка на местности. Как следствие, система координат - это совокупность однотипных значений, имеющих одинаковый принцип нахождения точки или объекта.

Нахождение местоположения точки требуется для решения многих практических задач. В такой науке, как геодезия, определение местонахождения точки в заданном пространстве - главная цель, на достижении которой строится вся последующая работа.

Большинство систем координат, как правило, определяют расположение точки на плоскости, ограниченной только двумя осями. Для того чтобы определить позицию точки в трехмерном пространстве, применяется также система высот. С ее помощью можно узнать точное местонахождение искомого объекта.

Кратко о системах координат, применяемых в геодезии

Системы координат определяют местоположение точки на территории задавая ей три значения. Принципы их расчета различны для каждой координатной системы.

Основные пространственные системы координат, применяемые в геодезии:

  1. Геодезические.
  2. Географические.
  3. Полярные.
  4. Прямоугольные.
  5. Зональные координаты Гаусса-Крюгера.

Все системы имеют свою начальную точку отсчета, величины для местонахождения объекта и области применения.

Геодезические координаты

Основной фигурой, применяемой для отсчета геодезических координат, является земной эллипсоид.

Эллипсоид - трехмерная сжатая фигура, которая наилучшим образом представляет собой фигуру земного шара. Ввиду того что земной шар - математически неправильная фигура, вместо нее для определения геодезических координат используют именно эллипсоид. Это облегчает осуществление многих расчетов для определения положения тела на поверхности.

Геодезические координаты определяются тремя значениями: геодезической широтой, долготой и высотой.

  1. Геодезическая широта - это угол, начало которого лежит на плоскости экватора, а конец - у перпендикуляра, проведенного к искомой точке.
  2. Геодезическая долгота - это угол, который отсчитывают от нулевого меридиана до меридиана, на котором находится искомая точка.
  3. Геодезическая высота - величина нормали, проведенной к поверхности эллипсоида вращения Земли от данной точки.

Географические координаты

Для решения высокоточных задач высшей геодезии необходимо различать геодезические и географические координаты. В системе, применяемой в инженерной геодезии, таких различий, ввиду небольшого пространства, охватываемого работами, как правило, не делают.

Для определения геодезических координат в качестве плоскости отсчета используют эллипсоид, а для определения географических - геоид. Геоид является математически неправильной фигурой, более приближенной к фактической фигуре Земли. За его уровненную поверхность принимают ту, что продолжена под уровнем моря в его спокойном состоянии.

Географическая система координат, применяемая в геодезии, описывает позицию точки в пространстве с указанием трех значений. долготы совпадает с геодезической, так как точкой отсчета также будет называемый Гринвичским. Он проходит через одноименную обсерваторию в городе Лондоне. определяется от экватора, проведенного на поверхности геоида.

Высота в системе местных координат, применяемой в геодезии, отсчитывается от уровня моря в его спокойном состоянии. На территории России и стран бывшего Союза отметкой, от которой производят определение высот, является Кронштадтский футшток. Он расположен на уровне Балтийского моря.

Полярные координаты

Полярная система координат, применяемая в геодезии, имеет другие нюансы произведения измерений. Она применяется на небольших участках местности для определения относительного местоположения точки. Началом отсчета может являться любой объект, отмеченный как исходный. Таким образом, с помощью полярных координат нельзя определить однозначное местонахождение точки на территории земного шара.

Полярные координаты определяются двумя величинами: углом и расстоянием. Угол отсчитывается от северного направления меридиана до заданной точки, определяя ее положение в пространстве. Но одного угла будет недостаточно, поэтому вводится радиус-вектор - расстояние от точки стояния до искомого объекта. С помощью этих двух параметров можно определить местоположение точки в местной системе.

Как правило, эта система координат используется для выполнения инженерных работ, проводимых на небольшом участке местности.

Прямоугольные координаты

Прямоугольная система координат, применяемая в геодезии, также используется на небольших участках местности. Главным элементом системы является координатная ось, от которой происходит отсчет. Координаты точки находятся как длина перпендикуляров, проведенных от осей абсцисс и ординат до искомой точки.

Северное направление оси Х и восточное оси У считаются положительными, а южное и западное - отрицательными. В зависимости от знаков и четвертей определяют нахождение точки в пространстве.

Координаты Гаусса-Крюгера

Координатная зональная система Гаусса-Крюгера схожа с прямоугольной. Различие в том, что она может применяться для всей территории земного шара, а не только для небольших участков.

Прямоугольные координаты зон Гаусса-Крюгера, по сути, являются проекцией земного шара на плоскость. Она возникла в практических целях для изображения больших участков Земли на бумаге. Искажения, возникающие при переносе, считаются незначительными.

Согласно этой системе, земной шар делится по долготе на шестиградусные зоны с осевым меридианом посередине. Экватор находится в центре по горизонтальной линии. В итоге насчитывается 60 таких зон.

Каждая из шестидесяти зон имеет собственную систему прямоугольных координат, отсчитываемую по оси ординат от Х, а по оси абсцисс - от участка земного экватора У. Для однозначного определения местоположения на территории всего земного шара перед значениями Х и У ставят номер зоны.

Значения оси Х на территории России, как правило, являются положительными, в то время как значения У могут быть и отрицательными. Для того чтобы избежать знака минус в величинах оси абсцисс, осевой меридиан каждой зоны условно переносят на 500 метров на запад. Тогда все координаты становятся положительными.

Система координат была предложена Гауссом в качестве возможной и рассчитана математически Крюгером в середине двадцатого века. С тех пор она используется в геодезии в качестве одной из основных.

Система высот

Системы координат и высот, применяемые в геодезии, используются для точного определения положения точки на территории Земли. Абсолютные высоты отсчитываются от уровня моря или другой поверхности, принятой за исходную. Кроме того, имеются относительные высоты. Последние отсчитываются как превышение от искомой точки до любой другой. Их удобно применять для работы в местной системе координат с целью упрощения последующей обработки результатов.

Применение систем координат в геодезии

Помимо вышеперечисленных, имеются и другие системы координат, применяемые в геодезии. Каждая из них имеет свои преимущества и недостатки. Есть также свои области работы, для которых актуален тот или иной способ определения местоположения.

Именно цель работы определяет, какие системы координат, применяемые в геодезии, лучше использовать. Для работы на небольших территориях удобно использовать прямоугольную и полярную системы координат, а для решения масштабных задач необходимы системы, позволяющие охватить всю территорию земной поверхности.

1.10. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА КАРТАХ

Прямоугольные координаты (плоские) - линейные величины: абсцисса Х и ордината Y , определяющие положение точек на плоскости (на карте) относительно двух взаимно перпендикулярных осей Х и Y (рис. 14). Абсцисса Х и ордината Y точки А- расстояния от начала координат до оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на соответствующие оси, с указанием знака.

Рис. 14. Прямоугольные координаты

В топографии и геодезии, а также на топографических картах ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки, поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат, принятое в математике, повернуто на 90°.

Прямоугольные координаты на топографических картах СССР применяются по координатным зонам. Координатные зоны - части земной поверхности, ограниченные меридианами с долготой, кратной 6°. Первая зона ограничена меридианами 0° и 6°, вторая-б" и 12°, третья-12° и 18° и т.д.

Счет зон идет от Гринвичского меридиана с запада на восток. Территория СССР располагается в 29 зонах: от 4-й до 32-й включительно. Протяженность каждой зоны с севера на юг порядка 20000 км. Ширина зоны на экваторе около 670 км, на широте 40°- 510 км, т широте 50°-430 км, на широте 60°-340 км.

Все топографические карты в пределах данной зоны имеют общую систему прямоугольных координат. Началом координат в каждой зоне служит точка пересечения среднего (осевого) меридиана зоны с экватором (рис. 15), средний меридиан зоны соответствует


Рис. 15. Система прямоугольных координат на топографических картах: а-одной зоны; б-части зоны

оси абсцисс, а экватор - оси ординат. При таком расположении координатных осей абсциссы точек, расположенных южнее экватора, и ординаты точек, расположенных западнее среднего меридиана, будут иметь отрицательные значения. Для удобства пользования координатами на топографических картах принят условный счет ординат, исключающий отрицательные значения ординат. Это достигнуто тем, что отсчет ординат идет не от нуля, а от величины 500 км, Т. е. начало координат в каждой зоне как бы перенесено на 500 км влево вдоль оси Y . Кроме того, для однозначного определения положение точки по прямоугольным координатам на земном шаре к значению координаты Y слева приписывается номер зоны (однозначное или двузначное число).

Зависимость между условными координатами и их действительными значениями выражается формулами:

X " = Х-, У = У- 500 000,

где X " и Y "- действительные значения ординат; X , Y - условные значения ординат. Например, если точка имеет координаты

Х = 5 650 450: Y = 3 620 840,

то это значит, что точка расположена в третьей зоне на удалении 120 км 840 м от среднего меридиана зоны (620840-500000) и к северу от экватора на удалении 5650 км 450 м.

Полные координаты - прямоугольные координаты, записанные (названные) полностью, без каких-либо сокращений. В примере, приведенном выше, даны полные координаты объекта:

Х = 5 650 450; Y = 3620 840.

Сокращенные координаты применяются для ускорения целеука-зания по топографической карте, в этом случае указываются только десятки и единицы километров и метры. Например, сокращенные координаты данного объекта будут:

Х = 50 450; Y = 20 840.

Сокращенные координаты нельзя применять при целеуказании на стыке координатных зон и если район действий охватывает пространство протяженностью более 100 км по широте или долготе.

Координатная (километровая) сетка -сетка квадратов на топографических картах, образованная горизонтальными и вертикальными линиями, проведенными параллельно осям прямоугольных координат через определенные интервалы (табл. 5). Эти линии называются километровыми. Координатная сетка предназначается для определения координат объектов и нанесения на карту объек тов по их координатам, для целеуказания, ориентирования карты, измерения дирекционных углов и для приближенного определения расстояний и площадей.

Таблица 5 Координатные сетки на картах

Масштабы карт

Размеры сторон квадратов

Площади квадратов, кв. km

на карте, см

на местности, км

1:25 000

1

1:50 000

1:100 000

1:200 000

На карте масштаба 1:500 000 координатная сетка полностью не показывается; наносятся только выходы километровых линий по сторонам рамки (через 2 см). При необходимости по этим выходам координатная сетка может быть прочерчена на карте.

Километровые линии на картах подписываются у их зарамочных выходов и у нескольких пересечений внутри листа (рис. 16). Крайние на листе карты километровые линии подписываются полностью, остальные-сокращенно, двумя цифрами (т. е. указываются только десятки и единицы километров). Подписи у горизонтальных линий соответствуют расстояниям от оси ординат (экватора) в километрах. Например, подпись 6082 в правом верхнем углу показывает, что данная линия отстоит от экватора на удалении 6082 км.

Подписи вертикальных линий обозначают номер зоны (одна или две первых цифры) и расстояние в километрах (всегда три цифры) от начала координат, условно перенесенного к западу от среднего меридиана на 500 км. Например, подпись 4308 в левом нижнем углу означает: 4 - номер зоны, 308 - расстояние от условного начала координат в километрах.

Дополнительная координатная (километровая) сетка может быть нанесена на топографических картах масштаба 1:25 000, 1:50000, 1:100000 и 1:200000 по выходам километровых линий в смежной западной или восточной зоне. Выходы километровых линий в виде черточек с соответствующими подписями даются на картах, расположенных на протяжении 2° к востоку и западу от граничных меридианов зоны.


рис. 16. Координатная (километровая) сетка на листе карты

Дополнительная координатная сетка предназначается для преобразования координат одной зоны в систему координат другой, соседней, зоны.

На рис. 17 черточки на внешней стороне западной рамки с подписями 81,6082 и на северной стороне рамки с подписями 3693, 94, 95 и т.д. обозначают выходы километровых линий в системе координат смежной (третьей) зоны. При необходимости дополнительная координатная сетка прочерчивается на листе карты путем соединения одноименных черточек на противоположных сторонах рамки. Вновь построенная сетка является продолжением километровой сетки листа карты смежной зоны и должна полностью совпадать (смыкаться) с ней при склейке карты.

Координатная сетка западной (3-й) зоны

Рис. 17. Дополнительная координатная сетка

Координаты - это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве в принятой системе координат. Система координат устанавливает начальные (исходные) точки, линии или плоскости для отсчета необходимых величин - начало отсчета координат и единицы их исчисления. В топографии и геодезии наиболь¬шее применение получили системы географических, прямоугольных, полярных и биполярных координат.
Географические координаты (рис. 2.8) применяются для определения положения точек поверхности Земли на эллипсоиде (шаре). В этой системе координат исходными являются плоскость начального меридиана и плос¬кость экватора. Меридианом называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и ось вращения Земли.

Параллелью называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и пер¬пендикулярную земной оси. Параллель, плоскость которой проходит через центр эллипсоида, называется экватором. Через каждую точку, лежащую на поверхности земного шара, можно провести только один меридиан и только одну параллель.
Географические координаты - это угловые величины: долгота l и широта j.
Географической долготой l называется двугранный угол, заключенный между плоскостью данного меридиана (проходящего через точку В) и плоскостью начального меридиана. За начальный (нулевой) меридиан принят меридиан, проходящий через центр главного зала Гринвичской обсерватории в пределах г. Лондона. Для точки В долгота определяется углом l = WCD. Счет долгот ведут от начального меридиана в обе стороны - на восток и на запад. В связи с этим различают западные и восточные долготы, которые изменяются от 0° до 180°.
Географической широтой j называется угол, составленный плоскостью экватора и отвесной линией, проходящей через данную точку. Если Землю принимать за шар, то для точки В (рис. 2.8) широта j определяется углом DCB. Широты, отсчитываемые от экватора к северу, называются северными, а к югу - южными, они изменяются от 0° на экваторе до 90° на полюсах.
Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, а во втором - геодезическими (L - долгота, B - широта). При астрономических наблюдениях проецирование точек на поверхность относимости осуществляется отвесными линиями, при геодезических измерениях - нормалями. Поэтому величины астрономических и геодезических координат отличаются на величину уклонения отвесной линии.
Использование разными государствами различных референц-эллипсоидов приводит к различиям координат одних и тех же пунктов, вычисленных относительно разных исходных поверхностей. Практически это выражается в общем смещении картографического изображения относительно меридианов и параллелей на картах крупного и среднего масштабов.
Прямоугольными координатами называются линейные величины - абсцисса и ордината, определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений.

(рис. 2.9)
В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат. Это отличает ее от левой системы координат, используемой в математике. Исходными направлениями служат две взаимно перпендикулярные линии с началом отсчета в точке их пересечения О.
Прямая ХХ (ось абсцисс) совмещается с направлением меридиана, проходящего через начало координат, или с направлением, параллельным некоторому меридиану. Прямая YY (ось ординат) проходит через точку О перпендикулярную оси абсцисс. В такой системе положение точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее от осей координат. Положение точки А определяется длиной перпендикуляров Xа и Yа. Отрезок Xа называется абсциссой точки А, а Yа - ординатой этой точки. Прямоугольные координаты обычно выражаются в метрах. Осями абсцисс и ординат участок местности в точке О делится на четыре четверти (рис. 2.9). Название четвертей определяется принятыми обозначениями стран света. Четверти нумеруются по направлению хода часовой стрелки: I - СВ; II - ЮВ; III - ЮЗ; IV - СЗ.
В табл. 2.3 показаны знаки абсцисс Х и ординат Y для точек, находящихся в разных четвертях и даны их названия.

Таблица 2.3
Абсциссы точек, расположенные вверх от начала координат считаются положительными, а вниз от нее - отрицательными, ординаты точек, расположенные вправо - положительными, влево - отрицательными. Система плоских прямоугольных координат применяется на ограниченных участках земной поверхности, которые могут быть приняты за плоские.
Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности, называются полярными. В данной системе координат производится измерение углов ориентирования. На горизонтальной плоскости (рис. 2.10) через произвольно выбранную точку О, называемую полюсом, проводят прямую ОХ - полярную ось.

Тогда положение любой точки, например, М будет определяться радиусом - вектором r1 и углом направления a1 , а точки N - соответственно r2 и a2. Углы a1 и a2 измеряют от полярной оси по ходу часовой стрелки до радиуса-вектора. Полярная ось может располагаться произвольно или совмещаться с направлением какого-либо меридиана, проходящего через полюс О.
Система биполярных координат (рис. 2.11) представляет собой два выбранных неподвижных полюса О1 и О2 , соединенные прямой - полярной осью. Данная система координат позволяет определить положение точки М относительно полярной оси на плоскости при помощи двух углов b1 и b2, двух радиусов-векторов r1 и r2 или их комбинаций. Если известны прямоугольные координаты точек О1 и О2 , то положение точки М можно вычислить аналитическим способом.


Рис. 2.11

Рис. 2.12
Высоты точек земной поверхности. Для определения положения точек физической поверхности Земли недостаточно знать только плановые координаты X, Y или l, j, необходима третья координата - высота точки Н. Высотой точки Н (рис. 2.12) называется расстояние по отвесному направлению от данной точки (А´; В´´) до принятой основной уровенной поверхности MN. Числовое значение высоты точки называется отметкой. Высоты, отсчитываемые от основной уровенной поверхности MN, называют абсолютными высотами (АА´; ВВ´´), а определяемые относительно произвольно выбранной уровенной поверхности - условными высотами (В´В´´). Разность высот двух точек или расстояние по отвесному направлению между уровенными поверхностями, проходящими через две любые точки Земли называется относительной высотой (В´В´´) или превышением этих точек h.
В Республике Беларусь принята Балтийская система высот 1977 г. Счет высот ведется от уровенной поверхности, совпадающей со средним уровнем воды в Финском заливе, от нуля Кронштадского футштока.

Вот еще

Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названной так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную) .

Энциклопедичный YouTube

  • 1 / 5

    Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат и O {\displaystyle O} , которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.

    Положение точки A {\displaystyle A} на плоскости определяется двумя координатами x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} . Координата x {\displaystyle x} равна длине отрезка O B {\displaystyle OB} , координата y {\displaystyle y} - длине отрезка O C {\displaystyle OC} O B {\displaystyle OB} и O C {\displaystyle OC} определяются линиями, проведёнными из точки A {\displaystyle A} параллельно осям Y ′ Y {\displaystyle Y"Y} и X ′ X {\displaystyle X"X} соответственно.

    При этом координате x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} лежит на луче (а не на луче O X {\displaystyle OX} , как на рисунке). Координате y {\displaystyle y} приписывается знак минус, если точка C {\displaystyle C} лежит на луче . Таким образом, O X ′ {\displaystyle OX"} и O Y ′ {\displaystyle OY"} являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

    Ось x {\displaystyle x} называется осью абсцисс, а ось y {\displaystyle y} - осью ординат. Координата x {\displaystyle x} называется абсциссой точки A {\displaystyle A} , координата y {\displaystyle y} - ординатой точки A {\displaystyle A} .

    A (x , y) {\displaystyle A(x,\;y)} A = (x , y) {\displaystyle A=(x,\;y)}

    или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

    x A , x B {\displaystyle x_{A},x_{B}}

    Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах - см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат O X {\displaystyle OX} , O Y {\displaystyle OY} и O Z {\displaystyle OZ} . Оси координат пересекаются в точке O {\displaystyle O} , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно ) одинаковы для всех осей. O X {\displaystyle OX} - ось абсцисс , O Y {\displaystyle OY} - ось ординат , O Z {\displaystyle OZ} - ось аппликат .

    Положение точки A {\displaystyle A} в пространстве определяется тремя координатами x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} . Координата x {\displaystyle x} равна длине отрезка O B {\displaystyle OB} , координата y {\displaystyle y} - длине отрезка O C {\displaystyle OC} , координата z {\displaystyle z} - длине отрезка O D {\displaystyle OD} в выбранных единицах измерения. Отрезки O B {\displaystyle OB} , O C {\displaystyle OC} и O D {\displaystyle OD} определяются плоскостями, проведёнными из точки A {\displaystyle A} параллельно плоскостям Y O Z {\displaystyle YOZ} , X O Z {\displaystyle XOZ} и X O Y {\displaystyle XOY} соответственно.

    Координата x {\displaystyle x} называется абсциссой точки A {\displaystyle A} , координата y {\displaystyle y} - ординатой точки A {\displaystyle A} , координата z {\displaystyle z} - аппликатой точки A {\displaystyle A} .

    Символически это записывают так:

    A (x , y , z) {\displaystyle A(x,\;y,\;z)} A = (x , y , z) {\displaystyle A=(x,\;y,\;z)}

    или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

    x A , y A , z A {\displaystyle x_{A},\;y_{A},\;z_{A}}

    Каждая ось рассматривается как числовая прямая , т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B {\displaystyle B} лежала не как на рисунке - на луче O X {\displaystyle OX} , а на его продолжении в обратную сторону от точки O {\displaystyle O} (на отрицательной части оси O X {\displaystyle OX} ), то абсцисса x {\displaystyle x} точки A {\displaystyle A} была бы отрицательной (минус расстоянию O B {\displaystyle OB} ). Аналогично и для двух других осей.

    Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса - правые (также используются термины положительные , стандартные ) и левые . Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси O X {\displaystyle OX} против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси O Y {\displaystyle OY} , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси O Z {\displaystyle OZ} ).

    Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

    Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её n ).

    Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

    x 1 , x 2 , x 3 , … x n . {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.}

    Для обозначения произвольной i -ой координаты из этого набора используют буквенный индекс:

    а нередко обозначение x i , {\displaystyle x_{i},} используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: i = 1 , 2 , 3 , … n {\displaystyle i=1,2,3,\dots n} .

    В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет .

    Прямоугольные координаты вектора

    Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца .

    Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

    1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесенного так, что его начало совпадает с началом координат, - это координаты его конца.
    2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.
    • Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

    В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

    • Сложение и умножение на скаляр:
    a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) {\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})} (a + b) i = a i + b i , {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b})_{i}=a_{i}+b_{i},} c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) {\displaystyle c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})} (c a) i = c a i . {\displaystyle (c\ \mathbf {a})_{i}=c\ a_{i}.} а отсюда и вычитание и деление: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})} (a − b) i = a i − b i , {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b})_{i}=a_{i}-b_{i},} a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , … , a n λ) {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big)}} (a λ) i = a i λ . {\displaystyle {\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big)}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.}

    (Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

    a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}} a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}

    (Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

    • Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора
    | a | = a ⋅ a {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}} и угол между векторами ∠ (a , b) = a r c c o s a ⋅ b | a | ⋅ | b | {\displaystyle \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b})}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}}
    • и k {\displaystyle \mathbf {k} } e x {\displaystyle \mathbf {e} _{x}} , e y {\displaystyle \mathbf {e} _{y}} и e z {\displaystyle \mathbf {e} _{z}} .

      Могут также применяться обозначения со стрелками ( i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} и k → {\displaystyle {\vec {k}}} или e → x {\displaystyle {\vec {e}}_{x}} , e → y {\displaystyle {\vec {e}}_{y}} и e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

      При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

      Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это

      e 1 , e 2 , e 3 , … e n , {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},}

      где n - размерность пространства.

      Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

      a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n {\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}} a = ∑ i = 1 n a i e i , {\displaystyle \mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},} Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

      Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к

    Глава I. Аналитический обзор действующих систем координат

    Общие сведения о системах координат

    Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В общем и целом систему координат можно определить как опорную систему для определения положения точек в пространстве или на плоскостях и поверхностях относительно выбранных осей, плоскостей или поверхностей.

    Систему координат широко применяют во многих отраслях науки.

    В математике координаты - это совокупность чисел, сопоставленных точками многообразия в некоторой карте определённого атласа.

    В элементарной геометрии координаты - величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая - абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

    В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат - широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана).

    В астрономии небесные координаты - упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической

    (галактическая плоскость).

    Наиболее используемая система координат - прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

    Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

    Классификация систем координат

    Так как мы уже выяснили, существует множество систем координат, следовательно, их нужно каким то образом классифицировать.

    Классифицировать системы координат можно по:

    1. прямоугольная (плоская) система координат: XY(рис. 1)

    За основную плоскость XOY в данном случае принята плоскость земного экватора. Основная координатная ось OX направлена в определенную точку. Ось OY расположена в плоскости земного экватора под углом 90º к востоку от принятого начального меридиана. Ось OZ совмещена с северным направлением оси вращения Земли.

    Прямоугольная СК (рис. 1)

    2. Пространственная прямоугольная система координат: XYZ (рис. 2)

    Начало пространственных прямоугольных координат либо определяется под условием совмещения с центром масс Земли (в общеземных системах), либо находится вблизи от него.

    Ориентировка оси Z в каждой системе координат выполняется с учетом ориентировки средней оси вращения Земли. При установлении системы среднего полюса, в том числе и полюса в Системе МУН, не накладывают условия прохождения средней оси вращения через центр масс Земли, поэтому и в референцных и в общеземных системах оси Z не совпадают со средней осью вращения, а параллельны ей.

    Плоскость XOY перпендикулярна оси Z и средней оси вращения Земли. Плоскость XOZ выбирается под условием ее параллельности плоскости начального астрономического меридиана.

    Пространственная прямоугольная СК (рис. 2)

    3. Геодезическая (эллипсоидальная) система координат: BLH (рис.3)

    B– геодезическая широта, угол между нормалью к эллипсоиду, проведенной через заданную точку M на поверхности Земли, и плоскостью экватора;

    L – геодезическая долгота, двугранный угол между плоскостями гринвичского G и заданного геодезического меридианов;

    H – геодезическая высота над референц-эллипсоидом, расстояние по нормали от поверхности эллипсоида до точки M.

    Геодезическая СК (рис. 3)

    · Назначению

    1. Общеземные (мировые) WGS 84, ПЗ 9011, ITRS

    Общеземными принято называть такие системы координат, которые получены под условием совмещения их начала с центром масс Земли. Они устанавливаются в отношении территории, покрывающей весь земной эллипсоид. И используется для решения общеземных задач. Наиболее удобными являются географические координаты (широта и долгота) отсчитываемые от поверхности экватора и начального меридиана в виде дуг, которым соответствуют центральные углы.

    2. Государственные (СК-95, СК-63, ГСК-2011)

    Эта система координат ограничивается территорией одного государства и используется, для осуществления геодезических и картографических работ внутри этого государства. В РФ в качестве координатной поверхности в этой системе используется поверхность эллипсоида Красовского.

    3. Местные (МСК-50, МСК-50.2, Московская)

    Под местной системой координат понимается условная система координат, устанавливаемая в отношении ограниченной территории, не превышающей территорию субъекта Российской Федерации, начало отсчета координат и ориентировка осей координат которой смещены по отношению к началу отсчета координат и ориентировке осей координат единой государственной системы координат, используемой при осуществлении геодезических и картографических работ. Местные системы координат устанавливаются для проведения геодезических и топографических работ при инженерных изысканиях, строительстве и эксплуатации зданий и сооружений, межевании земель, ведении кадастров и осуществлении иных специальных работ. Обязательным требованием при установлении местных систем координат является обеспечение возможности перехода от местной системы координат к государственной системе координат, который осуществляется с использованием параметров перехода (ключей). Каждая местная система координат может создаваться с одной или несколькими трех или шести градусными зонами. Параметры местных систем координат и ключи перехода к государственной системе координат (формулы и правила, по которым координаты точек в одной системе можно получить в другой системы) устанавливает Росреестр по согласованию с Минобороны РФ.

    · Началу отсчета:

    1. Геоцентрические X, Y, Z, с началом отсчета в центре масс Земли;

    2. Референцные (квазигеоцентрические) X, Y, Z, с началом вблизи центра масс Земли, в центре принятого референц-эллипсоида;

    3. Топоцентрические X, Y, Z, с началом отсчета на поверхности Земли в точке наблюдения.

    · Основной координатной плоскости XOY

    Различаются по выбору основной координатной плоскости

    1. Экваториальные – в плоскости экватора на определенную эпоху;

    Различают первую и вторую экваториальные системы координат. Первая является вращающейся, т. е. участвует в суточном вращении Земли, вторая – неподвижная, т. е. не участвует в суточном вращении Земли.

    2. Горизонтальные – в плоскости местного горизонта;

    3. Орбитальные – в плоскости орбиты.

    · Направление ориентировки осей координат относительно точек пространства СК делятся на

    1. Звездные, если они ориентированы по далеким звездам

    2. Квазарные, если оси ориентированы по далеким естественным

    радиоисточникам (квазарам);

    3. Земные, если оси ориентированы по неподвижным точкам земной

    · Время, к которому относится положение точки весеннего равноденствия γ и направление оси z:

    1. Средние, принятые на определенную эпоху (например на эпоху 2000 года);

    2. Истинные, отнесенные к истинной точке весеннего равноденствия;

    3. Мгновенные, соответствующие положению оси вращения на момент наблюдения.